线性规划模型的应用与灵敏度分析正文

线性规划模型的应用与灵敏度分析

第一章线性规划问题

1.线性规划简介及发展

线性规划（Linear Programming）是运筹学中研究最早、发展最快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写为LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，为合理利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。

线性规划及其通用解法——单纯形法是由美国G.B.Dantzig在1947年研究空军军事规划提出来的。法国数学家傅里叶和瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视[1]。1947年美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力[2]。1951年美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年莱姆基提出对偶单纯形法，1954年加斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年塔克提出互补松弛定理，1960年丹齐克和沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究[3]。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。1979年苏联数学家提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。建立线性规

划模型线性规划研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力、物力等资源去完成；另一类是在人力、物力等资源确定的情况下，如何安排使用这些资源，使创造的价值最多，其实质是解决稀缺资源在有竞争环境中如何进行最优分配的问题，即寻求整个问题的某个整体指标最优的问题[4]。

2. 线性规划的数学模型

2.1 线性规划问题

例1-1某工厂在计划期内要安排生产两种产品Ⅰ,Ⅱ，已知生产单位产品所需的设备台数及A,B 两种原材料的消耗量，见表1-1。该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？有关资料如下

表1-1产品、资源信息

产品

Ⅰ Ⅱ 资源限量 设备/台

1 2 8 原材料A/kg

4 0 16 原材料B/kg 0 4 12

用数学语言来描述生产计划的安排，建立数学模型。

解：设x 1,x 2分别表示在计划期内产品Ⅰ,Ⅱ的生产量，在满足资源限量的条件下，它们必须同时满足下列条件。

对设备有效台数： 8221≤+x x

对原材料A ： 1641≤x

对原材料B ： 1242≤x

该工厂的生产目标是在不超过所有资源限量的条件下，确定生产量x 1,x 2，使该 得到的利润最大。若用Z 表示总利润，则有

2132m ax x x Z +=

综合上述，该生产计划问题可用数学模型表示为

2132m ax x x Z +=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0

,12416482212

121x x x x x x (1-1) 这就是一个线性规划模型[5]。

2.2 线性规划问题的数学模型

线性规划数学模型是由一组含有等式或者不等式的代数方程以及一个具有求极值关系的目标函数表达式构成的符合抽象数学模型。下面介绍建立实际问题线性规划模型的基本步骤。

（1） 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且求解比较方便。

（2） 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。

（3） 把实际问题所要达到的目的用决策变量的线性函数来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小值。

（4） 根据实际问题添加非负约束。

线性规划的数学表达式成为线性规划的数学模型，一般形式为

n n x c x c x c Z +++= 2211m ax (m in) (1-2)

s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++0

,,0,0),(),(),(21221

12222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1-3)

其中，式(1-2)称为目标函数，(1-3)式称为约束条件。

2.3 线性规划的性质

定理1 线性规划问题的可行解X 是基可行解的充要条件是X 的非零分量对应的系 数矩阵A 的列向量线性无关[6]。

定理2 若一个线性规划问题有可行解，则它必有基本可行解[7]。

定理3 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。

证明：设)2()1(,X X 是可行域的顶点，若)0(X 不是顶点，且目标函数在)0(X 处达到最优)0(*CX Z =（标准型是Z Z max *=）。

因为)0(X 不是顶点，所以D 的顶点线性表示为

)(1)0(i k

i i X a X ∑== (1-4)

在所有顶点中必然能找到某个顶点)(m X ，使)(m CX 是所有)(i CX 中最大者，并且将)(m X 代替式（1-5）中所有的)(i X ，这就得到)()(1)(1m m k

i i i k i i CX X C X

C =≤∑∑==αα，由此得到)()0(m CX CX ≤，根据假设)(O CX 最大值，所以只能有)()0(m CX CX =，即目标函数在顶点)(m X 处也达到最大值。

有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，这时在这些顶点的凸集合上也达到最大值，称这种线性规划问题有无穷多最优解。

由以上的讨论可知，为了寻求线性规划问题的最优解，只从其有限数目的基本可行解中去寻找基础最优解就可以了。尽管如此，当数m,n 较大时，用此种方法求其最优解也是不可行的[8]。