人教中考数学 锐角三角函数 综合题含详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20
【解析】
试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.
试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin∠CAN=,
∴
∴AC=5,
∴AB=AC=5,
设AF=x,则CF=5﹣x,
在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,
在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,
∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,
∴x=3,
∴BF2=25﹣32=16,
∴BF=4,
即点B到AC的距离为4.
考点:切线的判定
2.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,
∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE
,
∴BE=CE•cot30°=12×3=123,
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,
得DE=BE=123.
∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.
答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
3.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.
(1)求证:△MED∽△BCA;
(2)求证:△AMD≌△CMD;
(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=17
5
S1时,求cos∠ABC的
值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos ∠ABC=57
. 【解析】 【分析】
(1)易证∠DME=∠CBA ,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED ∽△BCA ; (2)由∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,可知MB=MC=AM ,从而可证明∠AMD=∠CMD ,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ; (3)易证MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA ,所以
2
114
ACB S MD S
AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以S △MCB =12S △ACB =2S 1,从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1,由于1EBD
S ME S EB =,从而可知
52ME EB =,设ME=5x ,EB=2x ,从而可求出AB=14x ,BC=7
2,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案. 【详解】
(1)∵MD ∥BC , ∴∠DME=∠CBA , ∵∠ACB=∠MED=90°, ∴△MED ∽△BCA ;
(2)∵∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴MB=MC=AM , ∴∠MCB=∠MBC , ∵∠DMB=∠MBC ,
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC , ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ,
∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC , ∴∠AMD=∠CMD , 在△AMD 与△CMD 中,
MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,
由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴
2
114
ACB S MD S
AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭,
∴S△ACB=4S1,
∵CM是△ACB的中线,
∴S△MCB =1
2
S△ACB=2S1,
∴S△EBD=S 2﹣S △MCB ﹣S1=2
5
S1,
∵1
EBD
S ME
S EB
=,
∴1
1
2
5
S ME
EB
S
=
,
∴5
2
ME
EB
=,
设ME=5x ,EB=2x ,
∴MB=7x,
∴AB=2MB=14x,
∵1
2
MD ME
AB BC
==,
∴BC=10x,
∴cos∠ABC=105
147
BC x
AB x
==.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
4.如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连接,若,.
①求的值;
②若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以
的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点