第六章 二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论
教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.
研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.
教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念
二次曲面: 在空间,由三元二次方程
022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）
所表示的曲面.
虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点
二次曲面的一些记号
≡
),,(z y x F 44
342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡
242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡
yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ
z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ
z a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ
即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++
),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ
二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=4434
24
14
3433231324232212
14131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=*
3323
13
232212
131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，
),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。

3322111a a a I ++= 33
23
23
22
33131311
2212
12112a a a a a a a a a a a a I ++=
33
23
13
23221213
1211
3a a a a a a a a a I = 44
34
24
14
34
33231324
23221214
131211
4a a a a a a a a a a a a a a a a I =
,44
34
34
33
44
24
242244
141411
1a a a a a a a a a a a a K ++=
44
34
24
343323
24232244
34
14
34331314131144
24
14
242212
141211
2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++=
§6.1 二次曲面与直线的相关位置
≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++
44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)
与过点),,(000z y x 的直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zt
z z Yt y y Xt x x 000 (2)
将(2)代入(1)得
[]0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X （3）
现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:
1.0),,(≠ΦZ Y X ,这时方程（3）是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：
[]),,(),,(),,(),,(),,(0002
000300020001z y x F Z Y X z y x ZF z y x YF z y x XF Φ-++=∆
10 0>∆,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点; 20 0=∆,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点; 30 0<∆,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点 2.0),,(=ΦZ Y X
10 0),,(),,(),,(000300020001≠++z y x ZF z y x YF z y x XF ,直线与二次曲面有唯一交点;
20 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,但0),,(000≠z y x F 直线与二次曲面无交点
30 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,且0),(00=y x F ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.
§6.2 二次曲面的渐进方向与中心
1. 二次曲面的渐进方向
定义 5.2.1: 满足0),,(=ΦZ Y X 的方向Y X :：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.
对于给定的二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++
44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)
和过点),,(000z y x 的直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zt
z z Yt y y Xt x x 000 (2)
当Y X :：Z 为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当Z Y X ::为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

2. 二次曲面的中心
当Z Y X ::为二次曲面的非渐进方向时,即当
02),(22212211≠++≡ΦY a XY a X a Y X
以非渐进方向为方向的直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zt
z z Yt y y Xt x x 000与二次曲面交于两个点,由这两点决
定的线段叫二次曲面的弦.
定义 6.2.2:若点C 是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心,那么点C 叫做二次曲面的中心.
定理6.2.1若点),,(000z y x C 是二次曲面的中心,其充要条件是:
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0
),,(0),,(0
),,(340330230130
003240230230120002140130120110001a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-1） 推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有z y x ,,的一次项。

二次曲面的中心坐标，由方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0
),,(0),,(0),,(343323133
242323122141312111a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-2）
决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。

根据（6.2-2）的系数矩阵A 与增光矩阵B
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3323
13
232212
131211
a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3424143323
13
232212
131211
a a a a a a a a a a a a B 的秩r 与R ，有： 10 3==R r ，这时方程组的系数行列式033
23
13
232212
13
1211
3≠=a a a a a a a a a I ，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。

20 2==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。

曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。

30 1==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。

曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。

40R r ≠，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。

定义 6.2.3: 有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面, 有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.
推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为03≠I ，成为非中心
二次曲面的充要条件为03=I
例1 椭球面1222222=++c z b y a x 与双曲面122
2222±=-+c
z b y a x 的3I 分别为
01
10
010001
2
222
22≠=c
b a
c b a 与01
10
0100012
222
22
≠-
=-
c
b a
c b a 所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(23
2
221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 与⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
=-≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）
例2 抛物面z b
y a x 222
22=±.
其3I =00
010
0122
=±b a ，所以抛物面为非中心二次曲面，它的1),,(3-=z y x F ，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。

例3 对于曲面0222=-+c z y
3I =01
00010
00=，所以他是非中心二次曲面，但由于0),,(1≡z y x F
y z y x F ≡),,(2z z y x F ≡),,(3，所以曲面有一条中心直线⎩⎨⎧==0
z y ，所给曲面为线心曲面。

(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。

)
作业：8,6,4,2254P
§6.3 二次曲面的切线与切平面
定义 6.3.1:直线与二次曲面相交于互相重合的两个点,那么这条直线叫二次曲面的切线. 重合的交点称之为切点.
特殊情形:直线全部在二次曲面上,亦称之为二次曲面的切线,直线上每一点均是切点.
（二次曲面的直母线线也是切线。

） 一.通过曲面上点),,(000z y x 的切线方程
≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++
022224434241423=+++++a z a y a x a yz a (1)
通过曲面（1）的点),,(000z y x 的直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zt
z z Yt y y Xt
x x 000 （2）
1. 直线（2）曲面（1）相交于连个重合点的充要条件：
0),,(≠ΦZ Y X []0),,(),,(),,(2
000300020001=++=∆Z y x ZF Z y x YF Z y x XF
2. 直线（2）整个属于曲面（1）的充要条件：
0),,(=ΦZ Y X []0),,(),,(),,(2
000300020001=++=∆Z y x ZF Z y x YF Z y x XF
综合1、2、两种情况：通过曲面（1）上的点),,(000z y x 的直线（2）成为曲面在这
个点处的切线的充要条件是：
[]0),,(),,(),,(2
000300020001=++=∆Z y x ZF Z y x YF Z y x XF （3）
10， ),,(0001z y x F ，),,(0002z y x F ，),,(0003z y x F 不全为零。

由（2）得
)(:)(:)(Z Y 000z z y y x x X ---=：：，代入（3）得
[]0),,()(),,()(),,()(000300002000010=-+-+-Z y x F z z z y x F y y Z y x F x x （6.3-1）
定义6.3.2 二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的
切平面，这一点叫切点。

20 ),,(0001z y x F ，),,(0002z y x F ，),,(0003z y x F 全为零。

（3）恒成立，它被任何的方
向Z Y X ::所满足，因此通过点),,(000z y x 的任何一条直线都是二次曲面的切线。

定义6.3.3 二次曲面（1）上满足条件
0),,(),,(),,(000300020001===z y x F z y x F z y x F 的点),,(000z y x 叫做二次曲面（1）
的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点。

定理6.3.1如果),,(000z y x 是二次曲面（1）的正常点,那么曲面在点),,(000z y x 处存在惟一的切平面，它的方程是（6.3-1）
推论 如果),,(000z y x 是二次曲面（1）的正常点,那么在),,(000z y x 处曲面的切平面方程是:
)()()()()()(44034024014002300130012033022011=+++++++++++++++a z z a y y a x x a yz z y a xz z x a x y y x a z z a y y a x x a （6.3-3）
例 求二次曲面018222444),,(222=++++---++≡z y x yz xz xy z y x z y x F 在点)3,2,1(的切平面方程。

解法一 因为01864224128941)3,2,1(=++++---++=F ，所以点)
3,2,1(在二次曲面上，又因为1
22),,(122),,(1
22),,(321++--=+-+-=+--=z y x z y x F z y x z y x F z y x z y x F ，
所以8)3,2,1(1-=F ，5)3,2,1(2-=F ，2)3,2,1(3-=F ，这说明)3,2,1(是已知曲面上的正常点，所以根据公式（6.3-1）得曲面在点)3,2,1(处的切平面方程为
0)3(2)2(5)1(8=------z y x ，即024258=-++z y x
解法二 由解法一知)3,2,1(是已知曲面上的正常点，所以根据公式（6.3-3）得所求切平面的方程是
018)3()2()1()23(2)3(2)2(232=++++++++-+-+-++z y x z y z x y x z y x
即 024258=-++z y x
作业: 8,6,5,3258P
§6.4 二次曲面的径面与奇向
本节讨论二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++
44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1) 的平行弦的中点轨迹。

定理 6.4.1 二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面
证明：设Z Y X ::为二次曲面的任意一个非渐进方向，而),,(000z y x 为平行于
方向Z Y X ::的任意弦的中点，那么弦的方程可以写成⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zt
z z Yt y y Xt x x 000 （2）
面弦的两端点是由二次方程
[]0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X 的两根1t 和2t 所决定，因为),,(000z y x 为弦的中点的充要条件是021=+t t ，即
0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ，把上式中的),,(000z y x 改写为
),,(z y x 便得平行弦中点的轨迹方程为0),,(),,(),,(321=++z y x ZF z y x YF z y x XF
（6.4-1）即
0)()()(343323132423221214131211=+++++++++++a z a y a x a Z a z a y a x a Y a z a y a x a X
或
)()()()(342414332313232212131211=+++++++++++Z a Y a X a z Z a Y a X a y Z a Y a X a x Z a Y a X a ，
即0),,(),,(),,(),,(4321=Φ+Φ+Φ+ΦZ Y X z Z Y X y Z Y X x Z Y X （6.4-2） 因为Z Y X ::为非渐进方向，所以有
0),,(),,(),,(),,(321≠Φ+Φ+Φ≡ΦZ Y X Z Z Y X Y Z Y X X Z Y X
因此),,(1Z Y X Φ，),,(2Z Y X Φ，),,(3Z Y X Φ不全为零，所以（6.4-2）或（6.4-1）为一个三元一次方程，它代表一个平面。

定义 6.4.1二次曲面的平行弦的中点轨迹，就是（6.4-1）或（6.4-2）所代表的平面，叫做共轭于平行弦的径面。

而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的
方向叫做这个径面的共轭方向。

定理6.4.2 二次曲面的任何径面一定通过它的中心（假如曲面的中心存在的话）
推论1 线心二次曲面的任何径面通过他的中心线。

推论2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。

如果方向Z Y X ::为二次曲面（1）的渐进方向，那么平行与它的弦不存在，但如果仍有),,(1Z Y X Φ，),,(2Z Y X Φ，),,(3Z Y X Φ不全为零，那么方程（6.4-2）任然
表示一个平面，我们把这个平面叫做共轭于渐进方向Z Y X ::的径面。

如果
⎪⎩⎪
⎨⎧=++≡Φ=++≡Φ=++≡Φ0
),,(0),,(0),,(3323133
23221221312111Z a Y a X a z y x Z a Y a X a z y x Z a Y a X a z y x （3） 那么方程（6.4-2）不表示任何平面。

定义 6.4.2 满足条件（3）的渐进方向Z Y X ::叫做二次曲面（1）的奇异方向，简称奇向。

定理6.4.3 二次曲面（1）有奇向的充要条件是03=I 推论 中心二次曲面而且只有中心二次曲面没有奇向。

定理6.4.4 二次曲面的奇向平行于它的任何径面。

证 设二次曲面（1）的奇向为000::Z Y X ，那么
0),,(),,(),,(000300020001=Φ=Φ=ΦZ Y X Z Y X Z Y X 因此
),,(),,(),,()()()()()()()
,,(),,(),,(000300020001033023013023022012013012011332313023221201312110302010=Φ+Φ+Φ=++++++++=++++++++=Φ+Φ+ΦZ Y X Z Z Y X Y Z Y X X Z a Y a X a Z Z a Y a X a Y Z a Y a X a X Z a Y a X a Z Z a Y a X a Y Z a Y a X a X Z Y X Z Z Y X Y Z Y X X 所以二次曲面的奇向000::Z Y X 平行于它的任意径面（6.4-2）
例1 求单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的径向。

解 因为单叶双曲面为中心曲面，即03≠I 。

所以它没有奇向，任取方向
Z Y X ::，那么21),,(a X Z Y X =
Φ，22),,(b Y Z Y X =Φ，23),,(c
Z
Z Y X -=Φ，0),,(4=ΦZ Y X ，所以单叶双曲面共轭于方向Z Y X ::的径面为0222=-+z c
Z
y b Y x a X ，
显然它通过曲面的中心)0,0,0(。

例2 求椭圆抛物面z b
y a x 222
22=+的径面。

解 因为椭圆抛物面为无心曲面，03=I ，所以曲面有奇向000::Z Y X ，因为
21),,(a X Z Y X ≡
Φ 2
2),,(b Y
Z Y X ≡Φ 0),,(3≡ΦZ Y X ，所以曲面的奇向为1:0:0::000=Z Y X ，任取非齐方向Z Y X ::，又有Z Z Y X -≡Φ),,(3，因此根据
（604-2）椭圆抛物面共轭于非齐方向Z Y X ::的径面为02
2=-+Z y b
Y
x a X ，显然它平行于奇向1:0:0 作业: 4,2),3(1262P
§6.5 二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根
定义6.5.1 主径面:如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径面就叫做二次曲面的主径面。

定义6.5.2 主方向:二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向），或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的主方向
设二次曲面为≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++
022224434241423=+++++a z a y a x a yz a (1)
方向Z Y X ::如果是（1）的渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00
332313
232212131211Z a Y a X a Z a Y a X a Z a Y a X a （2） 成立，即Z Y X ::必须是（1）的奇向。

如果Z Y X ::是（1）的非渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是与它的共轭径面
)()()()(342414332313232212131211=+++++++++++Z a Y a X a z Z a Y a X a y Z a Y a X a x Z a Y a X a （3）
垂直，所以有Z Y X Z a Y a X a Z a Y a X a Z a Y a X a ::)(:)(:)(332313232212131211=++++++
从而得⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++Z
Z a Y a X a Y Z a Y a X a X
Z a Y a X a λλλ332313
232212131211 （6.5-1）
显然，如果在（6.5-1）中取0=λ，那么就得到（2），因此方向Z Y X ::成为二次曲面（1）的主方向的充要条件是存在λ使得（6.5-1）成立，把（6.5-1）改写
成⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=+-+=++-0
)(0)(0
)(332313
232212131211Z a Y a X a Z a Y a X a Z a Y a X a λλλ （6.5-2） 这是一个关于Z Y X ,,的其次线性方程组，因此Z Y X ,,不能全为零，因此
03323
13
232212131211=---λ
λλa a a a a a a a a （6.5-3）
即032213=+-+-I I I λλλ （6.5-4）
定义6.5.3 方程（6.5-3）或（6.5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做二次曲面的特征根。

从特征方程（6.5-3）或（6.5-4）求得特征根λ，代入（6.5-1）或（6.5-2），就可以求出相应的主方向Z Y X ,,，当0=λ时，与它相应的主方向为二次曲面的奇向；当0≠λ时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向Z Y X ::代入（6.4-1）或（6.4-2）就得共轭于这个非奇主方向的主径面。

例1 求二次曲面023414422233222=-+++---++z y x yz xz xy z y x 的主方向与主径面。

解 这个二次曲面的矩阵是⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-------23272231171112113，则73131=++=I
123
1
113
1
131
1
132=--+
--+
--=
I ，03
111111
133=------=I
二次曲面的特征方程为012723=-+-λλλ，所以特征根为0,3,4=λ
1将4=λ代入（6.5-2）得⎪⎩
⎪
⎨⎧=---=---=---0030Z Y X Z Y X Z Y X
解该方程组得对应于特征根4=λ的主方向为)1(:0:1::-=Z Y X ，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：
0=-z x
2将3=λ代入（6.5-2）得⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=---=--0020
Y X Z Y X Z Y
解该方程组得对应于特征根3=λ的主方向为1:)1(:1::-=Z Y X ，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：
01=-+-z y x
3将0=λ代入（6.5-2）得⎪⎩
⎪
⎨⎧=+--=-+-=--03003Z Y X Z Y X Z Y X
解该方程组得对应于特征根0=λ的主方向为1:2:1::=Z Y X ，这一主方向为二次曲面的奇向。

二次曲面特征根的性质：
定理6.5.1 二次曲面的特征根都是实数。

定理6.5.2 特征方程的三个根至少有一个不为零，因而二次曲面总有一个非奇主方向。

推论 二次曲面至少有一个主径面
作业: 2),4()1(1269P
§6.6 二次曲面方程的化简与分类
本节利用空间直角坐标变换,讨论二次曲面的化简与分类。

一.空间直角坐标变换
设在空间给出了两个由标架{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;决定的右手直角坐标系， 为了叙述方便，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个坐标系叫做新坐标系。

它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标，以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定。

在这里我们先讨论两种特殊的坐标变换，然后研究一般坐标变换
（1） 移轴
设标架{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;的原点O 与O '不同，O '在极坐标系下的坐标为
),,(000z y x ，但是i i ='，j j ='，k k =' ，这时新坐标系可以看成由{}k j i O ,,;平移
到使O 与O '重合而得来，我们把这种情况下的坐标变换叫做移轴。

设P 为空间任意一点，它在{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;下的坐标分别是),,(z y x 与
),,(z y x '''，那么zk yj xi P O ++=
， （1）
k z j y i x k z j y i x P O '+'+'=''+''+''=''
（2）
此外又有k z j y i x O O 000++='
（3）
P O O O P O '+'= （4）
将（1）（2）（3）三式代入（4）得k z z j y y i x x zk yj xi )()()(000+'++'++'=++
所以得⎪⎩
⎪
⎨⎧+'=+'=+'=000
z
z z y y y x x x （6.6-1）
这就是空间直角坐标系的移轴公式。

从（6.6-1）解出),,(z y x '''就得到用旧坐标表示新坐标的坐标变换公式，即移轴的
逆变换公式⎪⎩
⎪
⎨⎧-='-='-='000
z
z z y y y x x x
（2） 转轴
设两个右手标架{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;的原点相同，但坐标向量不同，这时新 坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转，使得k j i ,,分别与k j i ''',,重合得到的，我们把
这种情况下的坐标变换叫做转轴。

具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的交角来 决定，列表如下：
(5)
从表（5）我们知道⎪⎩
⎪
⎨⎧++='++='++='3332221
11cos cos cos cos cos cos cos cos cos γ
βαγβαγβαk j i k k j i j k j i i （6）
设空间任意一点P ，它的旧坐标为),,(z y x ，在新坐标系内的坐标为),,(z y x '''，那么有空间直角坐标变换的转轴公式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧'+'+'='+'+'='+'+'=3213213
21cos cos cos cos cos cos cos cos cos γ
γγβββαααz y x x z y x y z y x x （6.6-3） 转轴的逆变换公式为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧++='++='++='3332221
11cos cos cos cos cos cos cos cos cos γ
βαγβαγβαz y x z z y x y z y x x
（6.6-4） 转轴的正交条件
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=++=++=++=++=++=++0
cos cos cos cos cos cos 0
cos cos cos cos cos cos 0cos cos cos cos cos cos 1
cos cos cos 1cos cos cos 1cos cos cos 3322113
3221133221132221232
2212
322212γαγαγαβγβγγαβαβαβαγγγβββααα （6.6-5） 与⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++=++0cos cos cos cos cos cos 0
cos cos cos cos cos cos 0cos cos cos cos cos cos 1cos cos cos 1cos cos cos 1cos cos cos 1313133
2323221212132323222
2222
121212γγββααγγββααγγββααγβαγβαγβα （6.6-6） 又因为1)()(='''=k j i ijk ，可得（6.6-3）与（6.6-4）的系数行列式
1cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 3
3
3
222
1
113
2
1
321321==γβαγβαγβαγγγβββααα （6.6-7） （3）一般变换公式
设在空间给出了由标架{}k j i O ,,;决定的旧坐标系与由标架{}k j i O '''',,;决定的新坐标系，且O '在旧坐标系的坐标为),,(000z y x ，两坐标系的坐标轴之间的交角由表格（5）决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变换到新坐标系可以分两步来完成，可以先移轴，使原点O 与坐标系的原点O '重合，变成辅助坐标系z y x O ''''''-'。

然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系。

则空间直角坐标变换的一般公式为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧+'+'+'=+'+'+'=+'+'+'=032103210321cos cos cos cos cos cos cos cos cos z
z y x x y z y x y x z y x x γγγβββααα （6.6-8） 上式的逆变换公式是：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-+-='-+-+-='-+-+-='3030302020201
01010cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(γ
βαγβαγβαz z y y x x z z z y y x x y z z y y x x x （6.6-9）
注：它们的系数分别满足正交条件（6.6-5）（6.6-6），它们的系数行列式都等
于1.
二.二次曲面的化简与分类
定理6.6.1 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列五个简化方程 中的一个：
;
0,
0)V (;
0,02)V (;0,0)(;
0,02)(;0,0)(114421124112221122114422221134221123422221133221144233222211≠=+≠=+I ≠=++III ≠=++II ≠=+++I a a x a a a y a x a a a a y a x a a a a z a y a x a a a a a z a y a x a
定理6.6.2 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列十七种标准方程的一种形式：
)(1]
1[22
2222椭球面=++c z b y a x
)(1]2[22
2222虚椭球面-=++c z b y a x
)(0]3[22
2222点或称虚母线二次锥面=++c z b y a x
)(1]4[22
2222单叶双曲面=-+c z b y a x
)(1]5[22
2222双叶双曲面-=-+c z b y a x
)(0]6[22
2222二次锥面=-+c z b y a x
)(2]7[22
22椭圆抛物面z b y a x =+
)(2]8[22
22双曲抛物面z b y a x =-
)(1]9[2
2
22椭圆柱面=+b y a x
)(1]
10[22
22虚椭圆柱面-=+b y a x
)(0]11[22
22共轭虚平面交于一条实直线的一对=+b y a x
)(1]12[22
22双曲柱面=-b y a x
)(0]13[22
22一对相交平面=-b y a x )(2]14[2抛物柱面py x =
)(]15[22一对平行平面a x =
)(]16[22一对平行的共轭虚平面a x -= )(0
]
17[2一对重合平面=x
作业：3,2,1286P
§6.7 应用不变量化简二次曲面的方程
一. 不变量与半不变量
≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++
022224434241423=+++++a z a y a x a yz a (1)
定义: 由(1)式的左端),,(z y x F 的系数组成的一个非常数函数f,如果经过直角坐标
变换（6.6-8），),,(z y x F 变为),,(z y x F ''''时，有),...,,(),...,,(441211
441211a a a f a a a f '''=，那么这个函数f 就叫做二次曲面（1）在直角坐标变换（6.6-8）下的不变量。

如果这个函数f 只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲面（1）在直角坐标变换下的半不变量。

定理 6.7.1 二次曲面（1）在空间直角坐标变换下，有四个不变量4321,,,I I I I 与两个半
不变量21,K K ，即
3322111a a a I ++=
33
2323
22
3313
1311
22
12
12112a a a a a a a a a a a a I ++=
33
23
13232212
13
1211
3a a a a a a a a a I = 44342414
34332313
24
232212
14131211
4a a a a a a a a a a a a a a a a I =
,44
34
34
3344
24
242244
14
14111a a a a a a a a a a a a K +
+=
44
34
24
343323
24232244
34
14
34331314131144
24
14
242212
141211
2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++= 推论 在直角坐标变换下，二次曲面的特征方程不变，从而特征根也不变。

定理6.7.2 1K 是第V 类二次曲面在直角坐标变换下的不变量，而2K 是第III ， 第Ⅳ与
第Ⅴ二次曲面在直角坐标变换下的不变量。

二. 二次曲面五种类型的判别
定理6.7.3 如果给出了二次曲面（1），那么用不变量来判别曲面（1）为何种类型的充要条件是：
第I 类曲面：03≠I ； 第II 类曲面：;0,043≠=I I 第III 类曲面：;0,0,0243≠==I I I 第IV 类曲面：;0,0,0,02243≠===K I I I 第V 类曲面：;0,0,0,02243====K I I I 三. 应用不变量化简二次曲面的方程
我们应用二次曲面（1）的四个不变量4321,,,I I I I 与两个半不变量21,K K 来化简二
次曲面（1）的方程。

10 03≠I .这时曲面（1）是第I 类曲面，它的简化方程为
0,0332211
44233222211
≠'''='+''+''+''a a a a z a y a x a 所以332211
11a a a I I '+'+'='= 332233112211
33
22331122
112
200
000
a a a a a a a a a a a a I I ''+''+''=''+
''+''='= 332211
33
2211
3
30
000
a a a a a a I I '''='''='= 二次曲面（1）的特征方程是032213=+-+-I I I λλλ，所以根据根与系数的关
系立刻可知二次曲面的三个特征根为33322211
1,,a a a '=''=''='λλλ。

又因为44344332211
44
3322114
40
0000000
00
a I a a a a a a a a I I '=''''=''''='= .所以3
4
44I I a ='，因此第I 类曲面的简
化方程可以写成03
4
2
32221=+
'+'+'I I z y x λλλ （6.7-1） 这里321,,λλλ为二次曲面（1）的三个特征根。

20 0,043≠=I I .这时曲面（1）是第II 类曲面，它的简化方程为
0,02342211
34222211
≠'''=''+''+''a a a z a y a x a 第II 类曲面的简化方程也可以写成,022
4
2221='-
±'+'z I I y x λλ（6.7-2），这里
21,λλ为二次曲面（1）的两个不为零的特征根。

30 ;0,0243≠==I I I 这时曲面（1）是第III 类曲面，它的简化方程为
0,02211
44222211
≠''='+''+''a a a y a x a 第III 类曲面的简化方程也可以写成,02
2
2221=+
'+'I K y x λλ（6.7-3），这里21,λλ为
二次曲面（1）的两个不为零的特征根。

40 ;0,02243≠===K I I I 这时曲面（1）是第IV 类曲面，它的简化方程为
0,022411
24211
≠''=''+''a a y a x a 第IV 类曲面的简化方程也可以写成,021
2
21='-
±'y I K x I （6.7-4）。

50 ;02243====K I I I 这时曲面（1）是第V 类曲面，它的简化方程为
0,011
44211
≠'='+''a a x a 第IV 类曲面的简化方程也可以写成,01
1
21=+
'I K x I （6.7-4）。

定理6.7.5 如果给出了二次曲面（1），那么用它的不变量来判断一直曲面的条件是：
[1]椭球面：;0,0,,04312<>>I I I I [2]虚椭球面：;0,0,,04312>>>I I I I
[3]点（或虚母线二次锥面）：;0,0,,04312=>>I I I I [4]单叶双曲面：;0),0(0,043123>≤≤≠I I I I I 或 [5]双叶双曲面：;0),0(0,043123<≤≤≠I I I I I 或 [6]二次锥面：;0),0(0,043123=≤≤≠I I I I I 或 [7]椭圆抛物面：;0,043<=I I [8]双曲抛物面：;0,043>=I I
[9]椭圆柱面：;0,0,021243<>==K I I I I [10]虚椭圆柱面：;0,0,021243>>==K I I I I
[11]交于一条实直线的一对共轭虚平面：;0,02243>===I K I I [12]双曲柱面：;0,0,02243≠<==K I I I [13]一对相交平面：;0,02243<===I K I I [14]抛物柱面：;0,02243≠===K I I I
[15]一对平行平面：;0,012243<====K K I I I
[16]一对平行的共轭虚平面： ;0,012243>====K K I I I [17]一对重合平面：.012243=====K K I I I 作业：10,6,3,11P。