系泊系统的设计与建模2016
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针对问题一,本文采取平面化处理。由于浮标运动的方向与风的方向相同,所以只需 在平面上分析系统的受力。风速大小确定,方向任意,因此浮标的运动区域是以锚在海面 上的投影点为圆心,以浮标与锚的水平距离为半径的圆。本文运用力学知识建立模型,用 变步长搜索算法编写 MATLAB 程序进行求解。求得风速 v=12m/s 时吃水深度 s=0.735m; v=24m/s 时吃水深度 s=0.749m。进而其余参量均可求得。同时提出了悬链线模型,两个模 型的求解结果相差很小,从而提高了正确性。
五、模型建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 系统总体受力分析
图 1 系统整体受力分析图
对系统整体进行受力分析,如图 5.1.1 所示。从水平方向和竖直方向分别分析,在水平
方向上,系统受风力 f 和海床对系统的摩擦力 f’。由于系统平衡,合力为 0,故有
������ ′ = ������
图 2 等效的力学模型
图 2 中,底部的黑色物块表示锚;θi i=1,2,3,4 表示每个细棒于水平面的夹角;F 表示 浮标对水下第一个钢管的拉力,与水平面的夹角为 θ。将 F 进行正交分解,得到竖直力 A
和水平力 B,根据三角形法则,有
{������������
= =
������ ������
sin ������ cos ������
(11)
对锚进行受力分析,如图 5 所示:
图 5 锚的受力分析图
图 5 中,N 为海床对锚的支持力,G 为锚的重力,A216 为最后一个链环对锚向上的拉 力。根据里的平衡条件,易得:
������ = ������ + ������216
(12)
5.1.4 问题一模型的建立与求解
联立(9) (10)两式,可得吃水深度 s 与 A1 的关系:
针对问题三,本文首先将其进行合理简化。钢桶倾斜角不超过5°,且 cos 5° = 0.996,因 此可以认为海水的作用力为水平方向。如果在风力水力同向且最大的时候满足条件,其余情 况必定满足条件,因此可以假设风速水速同向且最大。在此基础上进行受力分析,对问题一
的模型进行修改,得出问题三的模型。系泊系统的设计问题是多目标规划问题,本文运用ε
问题 1 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m,选用的重物球的质量为 1200kg。现 将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海水静 止,分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的 吃水深度和游动区域。
风速 所有悬浮物体的体积
系泊系统的总质量 海水冲力 海水流速
钢管、钢桶或链环的长度集合的元素 钢管和钢桶的直径集合的元素 海水深度
四、模型假设
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
锚链上的每一个链环可以等效为无粗细的均匀质量的坚硬细棒; 钢管的质量均匀分布; 悬挂重物球的细线的质量和体积忽略不计; 海水密度均匀分布; 假设物体形变量忽略不计,即杨氏模量为无穷大; 假设游标不会发生倾斜; 题目中未知体积的物体体积忽略不计 分析海水力时,海水的竖直分力忽略不计
{
(9)
������1 = ������
由浮力定律可得:
������������ = ������������������������������2
(10)
其中,s 为浮标吃水深度,r 为浮标底面半径。 (4)式和(8)式表明,215 个等效细棒之间的水平作用力为 f,即
������������ = ������ ������ = 1,2, … 216
问题 2 在问题 1 的假设下,计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚 链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量,使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度,锚链在 锚点与海床的夹角不超过 16 度。
问题 3 由于潮汐等因素的影响,布放海域的实测水深介于 16m~20m 之间。布放点的 海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况 下的系泊系统设计,分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和 游动区域。
(3)
由于水平方向受力平衡,所以地面对物快的摩擦力等于 B。
下面以图 2 中两个细棒为例,从水平和竖直方向分别分析细棒之间的相互作用力,如
图 3 所示:
图 3 相邻两个细棒的受力分析图
li+1、 li 为细棒的长度,li+1 在下面,mi 为细棒的质量,fu 为海水的浮力,Ai Bi 分别为钢管 之间的竖直作用力和水平作用力。对细棒 li 进行受力分析,由水平竖直方向受力平衡可 得:
二、 问题分析
2.1 问题一的分析 本问中,浮标会在风力的作用下沿着风的方向进行运动,最终达到静止状态。因为系统
在水平方向上对称分布,所以,本文将三维的旋转移动问题转换为平面上的移动问题,即只 需分析系统在二维平面上的受力。
浮标的运动最终能达到平衡,因此,我们只需分析浮标达到稳态时的情况。风的大小可 算,而风的方向是任意的,因此浮标的运动距离一定,运动方向为任意方向,故浮标的运动 区域为一个圆,圆心为锚在海平面上的投影坐标,半径是浮标和锚的水平距离。
2.2 问题二的分析 由于题目中表明,问题二在问题一的假设下,因此求解问题二可使用问题一的模型。计
算重物的质量时,可利用题目中的两个约束条件,采用变步长搜索的算法求解。
2.3 问题三的分析 本题中,风力方向和水力大小和方向不定。本文对实际情况进行合理简化。易知,如果
在风力和水力最大并且同向时满足题目要求,则其余情况必定满足要求。因此风力和水力可 简化为方向相同、大小一定的力。建立力学模型。用多目标规划进行求解
(1)
在竖直方向上,整个系统总质量为 M、浮力 fu、海床对系统的支持力 N,系统平衡, 竖直方向合力为零,有
������������ = ������ + ������������
(2)
5.1.2 锚链、钢管、钢桶受力分析
对图 1 中用虚线框起来的部分进行力学上的等效,将钢管、钢桶和链环等效为密度均匀 的细棒,每个细棒之间铰接,得到如图 2 所示的力学模型:
系泊系统的设计与建模
摘要
本文研究的是一个浮标的运动与平衡问题,浮标在风力和海水力的作用下运动,最终 达到平衡。易知,如果系统平衡时的各项指标都达到要求,运动状态下都会达到要求,因此 这是一个力的平衡分析问题,重点是分析系统内部各个部分的受力。对于钢桶、钢管,本文 运用分段受力分析的方法进行求解;对于锚链,本文给出两种方法。其一与钢管的分析方法 相同;其二为悬链线法。之后对两个模型进行分析比较,决定分段受力分析法作为主要模型, 最终得出系统各个参数之间的联系,知其一可得其他。
5.1.3 锚和浮标的受力分析 对浮标进行受力分析,如图 4 所示
图 4 浮标的受力分析图
图中,f 为风力,M1 为浮标的质量,fu 为浮标受到的海水浮力。A1 B1 分别为最上面的钢 管对浮标的竖直作用力和水平作用力,有如下关系:
������������ = ������1 + ������1������
s
=
������1 + ������1������ ������������������������2
进而可得风力与 A1 的关系:
������
= 0.625 × 2������(ℎ − ������)������2
=
1.25������(ℎ
−
������1 + ������1������ ������������������������2
约束法,选择一个主要关注的参考目标,将其他目标函数约束放到约束条件中[1],从而将其 转化为单目标规划,用 MATLAB 对目标函数进行搜索求解,列出符合约束条件的解。
关键词: 受力分析 悬链理论 变步长搜索 多目标规划
一、 问题重述
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点 的浮标系统可简化为底面直径 2m、高 2m 的圆柱体,浮标的质量为 1000kg。系泊系统由钢 管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg,锚链选用无档普 通链环,近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节,每节长度 1m,直 径为 50mm,每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角 不超过 16 度,否则锚会被拖行,致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长 1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内,设备和钢桶总质量为 100kg。钢桶上接第 4 节钢管,下接电焊 锚链。钢桶竖直时,水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜,则影响设备的工作效果。 钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)超过 5 度时,设备的工作效果较差。为了控制钢桶 的倾斜角度,钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。建立数学模型讨论以下问题:
Baidu Nhomakorabea
{������������������������+=1
������������+1 = ������������
+
������������������
−
������������
(4)
由力矩平衡可得:
(������������
+
������������+1)
������������ 2
cos ������������
由(2) (16)式,可得支持力 N 与 A1 的关系: ������ = ������������ − ������������������ − ������1 − ������1������
=
(������������
+
������������+1)
������������ 2
sin ������������
(5)
联立(3) (4) (5)式,并根据浮力定律得:
tan ������������
=
������������
+ ������������+1 2������
(6)
������������+1 = ������������ − ������������������ + ������������
通过受力分析可知,钢桶、钢管的倾斜角度与各个部分的相互作用力有关,而每部分的 作用力的方向难以确定,故本文不考虑真实的作用力,只考虑作用力在竖直和水平方向上的
分力,大大简化了受力分析过程。若对锚链的每个链节进行受力分析,可得模型 1.1;若将 锚链看作连续的悬链线,可得模型 1.2。利用 MATLAB 软件,以深度 18m 作为条件进行求 解,最终得出最优解。
针对问题二,本文首先采用问题一的模型计算出 v=36m/s 时各个参数,求得浮标的游 动区域面积 S=1111.041m2。此时钢桶倾斜角度和锚点与海床的夹角分别为 8.07°和18.09°, 不满足题目要求,所以要调节重物球的质量。其次在题目的两个角度约束条件和浮标不能 沉底的条件下,仍通过变步长搜索算法进行搜索。求得满足题目要求的重物球的最小质量 为 1709kg,最大质量约为 5200kg。
三、基本符号说明
符号 A B θ f N s fu g ρ h R r v V M F v’ li di H
说明 钢管之间竖直方向的力 钢管之间水平方向的力 钢管与水平方向的夹角
风力 海床对系统的支持力
浮标的吃水深度 浮力
重力加速度,大小为 9.8 海水密度
浮标的高度 浮标的游动半径 浮标的底面半径
)������2
联立(6) (9)两式,可得倾斜角 θ 与 A1 的关系:
tan
������������
=
������������
+ ������������+1 2������
������ = 1,2 … 215
整个系统 Fu 的浮力与 A1 的关系:
(13) (14) (15)
������������ = ������������������ + ������1 + ������1������
(7)
������������ = ������������������������
(8)
Vi 为第 i 个钢管(钢桶等效为第五个钢管)的体积。本题中,钢管有 4 条,钢桶有 1 个,锚链共有 210 节,因此水平夹角 θ 为含有 215 个元素的集合;算上最后一节链环对锚 的作用力,竖直作用力 A 为含有 216 个元素的集合。集合 θ 与集合 A 的映射关系满足(6) 式,集合 A 内部元素之间的递推关系满足(7)式。
五、模型建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 系统总体受力分析
图 1 系统整体受力分析图
对系统整体进行受力分析,如图 5.1.1 所示。从水平方向和竖直方向分别分析,在水平
方向上,系统受风力 f 和海床对系统的摩擦力 f’。由于系统平衡,合力为 0,故有
������ ′ = ������
图 2 等效的力学模型
图 2 中,底部的黑色物块表示锚;θi i=1,2,3,4 表示每个细棒于水平面的夹角;F 表示 浮标对水下第一个钢管的拉力,与水平面的夹角为 θ。将 F 进行正交分解,得到竖直力 A
和水平力 B,根据三角形法则,有
{������������
= =
������ ������
sin ������ cos ������
(11)
对锚进行受力分析,如图 5 所示:
图 5 锚的受力分析图
图 5 中,N 为海床对锚的支持力,G 为锚的重力,A216 为最后一个链环对锚向上的拉 力。根据里的平衡条件,易得:
������ = ������ + ������216
(12)
5.1.4 问题一模型的建立与求解
联立(9) (10)两式,可得吃水深度 s 与 A1 的关系:
针对问题三,本文首先将其进行合理简化。钢桶倾斜角不超过5°,且 cos 5° = 0.996,因 此可以认为海水的作用力为水平方向。如果在风力水力同向且最大的时候满足条件,其余情 况必定满足条件,因此可以假设风速水速同向且最大。在此基础上进行受力分析,对问题一
的模型进行修改,得出问题三的模型。系泊系统的设计问题是多目标规划问题,本文运用ε
问题 1 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m,选用的重物球的质量为 1200kg。现 将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海水静 止,分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的 吃水深度和游动区域。
风速 所有悬浮物体的体积
系泊系统的总质量 海水冲力 海水流速
钢管、钢桶或链环的长度集合的元素 钢管和钢桶的直径集合的元素 海水深度
四、模型假设
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
锚链上的每一个链环可以等效为无粗细的均匀质量的坚硬细棒; 钢管的质量均匀分布; 悬挂重物球的细线的质量和体积忽略不计; 海水密度均匀分布; 假设物体形变量忽略不计,即杨氏模量为无穷大; 假设游标不会发生倾斜; 题目中未知体积的物体体积忽略不计 分析海水力时,海水的竖直分力忽略不计
{
(9)
������1 = ������
由浮力定律可得:
������������ = ������������������������������2
(10)
其中,s 为浮标吃水深度,r 为浮标底面半径。 (4)式和(8)式表明,215 个等效细棒之间的水平作用力为 f,即
������������ = ������ ������ = 1,2, … 216
问题 2 在问题 1 的假设下,计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚 链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量,使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度,锚链在 锚点与海床的夹角不超过 16 度。
问题 3 由于潮汐等因素的影响,布放海域的实测水深介于 16m~20m 之间。布放点的 海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况 下的系泊系统设计,分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和 游动区域。
(3)
由于水平方向受力平衡,所以地面对物快的摩擦力等于 B。
下面以图 2 中两个细棒为例,从水平和竖直方向分别分析细棒之间的相互作用力,如
图 3 所示:
图 3 相邻两个细棒的受力分析图
li+1、 li 为细棒的长度,li+1 在下面,mi 为细棒的质量,fu 为海水的浮力,Ai Bi 分别为钢管 之间的竖直作用力和水平作用力。对细棒 li 进行受力分析,由水平竖直方向受力平衡可 得:
二、 问题分析
2.1 问题一的分析 本问中,浮标会在风力的作用下沿着风的方向进行运动,最终达到静止状态。因为系统
在水平方向上对称分布,所以,本文将三维的旋转移动问题转换为平面上的移动问题,即只 需分析系统在二维平面上的受力。
浮标的运动最终能达到平衡,因此,我们只需分析浮标达到稳态时的情况。风的大小可 算,而风的方向是任意的,因此浮标的运动距离一定,运动方向为任意方向,故浮标的运动 区域为一个圆,圆心为锚在海平面上的投影坐标,半径是浮标和锚的水平距离。
2.2 问题二的分析 由于题目中表明,问题二在问题一的假设下,因此求解问题二可使用问题一的模型。计
算重物的质量时,可利用题目中的两个约束条件,采用变步长搜索的算法求解。
2.3 问题三的分析 本题中,风力方向和水力大小和方向不定。本文对实际情况进行合理简化。易知,如果
在风力和水力最大并且同向时满足题目要求,则其余情况必定满足要求。因此风力和水力可 简化为方向相同、大小一定的力。建立力学模型。用多目标规划进行求解
(1)
在竖直方向上,整个系统总质量为 M、浮力 fu、海床对系统的支持力 N,系统平衡, 竖直方向合力为零,有
������������ = ������ + ������������
(2)
5.1.2 锚链、钢管、钢桶受力分析
对图 1 中用虚线框起来的部分进行力学上的等效,将钢管、钢桶和链环等效为密度均匀 的细棒,每个细棒之间铰接,得到如图 2 所示的力学模型:
系泊系统的设计与建模
摘要
本文研究的是一个浮标的运动与平衡问题,浮标在风力和海水力的作用下运动,最终 达到平衡。易知,如果系统平衡时的各项指标都达到要求,运动状态下都会达到要求,因此 这是一个力的平衡分析问题,重点是分析系统内部各个部分的受力。对于钢桶、钢管,本文 运用分段受力分析的方法进行求解;对于锚链,本文给出两种方法。其一与钢管的分析方法 相同;其二为悬链线法。之后对两个模型进行分析比较,决定分段受力分析法作为主要模型, 最终得出系统各个参数之间的联系,知其一可得其他。
5.1.3 锚和浮标的受力分析 对浮标进行受力分析,如图 4 所示
图 4 浮标的受力分析图
图中,f 为风力,M1 为浮标的质量,fu 为浮标受到的海水浮力。A1 B1 分别为最上面的钢 管对浮标的竖直作用力和水平作用力,有如下关系:
������������ = ������1 + ������1������
s
=
������1 + ������1������ ������������������������2
进而可得风力与 A1 的关系:
������
= 0.625 × 2������(ℎ − ������)������2
=
1.25������(ℎ
−
������1 + ������1������ ������������������������2
约束法,选择一个主要关注的参考目标,将其他目标函数约束放到约束条件中[1],从而将其 转化为单目标规划,用 MATLAB 对目标函数进行搜索求解,列出符合约束条件的解。
关键词: 受力分析 悬链理论 变步长搜索 多目标规划
一、 问题重述
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点 的浮标系统可简化为底面直径 2m、高 2m 的圆柱体,浮标的质量为 1000kg。系泊系统由钢 管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg,锚链选用无档普 通链环,近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节,每节长度 1m,直 径为 50mm,每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角 不超过 16 度,否则锚会被拖行,致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长 1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内,设备和钢桶总质量为 100kg。钢桶上接第 4 节钢管,下接电焊 锚链。钢桶竖直时,水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜,则影响设备的工作效果。 钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)超过 5 度时,设备的工作效果较差。为了控制钢桶 的倾斜角度,钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。建立数学模型讨论以下问题:
Baidu Nhomakorabea
{������������������������+=1
������������+1 = ������������
+
������������������
−
������������
(4)
由力矩平衡可得:
(������������
+
������������+1)
������������ 2
cos ������������
由(2) (16)式,可得支持力 N 与 A1 的关系: ������ = ������������ − ������������������ − ������1 − ������1������
=
(������������
+
������������+1)
������������ 2
sin ������������
(5)
联立(3) (4) (5)式,并根据浮力定律得:
tan ������������
=
������������
+ ������������+1 2������
(6)
������������+1 = ������������ − ������������������ + ������������
通过受力分析可知,钢桶、钢管的倾斜角度与各个部分的相互作用力有关,而每部分的 作用力的方向难以确定,故本文不考虑真实的作用力,只考虑作用力在竖直和水平方向上的
分力,大大简化了受力分析过程。若对锚链的每个链节进行受力分析,可得模型 1.1;若将 锚链看作连续的悬链线,可得模型 1.2。利用 MATLAB 软件,以深度 18m 作为条件进行求 解,最终得出最优解。
针对问题二,本文首先采用问题一的模型计算出 v=36m/s 时各个参数,求得浮标的游 动区域面积 S=1111.041m2。此时钢桶倾斜角度和锚点与海床的夹角分别为 8.07°和18.09°, 不满足题目要求,所以要调节重物球的质量。其次在题目的两个角度约束条件和浮标不能 沉底的条件下,仍通过变步长搜索算法进行搜索。求得满足题目要求的重物球的最小质量 为 1709kg,最大质量约为 5200kg。
三、基本符号说明
符号 A B θ f N s fu g ρ h R r v V M F v’ li di H
说明 钢管之间竖直方向的力 钢管之间水平方向的力 钢管与水平方向的夹角
风力 海床对系统的支持力
浮标的吃水深度 浮力
重力加速度,大小为 9.8 海水密度
浮标的高度 浮标的游动半径 浮标的底面半径
)������2
联立(6) (9)两式,可得倾斜角 θ 与 A1 的关系:
tan
������������
=
������������
+ ������������+1 2������
������ = 1,2 … 215
整个系统 Fu 的浮力与 A1 的关系:
(13) (14) (15)
������������ = ������������������ + ������1 + ������1������
(7)
������������ = ������������������������
(8)
Vi 为第 i 个钢管(钢桶等效为第五个钢管)的体积。本题中,钢管有 4 条,钢桶有 1 个,锚链共有 210 节,因此水平夹角 θ 为含有 215 个元素的集合;算上最后一节链环对锚 的作用力,竖直作用力 A 为含有 216 个元素的集合。集合 θ 与集合 A 的映射关系满足(6) 式,集合 A 内部元素之间的递推关系满足(7)式。