天津市和平区2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2020-2021学年天津市和平区高三上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1} 2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.0405．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）二、填空图（共6小题）.10．已知i是虚数单位，则＝．11．在的展开式中常数项是．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1}解：∵集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∴∁U A＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1}．故选：A．2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项C和D，又f（）＝＝＞0，排除选项B，故选：A．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.040解：由频率分布直方图可得（0.003+0.0070.02+0.012+2a+0.03+0.008）×10＝1，解得a＝0.020．故选：B．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．解：由题意可知正方体的体对角线的长度，就是外接球的直径，球O的体积为36π，所以外接球的半径为R，可得πR3＝36π，所以R＝3，所以正方体的对角线的长度：6，棱长为a，＝6，解得a＝2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：a3＝24．故选：D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：1＜＝30.8＜b＝30.9，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：D．7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：抛物线的焦点坐标为（0，5），双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为by+ax＝0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴＝b＝4，即b＝4，∵c＝5，∴a＝3，∴双曲线方程为：．故选：D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（）＝，得sin（φ+）＝1．∴φ+＝，k∈Z．取k＝0，得φ＝＜π．∴，φ＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）解：因为函数f（x）＝，则f（﹣x）＝，所以函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）＝，①当k＝0时，，所以g（x）只有一个零点，不符合题意；②当k≠0时，因为，所以g（﹣x）＝g（x），则g（x）为偶函数，所以g（x）有且仅有四个不同的零点可转化为g（x）＝x2+kx+k（x＞0）有且仅有两个不同的零点，所以g'（x）＝2x﹣k（x＞0），当k＜0时，g'（x）＞0（x＞0）恒成立，此时g（x）（x＞0）最多一个零点，不符合题意，当k＞0时，令g'（x）＝2x﹣k＞0（x＞0），则，令g'（x）＝2x﹣k＜0（x＞0），则，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则有，解得k＜0或k＞4，又k＞0，所以k＞4，综上所述，所以实数k的取值范围是（4，+∞）．故选：B．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．已知i是虚数单位，则＝1+4i．解：＝．故答案为：1+4i．11．在的展开式中常数项是60．解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项是•22＝60，故答案为：60．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．解：由圆C的圆心在x轴的正半轴上，设圆C的圆心为（a，0）（a＞0），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y+1＝0的距离为，得a2+3＝r2且，解得a＝，．∴圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．故答案为：（x﹣）2+y2＝．．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．解：有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m＝＝9，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为P＝＝．故答案为：．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为3+6．解：∵a＞0，b＞0，且+＝，∴a+2b＝（a+2）+2（b+2）﹣6＝3[（a+2）+2（b+2）]（）﹣6，＝9+﹣6﹣6＝3+6，当且仅当且+＝，即b＝1+，a＝1+3时取等号，故a+2b的最小值为3+6．故答案为：3+6．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．解：因为且满足＝λ，λ∈[0，1]则有＝λ，＝λ，所以＝+＝+λ＝+λ，＝++＝++λ＝++λ＝（1﹣λ）+，所以•＝（+λ）[（1﹣λ）+]＝（1﹣λ）2+（1+λ﹣λ2）•+λ2＝4（1﹣λ）﹣2（1+λ﹣λ2）+4λ＝2λ2﹣2λ+2当λ＝时，•有最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．解：（1）由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴a2＝4b2，即a＝2b，∵，∴b2+c2﹣a2＝ac＝bc，由余弦定理知，cos A＝＝﹣．（2）由（1）知，cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴sin A＝＝，由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴sin2A＝4sin2B，∵A，B∈（0，π），∴sin A＝2sin B，即sin B＝sin A＝，又A为钝角，∴B为锐角，∴cos B＝＝，∴sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝1﹣2sin2B＝，故sin（2B+A）＝sin2B cos A+cos2B sin A＝×（﹣）+×＝．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），∵＝4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．（Ⅱ）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面CDP的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（1，1，1），平面ACD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．（Ⅲ）设M（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣4）＝（0，4λ，﹣4λ），∴a＝0，b＝4λ，c＝4﹣4λ，∴M（0，4λ，4﹣4λ），＝（0，4λ，4﹣4λ），平面CDP的法向量＝（1，1，1），∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝，∴MD＝PD＝＝2．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得a2＝9，b2＝4，c2＝5，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＝3，所以A（﹣3，0），所以直线AP方程为y＝kx+3k，设P（x1，y1），Q（0，y），联立得（4+9k2）x2+54k2x+81k2﹣36＝0，所以﹣3+x1＝﹣，﹣3x1＝，所以x1＝，y1＝kx1+3k＝k•+3k＝，所以|AP|＝|﹣3﹣x1|＝，|AQ|＝，|PQ|＝＝，因为△APQ是等边三角形，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，所以＝＝，解得k＝0．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．解：（Ⅰ）由等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125，可得a32＝125，即a2＝5，a3＝15，则等比数列{a n}的公比为3，所以a n＝5•3n﹣2，S n＝＝（3n﹣1）；（Ⅱ）（ⅰ）由b1＝1，且，可得b1＝b2﹣1，即b2＝2，当n≥2时，b1++…+＝b n﹣1，又b1++…++＝b n+1﹣1，两式相减可得＝b n+1﹣1﹣（b n﹣1），化为＝＝…＝＝1，所以b n＝n，对n＝1也成立，b n＝n，n∈N*；（ⅱ）M n＝＝a1b1+a2b3+a3b5+…+a n b2n﹣1＝×1+5×3+5×3×5+…+5•3n﹣2•（2n﹣1），3M n＝5+5×32+5×32×5+…+5•3n﹣1•（2n﹣1），上面两式相减可得﹣2M n＝+10（1+3+32+…+3n﹣2）﹣5•3n﹣1•（2n﹣1）＝+10•﹣5•3n﹣1•（2n﹣1），化简可得＝+5（n﹣1）•3n﹣1．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣2ax﹣1，f′（x）＝e x﹣2a，若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，则切线斜率k＝tan＝1＝f′（0）＝1﹣2a＝1，解得：a＝0；（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣2a，x∈R，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2a，故f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增，综上：当a≤0时，f（x）在R递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，即e x﹣2ax﹣1+2aln（x+1）﹣x≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，设h（x）＝e x+2aln（x+1）﹣2ax﹣x﹣1，（x≥0），问题转化为h（x）min≥0，则h′（x）＝e x+﹣（2a+1），下面先证明：e x≥x+1，令p（x）＝e x﹣x﹣1，则p′（x）＝e x﹣1，令p′（x）＞0，解得：x＞0，令p′（x）＜0，解得：x＜0，故p（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故p（x）min＝p（0）＝0，故e x≥x+1，故h′（x）＝e x+﹣（2a+1）≥（x+1）+﹣（2a+1）＝，①a≤时，x﹣2a+1≥0，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）递增，h（x）min＝h（0）＝0，成立，②a＞时，2a﹣1＞0，令h′（x）＞0，解得：x＞2a﹣1，令h′（x）＜0，解得：x ＜2a﹣1，故h（x）在（0，2a﹣1）递减，在（2a﹣1，+∞）递增，故h（x）min＝h（2a﹣1）＝e2a﹣1+2aln2a﹣（2a）2，令2a＝t，则t＞1，则H（t）＝e t﹣1+tlnt﹣t2，H′（t）＝e t﹣1+lnt+1﹣2t，H″（t）＝e t﹣1+﹣2＞t+﹣2＞0，故H′（t）在（1，+∞）递增，而H′（1）＝﹣1＜0，H′（2）＝e﹣3+ln2＞0，故存在t0∈（1，2）使得H′（t0）＝0，故＝2t0﹣lnt0﹣1，故H（t）在（1，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故H（t）min＝H（t0）＝+t0lnt0﹣＝2t0﹣lnt0﹣1+t0lnt0﹣＝（t0﹣1）[lnt0﹣（t0﹣1）]，下面证明lnx≤x﹣1，令q（x）＝lnx﹣x+1（x＞1），则q′（x）＝﹣1＜0，故q（x）在（1，+∞）递减，故q（x）＞q（1）＝0，故lnx≤x﹣1，故lnt0﹣（t0﹣1）＜0，而t0﹣1＞0，故h（t0）＜0，故a＞时，存在实数x使得h（x）＜0，原命题不成立，综上：a≤，故a的取值范围是（﹣∞，]．。
2020-2021学年天津市部分区高二上学期期中考试语文试题(解析版)
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期中考试语文试题第I卷(26分，每小题2分)一、(10分)1.下列各句中，没有．．错别字且加点字的注音全都正确的一项是A.即使勉强．(qiǎng)地做了决议也是无益的，一待时机成熟他们就要撕毁一切决议，并以惨酷的战争反对人民。
B.在全国平定以后，他们也还会以各种方式从事破坏和捣乱，他们将每日每时企图在中国复辟．(pì)。
C.会议还未开始，会场里熙熙攘攘，许久不见的同志相互寒暄、敬礼、握手。
我找了一个靠墙的地方坐下。
D.美穗子及其全家来我国探望的时候，我接见了他们。
美穗子很激动，热泪盈．(yíng)眶，一在表示感谢。
2.依次填入下面语段横线处的词语，最恰当的一组是①在英国军舰“漆咸”号及悬挂中国国旗和香港特别行政区区旗的香港水警汽艇护卫下，将于1997年年底退役的“不列颠尼亚”号很快在南海的夜幕中。
②焦裕禄说：“……共产党员应该在群众最困难的时候，出现在群众的面前，在群众最帮助的时候，去关心群众，帮助群众。
”③要想战胜灾害，必须照毛主席的指示办事，地掌握灾害的底细，了解灾害的，然后作出正确的判断和部署。
A.消失需要详细原原本本B.消失需要详尽来龙去脉C.消逝须要详尽原原本本D.消逝须要详细来龙去脉3.下列各句中没有．．语病、语意明确的一项是A.得罪了老张的业务主管，事后懊悔不已，他总想找机会向对方道个歉、解释清楚，以便消除误会。
B.中学生常常为写不出好文章而烦恼，其实，要写出好文章，最重要的是表达真情实感，切忌胡编乱造。
C.战时的生活，并不都是炮火轰鸣、刀光剑影，也常常遇到一些曲折有趣的事情。
D.一首曲子往往会令我们感动得热泪盈眶，原因之一，就是因为它能勾起人们对往事的追忆。
4.下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误．．的一项是A.新闻具有及时性和真实性的特点，它以消息、通讯、特写等样式，向我们提供各方面最新的资讯。
报告文学强调真实，又不同新闻，作者可以对所涉及的事件和人物进行合理的艺术加工，也可以充分表达自己的思想感情。
天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题(含解析)
天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C. D.{}0,1,2{}1,2{}1{}22. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA.B.3()2f x x x =-+2()1xf x x =+C. D.()cos 4f x x x=||()e x x f x =4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b <<b c a<<5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A .3B. 2C. 1D. 06. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 1927. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A .B. C. D.4816+32+8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1 B. 2C. 3D. 49.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211m m f x m m x+-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00011. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +15. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N 求实数的取值范围.m天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C.D.{}0,1,2{}1,2{}1{}2【正确答案】D【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为，，{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N 所以.{2}A B = 故选：D.2. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.20x x ->【详解】由，解得或，20x x ->1x >0x <故“”是“”的充分不必要条件.0x <20x x ->故选：A.3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA. B.3()2f x x x=-+2()1x f x x =+C. D.()cos 4f x x x =||()e x x f x =【正确答案】C【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.【详解】由图象可知，故BD 不成立；()10f <对于A 选项：，当时，，'2()61f x x =-+'()0f x>x ⎛∈ ⎝当时，，'()0f x<,x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调()fx ,⎛-∞ ⎝⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭递增，不符合图象，故A 不成立；故选：C4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b<<b c a<<【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，()3log 4a f =()0.82c f -=-3log 423log 2的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.0.82--【详解】奇函数在上是减函数，则，()f x R ()()f x f x -=-所以，()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()0.80.822c f f --=-=-因为，，3331log 3log 4log 92=<<=122233332log 2log log 123-⎛⎫<==- ⎪⎝⎭又，所以，0.800221-<<=0.8120--<-<所以，则，0.82334log 22log -<-<()()0.8233log 22log 4f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭故.b c a >>故选：B 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【正确答案】A【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，1n +21n n n a a a +++=n 321n n n a a a +++=-再利用周期性运算得解.【详解】由题意得，用替换式子中的，得，21n n n a a a ++=-1n +n 321n n n a a a +++=-两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.3n n a a +=-63n n n a a a ++=-={a n }又，，.12a =21a =34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=所以数列的前2024项和.{a n }()2024126123373S a a a a a =+++++= 故选：A.6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 192【正确答案】B【分析】依题意写出前几项即可发现规律.【详解】设，1n n n a a b +-=由，，21312a a -=-=32633a a -=-=，…，431064a a -=-=可知为等差数列，首项为2，公差为1，{}n b 故，()211n b n n =+-=+故，11n n a a n +-=+则，，，212a a -=323a a -=434a a -=…，，()12n n a a n n --=≥累加得，()()1122n n n a a -+-=即，显然该式对于也成立，()()1212n n n a -+=+1n =故．212301231a =+=故选：B7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A. B. C. D. 4816+32+【正确答案】D【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，AD BC G H GH FH过点作的垂线，垂足为，F AB FI I因为，,所以，所以，3FB FC ==4BC =FH BC ⊥FH =根据对称性易得，FBC EAD △≌△所以，11422FBC S BC FH =⨯=⨯=△在中，，所以，Rt FBI △8422BI -==FI ==，1()2FEAB S EF AB FI =+⨯梯形1(48)2=⨯+=又，32ABCD S AB BC =⨯=矩形所以FE ABCD S -22FBC ABCD FEAB S S S =++△矩形梯形32=+故选：D ．8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】C【详解】3cos cos 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,cos sin 255πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以 原式sin sin cos cos sin 555sin cos cos sinsin 555πππαααπππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，tan tan 3tan 553tan tantan55ππαππα+===-故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式.9.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+【正确答案】D【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质ωϕ一一判断即可.【详解】函数的最小正周期是，()3sin()10,2πf x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭π所以，则，2π2πω==()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线对称，()()3sin 21f x x ϕ=++π3x =所以，解得，ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈ππ,Z 6k k ϕ=-+∈因为，所以当时，，则，ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0k =π6ϕ=-()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，，故A 错误；0x =()3103sin11622πf =-+=-+=-由，所以，2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦206π6,x 7π⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦因为在上不单调，所以在上不单调，故B 错误；sin y x =70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，7π7π3sin 213sin π11012126πf ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是的一个对称中心，故C 错误；7π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 因为，将的图象向左平移个单位长度得到：1π212ϕ=()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π12，所以能得到的图象，故D 正确.π3sin 213sin 2126π1y x x ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 21y x =+故选：D.10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211mm f x m m x +-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00【正确答案】C【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，(0,+∞)2m =单调递增，故，得到答案.()()()f a f b f b >-=-【详解】函数是幂函数，则，解得或()()2211mm f x m m x +-=--211m m --=2m =.1m =-当时，，在上为减函数，排除；1m =-()1f x x-=(0,+∞)当时，，在上为增函数，满足；2m =()5f x x =(0,+∞)，函数为奇函数，故在上单调递增.()5f x x =R ，故，，故.0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选.C本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-【正确答案】C【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值k 即可．【详解】函数，可得，2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，，(,2)x ∈-∞-(0,+∞)()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减．()f x (,2)-∞-(0,+∞)(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点，(k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或，k 3k =-1k =-故选：．C 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题．12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312【正确答案】C【分析】函数图象结合单调性可解.【详解】,函数在上单调递增，()()0f a f b a b=⇒<<()e 1x f x =-[]0,2b 所以,(2)()()f b f b f a >=所以在区间上的最大值为，解得[],2a b 2(2)e 1e 1b f b =-=-12b =故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =【正确答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,()()()()()52i 2i 534i 105i34i 5584i 2i 2i 2i 5z ----=+-=+=+=-++-,z ==故14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +【正确答案】5【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得.315y x +=13143(43)(5x y x y y x +=++【详解】正数，满足，，x y 35x y xy +=315y x +=1311123143(43)((13)(135555x y x y x y y x y x ∴+=++=++≥+=当且仅当即且时取等号，123x y yx =12x =1y =故的最小值为5.43x y +故515. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x 【正确答案】①③④【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.【详解】①当时所以成立，正确0x =0y =()00f =②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R ，故错误()y f x =x ③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确()y f x =④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确()y f x =⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可()y f x =12y x=能有三个交点，错误.故①③④．16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -【正确答案】4π【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为2BC m =11BB m =，所以其比表面积的最小值为.1R =≥4S π=考点：几何体的外接球，基本不等式.17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.【正确答案】或7382a <<54a =-【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，()()h x xf x =当时，，；2x ≤()11f x x =--()22,12,12x x h x x x x ⎧-≤=⎨-<≤⎩当时，，，(]2,4x ∈(]20,2x -∈()()()1123122f x f x x =--=---；()()()2212,23214,342x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩当时，，，(]4,6x ∈(]40,2x -∈()()()1145144f x f x x =-=--；()()()2214,45416,564x x x h x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩当时，，，(]6,8x ∈(]60,2x -∈()()()1167188f x f x x =--=---；()()()2216,67818,788x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩……作出函数的部分图象如下，()h x因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共()()g x x f x a =⋅-()()h x xf x =y a =点个数为2，由图可知，或.7382a <<54a =-故或7382a <<54a =-18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅【正确答案】13-【分析】由题意可得，，进一步化为，2AB DC =()()AE BF AB BC BC CF λ⋅=+⋅+ 4613λλ+-再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．【详解】由题意，，，2BC =4AB =60ABC ∠=︒所以，，2cos60422CD AB BC =-⋅︒=-=∴2AB DC =又动点和分别在线段和上，且，，所以E F BC DC BE BC λ= 12DF DCλ=，解得，011012λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩112λ≤≤∴()()()()AE BF AB BC BC CF AB BC BC FC λλ⋅=+⋅+=+⋅- 1()[()]()()2AB BC BC DC DF AB BC BC DC DC λλλ=+⋅--=+⋅+- 112()()()()2224AB AB AB BC BC AB BC BC AB λλλλλ-=+⋅+⋅-=+⋅+⋅221212(1)44AB AB BC BCλλλλ--=⋅++⋅+，1212416(1)42cos1204613131344λλλλλλ--=⨯++⨯⨯⨯︒+=+-≥=-当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，46λλ=λ=AE BF ⋅13故．13三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2（3）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.【小问1详解】，由正弦定理，得cos cos 2cos b C c B a A += ，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=()sin sin 2sin cos B C A A A+==，，，()0,πA ∈ sin 0A ≠1cos 2A ∴=π3A =【小问2详解】，21cos 2cos 123C C =-= 22cos 23C =，，()0,πC ∈ π0,22C ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 22C C ∴===πππcos cos cos cos sin sin 2232323C C C C A ⎛⎫⎛⎫∴+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12=-=【小问3详解】中，由余弦定理，得，ABD △22212cos 222b c BD A b c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⋅，224228b c bc ∴+-=中，由余弦定理，得，ABC V 2221cos 22c b a A c b +-==⋅，2228b c bc ∴+-=联立，得，，2222422828b c bc b c bc ⎧+-=⎨+-=⎩23c bc =3b c =代入，解得，224228b c bc +-=6b =2c =的面积.ABC ∴11π1sin 26sin 262232S bc A ==⨯⨯⨯=⨯⨯=20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N求实数的取值范围.m 【正确答案】（1）2nn a =（2）93m -<<【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数n 122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩{}n a 列，得出，即可得出答案；122a q =⎧⎨=⎩（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d 1n n b a d =+，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减1nn n b a d +=-n 11232n n nn n b n b b -=+⋅+ 法得出，则，令，则数列为递减数列，即可n T 33232n n n T n -⋅-⨯+=332nn c =-+⨯{}n c 结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设的公比为，{}n a q 由，得：，1310a a +=314S =21121111014a a q a a q a q ⎧+=⎨++=⎩解得或，122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩因为是递增数列，{}n a 所以，则，1q >122a q =⎧⎨=⎩所以.1222n nn a -=⨯=【小问2详解】在和之间插入个数、、…、，n a 1n a +n 1n b 2n b nn b 使、、、…、、成等差数列，设其公差为，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d此数列首项为，末项为，2n n a =112n n a ++=则，，1n n b a d =+1nn n b a d +=-则11112()(22)3222n n n n n n n n n b a b b n d a d n n +-+-+++++===⋅ 又,()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ 则,101332262n n T n -+⋅=⨯+⨯+ 122326322nn n T =⨯+⨯+⋅+ 则，()012132232322n n n T n -=-⨯-+++⋅ ()()12133333123222n n n n n --=--⨯+⋅=-+-则，33232n n n T n -⋅-⨯+=令，则数列为递减数列，332n n c =-+⨯{}n c 由对恒成立，()321n n n T n m -⋅<-⋅*n ∈N 则当为偶数时，对恒成立，则；n 332n m ->+⨯*n ∈N 29m c >=-当为奇数时，对恒成立，则，即，n 332n m ⨯->-+*n ∈N 13m c ->=-3m <综上实数的取值范围为.m 93m -<<。
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末语文试题含答案解析
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末语文试题一、选择题1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（）A．女人的手指振动了一下，想是叫苇眉子划破了手。
她把一个手指放在嘴里吮（shǔn）了一下。
B．长方形的、红砖墙严密地封琐着的工房区域，被一条水门汀的弄（nòng）堂划成狭长的两块。
C．至少，也当浸渍（zì）了亲族，师友，爱人的心，纵使时光流驶，洗成绯红，也会在微漠的悲哀中永存微笑的和蔼的旧影。
D．她们嘈杂起来，有的在公共自来水龙头边舀水，有的用断了齿的木梳梳掉执拗地粘（nián）在头发里的绵絮。
2．依次填入下面语段横线处的词语，最恰当的一组是（）八角坳离山有三十多里路，再加上要拐弯抹角地走小路，下半夜才赶到。
这庄子以前我来过，那时候在根据地里像这样大的庄子，每到夜间，田里的活儿干完了，老百姓开会啦，上夜校啦，_______，山歌不断，闹得可热火。
可是，现在呢，_______，连个火亮儿也没有，黑沉沉的，活像个乱葬岗子。
我_______地_______了庄子，按着政委告诉的记号，从东头数到第十七座窝棚，蹑手殴脚地走到窝棚门口。
A．锣鼓喧天鸦雀无声悄悄摸进B．沸反盈天风平浪静偷偷混进C．沸反盈天鸦雀无声悄悄混进D．锣鼓喧天风平浪静偷偷摸进3．下列各句中没有语病的一项是（）A．高速公路上交通事故的主要原因是司机违反交通规则或操作不当造成的，交通部门要加强安全宣传，提高司机的安全意识。
B．那时我在上海，也有一个唯一的不但敢于随便谈笑，而且还敢于托他办点私事的人，那就是送书去给白莽的柔石。
C．中国的哲学蕴含于人伦日用之中，中国建筑处处体现着人伦秩序与和而不同的东方智慧，五千年前的中华文明正是良渚大量建筑遗址的见证者。
D．在以后的一个多世纪中，包括彭定康在内的许多港督曾对港督府进行过大规模的装修、改建和扩建。
4．下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误的一项是（）A．孙犁，小说家、散文家，其作品文笔细腻婉约，浓郁的浪漫主义色彩和清新隽永的抒情诗风格，代表了“荷花淀派”的创作特色。
天津市和平区2020-2021学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学(文)试题
A． B． C． D．
7．设 ， 分别为具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2D．不确定
8．已知函数 ， ，若方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试
方式二：周六一天培训4小时，周日测试
公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组 记为甲组、乙组 先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间 精确到 ，并据此判断哪种培训方式效率更高？
C． D．
二、填空题
9．若 ，其中 ， 是虚数单位，则 ______．
10．过点 的直线 被曲线 截得的弦长为2，则直线 的方程为_____.
11．已知两条不重合的直线 ， ，两个不重合的平面 ， ，有下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，且 ，则 ；
③若 ， ， ， ，则 ；
④若 ， ，且 ， ，则 ．
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在如图所示的计算 程序框图中，判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知菱形 的边长为2， ，点 ， 分别在边 ， 上， ， ，若 ，则 的值为（ ）
2024届天津市和平区高三上学期期末质量调查数学试题及答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 （选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．·柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．·如果事件A B 、互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =．·任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}{}{}23,1,360U x x A B x x x =∈≤==+-=N ，则()U A B = ð（）（A ）{}2,0,2,3-（B ）{}3,2-（C ）{}3,2,4-（D ）{}3,0,2-（2）“x y >”是“11x y<”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数()f x 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A ）()2334x x f x x -++=（B ）()334x x f x x-++=（C ）()2334x x f x x -+-=（D ）()334x x f x x-+-=（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个（5）已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322n n a S =+，则4S 的值为（ ）（A ）9（B ）21（C ）45（D ）93（6）已知函数()sin (0)f x x ωω=>，函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）（A ）()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）()1πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（C ）()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）()cos2f x x=（7）如图，已知四棱锥A BCDE -的体积为,V CE 是BCD ∠的平分线，34CD CE BC ==，若棱AC 上的点P 满足13AP AC =，则三棱锥A DEP -的体积为（ ）（第7题）（A ）27V（B ）17V（C ）316V （D ）421V （8）已知实数,,a b c ，满足31log 35bca ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列关系不可能成立的是（ ）（A ）b c a<<（B ）b a c<<（C ）c b a<<（D ）c a b<<（9）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，过点F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为点A （点A 在第一象限），直线FA 与双曲线C 交于点B ，若点B 为线段AF 的中点，且2FA =，则双曲线C 的方程为（ ）（A ）22144x y -=（B ）22124x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=第Ⅱ卷 （非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）i 为虚数单位，复数z 满足()34i 12i z +=-，则z 的虚部为______．（11）在8的二项展开式中，2x 的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线:l y x =与圆()()()222:240C x y rr -+-=>相交于,A B 两点，若点D 为圆C 上一点，且ABD △为等边三角形，则r 的值为______．（14）如图，在ABC △中，3BO OC =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，记,AB a AC b == ，用,a b表示AO = ______；设,AB mAM AC nAN == ，若0,0m n >>，则21m n+的最小值为______．（第14题）（15）若方程222210x ax a x -+++-=在区间(]0,3内有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为3,,,sin2sin ,7a b c C C a c ==．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若7c =，（ⅰ）求b 的值；（ⅱ）求()cos A B -的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，4,26AD DC AB ===，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：1AB ∥平面11CDD C ；（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1D 到平面1ACB 的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为点12,F F ，左，右顶点分别为点12,A A ，离心率为23．已知点2A 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点1F 到抛物线2C 的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）直线1A M 交椭圆1C 于点M （点M 在第二象限），交y 轴于点2,N A MN △的面积是11A MF △面积的125倍，求直线1A M 的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及()2*2nii S n i=∈∑N ；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足11b =，且120n n b b +-=，（ⅰ）求()*112nk k k k k k k a a b b n a a =+⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∑N ；（ⅱ）若()()1*113521246211,,n n n m m m m nc c n P c c c c Q c c c c b -+-=-∈=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+N ，*N ,m m G ∈是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，则对任意*,,s t s t G G h ∈-≤N ，求h 的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数())()()0,g e ax f x x x a =>=∈R ，（Ⅰ）若1a =-，讨论()()()F x f x g x =⋅在()0,+∞的单调性；（Ⅱ）若0a >，函数()()()4ln G x f x g x ⎡⎤=⋅⎣⎦，不等式()1sin 66x a x G x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当*N ,2n n ∈≥时，求证：221671sin 6nk n n k k n =-+>∑．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）25-．（11）74．（12）131:254．（13）．（14）1344a b + ．（15）1915⎛⎤+ ⎥⎝⎦．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin22sin cos C C C =，已知sin2sin C C =，所以1cos 2C =且()0,πC ∈，所以π3C =，由正弦定理有sin sin a c A C =，所以3sin sin 7A C ==（Ⅱ）（ⅰ）因为7c =，所以3a =，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得23400b b --=，解得8b =或5b =-（舍），所以b 的值为8．（ⅱ）因为(),0,πa c A <∈，又因为sin A =13cos 014A ==>，法（一）()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+，因为7,3,8c a b ===，所以2221cos 27a cb B ac +-==-，所以sin B =，()13123cos 14798A B ⎛⎫-=⨯-+=⎪⎝⎭．法（二）因为ππ,3A B C C ++==，所以2π3B A =-，则()2222cos cos πcos 2πcos2cos πsin2sin π3333A B A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦271sin22sin cos 2cos 198A A A A A ===-=，所以()7111177123cos 98219698A B -⎛⎫-=⨯-==⎪⎝⎭．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱1AA ⊥底面,ABCD AD DC ⊥，所以以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面ABCD 为直角梯形，其面积为364182S +=⨯=，柱体体积36V Sh ==，有12DD =．所以()()()()()()()()11114,0,0,4,3,0,0,6,0,0,0,0,4,0,2,4,3,2,0,6,2,0,0,2A B C D A B C D ．（第17题）（Ⅰ）证明：因为()10,3,2AB = ，平面11CDD C 的法向量为()11,0,0n =，110AB n ⋅= ，所以11AB n ⊥，又因为1AB ⊂平面11CDD C ，所以1AB ∥平面11CDD C ．（Ⅱ）解：因为()()10,3,2,4,6,0AB AC ==- ，设平面1ACB 的法向量为()2,,n x y z =，则212320,460.n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()23,2,3n =- ，由（Ⅰ）得()11,0,0n =，设平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角为θ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅则平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角θ（Ⅲ）解：因为()114,3,0D B =，所以，点1D 到平面1ACB的距离为1122D B n n ⋅==（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点1F 的坐标为(),0c -．依题意，2,3,2 1.c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得3,2,6.a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是2225b a c =-=．所以，椭圆1C 的方程为22195x y +=，抛物线2C 的方程为212y x =．（Ⅱ）设点M 坐标为()11,x y ，点N 坐标为()20,y ，且由题意1120,00,y x y <>>，（法一）由211125A MN A MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，即2175y y =，则1127x A O =，由1127x A O=，即1237x =，可得167x =，因为点M 在第二象限，则167x =-，将167x =-代入椭圆方程22195x y +=，求得1157y =，所以点M 坐标为615,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()13,0A -，则直线1A M 的斜率为()1571637=---．（法二）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3,0y k x k =+>，因此点()20.3,3N k yk =．()223,1.95y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()2128145395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．由121125A A MN MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730595y k k y k ==+，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3,0x my m =->，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．由112125MN A A MF S S =△△，可得1112425A A A N MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730559y m m y m ==+，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（法三）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3y k x =+，则0k >，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()212845395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．()2212132122995303339595M A NA A M A N A k k kS S S y y k k k -=-=⨯-=-=++△△△，1112115295A MF kS y k ==+△，112125A F M M A NS S =△，即()322995121595595k k k k k -=⨯++，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3x my =-，则0m >，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．()()212212212232715330335959A NA A MN A MA m m S S S y y m m m m -=-=⨯-=-=++△△△，1112115259A MF mS y m ==+△，211125A M M A F NS S =△△，即()()22232715121555959m m m m m -=⨯++，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112143442,22 1.a d a d a a ⨯⎧+=+⎪⎨⎪=+⎩，即11420,1.a d a d -=⎧⎨-=-⎩，解得()11,,121212.n a a n n d =⎧=+-=-⎨=⎩，()22112n n n S n -+==，则n S n n =，()()222222122232212n ni i i n n S i n n n i ==-+==++⋅⋅⋅+==+-∑∑．所以22221n i i S n n i==+-∑．（Ⅱ）等比数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=，公比为2，所以12n n b -=，（ⅰ）设()1112,n nk k k k k k k k a A a b B b a a ==+⎛⎫-== ⎪⎝⎭∑∑，()1111122n nn k k k k k k k k k k k k k k k a a a b b a b b A B a a a a ===++⎡⎤⎛⎫--+=+==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑，()()11,212nk k k k k k A a b a b k -===-∑，()0121123252212n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，①()1232123252212n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-．②①式－②式得()231122222212n n A n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⎣⎦，()()2212212332212nn n n n -=+⨯--=-+--．所以()3232nA n =+-．又112nk k k k k a B b a a =+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，则()()11122322221212121k k k k k k k a k b a a k k k k --+--==--++-．所以10213212222222221315375212121n n nB n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则()()223232123222121n n nn A B n n n n +=+-+-=-++++．所以21124422221nn k k k k k k k a n n a b b a a n =+⎡⎤⎛⎫---+=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑．（ⅱ）当1n =时，012112c c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，12111,21.2n n n n n n c c c c ++-+⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除得212n n c c +=-，121211112221211,11132321122m m m m m m c c P c Q c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21132m m G ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．当m 为偶数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，2m =时m G 有最小值112,,223m G ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当m 为奇数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，1m =时m G 有最大值21,,13m G ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．则()()max min 11122m m h G G ≥-=-=，所以h 的最小值为12．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()()()1,e x a F x f x g x -=-=⋅=，所以())e e e e xx x x F x ----'==='，所以，函数()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()()423ln G x f x g x x ax ax ⎡⎤=⋅=⋅=⎣⎦不等式可化为：311sin 066x x x a -+>，设16t a =，令()31sin 6h x x tx x =-+，则()21cos 2h x x x t +'=-，令()21cos 2m x x x t =+-，则()sin m x x x -'=+，再令()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x =+'-≥，所以()s x 在()0,+∞单调递增，则()0s x >，即()0m x '>，所以()m x 在()0,+∞单调递增，又因为()21cos 02y x x x =+>的值域为()1,+∞．①当1t ≤时，即16a ≥时，()21cos 02m x x x t =+->，即()0h x '>，则()h x 在()0,+∞单调递增，所以()0h x >恒成立，符合题意．②当1t >时，即106a <<时，()010m t =-<，若取x >时，()0m x >，所以存在00x >，使()00m x =，则当()00,x x ∈时，()0m x <，函数()h x 在()00,x 上单调递减，此时()0h x <，所以()00,x x ∈时，()0h x <，与原题()0h x >矛盾，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅲ）原式即证1111172sin3sin 4sin sin 23466n n n n +++⋅⋅⋅+>+-．由（Ⅱ）可知，0x >时，31sin 6x x x >-，则2sin 116x x x >-．令1x n =，则()21111111sin 11166161n n n n n n n ⎛⎫>->-=+- ⎪--⎝⎭．取2,3,4,n =⋅⋅⋅，则11111111112sin 3sin 4sin sin 1123462321n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+>-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1766n n =+-．。
2020-2021学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。
什宁县第一中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文
A． 1 2
B． 8 15
C． 16 29
D． 16 31
9．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 27 且用料最
省,则水桶底面圆的半径为（ ）
A．
3 2
B． 3
C． 2 3
D． 6
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为
， F1
F2
，过
点 F1 且斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C 的渐近线在第一象限交于点 2
值为（ )
A．6
B．7
C．10 D．13
12．若函数
f
(x)
kex
1 2
x2
在区间
(0, )
上单调递增，则实数
k
的取值
范围是
A．
(1 e
,
)
B． (0, )
C．
[1 e
,
)
D．[0, )
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分)
13．双曲线 x2 y2 1的焦点到渐近线的距离为__________． 3
甘肃什宁县第一中学 2020_2021 学年高二数学上学期期末考试试题文
甘肃省静宁县第一中学 2020—2021 学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分)
1．已知命题 p： xR, x2 x 1 0，下列 P 形式正确的是（
）
.A． ，使得 p:x0R
x02 x0 1 0
OA
a,
OB
b,所以
a
b
3，且
1 2
ab
1,
2020-2021学年天津市耀华中学高二上学期期末语文试题
天津市耀华中学2020—2021学年度第一学期期末考试高二年级语文学科试卷本试卷分为第I卷和第II卷两部分，共100分，考试用时120分钟。
第I卷一、（每题2分，共12分）阅读下面一段文字，完成1～3题。
长歌当哭，是必须在痛定之后的。
而此后几个所谓学者文人的阴险的论调，尤使我觉得悲哀。
我已经出离愤怒了。
我将这非人间的浓黑的悲凉；以我的最大哀痛显示于非人间，使它们快意于我的苦痛，就将这作为后死者的菲薄的祭品，奉献于逝者的灵前。
我已经说过：我向来是以最坏的恶意来推测中国人的。
但这回却很有几点出于我的意外。
（）。
我目睹中国女子的办事，是始于去年的，虽然是少数，但看那干练坚决，百折不回的气概，曾经屋次为之感叹。
至于这一回在弹雨中互相救助，虽殒身不恤的事实.则更足为中国女子的勇毅，虽遭阴谋秘计，压抑至数千年，而终于没有消亡的明证了。
倘要寻求这一次死伤者对于将来的意义，意义就在此罢。
苟活者在淡红的血色中，会依稀看见的希望；真的猛士，将更奋然而前行。
1.依次填入横线上的词语，最恰当的一组是（）忌惮渺茫不惮渺茫不惮微茫忌惮微茫2.填入括号内的句子，表述恰当一项是（ )A.是当局者竟会这样地凶残，一是中国的女性临难竟能如是之从容，一是流言家竟至如此之下劣。
B.一是流言家竟至如此之下劣，一是中国的女性临难竟能如是之从容，一是当局者竟会这样地凶残。
C.一是中国的女性临难竟能如是之从容，一是流言家竟至如此之下劣，一是当局者竟会这样地凶残。
D.—是当局者竟会这样地凶残，一是流言家竟至如此之下劣，一是中国的女性临难竟能如是之从容。
3.对画线句子成分的分析，正确的一项是（）A.这是一个单句，句子的主干是“事实为明证”。
B.这是一个单句，句子的主干是“中国女子的勇毅没有消亡”。
C.这是一个复句，由“虽……，而……”连接，分句间是转折关系。
D.这是一组多重复句，,第一重由“虽……，则……”连接，分句间是转折关系；第二重由“虽……，而……”连接，分句间也是转折关系。
2020-2021学年天津市和平区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）点M（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（3，﹣2）3．（3分）下列方程有实数根的是（）A．（3x﹣2）（2x+2）＝0B．（x﹣3）2+3＝0C．3x2﹣x+1＝0D．3x2+x+1＝04．（3分）已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小5．（3分）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE ≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（）A．顺时针旋转90°后得到的图形B．顺时针旋转45°后得到的图形C．逆时针旋转90°后得到的图形D．逆时针旋转45°后得到的图形6．（3分）如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE 的长为（）A．4B．6C．8D．107．（3分）把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3 8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6009．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0 10．（3分）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+＝（）A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m11．（3分）如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（）A．B．C．D．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）一元二次方程x2+x＝0的两个实数根中较大的根是．14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），则a的值为．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC∥AG．若∠GAC＝28°，则∠BOC的大小＝度．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线x＝．17．（3分）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则P A+PC的最小值为．18．（3分）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．（Ⅰ）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是．（Ⅱ）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长度的最小值是．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解下列方程：（Ⅰ）x2﹣2x+1＝25；（Ⅱ）2x2﹣5x+1＝0．20．（8分）已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．21．（10分）如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M．BC分别与AD，PD相交于点E，N．（Ⅰ）求∠DNE的大小；（Ⅱ）求证EN＝BN．22．（10分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率．23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为件，月销售利润为元；（Ⅱ）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（Ⅲ）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．24．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，把边AC绕点A逆时针旋转，点C的对应点D落在边AB上．（Ⅰ）如图①，则线段AD的长为，旋转角的大小为，点D到直线BC的距离为．（Ⅱ）点P是直线BC上的一个动点，连接AP，把△ACP绕点A逆时针旋转，使边AC 与AD重合，得△ADQ，点Q与点P是对应点．①如图②，当点P在边CB上，且CP＝3时，求PQ的长；②当点P在线段BC的延长线上，且点Q到直线BC的距离为时，求CP的长（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：y＝x2+4x+3的顶点为M，与y轴交点为N．（Ⅰ）求点M，N的坐标；（Ⅱ）已知点P（4，2），将抛物线C向上平移得抛物线C′，点N平移后的对应点为N′，且PN′＝ON′，求抛物线C'的解析式；（Ⅲ）如图，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点A，与直线OM交于点B．现将抛物线C平移，保持顶点在直线OB上，若平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，求它的顶点横坐标h的取值范围．2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）点M（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（3，﹣2）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故选：B．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．3．（3分）下列方程有实数根的是（）A．（3x﹣2）（2x+2）＝0B．（x﹣3）2+3＝0C．3x2﹣x+1＝0D．3x2+x+1＝0【分析】解方程或计算方程的根的判别式的值，即可判断各方程根的情况即可．【解答】解：A、解方程（3x﹣2）（2x+2）＝0，得x1＝，x2＝﹣1，所以方程有两个实数根；B、方程（x﹣3）2+3＝0变形得（x﹣3）2＝﹣3，所以方程没有实数根；C、Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣3）×1＜0，方程没有实数根；D、Δ＝12﹣4×3×1＜0，方程没有实数根；故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（3分）已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小【分析】根据y＝2（x+1）2+1和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．（3分）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE ≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（）A．顺时针旋转90°后得到的图形B．顺时针旋转45°后得到的图形C．逆时针旋转90°后得到的图形D．逆时针旋转45°后得到的图形【分析】由旋转的性质可求解．【解答】解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE ≌△ABF，∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．6．（3分）如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE 的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】连接OC，求出OC，CE，根据勾股定理求出OE，即可求出答案．【解答】解：连接OC，∵AB＝20，∴OC＝OA＝OB＝10，∵AB⊥CD，AB过O，∴CE＝DE＝CD＝8，在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝＝6，∴BE＝10﹣6＝4，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是求出OE的长．7．（3分）把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0【分析】根据开口方向可判断A；根据对称轴位置可判断B；根据与y轴的交点可判断C ；令x＝1，可判断D．【解答】解：∵由图象知，开口向下，∴a＜0，故A错误；∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，故B错误；由图象知，与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故C错误；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象逐一分析四条选项的正误是解题的关键．10．（3分）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+＝（）A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m【分析】根据公式得出＝m，求出即可．【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，∴＝m，解得：b+＝﹣2m，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．11．（3分）如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（）A．B．C．D．【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP＝PH，设P A＝PH＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作PH⊥BC于H．∵＝，∴∠ACD＝∠BCD，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴P A⊥AC，∵PH⊥BC，∴P A＝PH，设P A＝PH＝x，∵PC＝PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCH，∴AC＝CH＝3，∵BC＝＝5，∴BH＝2，在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴PC＝＝，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c＝＝5，此时c2﹣16＞0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c＝b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）一元二次方程x2+x＝0的两个实数根中较大的根是0．【分析】原方程转化为x＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．【解答】解：∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，∴原方程较大的根为0．故答案为：0．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），则a的值为1．【分析】把（1，﹣1）代入函数y＝ax2﹣2中，即可求a．【解答】解：把（1，﹣1）代入函数解析式，得a﹣2＝﹣1，解得a＝1．故答案是1．【点评】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC∥AG．若∠GAC＝28°，则∠BOC的大小＝56度．【分析】根据平行线的性质求出∠OCA＝∠GAC＝28°，根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠OCA＝28°，根据圆周角定理得出∠BAC＝∠BOC，即可求出答案．【解答】解：∵OC∥AG，∠GAC＝28°，∴∠OCA＝∠GAC＝28°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝28°，∵由圆周角定理得：∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠BAC＝56°，故答案为：56．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线x＝2．【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），∴这条抛物线的对称轴是直线x＝（5﹣1）＝2，故答案为2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．17．（3分）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则P A+PC的最小值为21．【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而P A+PC＝PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，P A+PC的值最小，即BC的值就是P A+PC的最小值．【解答】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，∴OE＝＝＝9，OF＝＝＝12，∴CH＝OE+OF＝9+12＝21，BH＝BE+EH＝BE+CF＝12+9＝21，在Rt△BCH中，根据勾股定理得到BC＝＝＝21，即P A+PC 的最小值为21．故答案为21．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理、勾股定理．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（3分）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．（Ⅰ）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是3．（Ⅱ）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长度的最小值是4﹣1．【分析】（Ⅰ）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解；（Ⅱ）由“SAS”可证△P AB≌△P′AD，可得P′D＝PB＝1，点P′的运动路线为以D 为圆心，以1为半径的圆上，则当P′在对角线BD上时，BP′最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．【解答】解：（Ⅰ）∵点P在⊙B上移动，∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，故答案为3；（Ⅱ）如图，连接BP，由旋转得：AP＝AP′，∠P AP′＝90°，∴∠P AB+∠BAP′＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠P AB＝∠DAP′，在△P'AD和△P AB中，∴△P′AD≌△P AB（SAS），∴P′D＝PB＝1，∴点P在以点D为圆心，DP'为半径的圆上，∴当P′在对角线BD上时，BP′最小，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，∴BD＝＝＝4，∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，即BP′长度的最小值为4﹣1．故答案为：4﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解下列方程：（Ⅰ）x2﹣2x+1＝25；（Ⅱ）2x2﹣5x+1＝0．【分析】（Ⅰ）根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案；（Ⅱ）利用求根公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣2x+1＝25，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，即x1＝6，x2＝﹣4；（Ⅱ）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴△＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．【分析】（I）根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，再求出答案即可；（II）根据三角形外角性质求出∠AEF，根据圆内接四边形的性质得出∠AEF+∠ABF＝180°，求出∠ABF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．21．（10分）如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M．BC分别与AD，PD相交于点E，N．（Ⅰ）求∠DNE的大小；（Ⅱ）求证EN＝BN．【分析】（I）根据圆周角定理求出∠C＝∠NDE，根据垂直定义求出∠EMC＝90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（II）求出∠DNE＝∠DNB＝90°，根据圆周角定理得出∠EDN＝∠BDN，根据全等三角形的判定得出△EDN≌△BDN，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】（I）解：∵点P为弧AB的中点，∴＝，∴∠C＝∠NDE，∵AD⊥CP，∴∠EMC＝90°，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝180°﹣∠NDE﹣∠DEN＝180°﹣∠C﹣∠CEM＝∠EMC＝90°；（II）证明：∵∠DNE＝90°，∴∠DNE＝∠DNB＝90°，∵＝，∴∠EDN＝∠BDN，在△EDN和△BDN中，，∴△EDN≌△BDN（ASA），∴EN＝BN．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．22．（10分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率．【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2＝80，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率是20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格．23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为400件，月销售利润为8000元；（Ⅱ）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（Ⅲ）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【分析】（Ⅰ）根据月销售量＝500﹣（定价﹣50）×10，即可求出当销售单价定为60元时的月销售量，再利用月销售利润＝每件利润×销售数量，即可求出当销售单价定为60元时的月销售利润；（Ⅱ）根据以上所列等量关系可得函数解析式；（Ⅲ）将w关于x的函数解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为500﹣10×（60﹣50）＝400（件），月销售利润为400×（60﹣40）＝8000（元），故答案为：400，8000；（Ⅱ）y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，（50≤x≤100）；（Ⅲ）w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵﹣10＜0，∴当x＝70时，w取得最大值9000，故销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出y与x 和w与x之间的函数关系及熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，把边AC绕点A逆时针旋转，点C的对应点D落在边AB上．（Ⅰ）如图①，则线段AD的长为4，旋转角的大小为60°，点D到直线BC的距离为2．（Ⅱ）点P是直线BC上的一个动点，连接AP，把△ACP绕点A逆时针旋转，使边AC 与AD重合，得△ADQ，点Q与点P是对应点．①如图②，当点P在边CB上，且CP＝3时，求PQ的长；②当点P在线段BC的延长线上，且点Q到直线BC的距离为时，求CP的长（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）先由旋转的性质得AD＝AC＝4，再由直角三角形的性质得AB＝2AC＝8，∠CAB＝60°，过D作DF⊥BC于F，由直角三角形的性质即可得出DF＝BD＝2；（Ⅱ）①先由旋转的性质得△ADQ≌△ACP，则AQ＝AP，∠P AQ＝∠CAD＝60°，再证出△P AQ是等边三角形，得PQ＝AP，然后由勾股定理即可得出答案；②分两种情况：a、Q在△ABC内部，过Q作QH⊥BC于H，延长HQ交AB于M，先由直角三角形的性质得MQ＝2DM，QD＝DM，设QD＝PC＝x，则DM＝x，MQ ＝x，再证△BMH∽△BAC，得＝，解得x＝；b、Q在△ABC外部，过Q作QH⊥BC于H，延长QH交AB于M，解法同上．【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得：AD＝AC＝4，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8，∠CAB＝90°﹣30°＝60°，即旋转角的大小为60°，过D作DF⊥BC于F，如图①所示：∵BD＝AB﹣AD＝4，∠B＝30°，∴DF＝BD＝2，即点D到直线BC的距离为2，故答案为：4，60°，2；（Ⅱ）①如图②所示：∵把△ACP绕点A逆时针旋转，使边AC与AD重合，∴△ADQ≌△ACP，∴AQ＝AP，∠P AQ＝∠CAD＝60°，∴△P AQ是等边三角形，∴PQ＝AP，在Rt△ACP中，AP＝＝＝，∴PQ＝；②分两种情况：a、Q在△ABC内部，过Q作QH⊥BC于H，延长HQ交AB于M，如图③所示：则HM∥AC，∴∠DMQ＝∠CAB＝60°，由旋转的性质得：△ADQ≌△ACP，∴QD＝PC，∠ADQ＝∠ACP＝90°，∴∠DQM＝90°﹣60°＝30°，∴MQ＝2DM，QD＝DM，设QD＝PC＝x，则DM＝x，MQ＝x，∵HM∥AC，∴△BMH∽△BAC，∴＝，即＝，解得：x＝，即CP的长为；b、Q在△ABC外部，过Q作QH⊥BC于H，延长QH交AB于M，如图④所示：则HM∥AC，同上得：MQ＝2DM，QD＝DM，设QD＝PC＝x，则DM＝x，MQ＝x，∵HM∥AC，∴△BMH∽△BAC，∴＝，即＝，解得：x＝，即CP的长为；综上所述，CP的长为或．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：y＝x2+4x+3的顶点为M，与y轴交点为N．（Ⅰ）求点M，N的坐标；（Ⅱ）已知点P（4，2），将抛物线C向上平移得抛物线C′，点N平移后的对应点为N′，且PN′＝ON′，求抛物线C'的解析式；（Ⅲ）如图，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点A，与直线OM交于点B．现将抛物线C平移，保持顶点在直线OB上，若平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，求它的顶点横坐标h的取值范围．【分析】（Ⅰ）对于y＝x2+4x+3，令x＝0，则y＝3，故点N（0，3），而y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，故点M的坐标为（﹣2，﹣1）；（Ⅱ）设平移后抛物线的表达式为y＝x2+4x+m，则点N′（0，m），由PN′＝ON′得42+（m﹣2）2＝m2，即可求解；（Ⅲ）①当抛物线C″过点A时，将点A的坐标代入上式得：9＝（0﹣h）2+h，解得h＝，故当≤h＜时，平移后抛物线与射线AB（含端点A ）只有一个公共点②当抛物线C″与直线AB只有一个公共点时，联立①②并整理得：x2+（﹣2h+2）x+h﹣9＝0，则△＝（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）＝0，解得h＝4，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）对于y＝x2+4x+3，令x＝0，则y＝3，故点N（0，3），∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，故点M的坐标为（﹣2，﹣1）；（Ⅱ）设平移后抛物线的表达式为y＝x2+4x+m，则点N′（0，m），由PN′＝ON′得，42+（m﹣2）2＝m2，解得m＝5，故C′抛物线的表达式为y＝x2+4x+5；（Ⅲ）∵直线y＝﹣2x+9①与y轴交于点A，则点A（0，9），设直线OB的表达式为y＝kx，将点M的坐标代入上式得：﹣1＝﹣2k，解得k＝，故直线OB的表达式为y＝x，设平移后的抛物线为抛物线C″，其顶点为R，则设点R（h，h），则C″的表达式为y＝（x﹣h）2+h②，当抛物线C″过点A时，将点A的坐标代入上式得：9＝（0﹣h）2+h，解得h＝，故当≤h＜时，平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，当抛物线C″与直线AB只有一个公共点时，联立①②并整理得：x2+（﹣2h+2）x+h﹣9＝0，则△＝（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）＝0，解得h＝4，当h＝4时，x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9＝0，即为x2﹣6x+9＝0，解得x＝3，故唯一交点的坐标为（3，3），该点在射线AB上，故顶点横坐标h的取值范围为≤h＜或h＝4．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、三角形全等和相似、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（ ）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。
A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线20x --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ） （A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天 （C ）17天 （D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（9）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++（C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F 12∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率e =③λ=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z = .（14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = .（15）已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a = .（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，并且经过点(2,M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为 .（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为 .（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，………………2分 所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x=--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >），由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分（Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为1d ==………………10分所以，MN ===12分 （22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分 ∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）.．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}n c 的前n 项和为n T ，0121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分 则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n nB n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n nA n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅………………9分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，………………6分则3(0)4OP k k k=-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即32()14n k k m--⋅=-恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M点的横坐标为x =，………………9分由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，………………11分=即2k =±时取等号，………………12分所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为………………13分。
2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：将选择题答案填涂在答题纸.（每小题5分，共计50分）1．已知空间四面体ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →•AF →的值为（ ） A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．√34a 22．若直线x a +yb=1与圆x 2+y 2＝1有公共点，则（ ）A ．1a 2+1b 2≥1 B ．1a 2+1b 2≤1C ．a 2+b 2≥1D ．a 2+b 2≤13．圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．若直线过点P （﹣3，−32），且被圆x 2+y 2＝25截得的弦长是8，则这条直线的方程是（ ）A ．3x +4y +15＝0B ．x ＝﹣3或y =−32C ．x ＝﹣3D ．x ＝﹣3或3x +4y +15＝05．若两条直线（a 2+a ﹣6）x +12y ﹣3＝0与（a ﹣1）x ﹣（a ﹣2）y +4﹣a ＝0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ．3B ．3或5C ．3或﹣5或2D ．﹣56．直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y +7＝0相切，且在两坐标轴上的截距相等，这样的直线l 有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．已知椭圆x 236+y 29=1以及椭圆内一点P （4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）A ．12B ．−12C ．2D ．﹣28．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个焦点F 作弦AB ，若|AF |＝d 1，|BF |＝d 2，则1d 1+1d 2的数值为（ ）A ．2b a 2B ．2a b 2C ．a+b a 2 D ．与弦AB 斜率有关9．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√32C ．√3−1D ．4−2√310．设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列说法正确的个数（）①直线AB与OM垂直；②若点M的坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0；③若直线方程为y＝x+1，则点M的坐标为(13，43)；④若直线方程为y＝x+2，则|AB|=4√2 3．A．4B．3C．2D．1二、填空题：将答案填涂在答题纸.（每小题4分，共计20分）11．直线l：y＝x+b与曲线C：y=√1−x2有两个公共点，则b取值范围是．12．若圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰有相异的两点到直线4x﹣3y+25＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是．13．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，P A，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值为．14．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则1|PF1|+4|PF2|的最小值是．15．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有∠AFB≥120°，则椭圆C离心率的取值范围为．三、解答题：（共计30分）16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥面ABCD，M是棱PD的中点，且AB＝AC＝P A＝2，BC=2√2．（1）求证：CD⊥平面P AC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（3）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为√105，求ANNB．17．（8分）从圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0外一点P （a ，b ）向圆作切线PT ，T 为切点，且|PT |＝|PO |（O 为原点），求|PT |的最小值以及此刻点P 的坐标．18．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C 于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：将选择题答案填涂在答题纸.（每小题5分，共计50分）1．已知空间四面体ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →•AF →的值为（ ） A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．√34a 2解：由题意可得，AE →•AF →=AB →+AC →2•AD→2=AB →⋅AD →+AC →⋅AD →4=a⋅a⋅cos60°+a⋅a⋅cos60°4=a 24，故选：C ．2．若直线x a +yb=1与圆x 2+y 2＝1有公共点，则（ ）A ．1a 2+1b 2≥1 B ．1a 2+1b 2≤1C ．a 2+b 2≥1D ．a 2+b 2≤1解：由圆x 2+y 2＝1，得到圆心坐标为（0，0），半径r ＝1， ∵直线x a +yb =1与圆x 2+y 2＝1有公共点，∴圆心到已知直线的距离d =1√(1a )+(1b)≤r ＝1，整理得：1a 2+1b 2≥1．故选：A ．3．圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：两圆的标准方程为（x +1）2+（y +1）2＝4，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，圆心C1（﹣1，﹣1），半径R＝2，圆心C2（2，1），半径r＝2，|C1C2|=√(−1−2)2+(−1−1)2=√9+4=√13，∵0＜√13＜4，∴R﹣r＜|C1C2|＜R+r，即两圆相交，则两圆的公切线有2条．故选：B．4．若直线过点P（﹣3，−32），且被圆x2+y2＝25截得的弦长是8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+15＝0B．x＝﹣3或y=−32C．x＝﹣3D．x＝﹣3或3x+4y+15＝0解：由圆的方程x2+y2＝25，得到圆心坐标为（0，0），半径r＝5，又直线被圆截得的弦长为8，根据垂径定理得到圆心到直线的距离即弦心距为√52−42=3，当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为：y+32=k（x+3）即kx﹣y+3k−32=0，所以圆心到直线的距离d=|3k−32|√1+k=3，化简得：9k=94−9即k=−34，所以所求直线的方程为：3x+4y+15＝0；当所求直线的斜率不存在时，显然所求直线的方程为：x＝﹣3，综上，满足题意的直线方程为x＝﹣3或3x+4y+15＝0．故选：D．5．若两条直线（a2+a﹣6）x+12y﹣3＝0与（a﹣1）x﹣（a﹣2）y+4﹣a＝0互相垂直，则a的值等于（）A．3B．3或5C．3或﹣5或2D．﹣5解：∵两条直线（a2+a﹣6）x+12y﹣3＝0和（a﹣1）x﹣（a﹣2）y﹣3＝0互相垂直，∴（a2+a﹣6）（a﹣1）﹣12（a﹣2）＝0，即（a﹣2）（a﹣3）（a+5）＝0，解得a1＝2，a2＝3，a3＝﹣5．故选：C．6．直线l与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0相切，且在两坐标轴上的截距相等，这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条解：若直线不过原点，则x+y＝a，圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0的圆心为（2，2），半径为1，圆心到直线的距离d=|2+2−a|√2=1，∴a＝4±√2，则应该有2条，若过原点，把（0，0）代入7＞0，即原点在圆外，∴过原点有2条切线，故一共有4条． 故选：D ．7．已知椭圆x 236+y 29=1以及椭圆内一点P （4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ． 则x 1236+y 129=1，x 2236+y 229=1，两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)36+(y 1+y 2)(y 1−y 2)9=0，又x 1+x 2＝8，y 1+y 2＝4，y 1−y 2x 1−x 2=k ，代入得836+4k 9=0，解得k =−12．故选：B ．8．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个焦点F 作弦AB ，若|AF |＝d 1，|BF |＝d 2，则1d 1+1d 2的数值为（ ）A ．2b a2B ．2a b 2C ．a+b a 2D ．与弦AB 斜率有关解：令F （c ，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝c ，由{x =c x 2a 2+y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，则d 1=d 2=b 2a ，所以1d 1+1d 2=2a b 2，②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣c ）， 由{y =k(x −c)x 2a 2+y 2b 2=1，整理得：（a 2k 2+b 2）x 2﹣2a 2k 2cx +a 2k 2c 2﹣a 2b 2＝0，所以x 1+x 2=2a 2k 2c a 2k 2+b 2，x 1x 2=a 2k 2c 2−a 2b2a 2k 2+b2，又|AF |＝a ﹣ex 1，|BF |＝a ﹣ex 2，即d 1＝a ﹣ex 1，d 2＝a ﹣ex 2， 所以1d 1+1d 2=2a−e(x 1+x 2)a 2−ae(x 1+x 2)+e 2x 1x 2=2a−c a ×2a 2k 2ca 2k 2+b2a 2−c×2a2k 2c a 2k 2+b 2+c 2a 2×a 2k 2c 2−a 2b 2a 2k 2+b 2=2a b 2，综上，1d 1+1d 2的数值为2a b 2．故选：B ．9．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）A．12B．√32C．√3−1D．4−2√3解：依题意，以F1F2为底的正三角形的两腰中点在椭圆上，∵|F1F2|＝2c，以F1F2为底的正三角形的两腰上的高为√3c，∴椭圆离心率e=2c2a=2c√3c+c=√3−1．故选：C．10．设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列说法正确的个数（）①直线AB与OM垂直；②若点M的坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0；③若直线方程为y＝x+1，则点M的坐标为(13，43)；④若直线方程为y＝x+2，则|AB|=4√2 3．A．4B．3C．2D．1解：对于①，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB⋅k OM=−42=−2≠−1，所以①不正确；对于②，根据k AB•k OM＝﹣2，所以k AB＝﹣2，所以直线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，所以②正确；对于③，若直线方程为y＝x+1，点M(13，43)，则k AB•k OM＝1•4＝4≠﹣2，所以③不正确；对于④，若直线方程为y＝x+2，与椭圆方程x22+y24=1联立，得到2x2+（x+2）2﹣4＝0，整理得：3x2+4x＝0，解得x1=0，x2=−43，所以|AB|=√1+12|−43−0|=4√23，所以④正确．故选：C．二、填空题：将答案填涂在答题纸.（每小题4分，共计20分）11．直线l：y＝x+b与曲线C：y=√1−x2有两个公共点，则b取值范围是[1，√2)．解：如图所示，y=√1−x2是一个以原点为圆心，1为半径的半圆，y ＝x +b 是一条斜率为1的直线，要使两图形有两个交点，连接A （﹣1，0）和B （0，1），直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值， 当直线l 与AB 重合时，b ＝1； 当直线l 与半圆相切时，b =√2． 所以b 的取值范围是[1，√2)． 故答案为：[1，√2)．12．若圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）上恰有相异的两点到直线4x ﹣3y +25＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是 （4，6） ．解：圆心（0，0）到直线4x ﹣3y +25＝0的距离等于d =|0−0+25|√16+9=5，半径为r ，若圆上恰有一个点到直线4x ﹣3y +25＝0的距离等于1，则r ＝4，或r ＝6． 故当圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）上恰有相异的两点到直线4x ﹣3y +25＝0的距离等于1， r ∈（4，6）， 故答案为：（4，6）．13．已知P 是直线3x +4y +8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为 2√2 ． 解：∵圆的方程为：x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1＝0， ∴圆心C （1，1）、半径r 为1， 根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P 的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长P A ，PB 最小， 圆心到直线的距离为d ＝3∴|P A |＝|PB |=√d 2−r 2=2√2， ∴s PACB =2×12|PA|r =2√2，故答案为：2√2． 14．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|+4|PF 2|的最小值是 94． 解：据题意c a =√32，b ＝1，解得a ＝2，c =√3，于是|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4， 所以1|PF 1|+4PF 2|=14(1|PF 1|+4|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)=14(5+|PF 2||PF 1|+4|PF 1||PF 2|)≥14(5+2√4)=94， 当且仅当|PF 2|＝2|PF 1|，即|PF 2|=83，|PF 1|=43时等号成立．故答案为：94．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有∠AFB ≥120°，则椭圆C 离心率的取值范围为 (0，12] ．解：如图所示，设椭圆的右焦点为E ，则四边形AFBE 是平行四边形，∵∠AFB ≥120°，∴∠F AE ≤60°． 设AE ＝m ，AF ＝n ，由椭圆的定义可知，m +n ＝2a ，由基本不等式的性质可知，mn ≤(m+n)24=a 2，在△AFE 中，由余弦定理知，cos ∠F AE =m 2+n 2−EF 22mn =(m+n)2−2mn−EF 22mn=4a 2−4c 22mn −1=2(a 2−c 2)mn −1≥2(a 2−c 2)a2−1=1−2e 2， ∵∠F AE ≤60°， ∴cos ∠F AE ∈[12，1），∴1﹣2e 2≥12，解得e 2≤14，∵0＜e ＜1，∴离心率e ∈（0，12]．故答案为：（0，12]．三、解答题：（共计30分）16．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且AB ＝AC ＝P A ＝2，BC =2√2． （1）求证：CD ⊥平面P AC ； （2）求二面角M ﹣AB ﹣C 的大小；（3）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为√105，求AN NB．解：（1）证明：连结AC ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC =2√2， ∴BC 2＝AB 2+AC 2，∴AB ⊥AC ， ∵AB ∥CD ，∴AC ⊥CD ，又∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵AC ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ； （2）如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，2），B （2，0，0），C （0，2，0），D （﹣2，2，0）， ∵M 是棱PD 的中点，∴M （﹣1，1，1）， ∴AM →=（﹣1，1，1），AB →=（2，0，0）， 设n →=（x ，y ，z ）为平面MAB 的法向量， ∴{n →⋅AM →=0n →⋅AB →=0，即{−x +y +z =02x =0 令y ＝1，则{x =0y =1z =−1，∴平面MAB 的法向量n →=（0，1，﹣1） ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AP →=（0，0，2）是平面ABC 的一个法向量． ∴cos ＜n →，AP →＞=n →⋅AP→|n →||AP →|=2×2=−√22∵二面角M ﹣AB ﹣C 为锐二面角， ∴二面角M ﹣AB ﹣C 的大小为π4；（3）∵N 是在棱AB 上一点，∴设N （x ，0，0），NC →=（﹣x ，2，0）， 设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量n →=（0，1，﹣1）， ∴√2×√x 2+4=√105，解得x ＝1，即AN ＝1，NB ＝1， ∴AN NB=1． 17．（8分）从圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0外一点P （a ，b ）向圆作切线PT ，T 为切点，且|PT |＝|PO |（O 为原点），求|PT |的最小值以及此刻点P 的坐标．解：圆C 的方程可化为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，即圆心C （2，3），半径r ＝1， 如图，PT 切圆C 于T ，在直角三角形PTC 中，PC 2＝PT 2+CT 2，结合|PT |＝|PO |，得（a ﹣2）2+（b ﹣3）2＝a 2+b 2+1，化简得2a +3b ﹣6＝0，即点P 在直线l ：2x +3y ﹣6＝0上移动，作OM 垂直l 于M ，易得直线OM 的方程为：3x ﹣2y ＝0，由{2x +3y −6=03x −2y =0解得{x =1213y =1813，即M （1213，1813），|OM |=613=6√1313， 故当P 与M 重合时，|OP |最小也即|PT |取得最小值6√1313， 此时P 点坐标为（1213，1813）．18．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C 于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）由椭圆的一个焦点为F 1（﹣1，0）知：c ＝1，即a 2﹣b 2＝1．①．又因为直线B 1F 1的方程为bx ﹣y +b ＝0，即√b 2+1=√32，所以b =√3． 由①解得a 2＝4． 故所求椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）假设存在过点A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），由{x 24+y 23=1y =k(x −2)，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0．（*）因为点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且x A ＝2．所以x A •x B =16k 2−123+4k 2，所以x B =8k 2−63+4k 2，即点B （8k 2−63+4k 2，−12k 3+4k 2）． 所以OA →+OB →=（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2），即OT →=√147（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2）． 因为点T 在圆x 2+y 2＝2上，所以27•[(16k 23+4k 2)2+(−12k 3+4k 2)2]＝2， 化简得48k 4﹣8k 2﹣21＝0，解得k 2=34，所以k ＝±√32． 经检验知，此时（*）对应的判别式Δ＞0，满足题意．故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±√32（x ﹣2）．。
2020-2021学年天津市和平区高一下学期期末数学试卷【含答案】
2020-2021学年天津市和平区高一下学期期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1．设z＝，则z的虚部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，则x＝（）A．﹣B．C．6 D．﹣63．用m、n表示两条不同的直线，用α、β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.55．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（）A．﹣B．C．﹣D．6．在△ABC中，若a＝b cos C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（）A．B．﹣C．1 D．﹣1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10．已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|＝．11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．12．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为．13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，则P（A∪B）＝．14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为．15．若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y ＝1．若，则△AMN与△ABC的面积之比为．三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+10＝40分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.16．已知||＝2，|＝3，向量与的夹角为．（1）求|；（2）若2与m垂直，求实数m的值．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c cos A+a cos C＝a．（1）求的值；（2）若a＝1，，求△ABC的面积．18．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB 的中点．求证：（1）OE∥平面BCC1B1；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．（1）求异面直线AB与PD所成的角；（2）求证：平面ACP⊥平面MCD；（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．参考答案一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1．设z＝，则z的虚部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i解：∵z＝＝，∴z的虚部是1．故选：A．2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，则x＝（）A．﹣B．C．6 D．﹣6解：∵，∴3﹣2x＝0，解得．故选：B．3．用m、n表示两条不同的直线，用α、β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α解：若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B错误；若m∥β，则β内存在直线n∥m，又m⊥α，∴n⊥α，而n⊂β，∴α⊥β，故C正确；若m⊥n，n⊂α，则m⊂α或n∥α或n与α相交，相交也不一定垂直，故D错误．故选：C．4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.5解：5×0.6＝3，第60百分位数是第三与第四个数的平均数，即＝103.5．故选：D．5．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（）A．﹣B．C．﹣D．解：由题意可得，在上的投影向量为||cosθ，∵＝（1，），||＝2，为单位向量，＝（1，0），且与夹角为θ＝，∴||cosθ＝2×＝．故选：D．6．在△ABC中，若a＝b cos C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解：由余弦定理得cos C＝，把cos C代入a＝b cos C得：a＝b•＝，∴2a2＝a2+b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，即三角形为直角三角形．故选：C．7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）A．B．C．D．解：抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是＝．故选：B．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：如图，分别取BC，B1C1的中点M，N．由正三棱柱ABC﹣A1B1C1易证，MN⊥平面ABC．连接MA，易知MA，BC，MN两两垂直．以M为原点直线MA，MB，MN分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz：由已知得：A（，0，0），C（0，−，0），C1（0，−，），B（0，，0）．所以＝（，，0），＝（0，0，），＝（0，−1，），设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），所以，即，令x＝1，则y＝﹣，z＝0，故＝（1，−，0）．设BC1与侧面ACC1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．故选：D．9．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（）A．B．﹣C．1 D．﹣1解：建立如图的坐标系，则A（0，0），B（2，0），E（2，1），C（2，2），因为F是线段AE上的点；故可设F（2a，a）；0≤a≤1；则＝（2a，a），＝（2a﹣2，a﹣2）；∴＝2a（2a﹣2）+a（a﹣2）＝5a2﹣6a＝5（a﹣）2﹣；∴a＝时的取小值：﹣．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10．已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|＝．解：∵z＝（1+i）（1+2i）＝1+3i+2i2＝﹣1+3i，∴．故答案为：．11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x＝10，故答案为10．12．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为22.5．解：由频率分布直方图，得：[10，20）的频率为（0.02+0.04）×5＝0.3，[20，25）的频率为0.08×5＝0.4，∴估计这批产品的中位数为：20+×5＝22.5．故答案为：22.5．13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，则P（A∪B）＝．解：∵A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝1﹣＝，∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝．故答案为：．14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为．解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，设球的半径为R，则：（2R）2＝22+22+22＝12，则，其体积：．故答案为：．15．若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△AMN与△ABC的面积之比为．解：设BC的中点为D，则＝＝+，又，即＝，∴＝+，∴x＝，又x+y＝1，∴y＝，∴＝，即＝，∴＝＝•＝×＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+10＝40分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.16．已知||＝2，|＝3，向量与的夹角为．（1）求|；（2）若2与m垂直，求实数m的值．解：（1）∵||＝2，|＝3，向量与的夹角为，∴|＝＝＝＝；（2）由2与m垂直，得（2）•（m）＝0，∴2m+4+（8+m）•＝08m+36+（8+m）×2×3×（﹣）＝0解得：m＝﹣．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c cos A+a cos C＝a．（1）求的值；（2）若a＝1，，求△ABC的面积．解：（1）由正弦定理，c cos A+a cos C＝a可化为：sin C cos A+cos C sin A＝sin A，也就是sin（A+C）＝sin A．由三角形内角和定理得sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sin B．即sin B＝sin A．由正弦定理可得b＝a，故．（2）由a＝1可知b＝1．而，由余弦定理可知．又0＜C＜π，于是．∴＝．18．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB 的中点．求证：（1）OE∥平面BCC1B1；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【解答】证明：（1）连结BC1．∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O∴O为AC1的中点∵E是AB的中点∴OE∥BC1；∵OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1∴OE∥平面BCC1B1（2）∵侧面AA1C1C是菱形∴AC1⊥A1C∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC∴AC1⊥平面A1BC∵BC⊂平面A1BC∴AC1⊥BC．19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率．解：（1）设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．则P（A）＝，P（B）＝，任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，则事件C发生的概率P（C）＝P（A）+P（）＝＝．（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是＝“甲、乙均没有猜对”，则事件D发生的概率P（D）＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．（1）求异面直线AB与PD所成的角；（2）求证：平面ACP⊥平面MCD；（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．【解答】（1）解：因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，则∠PDC即为异面直线AB与PD所成的角，在△PCD中，PC⊥PD，PC＝PD＝2，所以∠PDC＝45°，故异面直线AB与PD所成的角为45°；（2）证明：平面ABCD⊥平面PCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，又PC⊥PD，PD∩AD＝D，则PC⊥平面PAD，MD⊂平面PAD，所以PC⊥MD，因为PD＝AD＝2，M为AP的中点，所以MD⊥AP，因为PC∩AP＝A，PC，AP⊂平面PAC，则MD⊥平面APC，又MD⊂平面PAC，故平面ACP⊥平面MCD；（3）解：由（2）可知，MC⊥MD，PM⊥MD，则∠CMP为二面角C﹣MD﹣P的平面角，因为PC＝2，MP＝，则，所以cos∠CMP＝＝，故二面角C﹣MD﹣P的余弦值为．。
2021-2022学年天津市和平区一中高二(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2021-2022学年天津市和平区一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共6小题）.1．已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．62．过点（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．4C．D．53．实数x，y满足x2+y2+2x＝0，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y﹣1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为（）A．2x﹣3y﹣1＝0B．2x+3y﹣1＝0C．3x﹣2y﹣1＝0D．3x﹣2y+1＝0 5．设圆x2+y2＝4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为（）A．4B．4C．6D．86．设两条直线的方程分别为x+y+a＝0，x+y+b＝0，已知a，b是方程x2+x+c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题（共8小题）7．直线l：ax+（a+1）y+2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是．8．求与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．9．已知实数x，y满足6x+8y﹣1＝0，则的最小值为．10．圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为．11．直线l：y＝x+b与曲线C：y＝有两个公共点，则b取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．13．设点M（x0，y0）在直线y＝x+上，若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是．14．过点P（0，3）作直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值为．三、解答题（共1小题）15．已知直线l：4x+3y﹣8＝0（a∈R）过圆C：x2+y2﹣ax＝0的圆心交圆C于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求圆C在点P（1，）处的切线方程；（Ⅲ）求△OAB的面积．参考答案一、选择题（共6小题）1．已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．6【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6．故选：D．2．过点（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．4C．D．5【分析】求弦长最小值，就是求（1，1）和原点的距离，然后解出半弦长．解：弦心距最大为，此时|AB|的最小值为．故选：B．3．实数x，y满足x2+y2+2x＝0，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设＝t，则tx﹣y﹣t＝0与圆（x+1）2+y2＝1由交点．在根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．解：设＝t，则tx﹣y﹣t＝0与圆（x+1）2+y2＝1有交点，∴圆心（﹣1，0）到直线tx﹣y﹣t＝0的距离d＝≤1，解得﹣≤t≤．故选：C．4．已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y﹣1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为（）A．2x﹣3y﹣1＝0B．2x+3y﹣1＝0C．3x﹣2y﹣1＝0D．3x﹣2y+1＝0【分析】先设出B的坐标，代入直线CM，求出m的值，从而求出B的坐标即可，设出A关于y＝x的对称点，表示出A′B的方程，即BC的方程，整理即可．解：（1）由题意可知，点B在角平分线y＝x上，可设点B的坐标是（m，m），则AB的中点（，）在直线CM上，∴+2•﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，﹣1）．设A关于y＝x的对称点为A′（x0，y0），则有，，即A′（2，1）则由A′在直线BC上，可得BC的方程为＝，即3（y+1）＝2（x+1），即2x ﹣3y﹣1＝0，故选：A．5．设圆x2+y2＝4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为（）A．4B．4C．6D．8【分析】设切线方程为＝1，由圆心到直线的距离等于半径得2≤，令t＝，则t2﹣4t≥0，由此求得t的最小值为4，即为所求．解：设切线方程为＝1，即bx+ay﹣ab＝0，由圆心到直线的距离等于半径得＝2，∴|a||b|＝2≤，令t＝，则t2﹣4t≥0，t≥4，故t的最小值为4．由题意知t＝|AB|，故选：A．6．设两条直线的方程分别为x+y+a＝0，x+y+b＝0，已知a，b是方程x2+x+c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A．，B．，C．，D．，【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．解：因为a，b是方程x2+x+c＝0的两个实根，所以a+b＝﹣1，ab＝c，两条直线之间的距离d＝，d2＝＝，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：A．二、填空题（共8小题）7．直线l：ax+（a+1）y+2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞0}．【分析】当a＝﹣1时，符合题意；当a≠﹣1时，只需＜0或＞1即可，解不等式综合可得．解：当a+1＝0即a＝﹣1时，直线无斜率，倾斜角为90°，满足倾斜角大于45°；当a+1≠0即a≠﹣1时，直线的斜率＜0或＞1即可解不等式可得a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣或a＞0综上可得a的取值范围为：{a|a＜﹣或a＞0}故答案为：{a|a＜﹣或a＞0}8．求与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程x±y＝0或x+y ﹣（2±）＝0．．【分析】当直线过原点时斜率存在，设方程为y＝kx，当直线不过原点时，设直线的方程为＝1，分别联立方程由△＝0可得．解：当直线过原点时斜率存在，设方程为y＝kx，联立，消去y可得（k2+1）x2﹣4kx+3＝0，由相切可得△＝16k2﹣12（k2+1）＝0，解得k＝±，∴所求直线的方程为y＝±x，即x±y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为＝1，即y＝a﹣x，联立，消去x可得2y2﹣（4+2a）y+a2+3＝0，由相切可得△＝（4+2a）2﹣8（a2+3）＝0，解得a＝2±，∴所求直线的方程为x+y﹣（2±）＝0综上可得所求直线的方程为：x±y＝0或x+y﹣（2±）＝0．故答案为：x±y＝0或x+y﹣（2±）＝0．9．已知实数x，y满足6x+8y﹣1＝0，则的最小值为．【分析】根据题意，设t＝＝，分析点（x，y）在直线6x+8y ﹣1＝0上，t的几何意义为直线6x+8y﹣1＝0上点（x，y）与（0，1）之间的距离，并求出点（0，1）到直线6x+8y﹣1＝0的距离d，据此分析可得答案．解：根据题意，设t＝＝，实数x，y满足6x+8y﹣1＝0，则点（x，y）在直线6x+8y﹣1＝0上，t的几何意义为直线6x+8y﹣1＝0上点（x，y）与（0，1）之间的距离，点（0，1）到直线6x+8y﹣1＝0的距离d＝＝，则t的最小值为；故答案为：．10．圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为x+y﹣1＝0．【分析】线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，即可得到线段AB的垂直平分线方程；x2+y2﹣4x﹣5＝0与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0解：线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心∵圆x2+y2﹣2x﹣5＝0可化为：（x﹣1）2+y2＝6，圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0可化为：（x+1）2+（y﹣2）2＝9∴两圆的圆心分别为（1，0），（﹣1，2）∴线段AB的垂直平分线方程为，即x+y﹣1＝0故答案为：x+y﹣1＝0．11．直线l：y＝x+b与曲线C：y＝有两个公共点，则b取值范围是．【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数b的取值范围．解：如图所示，是一个以原点为圆心，1为半径的半圆，y＝x+b是一个斜率为1的直线，要使两图形有两个交点，连接A（﹣1，0）和B（0，1），直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b＝1；当直线l与半圆相切时，．所以b的取值范围是．故答案为：．12．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解：圆心到直线的距离d＝＝≤，∴m＝1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2．故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．13．设点M（x0，y0）在直线y＝x+上，若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是[﹣，0]．【分析】根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得X0的取值范围．解：∵点M（x0，y0）在直线y＝x+上，∴M（x0，x0+）在直线y＝x+上，又直线y＝x+与圆O：x2+y2＝1相切，∴要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时，一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时有MN＝1，∴x0的取值范围为[﹣，0]故答案为：[﹣，0]．14．过点P（0，3）作直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值为．【分析】直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0，化为m（x﹣4y）+n（x+2y﹣6）＝0，可得直线l经过定点M（4，1）．线段PM的中点G．根据PQ⊥l．可得点Q在以点G 为圆心，以|PG|为半径的圆上．利用点到直线的距离公式可得点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值．解：直线l：（m+n）x+（2n﹣4m）y﹣6n＝0，化为m（x﹣4y）+n（x+2y﹣6）＝0，联立，解得x＝4，y＝1．∴直线l经过定点M（4，1）．线段PM的中点G（2，2）．∵PQ⊥l．∴点Q在以点G为圆心，以|PG|＝为半径的圆上．其圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5．圆心G到直线x﹣2y﹣8＝0点距离d＝＝2．∴点Q到直线x﹣2y﹣8＝0的距离的最小值为．故答案为：．三、解答题（共1小题）15．已知直线l：4x+3y﹣8＝0（a∈R）过圆C：x2+y2﹣ax＝0的圆心交圆C于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求圆C在点P（1，）处的切线方程；（Ⅲ）求△OAB的面积．【分析】（I）圆C：x2+y2﹣ax＝0的圆心为（，0），将圆心坐标代入4x+3y﹣8＝0即可求得a，从而可得圆C的方程；（II）将点P（1，）的坐标代入x2+y2﹣4x＝0成立，即点P（1，）在x2+y2﹣4x ＝0上，设过点P（1，）的切线l1的斜率为k，利用k PC•k＝﹣1可求得k，从而可得切线l1的方程；（III）由题意可知，|AB|为圆x2+y2﹣4x＝0的直径，其长度为4，利用点到直线的距离公式可求得原点（0，0）到直线l：4x+3y﹣8＝0的距离，从而可求△OAB的面积．解：（I）∵圆C：x2+y2﹣ax＝0的圆心为（，0）…（1分）直线l：4x+3y﹣8＝0过圆C的圆心，∴4×+3×0﹣8＝0，∴a＝4…∴圆C的方程为：x2+y2﹣4x＝0…（II）∵点P（1，）在x2+y2﹣4x＝0上，且圆心为（2，0）…∴设过点P（1，）的切线l1的斜率为k，过P、C两点的直线的斜率为k PC，则…k PC＝…∵PC⊥l1∴k PC•k＝﹣1，故k＝…∴切线l1的方程为y﹣＝（x﹣1），即x﹣y+2＝0…（III）∵圆C：x2+y2﹣4x＝0的半径为2，…∴|BA|＝2r＝4…点O（0，0）到直线l：4x+3y﹣8＝0的距离为d＝＝…∴S△OAB＝|ABC|•d＝×4×＝…。
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【解析】
设这条弦的两端点为 斜率为 ，则 ，两式相减再变形得 ，又弦中点为 ，可得 ，所以这条弦所在的直线方程为 ，整理得 ，故选C.
【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
2．D
【解析】
因为抛物线方程为 ， ,所以它的准线方程为 ，故选D.
3．B
【解析】
抛物线 的焦点为 ；抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，故 ，故 ，故该椭圆的离心率为 ，故选B.
4．A
【解析】
设双曲线的方程为 双曲线的一个焦点坐标为 ，且经过点 ， 双曲线的标准方程为 ，故选A.
5．A
【分析】
由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过抛物线上一点， 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 __________．
14．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲线于P，Q两点，且 ， ，则双曲线的离心率为________.
三、解答题
15．已知命题 ： 表示双曲线，命题 ： 表示椭圆．
【详解】
∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝ ，所以椭圆方程为 .
故பைடு நூலகம்案为A
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6．C
【解析】
双曲线 （ ）的 ，则离心率 ，解得 ，则双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，故选C.
12．
【解析】
椭圆 的 右焦点为 ，直线的方程为 ，代入椭圆方程，可得 ，解得 或 ，即有交点为 ，则弦长为 ，故答案为 .
13．
【解析】
由抛物线 方程，可得焦点 ，准线 的方程为 直线 的倾斜角为 直线 的方程为 ，联立 ，解得 ， 于 代入抛物线的方程可得 ，解得 ， ，故答案为 .
14．
【分析】
3．已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的一个焦点坐标为 ，且经点 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
（1）若命题 与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？
（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）
（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围．
16．已知平面上的三点 、 、 .
（1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程；
8．A
【解析】
由题意 设 ，则
可得：
故选A．
9．
【解析】
联立方程 ，可得 ，由直线 与椭圆 相切得， ， ，直线 与椭圆 相切的充要条件是 ，故答案为 .
10．4
【解析】
双曲线 的左焦点 ，双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，可得 ，解得 ，故答案为 .
11． 或
【解析】
当焦点在 轴上时， ， ， ，当焦点在 轴上， 解得 或 ,故答案为 或 .
（2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
17．已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）求 的面积.
18．已知椭圆 的方程为 （ ）的离心率为 ，圆 的方程为 ，若椭圆 与圆 相交于 ， 两点，且线段 恰好为圆 的直径.
（1）求直线 的方程；
（2）求椭圆 的标准方程.
19．已知椭圆 的中心在原点，离心率为 ，右焦点到直线 的距离为2.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆下顶点为 ，直线 （ ）与椭圆相交于不同的两点 ，当 时，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
特称命题的否定为全称，所以“ ”的否定形式是： .
故选D.
9．直线 与椭圆 相切的充要条件是__________．
10．（2018天津市和平区上学期期末考试）若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线上，则 __________．
11．已知椭圆 的离心率 ，则 的值等于__________．
12．已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 、 两点，则 的长为__________．
天津市和平区2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“ ”的否定形式是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 ，则它的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
6．若双曲线 （ ）的离心力为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 ，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使 ,则离心率e的取值范围为
A． B．
C． D．
二、填空题
先根据题意得 ，再根据双曲线的定义得 ， ，再在 中，利用勾股定理即可求得 .
【详解】
解：如图，
可设 为双曲线右支上一点，由 ，
在直角三角形 中， ，
由双曲线的定义可得： ，
由 ，即有 ，
即为 ，
，解得 ， ，
由勾股定理可得： ，
可得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出 之间的关系，求出离心率 ．
15．（1） 是 的必要不充分条件（2） 或 ．
【解析】
试题分析：(1)根据双曲线的定义，若命题 为真命题则 ,若 都为真命题则 或 ，由 ，可得 是 的必要不充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围..