九年级数学上册特殊平行四边形测试题青岛版

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山东省青岛市39中九年级数学上册第一章特殊平行四边形检测题

山东省青岛市39中九年级数学上册第一章特殊平行四边形检测题考试时间： 120 分钟本卷须知：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;一、选择题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕1.如图，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，OA=2，∠AOC=60∘，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C区分落在这个坐标平面内的B′和C′处，且∠C′DB′= 60∘，某正比例函数图象经过B′，那么这个正比例函数的解析式为〔〕A.y=−√32x B.y=−√33xC.y=−12x D.y=−x2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，那么菱形边长AB等于〔〕A.10B.√7C.5D.63.以下哪种四边形的两条对角线相互垂直平分且相等〔〕A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形4.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长区分为2和4，∠A=120∘，那么图中阴影局部的面积是〔〕A.√3B.94√3 C.2√3 D.3√25.以下性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是〔〕A.对角线相互平分B.对角线相互垂直C.对角线相等D.对边平行6.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO=4，BO=3，那么菱形的边长AB等于〔〕A.10B.√7C.6D.57.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，那么菱形ABCD的面积是〔〕A.24B.26C.30D.488.如图，菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，那么该菱形的面积为〔〕A.50B.25C.252√3 D.12.59.菱形OACB在平面直角坐标系中位置如下图，点C的坐标是(8, 0)，点A的纵坐标是1，那么点B的坐标是〔〕A.(4, 1)B.(4, −1)C.(1, 4)D.(1, −4)10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，BC=5，AE⊥BC于点E，那么AE的长等于〔〕A.5B.125C.245D.185二、填空题〔共 8 小题，每题 3 分，共 24 分〕11.如图，四边形ABCD是边长为4cm的菱形，∠BAD=60∘，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，事先∠EOD=30∘，CE的长是________．12.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，那么菱形的边长AB=________．13.在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，假定四边形OABC为菱形，那么弦AC所对的弧长等于________cm．14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，那么OE的长等于________．15.菱形的两条对角线区分是6cm，8cm，那么菱形面积为________．16.在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，那么菱形ABCD的面积为________．17.如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，E、F区分是AB、AD的中点，假定EF=3，那么菱形ABCD的边长是________．18.在菱形ABCD中，E，F区分是AD，BD的中点，假定EF=2，那么菱形ABCD的周长是________．三、解答题〔共 7 小题，每题 10 分，共 70 分〕19.△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45∘，将△ABC绕点A按顺时针旋转α失掉△AEF，衔接BE，CF，它们交于D点，①求证：BE=CF．②当α=120∘，求∠FCB的度数．③当四边形ACDE是菱形时，求BD的长．20.如下图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120∘，△AEF为正三角形，点E、F区分在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．(1)证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，讨论四边形AECF的面积能否发作变化？假设不变，求出这个定值；假设变化，求出最大〔或最小〕值．21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12．(1)求菱形ABCD的周长；(2)过点O作OE⊥AB于点E，求sin∠BOE的值．22.如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE // AC，CE // BD，衔接OE．求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE=BC．23.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为对角线的正方形AEBF，点E、F在小正方形的顶点上；(2)在方格纸中画出以CD为一边的菱形CDMN，点M、N在小正方形的顶点上，且菱形面积为8；请直接写出△EFN的面积．24.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延伸线上，且PA=PE，PE交CD于F．〔1〕证明：PC=PE；〔2〕求∠CPE的度数；〔3〕如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，事先∠ABC=120∘，衔接CE，试探求线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．25.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45∘，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转失掉的，衔接BE、CF相交于点D．(1)求证：BE=CF；(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．答案1.B2.C3.D4.A5.C6.D7.A8.B9.B10.C11.√2112.513.2πcm或4π14.415.24cm2．16.3017.618.1619.①证明：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α失掉△AEF，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴AB=AC=AE=AF，∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，在△AEB和△AFC中，{AE=AF∠EAB=∠FAC AB=AC，∴△AEB≅△AFC，∴BE=CF；②解：∵α=120∘，∴∠FAC=120∘，而AF=AC，∴∠ACF=30∘，∵AB=AC，∠BAC=45∘，∴∠ACB=67.5∘，∴∠BCF=67.5∘−30∘=37.5∘；③解：∵四边形ACDE是菱形，∴AC // DE，DE=AE=AC=1，∴∠ABE=∠BAC=45∘，而AE=AB，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=√2AB=√2，∴BD=BE−DE=√2−1．20.(1)证明：衔接AC，如以下图所示，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120∘，∠1+∠EAC=60∘，∠3+∠EAC=60∘，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120∘，∴∠ABC=60∘，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60∘，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，{∠1=∠3AB=AC∠ABC=∠4，∴△ABE≅△ACF(ASA)．∴BE=CF；(2)解：四边形AECF的面积不变．理由：由(1)得△ABE≅△ACF，那么S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，那么BH=2，S四边形AECF=S△ABC=12BC⋅AH=12BC⋅√AB2−BH2=4√3．21.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=8，BO=BD=12BD=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=2+BO2=10，∴菱形ABCD的周长=4AB=40；(2)∵菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=96，∴△AOB的面积=14×96=24，∴OE=8×610=4.8，∴BE=3.6，∴sin∠BOE=BEOB=35．22.证明：(1)∵DE // AC，CE // BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD=90∘，∴四边形OCED是矩形；(2)∵四边形OCED是矩形，∴OE=CD，又∵菱形ABCD中，BC=CD，∴OE=BC．23.解：(1)如图，正方形AEBF即为所求；(2)如图，菱形CDMN即为所求．24.〔1〕证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45∘，在△ABP和△CBP中，{AB=BC∠ABP=∠CBP PB=PB，∴△ABP≅△CBP(SAS)，∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；〔2〕由(1)知，△ABP≅△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD〔对顶角相等〕，∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠E，即∠CPF=∠EDF=90∘；〔3〕在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60∘，在△ABP和△CBP中，{AB=BC∠ABP=∠CBP PB=PB，∴△ABP≅△CBP(SAS)，∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD〔对顶角相等〕，∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180∘−∠ADC=180∘−120∘=60∘，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．25.(1)证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转失掉的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45∘，∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，∴△ABE≅△ACF，∴BE=CF；(2)解：∵四边形ABDF为菱形，∴DF=AF=2，DF // AB，∴∠1=∠BAC=45∘，∴△ACF为等腰直角三角形，∴CF=√2AF=2√2，∴CD=CF−DF=2√2−2．。

(北师大版)青岛市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试(有答案解析)

一、选择题1．正方形具有而矩形没有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．每条对角线平分一组对角C ．对角线相等D ．对边相等2．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a 的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，那么点2021A 的坐标是（）A ．22,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．22,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．22,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE 的值为（）A ．512B ．725C ．718D ．5245．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．32B．19C．25D．266．下列命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．平行四边形的对角线平分且相等D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形AC BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长7．如图，公路,M C两点间的距离为（）为4.8km，则,A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km8．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形；B．有三个角是直角的四边形是矩形；C．对角线相等的四边形是矩形；D．对角线互相平分的四边形是矩形；9．给出下列命题，其中错误命题的个数是（）①四条边相等的四边形是正方形；②四边形具有不稳定性；③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一组对边平行的四边形是平行四边形．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠∠=，则AED=25CBF︒A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°11．已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的周长为（）A ．30B ．20C ．15D ．1212．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．3二、填空题13．如图，正方形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上，若BEF EBC ∠=∠，3AB AE =，则下列结论：①DF FC =；②AE DF EF +=；③45ABE CBF ∠+∠=︒；④::3:4:5DF DE EF =；其中结论正确的序号有_____．14．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．15．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．16．如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB=AC =4，P 为AB 边上一动点，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为___________．17．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若4AB =，7BC =．则图中阴影部分的面积为__________．18．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l 的正方形OABC ，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB l 为边作第三个正方形OB l B 2C 2，照此规律作下去，则点B 2020的纵坐标为_______．19．如图，将一个长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，若2,4AB AD ==，则线段DF 的长是_________．20．如图所示，长方形ABCD 由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 构成．若长方形ABCD 的面积为6，则三角形ABE 的面积为 ______，正方形EFGH 的面积为______．三、解答题21．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系（不要求证明）；（2）如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动过程中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．22．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．23．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上一点，以点A 为中心把ADE ∆顺时针旋转90︒．（1）在图中画出旋转后的图形；（2）若旋转后E 点的对应点记为M ，点F 在BC 上，且45EAF ︒∠=，连接EF ． ①求证：AMF AEF ∆≅∆；②若正方形的边长为6，35AE =，求EF ．24．如图，长方形OBCD 的OB 边在x 轴上，OD 边在y 轴上，OB=15，OD=9，在BC 上取一点E ，使△CDE 沿DE 折叠后，点C 落在x 轴上，记作点F ．（1）求点F 的坐标；（2）求点E 的坐标．25．如图所示，平行四边形,ABCD 对角线BD 平分ABC ∠；()1求证：四边形ABCD 为菱形；()2已知AE BC ⊥于E ，若24CE BE ==，求BD ．26．如图在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系．，请判断（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN BMOMN的形状，并证明你的结论．（3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积是否发生变化？说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．【详解】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意，B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意，C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意，D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．2．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．C解析：C【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴A （0，a ），∵将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，∴A 122,)22a a ，A 2（a ，0），A 322,)22a a ，A 4（0，-a ）…，发现是8次一循环，∵2021÷8=252…5，∴点A2021的坐标为,22a⎛⎫--⎪⎝⎭，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．4．C解析：C【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4，AO⊥BO，∴BC5，∵S菱形ABCD＝12AC•BD＝BC×AE，∴AE＝16825⨯⨯＝245．在Rt△ABE中，BE75，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣75＝185，∴775==18185BECE的值为718，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．5．B解析：B【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC ＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABGF 是正方形，∴∠FAB ＝∠AFG ＝∠ACB ＝90°，∴∠FAC ＋∠BAC ＝∠FAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠FAC ＝∠ABC ，在△FAM 与△ABN 中，90F NAB FAM ABN AF AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAM ≌△ABN （AAS ），∴S △FAM ＝S △ABN ，∴S △ABC ＝S 四边形FNCM ，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∵AC ＋BC ＝6，∴（AC ＋BC ）2＝AC 2＋BC 2＋2AC•BC ＝36，∴AB 2＋2AC•BC ＝36，∵AB 2﹣2S △ABC ＝10.5，∴AB 2﹣AC•BC ＝10.5，∴3AB 2＝57，解得AB故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键．6．D解析：D【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；D 、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．B解析：B【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝12AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4km，故选：B．【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝12AB是解此题的关键．8．B解析：B【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．【详解】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选B．【点睛】此题考查矩形的判定与性质，解题关键在于掌握矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．9．C解析：C【分析】利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．【详解】①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；②四边形具有不稳定性，故②正确；③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA ，不能判定全等，故③错误；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；综上，错误的命题有①③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．10．C解析：C【分析】先证明△ABE ≌△ADE ，得到∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°，在△ADE 中利用三角形内角和180°可求∠AED 度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ＝45°．又AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE （SAS ）．∴∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED ＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选C ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．11．B解析：B【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，4AO =，3BO =，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，118422AO AC ==⨯=，116322BO BD ==⨯=；在直角△ABO 中，由勾股定理，得 22435AB ,∴菱形的周长为：4520⨯=；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题．12．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【详解】解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴S△ABC=12BC•AP＝12AB•AC，∴12×10AP＝12×6×8，∴AP最短时，AP=245，∴当AM最短时，AM=12AP=125=2.4．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．二、填空题13．①②③④【分析】设正方形的边长为3假设F为DC的中点证明进而证明PE=PB 可得假设成立故可对①进行判断；由勾股定理求出EF 的长即可对②进行判断；过点E 作EH ⊥BF 利用三角形BEF 的面积求出EH 和BH解析：①②③④【分析】设正方形的边长为3，假设F 为DC 的中点，证明Rt Rt EDF PCF ∆≅∆进而证明PE=PB 可得假设成立，故可对①进行判断；由勾股定理求出EF 的长即可对② 进行判断；过点E 作EH ⊥BF ，利用三角形BEF 的面积求出EH 和BH 的长，判断△BEH 是等腰直角三角形即可对③进行判断；根据DE ，DF ，EF 的长可对④进行判断；【详解】如图，设正方形ABCD 的边长为3，即3AB BC CD DA ====，3AB AE =，1AE ∴=，2DE =，①假设F 为CD 的中点，延长EF 交BC 的延长线于点P ，在Rt EDF ∆和Rt PCF 中90DF CF EFD PFC D PCF =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=︒⎩Rt Rt EDF PCF ∴∆≅2PC DE ∴== 由勾股定理得，2235222EF PF ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 5PE EF PF ∴=+=，325BP BC PC =+=+=，PE PB ∴=，PEB PBE ∴∠=∠，故假设成立，DF FC ∴=，故①正确；②1AE =，32DF =， 35122AE DF ∴+=+=，而52EF =， AE DF EF ∴+=，故②正确；③过E 和EHBF ⊥，垂足为H ， ∵154BEF S =，又2BF BC ==11524BEF S EH BF ∴=⋅⋅=，EH ∴=在Rt EHF 中，EH =52EF =，2HF ∴=BH ∴=在t R ABE 中，1AE =，3AB =BE ∴=而222+=222BH EH BE ∴+=BHE ∴是等腰直角三角形，45EBF ∴∠=︒，9045ABE CBE EBF ∴∠-∠︒+∠==︒，故③正确； ④32DF =，2DE =，52EF = ::3:4:5DF DE EF ∴=，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设出AB=3是解答此题的关键．14．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．15．【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分的性质得到点B 的对称点为点D 再由两点之间线段最短解得的最小值再根据题意判定是等边三角形结合三线合一及勾股定理解题【详解】如图连接BD 交AC 于点O 连接DM 交点AC 于解析：3 【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到点B 的对称点为点D ，再由两点之间线段最短解得MP PB +的最小值，再根据题意判定ADM △是等边三角形，结合三线合一及勾股定理解题．【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接DM 交点AC 于点P ，连接BP ，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且OB=OD 即点B 关于AC 的对称点是点D ，PD PB ∴=MP PB MP DP DM ∴+=+=此时MP PB +值的最小,AB=AD ，60BAD ∠=︒，ADB ∴是等边三角形，点M 是AB 边的中点，AB DM ∴⊥，1AM ∴=22213DM ∴=-=．【点睛】本题考查菱形的性质、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．【分析】以PAPC 为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O 是AC 中点PQ 最短也就是PO 最短所以应该过O 作AB 的垂线PO 然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值【详解】解：∵四边形A 解析：22 【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作A B 的垂线PO ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：∵四边形APCQ 是平行四边形，∴AO=CO ，OP=OQ ，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过点O 作OP´⊥AB 于P´，∵∠BAC=45°∴∠AP´O 是等腰直角三角形，∴222,P A P O AO P A P O ''''==+∵AO=12AC=2， ∴OP´=222AO = ∴PQ 与AB 垂直时，PQ 最小，最小值为PQ= 2OP´= 22故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形.17．【分析】根据三角形面积公式可知图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=7设两个阴影部分三角形的底为ADBC 高分别为h1h2则h1+h2=AB ∴解析：14【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=7，设两个阴影部分三角形的底为AD ，BC ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2=AB ，∴S △ADE +S △BCE =12AD•h 1+12BC•h 2=12AD （h 1+h 2）=12AD•AB ， ∴147142S =⨯⨯=阴影；故答案为：14．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC 边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B 7、B 8、B 9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B 2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC 边长为1，∴，∵正方形OBB 1C 1是正方形OABC 的对角线OB 为边，∴OB 1=2，∴B 1点坐标为（0，2），同理可知OB 2，B 2点坐标为（-2，2），同理可知OB 3=4，B 3点坐标为（-4，0），B 4点坐标为（-4，-4），B 5点坐标为（0，-8），B 6（8，-8），B 7（16，0）B 8（16，16），B 9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B 2020的纵横坐标符号与点B 4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B 2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．19．【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得【详解】解：∵长方形纸片∴根据折叠的性质可得设根据勾股定理即解得故答案为：【点睛】本题考查折叠与勾股定理能正确表示直角三角形的三边是解题关键解析：32【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF ．【详解】解：∵长方形纸片ABCD ，∴2CD AB ==，90C ∠=︒，根据折叠的性质可得'2AD CD AB ===，90AD F C '∠=∠=︒，D F DF '=，设D F DF x '==，4AF AD DF x =-=-，根据勾股定理D F AD AF ''+=，即()2224x x +=-，解得32x =，故答案为：32．【点睛】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．20．【分析】设EH ＝x 由等腰直角三角形的性质得AB ＝AE ＝BEEH ＝HDGC ＝GDFB ＝CF ∠CGD ＝∠BFC ＝90°则HD ＝xGC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2xFB ＝CF ＝3xCD ＝CG ＝2xBC ＝FB ＝3 解析：12【分析】设EH ＝x ，由等腰直角三角形的性质得AB ＝AE ＝2BE ，EH ＝HD ，GC ＝GD ，FB ＝CF ．∠CGD ＝∠BFC ＝90°，则HD ＝x ，GC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2x ，FB ＝CF ＝3x ，CD CG ＝x ，BC FB ＝x ，由矩形ABCD 的面积得出方程，得出x 2＝12，x ＝2，进而得出答案．【详解】解：设EH ＝x ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ＝x ，∵△ABE 、△EHD 、△CGD 、△BCF 是等腰直角三角形，∴AB ＝AE ＝2BE ，EH ＝HD ，GC ＝GD ，FB ＝CF ．∠CGD ＝∠BFC ＝90°， ∴HD ＝x ，∴GC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2x ，∴FB ＝CF ＝3x ，在等腰Rt △CGD 和等腰Rt △BCF 中，CD CG ＝x ，BC ＝x ， ∴x ＝6，则x 2＝12，解得：x ＝（负值舍去），∴x∴EF ＝2，FB ＝2， ∴BE ＝FB ＋EF ＝，∴AB ＝2BE ＝2， ∴△ABE 的面积＝12AB×AE ＝12×2×2＝2；正方形EFGH 的面积＝x 2＝12；故答案为：2；12．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和勾股定理是解题的关键．三、解答题21．（1） OA OB OC ==；（2）等腰直角三角形，见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B ＝∠C ＝45°＝∠BAO ＝∠CAO ，根据SAS 证△BOM ≌△AON ，推出OM ＝ON ，∠AON ＝∠BOM ，求出∠MON ＝90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可．【详解】解：（1）点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系是B OA O OC ==．（2）OMN 的形状是等腰直角三角形．证明如下：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点，OA OB OC ∴==，AO 平分BAC ∠，AO BC ⊥，90AOB ∠=︒∴，45B C ∠=∠=︒，45BAO CAO ∠=∠=︒，CAO B ∠=∠．在BOM 和AON 中，AN BM =，CAO B ∠=∠，OA OB =，()BOM AON SAS ∴△≌△，OM ON ∴=，AON BOM ∠=∠．90AOB BOM AOM ∠=∠+∠=︒，90AON AOM ∴∠+∠=︒，即90MON ∠=︒，OMN ∴是等腰直角三形．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，考查了学生运用定理进行推理的能力．22．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可；（3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得DE ==【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DHEA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =． 90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=，故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．23．（1）作图见解析；（2）①证明见解析；②5EF =．【分析】（1）在CB 的延长线上截取BM=DE ，再连接AM 即可．（2）①由旋转性质可得90AM AE MAE ︒=∠=，．由45EAF ︒∠=，可证明MAF EAF ∠=∠，即可用“边角边”证明AMF AEF ≌．②由①得EF MF =，即可证明EF BF DE =+．在Rt ADE △中利用勾股定理可求出DE 长，即得到CE 长．设EF x =，则3BF x =-，9CF x =-．在Rt CEF 利用勾股定理可列出关于x 的方程，求出x 即可．【详解】（1）如图，ABM 为所作；（2）①如图，连接EF ．∵四边形ABCD 是正方形，90BAD ︒∴∠=， ADE 点A 顺时针旋转90︒得到ABM ，90AM AE MAE ︒∴=∠=，，又45EAF ︒∠=，MAF EAF ∴∠=∠，在AMF 和AEF 中，AM AE MAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMF AEF SAS ∴≌．②AMF AEF ≌，EF MF ∴=，即EF MF BM BF ==+，而BM DE =，EF BF DE ∴=+，在Rt ADE △中，3DE ===，633CE CD DE ∴===-=，设EF x =，则3BF x =-，()639CF x x ∴=--=-．在Rt CEF 中，222+=CF CE EF ，即()22293x x -+=，解得：5x =．即5EF =．【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形全等的判定和性质，正方形的性质以及勾股定理．掌握判断三角形全等的判定条件和利用勾股定理解三角形是解答本题的关键．24．（1）点F(12，0)；（2）点E(15，4) ．【分析】（1）由四边形OBCD 是长方形可得CD=OB=15、BC=OD=9、∠DOB=∠OBC=900，由折叠的性质可得DF=CD=15，然后运用勾股定理求得OF ，即可确定F 点的坐标；（2）运用线段的和差可得BF=OB-OF=3，再由折叠的性质可得CE=EF, 设BE=x ，则CE= =9-x ，然后运用勾股定理求得x 即可解答．【详解】解：（1）∵四边形OBCD 是长方形∴CD=OB=15，BC=OD=9，∠DOB=∠OBC=900由折叠△CDE 得△FDE 可知：DF=CD=15∴12OF ===∴点F （12，0）；（2）由（1）得OF=12∴BF=OB-OF=15-12=3由折叠可知：CE=EF设BE=x ，则CE=EF=BC-BE=9-x∴()22293x x -=+，解得x=4 ∴点E （15，4）．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．25．（1）证明见解析；（2）BD =【分析】（1）由角平分线的定义得ABD CBD ∠=∠，再证明CDB CBD ∠=∠，从而得BC DC =，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明出四边形ABCD 是菱形；（2）分别求出BE EC BC AB AE AC 、、、、、，再根据菱形的面积等于平行四边形的面积求解即可．【详解】解：（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AB CD∴CDB ABD ∠=∠∴CDB CBD ∠=∠∴BC DC =∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC ，如图，∵ABCD 是菱形∴3BC AB BE EC BE ==+=又∵24BE EC ==∴2BE =∴246BC BE EC AB =+=+==又AE BC ⊥ ∴22226242AE AB BE =-=-=2222(42)443AC AE EC =+=+= ∴642242ABCD S BC AE =⨯=⨯= 而242ABCD ABCD S S==菱形 ∴114324222BD AC BD ⨯=⨯= ∴6BD =【点睛】此题主要考查了菱形的性质与判定，关键是掌握菱形的判定定理．26．（1）OA OB OC ==；（2）OMN 是等腰直角三角形，证明见解析；（3）四边形AMON 的面积不变，理由见解析【分析】（1）连接OA ，由O 为BC 的中点可得OC OB =，由直角三角形斜边上的中线的性质可得12 OABC=，即可得OA OB OC==．（2）由（1）不难证明45CAO B∠=∠=︒，结合已知条件进而证明OAN≌OBM，即可得OM ON=，NOA MOB∠=∠，即90NOM AOB∠=∠=︒，所以OMN是等腰直角三角形．（3）由（2）可得OANS=OBMS，进而将四边形AMON的面积转化为AOB的面积，AOB的面积保持不变，故四边形AMON的面积保持不变．【详解】（1）连接OA，Rt ABC△中，O为BC的中点，∴12OA BC=，OC OB=，∴122OA OB OB=⨯⨯=，∴OA OB OC==．（2）OMN是等腰直角三角形，证明如下：AB AC=，O为BC的中点，∴AO BC⊥，∴90AOB∠=︒，OA OB OC==，∴45CAO B∠=∠=︒，在OAN与OBM中，OA OBCAO BAN BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OAN≌OBM，∴OM ON=，NOA MOB∠=∠，∴90NOM AOB∠=∠=︒，∴OMN是等腰直角三角形．（3）四边形AMON的面积保持不变，理由如下：由（2）可得：OANS=OBMS，∴OAN AOM OBM AOM AOB AMON S S S S S S =+=+=四边形． AOB 的面积保持不变∴四边形AMON 的面积保持不变．【点睛】本题主要考查直接三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质定理并灵活运用是解题关键．。

(北师大版)青岛市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(含答案解析)

一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（）A ．10B ．5C ．103D ．533．如图，已知菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为（）A ．(3,3-B ．(1,3--C ．2,3D ．33,22⎛-- ⎝⎭4．如图，以ABC 的每一条边为边作三个正方形．正方形ABIH 的顶点H 恰好在ED 边上，记DHK △的面积为1S ，AHE 的面积为2S ，ABC 的面积为3S ，四边形CJIK 的面积为4S ，四边形BFGJ 的面积为5S ．若12534S S S S S ++=+，则3S 与4S 的大小关系式成立的是( )A ．34S S >B ．34S S =C ．34S S <D ．无法判断 5．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（）A ．4B ．23C ．2D ．16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至E 使BE=CB ，连续AE ．下列结论①AE=2OE ；②90EAC ∠=︒；③四边形ADBE 为平行四边形；④34AEBO ABCD S S =四边形菱形中，正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（）A ．2622-B ．62-C ．6D ．28．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（）A ．332B ．3217C ．7D ．139．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点,О下列结论正确的是（）A ．COD AOB S S ∆= B ．AC BD =C ．AC BD ⊥D ．ABCD 是轴对称图形 10．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（）A 6B 7C ．3D ．511．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB ∆为直角三角形时，BE 的长为（）A ．3B ．32C ．2或3D ．3或3212．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF二、填空题13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 的中点，连接CD ．若BC ＝5，CD ＝3，则AC ＝______．14．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．15．如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB=AC =4，P 为AB 边上一动点，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为___________．16．如图，矩形ABOC 的顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴上，顶点A 在第一象限，点B 的坐标为（3，0），将线段OC 绕点O 顺时针旋转60°至线段OD ，若反比例函数k y x= （k ≠0）的图象进过A 、D 两点，则k 值为_____．17．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (4，1)在AB 边上，把△CDB 绕点C 旋转90°，点D 的对应点为点D ′，则OD ′的长为_________．18．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．19．矩形的一条边长为2cm ，且两条对角线夹角为60︒，则矩形的周长为____． 20．如图，在矩形ABCD 中，5,6AB BC ==，点,M N 分别在,AD BC 上，且11,33AM AD BN BC ==，E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将DCE 沿DE 所在直线翻折得到'DC E ，当点'C 恰好落在直线MN 上时，CE 的长为________．三、解答题21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//DE BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接,BE DF ．若BE DE =，求证：四边形EBFD 是菱形．22．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ， F ．（1）求证：BE=CF ．（2）若∠AOB=60°，AB=8，求矩形的面积．23．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB AD CB CD ==，，判断四边形ABCD 是否为垂美四边形，并说明理由；（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD 中探究2AB 、2BC 、2CD 、2AD 之间的数量关系；（3）解决问题：如图3，分别以Rt △ABC 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFD 和正方形ABGE ，连接BD 、CE 、DE ，CE 分别交AB 、BD 于点M 、N ，若AB ＝2，AC ＝3，求线段DE 的长．24．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．（1）若点D 在线段BC 上，如图（1），判断：线段BC 与线段CG 的数量关系，位置关系；（2）如图（2），①若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中判断线段BC 与线段CG 的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；②当G 为CF 中点，BC ＝2时，求线段AD 的长．25．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，5AD =，点E 为BC 上一点，将ABE △沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处，连接DF ，且3DF =，求AFD ∠的度数和BE 的长．26．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ∥CD ，AB=CD ，且OA=OD ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）DF ⊥AC 于点F ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，设EC=x ，由勾股定理就可以表示出BE 与EF ，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ．故①正确；∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．故③正确；设EC=x ，由勾股定理，得，CG=2x ，x ∴x ∴AB=12x ∴x x x -= ∴BE+DF=)1x=EF 故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．2．B解析：B【分析】作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12DCG EDC S S =△△，最后根据12EDC S CD EF =△求解即可．【详解】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，∴AE=BE=DE ，∵CD =AE ，CD =5，∴AB=2AE =10，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：22AD AB BD =-， ∴AD =8，作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线，∴142EF AD ==，又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =△△， ∵11541022EDC S CD EF ==⨯⨯=△， ∴11052DCG S =⨯=△，故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．3．D解析：D【分析】过A 作AE ⊥OC 于E ，由菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，求出A（1，3）坐标，由点D 为AC 中点，可求D （132，），由458=360︒⨯︒，转8次回到原位置，菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，2020445=45252+88⎛⎫︒⨯︒ ⎪⎝⎭，相当于旋转454=180︒⨯︒，菱形旋转180°。

山东省青岛市39中2021年九年级数学上册第一章特殊平行四边形检测题

山东省青岛市39中2021年九年级数学上册第一章特殊平行四边形检测题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，菱形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B 、C 在第一象限，2OA =，60AOC ∠=，点D 在边AB 上，将四边形ODBC 沿直线OD 翻折，使点B 和点C 分别落在这个坐标平面内的'B 和'C 处，且''60C DB ∠=，某正比例函数图象经过'B ，则这个正比例函数的解析式为（）A ．y x =B ．y x =C ．12y x =-D ．y x =- 2．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，则菱形边长AB 等于（）A ．10BC ．5D ．63．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（）A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．正方形4．如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和4，120A ∠=，则图中阴影部分的面积是（）A B C ．D ．5．下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO=4，BO=3，则菱形的边长AB等于（）A．10 B．√7C．6 D．57．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，则菱形ABCD 的面积是（）A．24 B．26 C．30 D．48BD=，则该菱形的面积为（）8．如图，菱形ABCD的对角线5AC=，10A．50 B．25 C D．12.58,0，点A的纵坐9．菱形OACB在平面直角坐标系中位置如图所示，点C的坐标是()标是1，则点B的坐标是（）A．(4, 1)B．(4, -1) C．(1, 4)D．(1, -4) 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC 于点E，则AE的长为( )A ．5B ．125C ．245D ．185二、填空题 11．如图，已知四边形ABCD 是边长为4cm 的菱形，60BAD ∠=，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ，当30EOD ∠=时，CE 的长是________．12．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，则菱形的边长AB =________．13．在以O 为圆心3cm 为半径的圆周上，依次有A 、B 、C 三个点，若四边形OABC 为菱形，则弦AC 所对的弧长等于________cm ．14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AB =，E 是AB 的中点，则OE 的长等于________．15．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是㎝2．16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD 的面积为__．17．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若3EF =，则菱形ABCD 的边长是________．18．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长是__．三、解答题19．ABC 中，1AB AC ==，45BAC ∠=，将ABC 绕点A 按顺时针旋转α得到AEF ，连接BE ，CF ，它们交于D 点，①求证：BE CF =．②当120α=，求FCB ∠的度数．③当四边形ACDE 是菱形时，求BD 的长．20．如图所示，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=，AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．()1证明：不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE CF =；()2当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，探讨四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且16AC =，12BD =．()1求菱形ABCD 的周长；()2过点O 作OE AB ⊥于点E ，求sin BOE ∠的值．22．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，//DE AC ，//CE BD ，连接OE ．求证：()1四边形OCED 是矩形；()2OE BC =．23．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．()1在方格纸中画出以AB 为对角线的正方形AEBF ，点E 、F 在小正方形的顶点上；()2在方格纸中画出以CD 为一边的菱形CDMN ，点M 、N 在小正方形的顶点上，且菱形面积为6；请直接写出EFN 的面积．24．如图，ABC 中，2AB AC ==，45BAC ∠=，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE 、CF 相交于点D ．()1求证：BE CF =；()2当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长．参考答案1．B【分析】连接AC ，求出BAC 是等边三角形，推出AC AB =，求出''DC B 是等边三角形，推出''C D B D =，得出''CB BD B C ==，推出''CB BD B C ==，推出A 和D 重合，连接'BB 交x 轴于E ，求出'2AB AB ==，'=60B AE ∠︒，求出'B 的坐标即可求得正比例函数的解析式.【详解】连接AC ，四边形OABC 是菱形，∴CB AB =，60CBA AOC ∠=∠=︒，∴BAC 是等边三角形，∴AC AB =将四边形OABC 沿直线OD 翻折，使点B 和点C 分别落在这个坐标平面的点'B 和'C 处， ∴'BD B D =，'CD C D =，''60DB C ABC ∠=∠=︒，''60B DC ∠=︒，∴''60DC B ∠=︒，∴''DC B 是等边三角形，∴''C D B D =，∴''CB BD B C ==，即A 和D 重合，连接'BB 交x 轴于E ，则'2AB AB ==，()'1801806060B AE ∠=︒-︒-︒=︒，在'Rt AB E 中，'60B AE ∠=︒，'2AB =，∴1AE=，'B E=213OE=+=，即'B的坐标是(3,，设正比例函数的解析式为y kx=，正比例函数图象经过'B，∴正比例函数图象经过'B，∴3k=，∴k=，∴正比例函数图象的解析式为y=.故选：B.【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，由一定的难度.2．C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OA=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，，即菱形ABCD的边长是5．故选：C．【点睛】考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质和勾股定理的应用，熟记菱形的对角线的关系（互相垂直平分）是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形有关对角线的性质进行求解即可得.【详解】A 、矩形的对角线相等且互相平分，故不符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直且互相平分，故不符合题意；C 、平行四边形的对角线互相平分，故不符合题意；D 、正方形的对角线互相垂直平分且相等，故符合题意，故选D.【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 4．A【分析】用两个菱形的面积减去空白部分的面积即可.【详解】如图：作FM ⊥BG ，BN ⊥AD ，∵∠A=120°， ∴∠ABC=60°， ∵菱形ABCD 边长为2，∴由勾股定理可知，FM=∴小菱形的面积为.∴△BGF 的面积=1FM 2⨯⨯(BC +CG )=△ABD 的面积=12AD BN ⨯⨯=△DEF的面积=1122FM EF ⨯⨯⨯=∴阴影部分面积为.【点睛】利用规则图形减去规则图形是解决面积问题的通法.5．C【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案.【详解】菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等.故选：C.【点睛】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练的根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键.6．D【分析】根据菱形的对角线互相垂直得出AC⊥BD，再利用勾股定理列式进行计算即可得解.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AO=4，BO=3，∴AB=√AO2+BO2=5，即菱形ABCD的边长是5.故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键.7．A【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：，∴BD=2OB=8，∴S菱形ABCD =12×AC×BD=12×6×8=24，故选A.8．B【分析】根据：菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2.【详解】S=AC×BD÷2=5×10=25.故选B【点睛】本题考核知识点：求菱形面积.解题关键点：记住菱形面积公式.9．B【分析】首先连接AB交OC于点D，由菱形OACB中，点C的坐标是()8,0，点A的纵坐标是1，即可求得点B的坐标.【详解】连接AB交OC于点D，四边形OACB是菱形，∴AB OC⊥，OD CD=，AD BD=，点C的坐标是()8,0，点A的纵坐标是1，∴8OC=，1BD AD==，∴4OD=，∴点B的坐标为：()41-,.故选：B.【点睛】此题考查了菱形的性质与点与坐标的关系，此题难度不大，注意数形结合思想的应用. 10．C【解析】【分析】在Rt OBC中，根据OC=OC，再利用面积法可得11AE BC BO AC22⨯⨯=⨯⨯，由此求出AE即可．【详解】四边形ABCD是菱形，BD8=，BO DO4∴==，BOC90∠=，在Rt OBC中，OC3=，AC2OC6∴==，ABC 11S AE BC BO AC22∴=⨯⨯=⨯⨯故5AE24=，解得：24 AE5=．故选C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE 的长是解题关键．11【分析】根据菱形的对角线平分一组对角求出30DAO ∠=︒，然后求出90AEF ∠=︒，然后求出AO 的长，再求出EF 的长，然后在Rt CEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解.【详解】四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， ∴11603022DAO BAD ∠=∠=⨯︒=︒， 30EOD ∠=︒，∴903060AOE ∠=︒-︒=︒，∴180180306090AEF DAO AOE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，菱形的边长为4，30DAO ∠=︒， ∴114222OD AD ==⨯=，∴AO ==∴32AE CF ===，菱形的边长为4，60BAD ∠=︒，∴高4EF ==在Rt CEF 中，CE =故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出CEF △是直角三角形是解题的关键.12．5【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解. 【详解】四边形ABCD是菱形，∴12OA AC=，12OB BD=，AC BD⊥，8AC=，6BD=，∴4OA=，3OB=，∴5AB==.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的各种性质是解题的关键.13．2cmπ或4π【分析】连接OB，如图，先利用菱形的性质可判断OAB和OBC都是等边三角形，则60AOB BOC∠=∠=︒，于是可根据弧长公式计算出弦AC所对的劣弧的长，然后利用圆的周长减去弦AC所对的劣弧的长可得到弦AC所对的优弧长.【详解】连接OB，如图，四边形OABC为菱形，∴OA AB BC OC===，∴OAB和OBC都是等边三角形，∴60AOB BOC∠=∠=︒，∴弦AC所对的劣弧的长12032180ππ⋅⋅==，∴弦AC 所对的优弧的长2324πππ=⋅-=，即弦AC 所对的弧长等于2cm π或4cm π.故答案为：2cm π或4π.【点睛】本题考查了弧长公式：圆周长公式：2C R π=；弧长公式：180n R l π⋅⋅=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）.也考查了菱形的性质.14．4【分析】由在菱形ABCD 中，8AB =，E 是AB 的中点，易求得BC 的长，证得OE 是ABC 的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案.【详解】在菱形ABCD 中，8AB =， ∴8BC AB ==，OA OC =，E 是AB 的中点，∴OE 是ABC 的中位线， ∴142OE BC ==. 故答案为：4.【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质，注意证得OE 是ABC 的中位线是关键. 15．24【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=24cm 2，故答案为24．16．30．【详解】∵在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD 的面积为：12AC•BD=30．故答案为30．考点：菱形的性质．17．6【分析】易证ABD △是等边三角形，再根据中位线定理易求BD .【详解】四边形ABCD 菱形，∴AB AD =，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴AE AF =，又60A ∠=︒，∴AEF 是等边三角形，∴AB AD BD ==，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴22236AB AE EF ===⨯=.故答案为：6.【点睛】本题考查了三角形中位线及菱形的性质，比较简单，如果三角形中位线的性质没有记住，还可以利用AEF 与ABD △的相似比为1:2，得出正确结论.18．16【解析】试题分析：先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD 的周长．∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线， ∴AB=2EF=4， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB=BC=CD=DA=4， ∴菱形ABCD 的周长=4×4=16．考点：（1）菱形的性质；（2）三角形中位线定理．19．①证明见解析； ②37.5；1．【分析】①先利用旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则根据“SAS ”证明△AEB ≌△AFC ，于是得到BE=CF ；②利用∠FAC=120°，AF=AC 可得到∠ACF=30°，再利用AB=AC ，∠BAC=45°得到∠ACB=67.5°，然后计算∠BCF ；③利用四边形ACDE 是菱形得到AC ∥DE ，DE=AE=AC=1，则∠ABE=∠BAC=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以，然后计算BE-DE 即可．【详解】解：①证明：∵ABC 绕点A 按顺时针方向旋转角α得到AEF ，∴AE AB =，AF AC =，EAF BAC ∠=∠，∴AB AC AE AF ===，EAF FAB BAC FAB ∠+∠=∠+∠，即EAB FAC ∠=∠，在AEB 和AFC 中，AE AF EAB FAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB AFC ≅，∴BE CF =；②解：∵120α=，∴120FAC ∠=，而AF AC =，∴30ACF ∠=，∵AB AC =，45BAC ∠=，∴67.5ACB ∠=，∴67.53037.5BCF ∠=-=；③解：∵四边形ACDE 是菱形，∴//AC DE ，1DE AE AC ===，∴45ABE BAC ∠=∠=，而AE AB =，∴ABE 为等腰直角三角形，∴BE ==∴1BD BE DE =-=．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．20．（1）见解析；（2）四边形AECF 的面积不变，值为理由见解析【分析】（1）先求证AB AC =，进而求证ABC 、ACD 为等边三角形，得460∠=︒，AC AB =进而求证ABE ACF ≅，即可求得BE CF =；（2）根据ABE ACF ≅可得ABE ACF S S =，故根据AEC ACF AEC ABE ABC AECF S SS S S S =+=+=四边形即可解题.【详解】 ()1证明：连接AC ，如下图所示，∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=，160EAC ∠+∠=，360EAC ∠+∠=，∴13∠=∠，∵120BAD ∠=，∴60ABC ∠=，∴ABC 和ACD 为等边三角形，∴460∠=，AC AB =，∴在ABE 和ACF 中，134AB AC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABE ACF ASA ≅．∴BE CF =；()2解：四边形AECF 的面积不变．理由：由()1得ABE ACF ≅，则ABE ACF S S =，故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S =+=+=四边形，是定值，作AH BC ⊥于H 点，则2BH =，1122ABC AECF S SBC AH BC ==⋅==四边形．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABE ACF ≅是解题的关键，有一定难度.21．（1）40；（2）35 【分析】（1）由已知条件可求出菱形的边长，进而可求出其周长；（2）由AOB 的面积为菱形面积的四分之一，可求出OE 的长，进而可求出sin BOE ∠的值.【详解】解：()1∵四边形ABCD 是菱形，16AC =，12BD =，∴AC BD ⊥，182AO OC AC ===，162BO BD BD ===，在Rt AOB 中，由勾股定理得：10AB ==，∴菱形ABCD 的周长440AB ==； ()2∵菱形ABCD 的面积1962AC BD =⋅=， ∴AOB 的面积196244=⨯=， ∴86 4.810OE ⨯==， ∴ 3.6BE =， ∴3sin 5BE BOE OB ∠==．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，熟记菱形的对角线互相垂直平分和菱形ABCD 的面积12AC BD =⨯⨯是解题关键. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据矩形的定义即可证得；（2）根据平行四边形的对边相等即可证得．【详解】证明：()1∵//DE AC ，//CE BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵菱形ABCD 中，AC BD ⊥，即90COD ∠=，∴四边形OCED 是矩形；()2∵四边形OCED 是矩形，∴OE CD =，又∵菱形ABCD 中，BC CD =，∴OE BC =．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正确理解菱形的几种判定方法是关键． 23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据正方形的性质画出以AB 为对角线的正方形即可；（2）根据菱形的性质及勾股定理画出菱形CDMN 即可，由图可得EFN 的面积.【详解】（1）如图，正方形AEBF 即为所求；（2）如图，菱形CDMN 即为所求.6EFN S =.【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知菱形与正方形的性质及勾股定理是解答此题的关键.24．（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据旋转的性质得2AE AF AB AC ====，45EAF BAC ∠=∠=︒，然后根据“SAS ”证明ABE ACF ≅，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质得2DF AF ==，//DF AB ，再利用平行线的性质得145BAC ∠=∠=︒，则可判断ACF 为等腰直角三角形，所以CF ==，然后计算CF DF -即可.【详解】()1证明：∵AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，∴2AE AF AB AC ====，45EAF BAC ∠=∠=，∴33BAC EAF ∠+∠=∠+∠，即BAE CAF ∠=∠，在ABE 和ACF 中AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ACF ≅，∴BE CF =；()2解：∵四边形ABDF 为菱形，∴2DF AF ==，//DF AB ，∴145BAC ∠=∠=，∴ACF 为等腰直角三角形，∴CF ==，∴2CD CF DF =-=．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了菱形的性质.。

山东省青岛39中度第一学期北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元评估检测(有答案)

20212021学第一学期北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元评估检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，菱形和菱形的边长分别为和，，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.2.下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对边平行3.菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，点的坐标是，点的纵坐标是，则点的坐标是（）A. B. C. D.4.如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，于点，则的长等于（）A. B. C. D.5.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则等于（）A. B. C. D.6.如图，菱形的边长为，，是边的一个三等分点，是对角线上的动点，当的值最小时，的长是（）A. B. C. D.7.如图，在菱形中，，．是边上的一点，，分别是，的中点，则线段的长为（）A. B. C. D.8.如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（）A. B. C. D.9.如图，菱形中，对角线与相交于点，为边的中点，，则的长为（）A. B. C. D.10.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.菱形中，对角线，，则菱形的面积是________，高是________．12.如图，已知四边形是边长为的菱形，，对角线与交于点，过点的直线交于点，交于点，当时，的长是________．13.如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是的中点，则的长等于________．14.如图，为正方形的对角线，延长到，使，以为一边作菱形，若菱形的面积为，则正方形边长________．15.如图，菱形的对角线、相交于点，且，，过点作丄，垂足为，则菱形的面积为________，点到边的距离________．16.如图，在菱形中，是的中点，且，，则________，对角线的长为________．17.如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．18.如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有________．19.如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接，且，则等于________度．20.如图，是菱形对角线上一点，于点，，则点到的距离是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：；当四边形为菱形时，求的长．22.如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边、分别交于点和点．请你判断和的数量关系，并说明理由；过点作交的延长线于点，当，时，求的周长．23.如图，已知、分别是的边、上的点，且．求证：四边形是平行四边形；若，，且四边形是菱形，求的长．24.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．求证：四边形是菱形；若，，求的长．25.菱形中，，点在边上，点在边上．（1）如图，若是的中点，，求证：；（2）如图，若，求证：是等边三角形．26.如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于．（1）证明：；（2）求的度数；（3）如图，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．答案1.A2.C3.B4.C5.B6.A7.C8.D9.C10.A11.12.13.14.15.16.17.18.①④19.20.21.证明：∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的，∴，，，∴，即，∵，∴，∴可由绕点按顺时针方向旋转得到，∴；解：∵四边形为菱形，，∴，，∴，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴．22.解：∵四边形是菱形，∴，，∴，∴．∵四边形是菱形，∴，，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴的周长是：即的周长是．23.证明：∵四边形是平行四边形，∴，且，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形．解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．24.证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，，∵在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形．解：∵四边形是菱形，∴，设长为，则，在中，即，解得：，所以长为．25.证明：（1）连接，∵在菱形中，，∴，，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴是等边三角形．26.（1）证明：在正方形中，，，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）由知，，∴，∴，∵，∴，∴，∵（对顶角相等），∴，即；（3）在菱形中，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴∵（对顶角相等），∴，即，∴是等边三角形，∴，∴．。

山东省青岛26中度第一学期北师大版九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元检测试题

山东省青岛二十六中20212021学第一学期北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角2.正方形具有而矩形不一定具有的特征是（）A.四个角都相等B.四边都相等C.对角线相等D.对角线互相平分3.下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线互相平分且垂直D.对角线互相平分且相等4.如图，下列条件中，能使成为菱形的是（）A. B.C. D.5.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A.一组对角相等且一条对角线平分这组对角B.对角线互相平分C.对角线互相垂直且相等D.对角线相等且互相平分6.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形7.如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（）A. B. C. D.8.中，，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，，，则点到三边、、的距离为（）A.，，B.，，C.，，D.，，9.四边形的对角线、于点，下列各组条件，不能判定四边形是矩形的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，10.下列命题，其中正确命题的个数为（）等边三角形是中心对称图形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相垂直的矩形是正方形；两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A.个B.个C.个D.个二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如图，在边长为的正方形中，是对角线上一点，于，于，则________．12.两张宽矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分（图中的阴影部分）的四边形的形状为________，其面积的最小值为________．13.已知正方形的边长为，则该正方形的边长与对角线之比为________．14.一个内角的平分线把矩形的一边分成和两部分，则矩形的周长为________．15.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是，则菱形较小的内角是________．16.如图，菱形的对角线相交于点，请你添加一个条件：________，使得该菱形为正方形．17.在四边形中，对角线与互相平分，交点为．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是________．18.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的取值范围是________．19.在四边形中，，，要使四边形是菱形，只需添加一个条件，这个条件可以是________（只要填写一种情况）．20.如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在中，，平分，过点分别作，，垂足分别为，．证明：四边形为正方形；若，，求四边形的面积．22.如图，菱形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点，如果，，求菱形的周长和面积；连接，猜想：四边形是什么特殊四边形？并证明你的猜想．23.如图，是矩形内一点，于点，于点，．请判断四边形是否是正方形？若是，写出证明过程：若不是，说明理由；延长到点，使，连接交的延长线于点，求的度数．24.如图，在矩形中，、相交于点，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，求四边形的周长．25.如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．求证：四边形是平行四边形．若，，则在点的运动过程中：①当________时，四边形是矩形，试说明理由；②当________时，四边形是菱形．26.在中，对角线、相交于点，，点、分别是、的中点．连接、．求证：；在上述条件下，若，是上一点，且，连接、，试判断四边形的形状，并证明你的结论．答案1.B2.B3.D4.C5.A6.A7.D8.A9.D10.A11.12.菱形13.14.或15.16.或17.或者有个内角等于度18.19.（本题答案不唯一）20.21.证明：∵，，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是正方形；解：∵四边形是正方形，∴，设，∵，∴，∴，∴，解得：，即，∴四边形的面积是．22.解：∵菱形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点，∴，，∵，，∴，，∴菱形的周长；∵，，∴，∴，∴菱形的面积；猜想：四边形是菱形，理由如下：∵点，分别是，的中点，∴，同理可得，，，，∴，∴四边形是菱形．23.解：四边形为正方形．∵四边形是矩形，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴矩形为正方形；连接，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵四边形是正方形，是对角线，∴，∴．24.解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，整理得，，解得，（舍去），∴，四边形的周长．25.；②，∵四边形是菱形时，，∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：．26.证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵为中点，∴，∴，∵为中点，∴，即；四边形是菱形，证明：连接，∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，，∴为中点，∴（三线合一定理），即，∵为中点，∴，∵为中点，为中点，∴，，∴，，∵为中点，∴，，即，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．。

山东省青岛4中度第一学期北师大九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元测试题(有答案)

20212021学第一学期北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为．A. B. C. D.不能确定2.将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A. B.C. D.3.如图，四边形的对角线、互相垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（）A.、互相平分B.C. D.4.对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形5.如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（）A. B. C. D.6.如图，四边形中，，，，若四边形面积为，则的长为（）A. B. C. D.7.菱形的周长为，两邻角的比为，则一组对边的距离为（）A. B. C. D.8.如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（）A. B. C. D.9.下列说法正确的有（）①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A.个B.个C.个D.个10.已知、，添加下列条件后，不能判断四边形为菱形的是（）A.平分B.且C.为中线D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如图，矩形的对角线，相交于点，，．若，则四边形的周长是________．12.如图，矩形中，于，点恰好是的中点，，则的长为________．13.如图，延长正方形的边到，使，则________度．14.如图，矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为________．15.如图，在矩形中，，过点作交于点，过作交于，当、满足________（关系）时，四边形为矩形．16.已知四边形中，，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是________．17.如图，线段（其中为正整数），点在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接、、得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；…；当时，的面积记为．则________．18.如图，在直角梯形中，，点为边上一点，且，，则的面积为________．19.如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．20.正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．当所作正方形边上的点刚好在格点上的点称为整点．如图中四条边上的整点共有个；四条边上的整点共有个．请你观察图中正方形四条边上的整点的个数…按此规律，推算出正方形四条边上的整点共有________个．三、解答题（共 7 小题，每小题 10 分，共 70 分）21.如图，在三角形纸片中，是的角平分线，把进行折叠，使点与点重合，折痕与相交于，与相交于，求证：四边形是菱形．22.如图，四边形是矩形，为上一点，且，为对角线上一点，于点，于点．求证：；试判断和，的数量关系并说明理由．23.如图，在矩形中，于，与相交于点，．求的度数；若，求、的长．24.如图，是菱形对角线与的交点，，；过点作，过点作，与相交于点．求的长；求证：四边形为矩形；求矩形的面积．25.如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．求证：四边形是矩形；在点在运动过程中，是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．26.如图，中，和分别平分和的外角，一动点在上运动，过点作的平行线与和的角平分线分别交于点和点．求证：当点运动到什么位置时，四边形为矩形，说明理由；在第题的基础上，当满足什么条件时，四边形为正方形，说明理由．答案1.C2.B3.A4.C5.A6.C7.D8.D9.C10.C11.12.13.14.15.16.或17.18.19.20.21.证明：∵平分∴又∵，∴在和中，，∴，∴，又∵点与点重合，∴，∴、相互平分，∴四边形是平行四边形∵点与点关于直线对称，∵，∴平行四边形为菱形．22.证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴；解：；理由如下：延长交于，如图所示：∵，，∴，∵，，∴，∴．23.解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即是等边三角形，∴，∴；∵是等边三角形，∴，∴，∵，，∴，．24.解：∵是菱形，∴，∴直角中，；∵，，∴四边形为平行四边形，又∵，即，∴平行四边形为矩形；∵，∴．25.证明∵，∴，，，∴，∴．∵，，∴，∴四边形是矩形；存在．理由如下：连结．∴．∵当时最短．∴．∴．26.证明：当点运动到的中点位置时，四边形为矩形；理由如下：∵为中点，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可证，，∴，∴四边形为平行四边形，又∵，，∴，∴四边形为矩形；解：当时，四边形为正方形；理由如下：∵，，∴，∴，∵四边形为矩形，∴四边形为正方形．27.证明：∵，，∴，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵，∴，∴四边形为矩形；解：．理由如下：∵四边形为矩形，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，即．。

初三数学上第1章特殊四边形章节试题(青岛版附答案)

初三数学上第1章特殊四边形章节试题（青岛版附答案）第1章特殊四边形检测题（本检测题满分：120分时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对角相等B.对角线互相平分C.一组对边相等D.对角线互相垂直2.如图，是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是（）A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形3.有下列四个命题:(1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；(2)两条对角线相等的四边形是菱形；(3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形；(4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.14.下列说法中，正确的是（）A.等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形B.正方形的对角线互相垂直平分且相等C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴D.菱形的对角线相等5.已知三角形的三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法：计算三角形一边的长，并求出该边上的高；方法2：补形法：将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差；方法3：分割法：选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．现给出三点坐标：（-1，4），（2，2），（4，-1），请你选择一种方法计算△的面积，你的答案是（）A.B.C.D.6.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A.20B.15C.10D.57.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是（）A.B.C.D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A.B.C.D.10.如图,是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（）A.B.C..11.如图,在△中，∠=90°,∠=30°,是中位线，沿裁剪将△分为两块后拼接成特殊的四边形,则不能拼成的图形是(）A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形12.有下列命题：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形；（2）邻边相等的矩形一定是正方形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）三角形中至少有两个角是锐角；（5）菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍.其中正确命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题（每小题3分，共15分）13.如图所示，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，请添加一个与四边形对角线有关的条件为，使四边形是特殊的平行四边形，为形.14.已知在四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则这个条件可以是__________．15.如图，在菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）．16.如图，在等腰梯形中，∥，=，，∠，，则上底的长是_______.17.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______．三、解答题（共69分）18.(9分)如图，是△的一条角平分线，DK∥AB交BC于点E，且DK=BC，连接BK，CK，得到四边形DCKB，请判断四边形DCKB是哪种特殊四边形，并说明理由．19.（9分）如图，在四边形中，∥，，,求四边形的周长．20.（10分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点分别交于点求证：.21.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，、是对角线上的两点，且求证：22.（10分）如图，在△和△中，与交于点．（1）求证：△≌△；（2）过点作∥，过点作∥，与交于点，试判断线段与的数量关系，并证明你的结论．23.（10分）如图，在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．24.（11分）如图，点是正方形内一点，△是等边三角形，连接，延长交边于点．（1）求证：△≌△；（2）求∠的度数．第2章特殊四边形检测题参考答案1.B解析：由平行四边形的判定定理知选项B正确.2.B解析：根据轴对称图形、中心对称图形的定义解题.3.D解析：只有（1）正确，（2）（3）（4）错误.4.B解析：A.等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形；C.矩形是轴对称图形，但对称轴有两条；D.菱形的对角线互相垂直，但不一定相等.5.B解析：选择方法2．过点A向轴引垂线，过点B向轴引垂线，两垂线相交于点D，连接CD，则△ABC的面积=，直接计算即可．即△ABC的面积.故选B．点拨：补形法是常用的方法，关键是得到若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．易错点在于准确找到各三角形相应的底与高．6.D解析：在菱形中，由∠=，得∠.又∵，∴△是等边三角形，∴.7.A解析：观察图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于，所以.8.C解析：根据矩形、菱形、正方形的性质解题.9.A解析：由题意知4，5，∴.10.A解析：由折叠的性质知，四边形为正方形，∴.11.A解析：首先拼出各种类型的图形（如图），再根据特殊四边形的判定判断是不是正方形、菱形、等腰梯形、矩形即可．选项A，不论如何放置都不能判断所得的四边形是正方形，故本选项符合选择条件.选项B，如图（1），所得的四边形是矩形，故本选项不符合选择条件. 选项C，如图（2），所得的四边形是平行四边形，因为垂直平分，所以.又∠=60°，所以△是等边三角形，所以，即平行四边形是菱形，故本选项不符合选择条件.选项D，如图（3），所得的四边形是等腰梯形，故本选项不符合选择条件.故选A．点拨：本题主要考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定、菱形的判定、正方形的判定、等腰梯形的判定等知识点，解此题的关键是正确拼出各种类型的图形．12.C解析：分别根据等腰三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定、三角形内角和定理以及菱形的性质判断即可得出答案．（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出此命题正确.（2）邻边相等的矩形一定是正方形，根据正方形的判定得出此命题正确.（3）对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故此命题错误.（4）三角形中至少有两个角是锐角，根据三角形内角和定理得出此命题正确.（5）如图所示，∵菱形的对角线互相垂直，∴.∵，∴菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍，故此命题正确.因此正确的有4个，故选C．13.对角线相等菱解析：如图，连接，∵分别是的中点，∴,，∴，∴四边形是平行四边形.∵，∴，∴平行四边形是菱形.点拨：本题主要考查对三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键．14.15.或或（答案不唯一）16.2解析：∠.在等腰梯形中，∠∠，∵∠∠∠又∵∥∴∠∠∠.∴.17.28解析：由勾股定理得，又，，所以所以五个小矩形的周长之和为18.分析：由角平分线的性质可得到，再根据平行线的性质可推出，利用SAS即可判定，由全等三角形的性质得，再分或确定四边形的形状．解：∵平分，∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.∵，∴,∴.∵,∴△≌△,∴∠KBD=∠CDB.（1）当时，四边形是等腰梯形．理由如下：∵，平分,∴与不垂直.∴.∴与不平行.∴四边形是等腰梯形.（2）当时，四边形是矩形．理由如下：∵，平分,∴与垂直，∴∠DBK=∠BDC=90°,∴CDBK.∴四边形是矩形.点拨：此题考查了学生对等腰梯形的判定、矩形的判定的理解及运用．19.解：∵∥，∴.又∵，∴∠,∴∥,∴四边形是平行四边形,∴∴四边形的周长.20.证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，，∴∴△≌△，故.21.证明:∵四边形是平行四边形,∴∴.在和中，，∴，∴.22.（1）证明：在△和△中，，，∴△≌△．（2）解．证明如下：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形．由（1）知，∠=∠，∴，∴四边形是菱形．∴.23.（1）证明：，∴．在和中，∴，∴.又，∴四边形是平行四边形．，∴四边形是菱形．（2）解：四边形是菱形，，∴．在中，，∴，∴．∴24.（1）证明：∵四边形是正方形，∴∠∠，．∵△是等边三角形，∴∠∠，．∵∠∠，∠∠，∴∠∠．。

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2019-2019学年度第一学期北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（）A.是等腰三角形，B.折叠后和一定相等C.折叠后得到的图形是轴对称图形D.和一定是全等三角形2.菱形和矩形一定都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相平分3.点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（）A. B. C. D.不确定4.已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（）A. B.C. D.5.在矩形中，，，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：① ；② ；③ ；④ ．正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④6.在矩形中，，，是上的动点，于，于，则的值为（）A. B. C. D.7.如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交，于，点，连接，则的周长为（）A. B. C. D.8.将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（）A. B. C. D.9.如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为（）A. B. C. D.10.如图，矩形中，，．过对角线交点作交于，则的长是（）A. .B. .C.D. .二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________．12.已知：如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，第 1 页点在上运动，当是腰长为的等腰三角形时，则点的坐标为________．13.如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为________．14.如图，矩形的对角线，相交于点，，．若，则四边形的周长是________．15.如图，过矩形的对角线上一点分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是________；（填“ ”或“ ”或“ ”）16.如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为________．17.如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为________．18.如图，矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为________．19.如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．若，，则四边形的周长为________．20.如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的周长________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，矩形中，为上一点，于．与相似吗？请说明理由．若，，，求的长22.如图，已知矩形的边长，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：经过多少时间，的面积等于矩形面积的？是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．23.如图，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点落在折痕上的点处．再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的点处．如图．求证：；已知，求和的长．24.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点．试找出一个与全等的三角形，并加以证明；若，，为线段上的任意一点，于，于，试求的值，并说明理由．25.如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．求证：；四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．当为何值时，为直角三角形？请说明理由．26.已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．如图，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．答案1.B2.D3.A4.D5.D6.A7.D8.A9.B10.D11. .12.或或13.14.15.16.17.18.19.20.21.的长为 . ．22.解：设经过秒后，的面积等于矩形面积的，则有：，即，第 3 页解方程，得，，经检验，可知，符合题意，所以经过秒或秒后，的面积等于矩形面积的．假设经过秒时，以，，为顶点的三角形与相似，由矩形，可得，因此有或即①，或②解①，得；解②，得经检验，或都符合题意，所以动点，同时出发后，经过秒或秒时，以，，为顶点的三角形与相似．23.证明：由折叠知，，∵四边形是矩形，∴ ，∴ ；解：∵ ，，，∴，，∴；由折叠知，，∴ ，，∵ ，∴ ，在与中，，∴ ，∴ ，∴．24.解：证明：∵四边形为矩形，∴ ，，又∵ ，∴ ；由折叠的性质可知，，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．在中，，延长交于，则，∴ ．∴ ．25.证明：在中，，，，∴ ．又∵ ，∴ ．解：能．理由如下：∵ ，，∴ ．又，∴四边形为平行四边形．∵，∴ ．∴ ．若使为菱形，则需，即，．即当时，四边形为菱形．解：① 时，四边形为矩形．在中，，∴ ．即，．② 时，由四边形为平行四边形知，∴ ．∵ ，∴ ．即，．③ 时，此种情况不存在．综上所述，当秒或秒时，为直角三角形．26.解： ①∵四边形是矩形，∴ ，∴ ，，∵ 垂直平分，垂足为，∴ ，第 5 页∴ ，∴ ，∴四边形为平行四边形，又∵ ，∴四边形为菱形，②设菱形的边长，则，在中，，由勾股定理得，解得，∴ ． ①显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，∵点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，∴ ，，即，∴ ，解得，∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．分三种情况：如图，当点在上、点在上时，，即，得；如图，当点在上、点在上时，，即，得；如图，当点在上、点在上时，，即，得．综上所述，与满足的数量关系式是．。

(北师大版)青岛市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(含答案解析)

2．D
解析：D
【分析】
连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF= AC；HG∥AC，HG= AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．
【详解】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）
A．3 B． C．2 D．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）
D、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．B
解析：B
【分析】
根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．
解：连AC，BD，如图，
∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，
∴EF∥AC，EF= AC；HG∥AC，HG= AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，
而EH= AC，
∴AC=BD．
当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；
当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；

山东省青岛53中度第一学期北师大版九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元检测试题(有答案)

山东省青岛53中度第一学期北师大版九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元检测试题（有答案）第一章特殊平行四边形单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕1.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F区分在AD，BC上，衔接BE，DF，EF，BD．假定四边形BFDE是菱形，且OE=AE，那么边BC的长为〔〕A.2√3B.3√3C.92√3 D.6√32.四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB // CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC；⑤AD // BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有〔〕A.1种B.2种C.3种D.4种3.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，衔接AC，BD，AC与BD交于点O，假定AO=BO，AD=3，AB=2，那么四边形ABCD的面积为〔〕A.4B.5C.6D.74.在△ABC中，AB≠AC，D是边BC上的一点，DE // CA交AB于点E，DF // BA交AC于点F．要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件〔〕A.AD⊥BCB.∠BAD=∠CADC.BD=DCD.AD=BC5.以下说法中，不正确的选项是〔〕A.对角线相互垂直的平行四边形是菱形B.对角线垂直的矩形是正方形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形6.如下图，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，衔接BE，BF，DE，DF，那么添加以下哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形〔〕A.∠1=∠2B.BE=DFC.∠EDF=60∘D.AB=AF7.如下图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODC交OC于点E，假定AB=2，那么线段OE的长为〔〕A.√22B.2√23C.2−√2D.√2−18.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD区分绕点B、C同时逆时针旋转60∘得四边形A′BCD′，其对角线交点为O′，衔接OD′．以下结论：①四边形A′BCD′为菱形；②S四边形A′BCD′=12S正方形ABCD；③线段OD′的长为√3−1；④点O运动到点O′的途径是线段OO′．其中正确的结论共有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，以△ABC的三边为边区分作等边△ACD、△ABE、△BCF，那么以下结论：①①△EBF≅△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③事先AB=AC，四边形AEFD是菱形；④事先∠BAC=90∘，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论有〔〕个．A.1B.2C.3D.410.如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，异样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，…，依此类推，那么平行四边形ABC n O n 的面积为〔〕A.(12)nB.5×(12)n+1C.5×(12)nD.5×(12)n−1二、填空题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕11.如图，O 是矩形ABCD 内一点，且OA =1，OB =3，OC =4，那么OD 的长为________．12.如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，假定矩形ABCD 面积为4，那么矩形AEFC 的面积为________．13.在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足条件________时，四边形PEMF 为矩形．14.四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相互平分，且相交于点O 、在不添加其它线条的前提下，要使四边形ABCD 为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是________〔填一个即可〕．15.如图，点D 在△ABC 的BC 边上，DE // AC 交AB 于E ，DF // AB 交AC 于F ，假定添加条件________，那么四边形AEDF 是矩形；假定添加条件________，那么四边形AEDF 是菱形；假定添加条件________，那么四边形AEDF 是正方形．16.在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相互平分，交点为O ．在不添加任何辅佐线的前提下，要使四边构成ABCD 为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是________．17.如图，矩形ABCD 中，AB =10，AD =4．点E 从D 向C 以每秒2个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒3个单位的速度运动，当经过________秒时．直线MN 和正方形AEFG 末尾有公共点？18.如图矩形ABCD 中，AB =8cm ，CB =4cm ，E 是DC 的中点，BF =14BC ，那么四边形DBFE 的面积为________cm 2．19.如下图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，衔接EF ，给出以下四个结论：①AP =EF ； ②△APD 一定是等腰三角形； ③∠PFE =∠BAP ； ④PD =√2EC ，其中正确结论的序号是________．20.矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置〔如下图(1)〕时，易证得结论：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2，请你探求：当点P 区分在图(2)、图(3)中的位置时，PA 2、PB 2、PC 2和PD 2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种状况的探求结论，并应用图(2)证明你的结论．答：对图(2)的探求结论为________；对图(3)的探求结论为________；证明：如图(2)三、解答题〔共 6 小题，每题 10 分，共 60 分〕21.如图，延伸正方形ABCD 的边BC 至E ，使CE =AC ，衔接AE 交CD 于F ，求∠AFC 的度数．22.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 区分在BC 和CD 上，AE =AF ．(1)求证：CE =CF ．(2)衔接AC 交EF 于点O ，延伸OC 至点M ，使OM =OA ，衔接EM 、FM ．判别四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．23.〔如图〕：正方形ABCD的边长为b，正方形DEFG的边长为a．求：(1)梯形ADGF的面积；(2)三角形AEF的面积；(3)三角形AFC的面积．24.：正方形ABCD中，点E、F、G、H区分在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG= DH，(1)四边形EFGH是正方形吗？为什么？(2)假定正方形ABCD的边长为4cm，且AE=BF=CG=DH=1cm，央求出四边形EFGH 的面积．25.如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延伸线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：(1)∠BAP=∠AQE；(2)S△APQ=S．矩形ABCD26.请阅读以下资料：效果：如图，在正方形ABCD战争行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，衔接PG，PC．探求：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？小聪同窗的思绪是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延伸GP交DC于点H，结构全等三角形，经过推理可以探求出效果的答案．请你参考小聪同窗的思绪，探求并处置这个效果．〔1〕求证：四边形BEFG是矩形；〔2〕PG与PC的夹角为________度时，四边形BEFG是正方形．理由：答案1.B2.D3.C4.B5.D6.B7.C8.C9.C10.C11.2√212.4BC13.AB=1214.AC=BD〔答案不独一〕，∠BAD=90∘，OA=OB，∠BAD=∠ADC15.∠BAC=90∘AD平分∠BAC∠BAC=90∘且AD平分∠BAC16.AC=BD或许有个内角等于90度17.6518.1019.①③④20.PA2+PC2=PB2+PD2PA2+PC2=PB2+PD221.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45∘，∠DCB=90∘，∵AC=CE，∴∠E=∠CAF，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠E=12∠ACB=22.5∘，∵∠AFC是△CFE的外角，∴∠AFC=∠FCE+∠E=112.5∘．22.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90∘，在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AD=ABAF=AE，∴Rt△ADF≅Rt△ABE(HL)∴BE=DF；(2)解：四边形AEMF是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45∘，BC=DC，∵BE=DF，∴BC−BE=DC−DF，即CE=CF，在△COE和△COF中，{CE=CF∠ACB=∠ACD OC=OC，∴△COE≅△COF(SAS)，∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．23.解：(1)梯形ADGF的面积=12(GF+AD)×GD=12(a+b)⋅a=a(a+b)2(2)三角形AEF的面积=12×AE⋅EF=a(b−a)2(3)三角形AFC的面积=S▫ABCD+S▫AFGD−S△FGC−S△ABC=a(a+b)2+b2−a(a+b)2−b22=b2224.(1)四边形EFGH是正方形；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH =BE =CF =DG ，在△AEH 、△BFE 、△CGF 和△DHG 中，{AE =BF =CG =DH∠A =∠B =∠C =∠D AH =BE =CF =DG，∴△AEH ≅△BFE ≅△CGF ≅△DHG(SAS)，∴EH =FE =GF =GH ，∠AEH =∠BFE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BEF +∠BFE =90∘，∴∠BEF +∠AEH =90∘，∴∠HEF =90∘，∴四边形EFGH 是正方形；(2)∵正方形ABCD 的边长为4cm ，且AE =BF =CG =DH =1cm ， ∴AE =BF =CG =DH =3，∴正方形EFGH 的面积=EH 2=AH 2+AE 2=12+32=10．25.证明：(1)∵∠PAD +∠BAP =90∘，∠QAD +∠AQE =90∘，∠PAD =∠QAD ，∴∠BAP =∠AQE ；(2)在△ADQ 和△ADE 中，{∠PAD =∠QADAD =AD ∠ADE =∠ADQ =90∘， ∴△ADQ ≅△ADE(ASA)，∴DQ =DE ，∵∠BAP =∠AQE ，∠B =∠ADQ =90∘，∴△ABP ∽△QDA ，∴AB DQ =PB AD ，∴DQ =AB⋅AD PB ，∵S △APQ =S △AQE +S △PQE ，=12QE ⋅BC +12QE ⋅CP ，=12QE ⋅PB ， =12×(2DQ)⋅PB ，12×2AB⋅AD PB ⋅PB ，=AB ⋅AD ，∴S △APQ =S 矩形ABCD ．26.解：〔1〕∵正方形ABCD 中，∠ABC =90∘，∴∠EBG =90∘，∴BEFG 是矩形90。

青岛版九年级上册第一章特殊平行四边形练习题

1、（2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小2、正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（） A.16 B.17 C.18D.19、（2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB 的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.2 B C. D.6、（2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( ) A．2B．4条 C．5条 D．6条5、（2011山东聊城，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2 B．24cm2C．48cm2 D． 96cm26. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，（第3题图）折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．67. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分8．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补9.（2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（） A.菱形B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________. 11. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)13. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。

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爱心用心专心 1
特殊平行四边形测试题
姓名 _____________ 成绩 _____________
一、
精心选一选,想信你一定能选对! (每题 4分,共 24分
1.不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的题设是( (A AB 平行且等于 CD 。

(B ∠ A=∠ C ,∠ B=∠ D 。

(C AB=AD, BC=CD。

(D AB=CD, AD=BC。

2.下面性质
中菱形有而矩形没有的是(
(A 邻角互补(B 内角和为 360°(C 对角线相等 (D 对角线互相垂直 3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( (A 四条边相等 (B 对角线互相垂直平分 (C 对角线平分一组对角 (D 对角线相等
4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是(
A 、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 5. 如图, □ ABCD 中 , ∠
C=108°,BE 平分∠ ABC, 则∠ ABE 等于 ( A.18° B.36° C.72° D.108°
6.下列命题中,真命题是(
A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四
个角相等的菱形是正方形 D、两条对角线相等的四边形是矩形二、细心填一填,相信你填得又快又准! (每题 4分,共 24分 7、□ ABCD 中,∠ A =50°,则∠ B
=__________,∠ C =__________。

8.已知菱形两条对角线的长分别为 5cm 和 8cm ,则这个菱形的面积是 ______cm.
9、菱形 ABCD 的周长为 36,其相邻两内角的度数比为 1:5,则此菱形的面积为_________。

10、对角线长为 22的正方形的周长为 ___________,面积为
__________。

11.如图,过矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点 K 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ ,那么图中矩形 AMKP 的面积 S 1与矩形 QCNK 的面积 S 2的关系是 S 1
S2(填“>”或“<”或“=”
E
D
C
B A
爱心用心专心
2
第 11题图第 12题图
12.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 、 F 分别在 AB 、 DC 上, BF ∥ DE ,若
AD=12cm, AB=7cm, • 且 AE :EB=5:2,则阴影部分的面积为 _______cm
三、用心做一做,培养你的综合运用能力,相信你是最棒的 13、 (本题 8分已知:如图中, AD 是的角平分线,
DE ∥ AC , DF ∥ AB 。

求证:四边形 AEDF 是菱形。

14. (8分已知:如图, E 、 F 是平行四边形ABCD• 的对角线AC• 上的两点,
AE=CF.
求证:(1△ ADF ≌△ CBE ; (2 EB ∥ DF .
15. (8分已知菱形 ABCD 中, 对角线 AC 和 BD 相交于点 O , ∠ BAD=120°, 求∠ ABD 的度数。

N
M
Q
D
C
B
B
C
A
D
16. (2006中山中考题 9分如图,在□ ABCD 中,
∠DAB=60°, 点 E 、 F 分别在 CD 、 AB 的延长线上, 且 AE=AD,
CF=CB.
(1求证:四边形 AFCE 是平行四边形.
(2若去掉已知条件的“∠DAB=60°, 上述的结论还成
立吗 ? 若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由.
17. (9分 E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点, EF ⊥ BC , EG ⊥ CD , • 垂足分别是 F 、 G ,求证:AE=FG.
爱心用心专心 3
G
F D C
18. (10分如图,△ ABC 中,点 O 为 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MN ∥BC ,设 MN 交∠ BCA 的外角平分线 CF 于点 F ,交∠ ACB 内角平分线 CE 于 E .
(1求证:EO=FO;
(2当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论;
(3 若 AC 边上存在点 O , 使四边形 AECF 是正方形, 猜想△ ABC 的形状并证明你的结论。

爱心用心专心 4。