第六章 二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论

教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.

研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.

教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念

二次曲面: 在空间,由三元二次方程

022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）

所表示的曲面.

虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点

二次曲面的一些记号

≡

),,(z y x F 44

342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡

242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡

yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ

z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ

z a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ

即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++

),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ

二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=4434

24

14

3433231324232212

14131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=*

3323

13

232212

131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，

),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。

3322111a a a I ++= 33

23

23

22

33131311

2212

12112a a a a a a a a a a a a I ++=

33

23

13

23221213

1211

3a a a a a a a a a I = 44

34

24

14

34

33231324

23221214

131211

4a a a a a a a a a a a a a a a a I =

,44

34

34

33

44

24

242244

141411

1a a a a a a a a a a a a K ++=

44

34

24

343323

24232244

34

14

34331314131144

24

14

242212

141211

2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++=

§6.1 二次曲面与直线的相关位置

≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++

44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)

与过点),,(000z y x 的直线⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=+=Zt

z z Yt y y Xt x x 000 (2)

将(2)代入(1)得

[]0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X （3）

现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:

1.0),,(≠ΦZ Y X ,这时方程（3）是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：

[]),,(),,(),,(),,(),,(0002

000300020001z y x F Z Y X z y x ZF z y x YF z y x XF Φ-++=∆

10 0>∆,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点; 20 0=∆,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点; 30 0<∆,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点 2.0),,(=ΦZ Y X

10 0),,(),,(),,(000300020001≠++z y x ZF z y x YF z y x XF ,直线与二次曲面有唯一交点;

20 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,但0),,(000≠z y x F 直线与二次曲面无交点

30 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,且0),(00=y x F ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.