线性规划模型的应用与灵敏度分析正文
02 线性规划基本概念 应用 标准型 图解法 灵敏度分析
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + y7 11
xj 0 , yj 0 for j = 1 to 7
25
关于模型的一些变形
• 假定第j天的需求工人数量是dj. 设yj表示 第j天实际的工人数量.设第j天的费用定 义为第j天超过需求的人数的某个函数,记 为fj(yj – dj),什么是最小费用的人员安排?
17
线性规划问题的应用举例
例．在每周的不同工作日，一个邮局需要不同数量的 专职员工。下表给出了每天需要的专职员工的数量。 工会的章程规定，每个专职员工每周必须连续工作5天 ，然后休息2天。这个邮局希望通过只用专职员工来满 足它每天的需要。表述一个LP，使得这个邮局可以利 用它使必须聘用的专职员工的数量最少。
13
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划模型 Max (Min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ) b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ) b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ (=, ≥ ) bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫 酸可选（30%，45%，73%，85%， 92%）会出现什么情况？ 取这5种硫酸分别为 x4、x5 千克, 则有： x1、x2、x3、
x1 x2 x3 x4 x5 100 0.3x1 0.45x2 0.73x3 0.85x4 0.92x5 0.8 100
实验二___线性规划灵敏度分析
实验二线性规划模型及灵敏度分析（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。
（二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。
（三）实例操作：（1）建立电子表格模型；（2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”；（3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法；（4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。
案例1 市场调查问题某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。
该厂对市场调查公司提出了以下要求：（1）共对500个家庭进行调查；（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭；（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。
对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示：市场调查费用表家庭类型调查费用（元）问卷式书面调查口头调查有孩子的家庭50 30没有孩子的家庭40 25问：市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？案例2 经理会议建议的分析某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表所示：生产三种产品的有关数据资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量设备B1(min) 1 2 1 430设备B2(min) 3 0 2 460原料C1(kg) 1 4 0 420原料C2(kg) 1 1 1 300每件利润(元) 30 20 50已知每天对产品A2的需求不低于70件，对A3不超过240件。
3.5 线性规划灵敏度分析(一)
当这些数据的变化超出了范围，如何作微小的调整，在原有的最优
基（或最优解）的基础上求出新的最优基（或最优解）。
3
显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后，原来已 得结果一般会发生变化。
当然可以用单纯形法从头计算，以便得到新的最优解。这样做很 麻烦，而且也没有必要。
因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数矩阵B有关，
可见, 当cr 变化Δcr 后, 最终表中的检验数是
10
当cr 变化Δcr 后, 最终表中的检验数是
若要求原最优解不变, 即必须满足 'j 。0于是得到
当 arj
0,
cr
j
arj
;
arj
0,
cr
j
arj
;
j
= 1,2,, n
Δcr 可变化的范围是
max
j
j
arj
arj
0
cr
min
j
j
arj
(1)若cj是非基变量xj的系数，这时它在计算表中所对应的检验数是 m
σj=cj-CBB-1Pj 或
j = c j − aij yi
当cj变化Δcj后，要保证最终表中这个检验数仍小i=1于或等于零，即
σj’ =cj-CBB-1Pj≤0
那么cj+Δcj≤YPj，即Δcj的值必须小于或等于YPj-cj，才可以满足原最
因此可以把发生变化的个别系数，经过一定计算后直接填入最终 计算表中，并进行检查和分析 系数发生变化后原问题与对偶问题的变化情况
4
1 资源数量变化的分析
资设源规数划量问变题化的是其指他资系源数中都某不系变数。b这r发样生使变最化终，表即中b原r′=问br题+Δ的br解。相并假应 地变化为
线性规划-灵敏度分析
若进一步问： 1）当原材料涨价或产品价格发生变化时，原最优生产计划变否？ 2）若在生产中采用了新的工艺，产品对原材料的消耗发生了变化，原最优生产 计划变否？ 3）为适应市场需要，管理者可能会生产新的产品或停止生 产某种产品，原最优 生产计划变否？
二、灵敏度分析的定义 研究数学模型某些系数的变化对最优解的影响及其影响程度的分析称为灵 敏度分析（Sensitivity Analysis）或优化后分析。
1 1
B 1b 故：原最优基不变，但最优解变为： X 5 1 0 0 0 T 0 1 b 2） 设： b b 1 3 3
要使原最优基不变，就要有： B-1b≥ 0 ，
4 1 b1 B b 1 1 3 0
5）是否有更好的增加资源的方案，实际上是问：①应增加哪种资源？②花多大代价增 加这种资源? ③最佳增量是多少？ ① 资源甲的影子价格 y1 = 5 > 1 ＝ y2 资源乙的影子价格，故应首先考虑增加资源甲。 ② 单位资源增量所支付的费用应< 资源的影子价格，即：单位费用< 5 才合算。 ③ 最佳增量应满足：
三、灵敏度分析的内容
1 当线性规划模型系数中的一个或几个发生变化时，已经求得的最优解是否会 发生变化？ 2 线性规划模型的系数在什么范围内变动时，原来的最优解不变？
3 当线性规划模型系数的变化时，已经引起原最优解的变化时，如何才能尽快
求出新的最优解？
四、灵敏度分析的理论依据及方法
记最优基矩阵为B，最优解： 最优值： X = B－1b z = CB B－1b 与b无关 与b、C无关 与C无关
4 1 1 / 3 1 0 即： N ' 1 0 0 c 1 ' 3 1 1 7 / 3 0 1 0时，原最优解不变 N ' c1 '5 4c1 '3 c1 '3 0
论述：线性规划的灵敏度分析
论述：线性规划的灵敏度分析论述：线性规划的灵敏度分析。
分析的基本步骤，各参数变化带来的影响以及最优基发⽣改变后相应的处理⽅法。
线性规划的灵敏度分析研究的问题是：研究线性规划模型中aij、bi、cj等参数中的⼀个或⼏个发⽣变化时，问题最优解会发⽣什么变化；研究这些参数在⼀个多⼤范围内变化时，问题的最优解不变。
研究的前提条件:1、原线性规划问题已取得了最优解；2、每次只讨论⼀种参数的变化，⽽参数之间的变化互不关联。
分析的基本步骤：1、将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来2、检查原问题是否仍为可⾏解3、检查对偶问题是否仍为可⾏解4、按照单纯形表所列情况得出结论活决定继续计算的步骤。
各参数变化带来的影响：1、⾮基变量cj发⽣变化当⽬标函数中cj发⽣变化，将影响最终单纯形表中⾮基变量的检验数。
如果是⾮基变量的价值系数发⽣变化，只影响该⾮基变量的检验数。
如果是基变量的价值系数发⽣变化，将影响所有⾮基变量的检验数。
如果变化后所有的检验数仍然⼩于等于0，则最优解不变；否则，使⽤单纯形法求变化后的新最优解。
2、右端常数项bi发⽣变化当右端常数项发⽣变化时，将影响最优单纯形表中基变量的值。
如果基变量的值仍然都⼤于等于0，则线性规划问题的最优解不变，但是基变量的值将发⽣变化；如果有基变量的值⼩于0，则⽤对偶单纯形法对原最优单纯形表继续求解。
3、增加⼀个变量增加⼀个变量也就是多⽣产⼀种产品。
只需考虑该产品（变量）的检验数是否⼤于0，如果⼤于0则表⽰应该⽣产，⽤单纯形表进⾏求解；如果⼩于等于0则该产品不⽤⽣产，最优解也不发⽣变化。
4、增加⼀个约束条件增加⼀个约束条件，可能影响的只是该约束条件的松弛变量的值。
如果该松弛变量的值⼤于等于0，则线性规划最优解不变；如果该松弛变量的值⼩于0，则⽤对偶单纯形法进⾏计算。
5、aij发⽣变化改变aij只会影响检验数，如果改变后所有的检验数均⼩于等于0，则最优解不变；如果存在检验数⼤于0，则⽤单纯形法进⾏求解。
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
第五章线性规划问题的灵敏度分析
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划模型-灵敏度分析
0.8千克B1
获利44元/千克
至多100公斤A1
制订生产计划，使每天净利润最大
• 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投 资？现投资150元，可赚回多少？ • B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
钢管下料
原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等 手段，将原材料加工成所需大小 按照工艺要求，确定下料方案， 使所用材料最省，或利润最大
整数非线性规划模型
钢管下料问题2
增加约束，缩小可行域，便于求解
每根原料钢管长19米
需求：4米50根，5米10 根，6米20根，8米15根
4 50 5 10 6 20 8 15 26 原料钢管总根数下界： 19
引 言
由于战争的需要, 美国的经济学家T. C. Koopmans (库普曼斯) 重新独立的研究运输问 题, 并很快看到了线性规划在经济学中应用的 意义. 在这之后, 线性规划也被人们广泛地用 于军事、经济等各方面。 由于Kantorovich 和 Koopmans在这方面 的突出贡献,他们一起得到1975年诺贝尔经济 学奖。 为更好地理解线性规划所描述的问题， 我们先看一个例子。
原料最多增加10 时间最多增加53
• 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买10桶!
例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工
1桶 牛奶 或 3千克A1 12小时 1千克 获利24元/千克
2小时,3元 获利16元/千克 8小时 4千克A2 1千克 获利32元/千克 0.75千克B2 50桶牛奶, 480小时 2小时,3元
35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
线性规划的灵敏度分析
资源有剩余，在 最优解中就有对 应松弛变量存在， 且其影子价为 0
影子价为 0， 资源并不一定有 剩余
4
5.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分
析cj 允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况:
1300 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1
zj-cj 3.25 0 2.75 0 0 0.25 1
c c j k
由于基变m量对应的价值系数 cj 在CB中出现，
2 基变量 zj zj (cjk c因jki )此ai它j 会影c响jk a所ij 有非cj基k a变kj (量z的j 检验zj数) 。
5.4 （技术系 数 aij 的灵敏 度分析）暂不 讲授(转5.5）
技术系数aij变化的影响比较复杂
对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 对应非基变量的 aij ，且资源bi全用完或未用完
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
3
z8c8 qiai8c8(5040.2 531)9 i1
50
结论：生产x8有利。 将B–1P8加入最优单纯型表中，以x8为入基变量进行迭代。 （过程学生完成）
17
5.6 新增约束 条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件
(x)
b
i
i1
(C
B
线性规划灵敏度分析文稿演示
即：cj + cj ≤ CBB-1Pj =YPj
第五讲 线性规划灵敏度分析
一、目标函数系数的变化
1. 若cj是非基变量的系数：
例题
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 S.t. -x1-2x2-x3+x4 = - 3
-2x1+x2-3x3+x5 = - 4 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
影响原最优解。
第五讲 线性规划灵敏度分析
二、约束右端常数项的变化
资 源 数 量 变 化 是 指 资 源 中 某 系 数 br 发 生 变 化 ， 即 br′=br+Δbr。并假设规划问题的其他系数都不变。这样使最
终表中原问题的解相应地变化为：
XB′=B -1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最终表
1/ 4 1/ 2 1/ 8
0 0
1b2
0
0
4 1/ 4
0
4 1/ 2b2 0
2
1/ 8
0
由上式，可得
Δb2≥−4/0.25=−16 ， Δb2≥−4/0.5=−8 ， b2≤2/0.125=16 。 所 以 Δb2的变化范围是［−8，16］；显然原b2 =16，加它的变化范围 后，b2的变化范围是［8，32］。
cj-zj
00
0 x3 0 -2 0.5 -2-Δc2/2
0
0
x4
x5
0.25 0
0.5 1
–0.125 0
Δc2/8-1/4 0
第五讲 线性规划灵敏度分析
一、目标函数系数的变化
若保持原最优解，从上表的检验数行可见应有
LINGO线性规划及其灵敏度分析
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现一、问题的提出：某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg，才能满足动物生长需要。
A1A2A3A4A5营养最低要 求蛋白质(g)0.3210.6 1.860矿物质(g)0.10.050.020.20.053维生素(mg)0.050.10.020.20.088成本（元/ kg）0.20.70.40.30.5问题：1．求使得总成本最低的饲料配方？2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位，但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所值不值得接受？3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克，问是否要改变饲料配方？二、建立线性规划数学模型解答：（1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线性规划数学模型如下：目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=600.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8X1+X2+X3+X4+X5<=52X1, X2, X3, X4, X5>=0三、在LINGO软件中的求解在LINGO中输入下面的命令：Model：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8;x1+x2+x3+x4+x5<52;end操作：选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333四、结果分析：(一) 一般分析1.因此,每周每个动物的配料为饲料A2、A4、A5分别为12、30和10kg，合计为52KG，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；2. “Reduced Cost”表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。
线性规划模型的应用与灵敏度分析正文
线性规划模型的应用与灵敏度分析正文线性规划模型的应用与灵敏度分析第一章线性规划问题1.线性规划简介及发展线性规划（Linear Programming）是运筹学中研究最早、发展最快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写为LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，为合理利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。
线性规划及其通用解法——单纯形法是由美国G.B.Dantzig在1947年研究空军军事规划提出来的。
法国数学家傅里叶和瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。
1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视[1]。
1947年美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力[2]。
1951年美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。
例如，1954年莱姆基提出对偶单纯形法，1954年加斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年塔克提出互补松弛定理，1960年丹齐克和沃尔夫提出分解算法等。
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究[3]。
由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。
第3章线性规划的灵敏度分析
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到：
从左边的不等式，我们得到
因此
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从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
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在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
（3-1）
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现在让我们考虑目标函数直线斜率的一 般形式。用CS表示标准袋的利润，CD表示 高级袋的利润，P表示目标函数值。使用这 些标识，目标函数直线可以写成：
P＝CSS＋CDD 把上面方程写成斜截式，得到：
CDD＝﹣CSS＋P 以及
因此，我们得到目标函数的斜率为－CS／CD。 把－CS／CD代入式（3-1），我们看到只要满 足下列条件，极点③就仍然是最优解点：
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D
直线B
S+ (2/3)D=708
600
10S+ 9D=7668
400
③
200
可行域
直线A (7/10)S+D=630
图3-1
o
200
400
600
800
S
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在图3-1中，我们可以看到只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线
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线性规划模型的应用与灵敏度分析第一章线性规划问题1.线性规划简介及发展线性规划（Linear Programming）是运筹学中研究最早、发展最快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写为LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，为合理利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。
线性规划及其通用解法——单纯形法是由美国G.B.Dantzig在1947年研究空军军事规划提出来的。
法国数学家傅里叶和瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。
1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视[1]。
1947年美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力[2]。
1951年美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。
例如，1954年莱姆基提出对偶单纯形法，1954年加斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年塔克提出互补松弛定理，1960年丹齐克和沃尔夫提出分解算法等。
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究[3]。
由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。
1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。
用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。
现已形成线性规划多项式算法理论。
50年代后线性规划的应用范围不断扩大。
建立线性规划模型线性规划研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力、物力等资源去完成；另一类是在人力、物力等资源确定的情况下，如何安排使用这些资源，使创造的价值最多，其实质是解决稀缺资源在有竞争环境中如何进行最优分配的问题，即寻求整个问题的某个整体指标最优的问题[4]。
2. 线性规划的数学模型2.1 线性规划问题例1-1某工厂在计划期内要安排生产两种产品Ⅰ,Ⅱ，已知生产单位产品所需的设备台数及A,B 两种原材料的消耗量，见表1-1。
该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？有关资料如下表1-1产品、资源信息产品Ⅰ Ⅱ 资源限量 设备/台1 2 8 原材料A/kg4 0 16 原材料B/kg 0 4 12用数学语言来描述生产计划的安排，建立数学模型。
解：设x 1,x 2分别表示在计划期内产品Ⅰ,Ⅱ的生产量，在满足资源限量的条件下，它们必须同时满足下列条件。
对设备有效台数： 8221≤+x x对原材料A ： 1641≤x对原材料B ： 1242≤x该工厂的生产目标是在不超过所有资源限量的条件下，确定生产量x 1,x 2，使该 得到的利润最大。
若用Z 表示总利润，则有2132m ax x x Z +=综合上述，该生产计划问题可用数学模型表示为2132m ax x x Z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x (1-1) 这就是一个线性规划模型[5]。
2.2 线性规划问题的数学模型线性规划数学模型是由一组含有等式或者不等式的代数方程以及一个具有求极值关系的目标函数表达式构成的符合抽象数学模型。
下面介绍建立实际问题线性规划模型的基本步骤。
（1） 确定决策变量。
这是很关键的一步，决策变量选取得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且求解比较方便。
（2） 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不等式来表示，从而得到约束条件。
一般可用表格形式列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。
（3） 把实际问题所要达到的目的用决策变量的线性函数来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小值。
（4） 根据实际问题添加非负约束。
线性规划的数学表达式成为线性规划的数学模型，一般形式为n n x c x c x c Z +++= 2211m ax (m in) (1-2)s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++0,,0,0),(),(),(2122112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1-3)其中，式(1-2)称为目标函数，(1-3)式称为约束条件。
2.3 线性规划的性质定理1 线性规划问题的可行解X 是基可行解的充要条件是X 的非零分量对应的系 数矩阵A 的列向量线性无关[6]。
定理2 若一个线性规划问题有可行解，则它必有基本可行解[7]。
定理3 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。
证明：设)2()1(,X X 是可行域的顶点，若)0(X 不是顶点，且目标函数在)0(X 处达到最优)0(*CX Z =（标准型是Z Z max *=）。
因为)0(X 不是顶点，所以D 的顶点线性表示为)(1)0(i ki i X a X ∑== (1-4)在所有顶点中必然能找到某个顶点)(m X ，使)(m CX 是所有)(i CX 中最大者，并且将)(m X 代替式（1-5）中所有的)(i X ，这就得到)()(1)(1m m ki i i k i i CX X C XC =≤∑∑==αα，由此得到)()0(m CX CX ≤，根据假设)(O CX 最大值，所以只能有)()0(m CX CX =，即目标函数在顶点)(m X 处也达到最大值。
有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，这时在这些顶点的凸集合上也达到最大值，称这种线性规划问题有无穷多最优解。
由以上的讨论可知，为了寻求线性规划问题的最优解，只从其有限数目的基本可行解中去寻找基础最优解就可以了。
尽管如此，当数m,n 较大时，用此种方法求其最优解也是不可行的[8]。
第二章求解线性规划的方法1. 图解法图解法是求解线性规划模型的一种重要方法，线性规划中一些重要的性质、概念和求解思想都来源于此。
当只有两个决策变量时，可以用图解法求解。
它具有简单直观的特点。
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明，先介绍线性规划问题的图解法[8]。
我们把满足约束条件和非负约束条件的一组解叫做可行解，所有可行解组成的集合称为可行域。
图解法的求解步骤如下：第一步，根据约束画出可行域，先以决策变量为坐标，建立直角坐标系，再根据各约束条件，作出可行域。
第二步，作出一条目标函数等值线，并确定增值方法。
第三步，沿等值线的法线方向值增大方向移动，从而找到最大值。
图解法得出线性规划的几种情况：表2-1 解的几种情况解的几种情况约束条件图形特点方程特点惟一解一般围成有限区域，最优值只在一个顶点达到--无穷多解在围成的区域边界上，至少有两个顶点处达到最优目标和某一约束方程成比例无可行解（无解）围不成区域有矛盾方程无界解（无解）围成无界区域，且无有限最优值缺少一必要条件的方程2. 单纯形法2.1 单纯形法的发展单纯形法（simplex methods ），求解线性规划的通用方法。
单纯形法是美国数学家G .B.Dantzig 于1947年首先提出的。
简单的说就是一种数学迭代方法，求解基本过程是从一个基本可行解跳到另一个基本可行解的逐步替代，从而使目标函数不断得到改善。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n 维向量空间n R 中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到[9]。
2.1.1 单纯形法的基本思路单纯形法的基本思路是：根据线性规划问题的标准型，从可行域中某个基本可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点），并且当目标函数达到最大值时，问题就得到了解决，其基本思路的框架图如下图2-1。
图2-1 单纯形法的基本思路 例2-1 用单纯形法讨论例1-1的求解。
解：已知例1.1的标准型为：5432100032m ax x x x x x Z ++++= (2-1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+=+=+5,,2,1,012416482524121 j x x x x x x x j (2-2) 约束条件(2-2)的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100400100400121),,,,(54321P P P P P A显然，3x ，4x ，5x 的系数列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0104P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1005P (2-3) 是线性独立的，因而这些向量构成一个基()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100010001,,543P P P B (2-4)对应于B 的基变量为3x ,4x ,5x ，从约束条件(2-2)中可以看到251421341241628x x x x x x x -=-=--= (2-5)当令非基变量021==x x ，这时得到一个基本可行解)0(XT X )12,16,8,0,0()0(= (2-6) 将式(2-3)代入目标函数(2-1)得到032021=++=x x Z (2-7) 这个基本可行解表示：工厂没有安排生产Ⅰ,Ⅱ产品；资源都没有被利用，所以工厂的利润0=Z 。
分析目标函数的表达式(2-7)可以看到：非基变量1x ,2x 的系数都是正数，因此将非基变量变为基变量，目标函数的值就可能增大，从经济意义上讲，安排生产产品Ⅰ或Ⅱ，就可以使工厂的利润指标增加，所以只要在目标函数(2-7)的表达式中还存在有正系数的非基变量，这表示目标函数值还有增加的可能，就需要将非基变量与某个基变量进行对换，一般选择正系数最大的那个非基变量2x 为换入变量，将它换入到基变量中区，同时还有确定基变量中有一个要换出来成为非基变量，可按以下方法来确定换出变量。
现分析式(2-5)，当将2x 定为换入变量后，必须从3x ,4x ,5x 中换出一个，并保证其余的都是非负，即3x ,4x ,5x ≥0。
当01=x ，由式(2-5)得到41201602825423≥-=≥=≥-=x x x x x (2-8)从式(2-8)中可以看出，只有选择3)4/12,2/8m in(2=-=x (2-9)时，才能使式(2-8)成立。