第六章 二次曲面的一般理论
2-6_二次曲面
6.1 压缩法
压缩变换后图形 图形方程的变化 ● 作压缩变换后图形方程的变化 设在直角坐标系中, 设在直角坐标系中 图形 S 有方程 F (x, y, z) = 0, 经过向 的压缩后变为图形 后变为图形S′ 经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后变为图形 ′. ′ ′ 则点 M′(x, y, z) ∈ S′ ⇔ 点M (x, y, z/k) ∈ S, 于是 S′ 的方程为 F (x, y, z/k) = 0. ′ 的方程为 类似可得 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 xz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 ′: F (x, y/k, z) = 0. 压缩后变为图形S′ 后变为图形 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 yz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 后变为图形S′ 压缩后变为图形 ′: F (x/k, y, z) = 0.
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6.1 压缩法
压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形. 压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形 平面上的一个椭圆可以看作被拉长(或压扁 的圆. 或压扁)的圆 平面上的一个椭圆可以看作被拉长 或压扁 的圆 反之, 椭圆也可压缩(或拉伸 成为圆. 例如一个长 反之 椭圆也可压缩 或拉伸)成为圆 例如一个长 或拉伸 成为圆 轴为 3, 短轴为 1/2 的椭圆如果在长轴方向压缩 3 就变为一个半径为1的圆 的圆. 倍, 短轴方向拉伸 2 倍, 就变为一个半径为 的圆 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法. 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法 用压缩法可以研究上面所列的二次方程(除 用压缩法可以研究上面所列的二次方程 除(5)) 的图像, 可以很容易得到它们的直观形象. 的图像 可以很容易得到它们的直观形象
6. 二 次 曲 面
§6 二 次 曲 面一、 球面的切面.直线MG 称为球面在点M 的法线.设球面方程为x y z px qy rz d 2222220++++++=则球面在点M (x y z 000,,)的切面方程为x x y y z z p x x q y y r z z d 0000000+++++++++=()()() 球面在点M (x y z 000,,)的法线方程为x x x p y y y q z z z r-+=-+=-+000000 [两个球面的交角] 设两个球面S x y z p x q y r z d 12221111222++++++=0 S x y z p x q y r z d 22222222222++++++=0两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作θ,则cos θ=++--++-++-22221212121212121212222222p p q q rr d d p q r d p q r d 因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.两个球面的正交条件为222012121212p p q q r r d d ++--=[球面束·两个球面的根面] 设S S S λλ120+=式中S 1和S 2如(1)式定义,λ为参数,则有)()(2)(2)(2))(1(21212121222=+++++++++++d d z r r y q q x p p z y x λλλλλ对λλ()≠-1的一个确定值,S λ表示一个球面,当λ取一切值()λ≠-1时,S λ所表示的球面的全体称为球面束.λ=-1时为一平面,称为两个球面S S 12,的根面,其方程为()()()222012121212()p p x q q y r r z d d -+-+-+-=根面与S 1和S 2的连心线垂直,束中任一球面λS 的中心在连心线上,且分连心线的比为λ.[球面汇·三个球面的根轴] 设S 1和S 2如(1)式定义,又设S x y z p x q y r z d 322233332220++++++=设 S S S S λμλμ1230++= 式中λμ,为二独立参数,则有()()()()()()12220222123123123123++++++++++++++++=λμλμλμλμλμx y z p p p x q q q y r r r z d d d对λμ,()λμ+≠-1的一对确定值,S λμ表示一个球面,当λμ,取一切值()λμ+≠-1时,S λμ所表示的球面的全体称为球面汇.三个球面中每对球面的根面分别为S S S S 122300-=-=,,和S S 210-=这三个平面交于一条直线,称为S S S 123,,的根轴.二、 椭球面三、双曲面a b c [双叶双曲面]x aybzc222222+-=-a=b时,为旋转双曲面]在Oxz平面上的曲线当a=b时,为旋转抛物面五、锥面与柱面当a=b时, 为圆锥面在Oxz平面上a b当a=b时,为圆柱面渐近锥面] 二次锥面 六、 一般二次曲面1. 二次曲面的一般性质上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z 都是二次的.关于x,y,z 的一般二次方程的形式是ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= 它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质.[直线与二次曲面的交点] 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线.[平面与二次曲面的交线] 任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线.[二次曲面的直径平面与中心] 一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l ,m ,n ,则直径平面的方程为()()()()0=+++++++++++rn qm pl z cn fm gl y fn bm hl x gn hm al或改写为()()()ax hy gz p l hx by fz q m gx fy cz r n +++++++++++=0当l ,m ,n 变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一平面都通过下列三个平面的交点:ax hy gz p hx by fz q gx fy cz r +++=+++=+++=000如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面.[二次曲面的主平面与主轴] 如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴.[二次曲面的切面与法线] 二次曲面在一点M (x y z 000,,)的切面方程为()()()()()()ax x by y cz z f y z z y g z x x z h x y y x p x x q y y r z z d 0000000000000+++++++++++++++=在点M 与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M 的法线,它的方程可写为x x ax hy gz p y y hx by fz q z z gx fy cz r-+++=-+++=-+++000000000000 [二次曲面的圆截面] 如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面.如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.2.二次曲面的不变量 由二次曲面的一般方程ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= (1)的系数组成的下列四个函数:222,,h g f ca bc ab J c b a I cf g f b h gh a D dr q p rc f g q f b h pg h a ---++=++===∆ 称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式∆称为二次方程(1)的判别式.。
二次曲线的一般理论
3 F1 ( x 0 , y 0 ) X F2 ( x 0 , y 0 ) Y F ( x 0 , y 0 ) 0
扳摆扳锤(4)罢佰稗︽吵︽彪搬︽斑 邦﹀ 扯爸︽畅罢 (2)底爸邦︽碉︽倡爸邦︽ 罢册邦︽ 伴壁罢︽畅罢 (1)厂爸︽吵︽底拜﹀
佃罢︽捕邦︽便爸
传半︽衬罢︽斑
︽扳
第五章
二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
§5.3 二次曲线的切线 §5.4 §5.5 §5.6 二次曲线的直径 二次曲线的主直径和主方向 二次曲线方程的化简与分类
点笛︽布︽斑﹀ 倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢︽编︽雏半︽搬佰爸
︽罢的爸︽碘罢邦﹀
佃罢︽捕邦︽便爸 ︽扳 佃罢︽捕邦︽灯办︽ 扳
传半︽衬罢︽斑
I1 a11 a12
I2 a11 a12 a12 a22 a11 a12 a13
I 3 a12 a13
K1
︽扳
a22 a23
a13 a33
a23 a33
a22 a23 a23 a33
传半︽衬罢︽斑
a11 a13
佃罢︽捕邦︽便爸
§5.1
倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢︽拜爸︽扯爸︽畅罢︽编︽伴蠢办
︽底拜︽便︽邦﹀
倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢
F ( x, y) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 （1）
拜爸︽扯爸︽畅 罢
x x0 Xt y y0 Yt
( X , Y ) t 2 2F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0
二次曲线的一般理论
第9页，共44页。
§5.3 二次曲线的直径
1. 二次曲线的直径
在§5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交
的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方 向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，
两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.
现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.
x0 y0
tX tY
为渐近线，其中 ( x0 ,
y0 )
为
中心， X : Y 为渐近方向。
∴ ( X ,Y ) 0 且 F1(x0 , y0 ) X F2 (x0 , y0 )Y 0 ， ∴若 F ( x0 , y0 ) 0 ， 则l与曲线不相交，
若 F ( x0 , y0 ) 0 ，则 l 整个在曲线上。
又分两种情形
无心曲线：
因直径方程:
a11 a12 a13 直径平行渐近方向 a12 a22 a23
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0,
(a11X a12Y )x (a12 X a22Y ) y a13X a23Y 0.
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(a11X a12Y )x (a12 X a22Y ) y a13X a23Y 0.
或 F2 (x, y) a12 x a22 y a23 0
因此当
a11 a12，即二次曲线为中心曲线时, a12 a22
它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的
中心就是二次曲线的中心； 当
a11 a12，即a13
a12 a22 a23
二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；
定理 5.3.2 中心二次曲线的直径通过曲线
定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条 件是：
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .基本概念二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程2 2 2a 11xa 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)所表示的曲面 .虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号F(x,y,z)F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 442 2 2(x, y,z) a 11x 2a 22y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz1(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z2a 11 x 22a 22 y a 33 z2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 443(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵Aa 12a 22a 23a 24a 13 a 23 a 33 a 34a 14a 24 a 34 a 44a 11 a 12 a 13而由 (x, y,z) 的系数矩阵为Aa 12 a 22 a 23a 13a 23a 33二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,z) ，a 11 a 12 a 13a 11 a 12 a 11 a 13a 22 a 231 a 11 a 22 a 33 I 2I 3a 12 a 22 a 23a 12 a 22a 13 a 33a 23 a 33a 13 a 23 a 33a 11 a 12 a 14a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24K 2a 12 a 22 a 24a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34a 14a 24a 44a 14a 34a 44a 24a 34a 44§6.1 二次曲面与直线的相关位置2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33z 2a 12xy 2a 13xz2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44(1)x x 0 Xt与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)z z 0 Zt将(2)代入(1)得F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
第四节 二次曲面
x
相交的直线旋转一周， 例 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转 曲面叫圆锥面 两直线的交点叫圆锥面的顶点 圆锥面． 顶点， 曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的
| MO | 1 = , 根据题意有 | MM | 2
0
即
1 x + y +z = , ( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4) 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x 2 ( y 1) z 4 116 . 所求方程为 + + + + + = 3 9 3
注意1：不是每一个三元方程都表示空间曲面。
如坐标满足方程 x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 的点是不存在的，故它不表示任何曲面图形。 再如，方程 x 2 + y 2 + z 2 = 0 仅表示一个点（0，0，0），方程
x2 + y 2 = 0
仅表示两个平面 x = 0, y = 0
的交线（z轴），它们
f ( y1 , z1 ) = 0
得方程
f (±
x + y , z = 0,
2 2
)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
z
z y
z
O
O x y
O
二次曲面的一般方程
二次曲面的一般方程《二次曲面的一般方程》二次曲面是数学中重要的几何概念之一，它在各个领域和学科中有着广泛的应用。
二次曲面可以用一般方程来表示，这种表示方法可以更好地描述曲面的性质和特征。
二次曲面的一般方程的形式为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为实数或复数，且至少有一个系数不为零。
这个一般方程可以用矩阵形式来表示：[X,Y,Z,1] [A B C D E F G H I J] [X,Y,Z,1] = 0其中，[X,Y,Z,1]是一个四维向量，[A B C D E F G H I J]是一个10x10矩阵。
二次曲面的一般方程可以表示不同类型的曲面，如椭球面、双曲面、抛物面等。
通过系数A、B、C的正负以及系数D、E、F的关系，我们可以判断出二次曲面的类型和形状。
当A、B、C的符号相同时，二次曲面为椭球面。
当A、B、C的符号不同且D、E、F全为零时，二次曲面为双曲面。
当至少有一个D、E、F不为零时，二次曲面为抛物面。
具体地，根据系数的取值不同，可以得到以下几种二次曲面：1. 椭球面：当A、B、C都大于零时，系数D、E、F皆为零。
2. 单叶双曲面：当A、B、C有一个为正，一个为负，且系数D、E、F皆为零。
3. 双叶双曲面：当A、B、C都有一个为负，且系数D、E、F皆为零。
4. 椭圆抛物面：当D和E的符号相同时，系数F为零。
5. 双曲抛物面：当D和E的符号不同时，系数F为零。
通过对二次曲面的一般方程进行分析，我们可以更好地理解二次曲面的性质和特点，从而为解决实际问题提供更准确的数学模型和方法。
第六章-二次曲面的一般理论
第六章-二次曲面的一般理论-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a（1） 所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
二次曲面(2012)
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
N二次曲线的一般理论
目的： 确定点的新旧坐标之间的关系。 这由新旧坐标系的之间的位置关系来确定. 坐标系的位置是由坐标原点和坐标轴的方向 确定。 新坐标系的位置，就由新原点 O ' 的旧坐标， 以及坐标轴Ox 到新坐标轴O ' x ' 的角度 确定.
坐标系的平移（移轴）: 坐标轴的方向不 变，改变坐标原点
坐标系Oxy
a11 x0 a12 y0 b1 0, a12 x0 a22 y0 b2 0,
2 0
c a x 2a12 x0 y0 a22 y
* 2 11 0
2b1 x0 2b2 y0 c F ( x0 , y0 )
方程组
a11 x0 a12 y0 b1 0, a12 x0 a22 y0 b2 0,
展开后合并同类项就有
a a11
* 11 * a12 a12 * a22 a22
移轴以后
二次项系数不变，一次项系 数要改变，为了消去一次项， 必须并且只须新坐标原点的 ( x0 , y0 ) 坐标 满足方程
b a11 x0 a12 y0 b1 ,
* 1 * b2 a12 x0 a22 y0 b2 ,
a11 a12 a12 a22 0，则方程组有唯一解.
如果
如果
a11 a12
a12 a22
=0，即a11 : a12 a12 : a22
(1)a11 : a12 a12 : a22 b1 : b2 ,此时方程是同解方程 (2)a11 : a12 a12 : a22 b1 : b2 ,此时方程是矛盾方程.
例1：求二次曲线x 2 xy y 2 3 x 6 y 3 0的中心.
解：对称中心就是(0,3)
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
二次曲面一般式
二次曲面一般式
摘要：
1.二次曲面的定义和重要性
2.二次曲面的一般式表示
3.二次曲面的参数方程
4.二次曲面在数学和物理学中的应用
正文：
二次曲面是三维空间中的一种曲面，它是由两个线性方程决定的。
二次曲面在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在空间解析几何、微积分、微分方程、光学和力学等领域都有重要的应用。
二次曲面的一般式表示为：Ax + By + Cz + Dx + Ey + Fz + G = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G 是常数，且A、B、C 不同时为0。
这个方程描述的是一个三维空间中的曲面，它可以是凸的，也可以是凹的。
二次曲面的参数方程是一种用来描述二次曲面的方法。
它通常采用三个参数x, y, z，以及三个变量u, v, w，使得二次曲面上的每一个点都可以用以下方程表示：x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)。
通过这个参数方程，我们可以把二次曲面转换成三个一元二次方程，从而方便地进行分析和计算。
二次曲面在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，它可以用来研究空间的解析几何、微积分、微分方程等问题。
在物理学中，二次曲面可以用来描述光学和力学中的现象，例如折射、反射、引力等。
总的来说，二次曲面是一种重要的数学对象，它在数学和物理学中有着广
泛的应用。
二次曲线的一般理论课件
焦准距
焦半径
二次曲线上的任意一点到焦点的距离 称为焦半径，它等于该点到准线的距 离。
二次曲线上的焦点到准线的距离称为 焦准距，它是常数。
04 二次曲线的切线
二次曲线的切线定义
切线定义
切线是与二次曲线在某一点相切 的直线，该点称为切点。
切线的几何意义
切线是唯一一条与二次曲线在切 点处既相切又垂直的直线。
详细描述
二次曲线的一般方程为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，其 中A、B、C、D、E、F为常数，且A、C不同时为0。这个方 程描述了一个平面上的二次曲线，其中x和y是平面上的坐标， A、B、C、D、E、F是常数。
二次曲线的性质
总结词
二次曲线具有一些重要的性质，如对称性、中心性、离心率等。
详细描述
二次曲线具有对称性，即曲线关于x轴、y轴或原点对称。此外，二次曲线还有 一个中心，即曲线的离心率指向一个固定点（称为焦点）。离心率决定了曲线 的形状和大小。
二次曲线的分类
总结词
根据不同的分类标准，二次曲线可以分为不同的类型。
详细描述
根据形状和开口方向，二次曲线可以分为椭圆型、双曲线型和抛物线型。根据焦 点个数，二次曲线可以分为单焦点和双焦点二次曲线。此外，根据对称性，二次 曲线还可以分为中心对称和非中心对称二次曲线。
二次曲线的一般方程的推导
总结词
二次曲线的一般方程的推导基于多项式和代数的基本原理，通过将二次曲面进行参数化，可以得到一 般方程。
详细描述
推导二次曲线的一般方程通常采用参数化的方法，将二次曲面表示为参数t的函数 (x(t), y(t), z(t))，然 后通过代入和整理得到一般方程。这个过程需要一定的代数和微积分知识。
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第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
3322111a a a I ++= 3323232233131311221212112a a a a a a a a a a a a I ++=3323132322121312113a a a a a a a a a I = 443424143433231324232212141312114a a a a a a a a a a a a a a a a I =,4434343344242422441414111a a a a a a a a a a a a K ++=4434243433232423224434143433131413114424142422121412112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++=§6.1 二次曲面与直线的相关位置≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)与过点),,(000z y x 的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 (2)将(2)代入(1)得[]0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X （3）现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:1.0),,(≠ΦZ Y X ,这时方程（3）是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：[]),,(),,(),,(),,(),,(0002000300020001z y x F Z Y X z y x ZF z y x YF z y x XF Φ-++=∆10 0>∆,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点; 20 0=∆,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点; 30 0<∆,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点 2.0),,(=ΦZ Y X10 0),,(),,(),,(000300020001≠++z y x ZF z y x YF z y x XF ,直线与二次曲面有唯一交点;20 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,但0),,(000≠z y x F 直线与二次曲面无交点30 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,且0),(00=y x F ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.§6.2 二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义 5.2.1: 满足0),,(=ΦZ Y X 的方向Y X :：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)和过点),,(000z y x 的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 (2)当Y X :：Z 为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当Z Y X ::为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。
2. 二次曲面的中心当Z Y X ::为二次曲面的非渐进方向时,即当02),(22212211≠++≡ΦY a XY a X a Y X以非渐进方向为方向的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000与二次曲面交于两个点,由这两点决定的线段叫二次曲面的弦.定义 6.2.2:若点C 是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心,那么点C 叫做二次曲面的中心.定理6.2.1若点),,(000z y x C 是二次曲面的中心,其充要条件是:⎪⎩⎪⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0),,(0),,(0),,(340330230130003240230230120002140130120110001a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-1） 推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有z y x ,,的一次项。
二次曲面的中心坐标，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0),,(0),,(0),,(343323133242323122141312111a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-2）决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。
根据（6.2-2）的系数矩阵A 与增光矩阵B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=342414332313232212131211a a a a a a a a a a a a B 的秩r 与R ，有： 10 3==R r ，这时方程组的系数行列式03323132322121312113≠=a a a a a a a a a I ，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。
20 2==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。
曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。
30 1==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。
曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。
40R r ≠，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。
定义 6.2.3: 有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面, 有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为03≠I ，成为非中心二次曲面的充要条件为03=I例1 椭球面1222222=++c z b y a x 与双曲面1222222±=-+cz b y a x 的3I 分别为0110010001222222≠=cb ac b a 与0110010001222222≠-=-cb ac b a 所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 与⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）例2 抛物面z by a x 22222=±.其3I =000100122=±b a ，所以抛物面为非中心二次曲面，它的1),,(3-=z y x F ，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。
例3 对于曲面0222=-+c z y3I =010001000=，所以他是非中心二次曲面，但由于0),,(1≡z y x Fy z y x F ≡),,(2z z y x F ≡),,(3，所以曲面有一条中心直线⎩⎨⎧==0z y ，所给曲面为线心曲面。