导数专项：切线问题专项突破含详细解析答案

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高考压轴题：导数题型及解题方法归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。

答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。

2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。

考点49 利用导数求切线方程——2021年高考数学专题复习真题附解析

2 7．已知 f (x) 为偶函数，当 x 0 时， f (x) ln(x) 3x ，则曲线 y f (x) 在点 (1, 3) 处的切线方程是
__________．
8．若函数 f x a 1 x3 ax2 2x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为
______________．
.
x
2
【答案】- 3 5
【解析】根据已知条件，
f
( x)
1 x
2 x2
，因为曲线
y
ln
x
2 x
在
x
1 处的切线的倾斜角为
，所以
tan
f (1) 1 2 3 ， 0
2
.因为 sin2 a cos2
1， tan
sin cos
3，则解得 sin
3 10
， cos 1 ， cos(2 ) sin 2 2sin cos 3 .
【题组三过某点求切线】
1．过原点与曲线 y 2ex 相切的直线方程为______.
2．已知点 A1, 2 在函数 f x ax3 的图象上，则过点 A 的曲线 C : y f x 的切线方程
是
。
3．过点 P(2, 6) 作曲线 f (x) x3 3x 的切线，则切线方程为
。
4．已知曲线 f (x) 1 ，则过点 (1, 3) ，且与曲线 y f (x) 相切的直线方程为
4．已知函数 f (x) 2x3 3x ，若过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y f (x) 相切，求 t 的取值范围
__________。
5．若直线 y kx b 是曲线 y ln x 的切线，也是曲线 y ex2 的切线，则 k ________. 6．若直线 y ax b 与曲线 y ln x 1 相切，则 ab 的最大值为________.

导数求切线方程的练习题及答案

导数求切线方程的练习题及答案精品文档导数求切线方程的练习题及答案类型一:已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f?，并代入点斜式方程即可( 例1 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 ,(y?3x?4,(y??3x?,(y?4x?5类型四:已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解( 例求过点且与曲线y?例已知函数y?x3?3x，过点A作曲线y?f的切线，切线方程(1x相切的直线方程(,(y??4x?3类型二:已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决(例与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x的切线方程是2,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?0,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?01 / 6精品文档类型三:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法(例求过曲线y?x3?2x上的点的切线方程(高二数学第1页共2页高二数学第2页共2页学校数学学科导学案编制人: 审核人: 授课日期: 月日姓名: 班级: 编号:第周号运用导数求切线方程的专项训练11.对任意x，有f?=4x3，f=,1，则此函数为A.f=x4,2C.f=x3B.f=x4+D.f=,x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=s时的瞬时速度为A. B.1C.5 D.813(曲线y=x3,3x2+1在点处的切线方程为A.y=3x,4B.y=,3x+2C.y=,4x+D.y=4x,54.函数f=的导数是A.x2,x+1B.C.3xD.3x2+15.曲线y=f在点)处的切线方程为3x+y+3=0，则A. f?>0B. f? 6. 曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为2x?12 / 6精品文档A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?07. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.8. 曲线f?lnx?x在点处的切线的倾斜角为_______.9(曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。

导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结解析版

导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。

高中：利用导数求切线方程含解析

利用导数求切线方程一．选择题（共8小题）1．曲线y=1xx过（1，0）点的切线方程为（）A．y＝﹣4x+4B．y＝4x﹣4C．y＝﹣x+1D．y＝x﹣12．抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程（）A．3x﹣y﹣9＝0B．6x﹣y﹣9＝0C．3x+y﹣9＝0D．6x+y﹣9＝0 3．经过点P（2，4）且与曲线y=13x3+43相切的直线方程为（）A．y＝x+2B．y＝4x﹣4C．y＝x+2或y＝4x﹣4D．y＝﹣x+2或y＝﹣4x+44．过点Q（1，0）且与曲线yy=1xx相切的切线方程是（）A．y＝﹣2x+2B．y＝﹣x+1C．y＝﹣4x+4D．y＝﹣4x+25．曲线yy=−1xx在点(12，−2)处的切线方程是（）A．y＝﹣4x B．y＝4x﹣4C．y＝4x+4D．y＝﹣4x+46．曲线y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数）在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝ex﹣e B．y＝ex+e C．y＝x﹣1D．y＝x+17．已知函数f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则该函数的图象在xx=ππ2处的切线方程为（）A．3x+y﹣π＝0B．3x﹣y﹣π＝0C．x+3y﹣π＝0D．3x+y+π＝08．已知曲线y＝axe x+lnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝3x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣2B．a＝e，b＝2C．a＝e﹣1，b＝﹣2D．a＝e﹣1，b＝2二．多选题（共1小题）（多选）9．已知曲线f（x）＝2x3+1，则曲线过点P（1，3）的切线方程为（）A．6x﹣y﹣3＝0B．3x﹣2y+3＝0C．6x+y﹣9＝0D．3x+2y﹣9＝0三．填空题（共6小题）10．设y=ee1−xx2与x＝﹣1的交点为P．则过P点的切线方程为．11．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）cos x﹣3x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）过点（2a，﹣6）的切线方程为．12．已知函数f（x）＝（2x+3）4+m的图象过原点，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．13．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=12x+2，则f（1）+f′（1）＝．14．函数y＝f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x﹣8，则ff(2)ff′(2)=．15．曲线f（x）＝3−xx ee xx，在点（0，3）处的切线方程为．四．解答题（共5小题）16．已知曲线ff(xx)=13xx3．（1）求曲线在点P（2，83）处的切线方程；（2）若曲线上某点的切线过点Q（0，−23），求该点坐标以及该点处的切线方程．17．已知曲线f（x）＝2x3+1．（1）求曲线在点P（1，3）处的切线方程；（2）求曲线过点P（1，3）的切线方程．18．已知曲线C：y=1tt−xx经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．19．（1）已知f（x）＝eπx sinπx，求f'（x）及f'（12）；（2）在曲线y=11+xx2上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．20．（文做）已知曲线y=13xx3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程．利用导数求切线方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：设切点坐标为（xx0，1xx0），由y=1xx，得y′=−1xx2，可得过切点的切线方程为y−1xx0=−1xx02(xx−xx0)，把（1，0）代入，可得−1xx0=−1xx02(1−xx0)，解得xx0=12．∴曲线y=1xx过（1，0）点的切线方程为y﹣2＝﹣4（x−12），即y＝﹣4x+4．故选：A．2．【解答】解：由y＝x2，得y′＝2x，∴y′|x＝3＝6，又当x＝3时，y＝9．∴曲线C上横坐标为3的点处的切线方程为y﹣9＝6（x﹣3），即6x﹣y﹣9＝0．故选：B．3．【解答】解：设切点为（m，n），y=13x3+43的导数为y′＝x2，即有切线的斜率为k＝m2，切线方程为y﹣n＝m2（x﹣m），其中n=13m3+43，又4﹣n＝m2（2﹣m），消去n，得m3﹣3m2+4＝0，解得m＝﹣1或2，即有k＝1或4，则有切线方程为y﹣4＝（x﹣2）或y﹣4＝4（x﹣2），即为y＝x+2或y＝4x﹣4．故选：C．4．【解答】解：由yy=1xx，得y′=−1xx2，设切点为（xx0，1xx），则yy′|xx=xx0=−1xx02，∴在切点处的切线方程为y−1xx0=−1xx02(xx−xx0)，把（1，0）代入，可得−1xx0=−1xx02(1−xx0)，解得xx0=12．∴过点Q（1，0）且与曲线yy=1xx相切的切线方程是y﹣2＝﹣4（x−12），即y＝﹣4x+4．故选：C．5．【解答】解：由y=−1xx，得y′=1xx2，∴yy′|xx=12=4，则曲线yy=−1xx在点(12，−2)处的切线方程是y+2＝4（x−12），即4x﹣y﹣4＝0．故选：B．6．【解答】解：∵y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数），∴y′＝xe x，根据导数的几何意义，则切线的斜率为y′|x＝1＝e，又切点坐标为（1，0），由点斜式方程可得y＝e（x﹣1），即y＝ex﹣e，∴曲线y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数）在点（1，0）处的切线方程为y＝ex﹣e．故选：A．7．【解答】解：f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则f'（x）＝2cos2x﹣f'（0），∴f'（0）＝2cos0﹣f'（0），解得f′（0）＝1，∴ff(xx)=ssss ss2xx−xx，ff(ππ2)=−ππ2，ff′(xx)=2ccccss2xx−1，ff′(ππ2)=−3，则切点(ππ2，−ππ2)，kk=−3，故切线方程为yy+ππ2=−3(xx−ππ2)，即3x+y﹣π＝0，故选：A．8．【解答】解：由y＝axe x+lnx，得y′＝ae x+axe x+1xx，由题意，�2aaee+1=3aaee=3+bb，解得a＝e﹣1，b＝﹣2．故选：C．二．多选题（共1小题）（多选）9．【解答】解：设切点为QQ(xx0，2xx03+1)，则f'（x）＝6x2，所以ff′(xx0)=6xx02，所以切线方程为yy−2xx03−1=6xx02(xx−xx0)，因为切线过点（1，3），所以3−2xx03−1=6xx02(1−xx0)，即2xx03−3xx02+1=0，即(xx0−1)2(2xx0+1)=0，解得x0＝1或xx0=−12，所以切线方程为6x﹣y﹣3＝0或3x﹣2y+3＝0．故选：AB．三．填空题（共6小题）10．【解答】解：将x＝﹣1代入函数的解析式可得y＝1，即P（﹣1，1），设出切点为（m，ee1−mm2），由y=ee1−xx2的导数为y′＝﹣2x•ee1−xx2，可得切线的斜率为k＝﹣2m•ee1−mm2，即有切线的方程为y−ee1−mm2=−2m•ee1−mm2（x﹣m），代入点（﹣1，1），可得（1+2m+2m2）•ee1−mm2=1，由g（m）＝（1+2m+2m2）•ee1−mm2，可得g′（m）＝2（m+1）（1﹣2m2）•ee1−mm2，可得m＝﹣1或±√22，由m＝﹣1时，取得极值1，且唯一．则所求切线的方程为y﹣1＝2（x+1），则切线的方程为y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．11．【解答】解：因为f（x）＝x3+（a﹣1）cos x﹣3x为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），得a＝1，f（x）＝x3﹣3x，f′（x）＝3x2﹣3，设切点（x0，y0），则切线方程为yy−(xx03−3xx0)=(3xx02−3)(xx−xx0)，又切线过点（2，﹣6），代入得−6−(xx03−3xx0)=(3xx02−3)(2−xx0)，解得x0＝0或x0＝3．当x0＝0时，切点为（0，0），切线方程为y＝﹣3x；当x0＝3时，切点为（3，18），切线方程为y＝24x﹣54．故答案为：y＝﹣3x和y＝24x﹣54．12．【解答】解：∵f（0）＝81+m＝0，∴m＝﹣81，f（﹣1）＝﹣80，f'（x）＝8（2x+3）3，∴f'（﹣1）＝8，∴所求切线方程为y+80＝8（x+1），即y＝8x﹣72．故答案为：y＝8x﹣72．13．【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，∴点M在切线上，∴f（1）=12+2=52，∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是y=12x+2，∴切线斜率是12，即f′（1）=12，∴f（1）+f'（1）=52+12=3．故答案为：3．14．【解答】解：由题意，f′（2）＝2，又f（2）＝2×2﹣8＝﹣4，∴ff(2)ff′(2)=−42=−2．故答案为：﹣2．15．【解答】解：由f（x）＝3−xx ee xx，则f′（x）=xx−1ee xx，所以f′（0）＝﹣1，所以在点（0，3）处的切线方程为y﹣3＝﹣x，即x+y﹣3＝0，故答案为：x+y﹣3＝0．四．解答题（共5小题）16．【解答】解：（1）ff(xx)=13xx3，f′（x）＝x2，f′（2）＝4，∴曲线在点P（2，83）处的切线方程为：y−83=4（x﹣2），化为：4x﹣y−163=0，即12x﹣3y﹣16＝0；（2）设切点P（x0，13xx03），f′（x）＝x2，切线斜率k＝f′（x0）=xx02，切线方程为：y−13xx03=xx02（x﹣x0），∵切线过点Q（0，−23），∴−23−13xx03=xx02（0﹣x0），解得x0＝1，y0=13．∴切点（1，13），该点处的切线方程为：y−13=x﹣1，化为：3x﹣3y﹣2＝0．17．【解答】解：f′（x）＝6x2，（1）k＝f′（1）＝6，故切线方程为y﹣3＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣3＝0即为所求．（2）由题意设切点为（m，2m3+1），k＝f′（m）＝6m2，则切线方程为y﹣（2m3+1）＝6m2（x﹣m）……①，将点（1，3）代入得：3﹣（2m3+1）＝6m2（1﹣m），即2m3﹣3m2+1＝0，即（m﹣1）2（2m+1）＝0，解得m＝1，或mm=−12，代入①式得切线方程为：6x﹣y﹣3＝0，或3x﹣2y+3＝0．18．【解答】解：（1）由题意可得1tt−2=−1，解得t＝1，即有y=11−xx，导数为y′=1(xx−1)2，曲线C在点P处的切线斜率为1，可得曲线C在点P处的切线方程为y+1＝x﹣2，即为x﹣y﹣3＝0；（2）设切点为（m，11−mm），可得切线的斜率为1(mm−1)2，切线的方程为y−11−mm=1(mm−1)2（x﹣m），代入点（0，0），可得−11−mm=−mm(mm−1)2，解得m=12，切线的斜率为4，即有与曲线C相切的切线方程为y＝4x．19．【解答】解：（1）由f（x）＝eπx sinπx，得f'（x）＝πeπx sinπx+πeπx cosπx＝πeπx（sinπx+cosπx），f'（12）=ππeeππ2(ssss ssππ2+ccccssππ2)=ππeeππ2；（2）由y=11+xx2，得yy′=−2xx(1+xx2)2，令y′＝0，得x＝0，则切点坐标为（0，1），切线方程为y＝1．20．【解答】解：（1）y=13xx3+43的导数为y′＝x2，可得曲线在点P（2，4）处的切线斜率为4，则曲线在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4＝4（x﹣2），即为4x﹣y﹣4＝0；（2）设切点为（m，n），则n=13m3+43，曲线过点P（2，4）的切线斜率为m2，切线的方程为y−13m3−43=m2（x﹣m），代入点（2，4），可得4−13m3−43=m2（2﹣m），化为（m+1）（m﹣2）2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，则所求切线的方程为y﹣1＝x+1或y﹣4＝4（x﹣2），即为x﹣y+2＝0或4x﹣y﹣4＝0．。

专题突破卷03 导数中的公切线问题 (学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)

专题突破卷03 导数中的公切线问题题型一求在曲线上一点处的切线方程1．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=2．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （）A ．2-B ．1C ．1-D ．e3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(3)f x f x -=-，当[0,1]Î时，2()f x x =，若6()log |1|g x x =-，下列命题：①()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象在72x =处的切线方程为44170x y +-=；③函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为12；④(2022)(2023)(2024)(2025)2f f f f +++=．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（）A ．B ．2-C ．3-D ．4-5．若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=6．已知函数2()e x f x x =-，则下列结论中错误的是（）A ．e 1((0))ef f -=B ．()f x 为减函数C ．()2log 3(2)f f <D ．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(2e)1y x =--7．已知曲线211ln 22y x x =++在点()1,1处的切线与抛物线2x ay =也相切，则实数a 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．0或18．已知曲线1:()sin()c f x A x w j =+与2π:()cos()0,0,||2c g x A x A w j w j æö=+>><ç÷èø，下面结论不正确的是（）A ．12,c c 有公切线B ．12,c c 在区间[,]a b 上均达到一个极大值点和极小值点，则3π2a b w-³C ．不等式()()f x g x >在π45π4,44j j w w ++æöç÷èø一定成立D ．记点π4,4P m j w -æöç÷èø处12,c c 9．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=sin BAC Ð=（）A ．12B C ．1D 10．若过点(),a b 可以作曲线ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln b a+C ．0a <D ．e ab >11．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（）A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+12．曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．1313．曲线ln 2y x =在点1,02æöç÷èø处的切线方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．220x y -+=D ．220x y --=14．已知二次函数()y ax x b =-（0b ¹且1b ¹）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 ()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 ()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x L ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．34题型二求过一点的切线方程16．已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．217．若过点(),(0)m n m >可以作两条直线与曲线1ln 2y x =相切，则下列选项正确的是（）A ．2ln n m C ．2ln 0m n >>D ．2ln 0m n <<18．若过点(),2a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（）A ．()2,e -¥B ．(),ln2-¥C ．()20,eD ．()0,ln219．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥20．已知函数()211ln ,0224ln ,0x x f x x x ìæöæö£ïç÷ç÷=íèøèøï>î，若函数()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（）A ．216e m m ìü³íýîþB ．{}2eln 2m m ³C ．2216eln 2e m m ìü<<íýîþD ．2216eln 2e m m m ìü==íýîþ或21．若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln22b <C ．0ln2b <<D ．1b >22．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B ¢都落在边AD 上，记为B ¢；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB ¢=+uuur uuuu r uuu r ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111D C B A 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ，且11,A D 在x 轴上．则梯形1111D C B A 的面积最小值为（）A ．6B ．C ．D ．23．若曲线 1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A ．14B C ．13D 24．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．若曲线()1log a f x x x=+（0a >且1a ¹）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围为（）A ．æççèB ．ö÷÷øC ．(D ．)+¥26．已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,227．已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--28．已知点(),P x y 是曲线2y x = ）A B C D 29．设点P (异于原点)在曲线()4:0C y ax a =¹上，已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线，若直线l 的纵截距的取值范围是34,éö+¥÷êëø，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．1±30．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（）A B C ．1D )e 5+题型三已知切线求参数问题31．函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线sin y x =在3π4x =处的切线垂直，M ，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则2211OMON+=（）A ．14B ．4C ．12D ．233．已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（）A ．()1,+¥B ．3,4æö+¥ç÷èøC ．()0,¥+D ．4,5æö+¥ç÷èø34．已知 0m > ，0n >，直线 2e y x m =+ 与曲线 2ln 4y x n =-+ 相切，则 11m n+ 的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．135．贝塞尔曲线（Beziercurve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B --，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（）A ．3254x x x --B ．333x x -C ．3234x x x-+D ．3232x x x--36．已知函数()1e xf x ax =++，曲线()y f x =在ln3x =处的切线与直线2ln50x y -+=平行，则实数a 的值为（）A ．1B ．12C ．1-D ．32-37．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧 QM组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧 QM所在圆C 的方程为()()22103128x y ++-=．若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45°且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（）A ．()244x y =-+B ．2132y x =--C ．()2321x y =--D ．()2144y x =-+39．已知函数2()ln f x x m x =+的图象在点(1,1)P 处的切线经过点(0,1)Q ，则实数m 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．240．函数e x m y n +=-的图象与直线e y x =相切，则以下错误的是（）A ．若1m =，则e n =B ．若1n =，则1em =C ．en m =+D ．e n m=41．已知曲线e x y x =，过点()3,0作该曲线的两条切线，切点分别为()()1122,,,x y x y ，则12x x +=（）A ．3-B ．CD ．342．已知()ln f x x x =+，曲线()y f x =在点Q 处的切线l 与直线2140x y --=平行，则直线l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=43．已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（）A ．0B ．1C ．2D ．344．若曲线()ln f x ax x =-与直线222ln20x y -+-=相切，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．e45．函数()ln f x x a x =-在区间()1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围（）A ．()1,6B ．()1,3C ．()3,4D ．()4,6题型四两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题46．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为 .47．已知函数y =x y a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.48．已知函数()24e 2(0)x f x x x x -=->，函数()2233()g x x ax a a a =-+--ÎR ．若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q ，当P 、Q 两点不重合时，线段PQ 的长为．49．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ìæö+>ïç÷=èøíï<î点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．50．若两个函数()ln =+f x x a 和()()e ,R xg x b a b =Î存在过点12,2æöç÷èø的公切线，设切点坐标分别为()()()()1122,,,x f x x g x ，则()()()121222x x f x g x éù++=ëû.51．已知函数121y x =的图象与函数2xy a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则=a .52．曲线e x y =在()11,A x y 处的切线与曲线ln y x m =+相切于点()22,B x y ，若12x x <且2121111x x y y +=--，则实数m 的值为 .53．已知函数121y x =的图象与函数2(0xy a a =>且1)a ¹的图象在公共点处有相同的切线，则=a，切线方程为 .54．已知函数()1sin 22f x x =.若曲线()y f x =在点()()11,A x f x 处的切线与其在点()()22,B x f x 处的切线相互垂直，则12x x -的一个取值为.55．写出与函数()sin f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = .56．写出与函数()sin2f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = ．57．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．58．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m Î的最小值为．59．已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则=a.60．已知曲线()f x =()ln g x a x =（a R Î）相交，且在交点处有相同的切线，则=a .1．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++有且仅有一个公共点，则实数a 的值是（）A ．8-B ．0C ．0或8D ．82．直线2y x a =+与曲线()22ln f x bx x x =+-相切于点()()22f ,，则ab 的值为（）A ．12B ．2ln2-C ．ln2-D ．2ln2-3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =-+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为A ．33y x =+B ．33y x =-C ．3y x =+D ．3y x =-4．过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A ．3-B ．C D ．35．已知函数()g x 为奇函数，其图象在点(,())a g a 处的切线方程为210x y -+=，记()g x 的导函数为()g x ¢，则()g a ¢-=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．点P 是曲线()f x =P 到直线20x y -+=的距离的最小值是（）A B ．74C D ．347．若函数()ln x f x x=与()e x ab g x -=-在1x =处有相同的切线，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 在点=1x -处的切线方程为10x y +-=，则()()11f f ¢-+-=（）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若曲线33y x x =++在点()1,5处的切线与ln y x ax =+在点()1,a 处的切线平行，则=a （）A ．3B ．2C ．32D ．1210．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为（）A ．(0,8)B ．1(,)8+¥C ．1(,0)(0,8-¥U D ．(,0)(8,)-¥È+¥11．对于函数()2e xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 恰有一个极值点B ．()f x 有最小值但没有最大值C ．直线()2y k x =+与曲线()y f x =的公共点个数最多为4D ．经过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线12．已知函数()b f x ax =的导函数为2()3f x x ¢=，则a b += ，过点(1,1)且与曲线()y f x =相切的直线方程为 .13．若函数()21ln 2f x x t x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y kx b =+，则k b += ；若方程()0f x =有两个不等的实根，则实数t 的取值范围为 .14．已知函数()21e xx x f x -+=.(1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的极值.15．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,¥+上的最大值是0，求a 的取值范围．16．已知函数()sin x x x j =-，()()ln 1e x f x a x =-+，其中a ÎR .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x Î+¥时()306x x j +≥；(3)对任意[]0,πx Î，()()22f x x j ¢³+恒成立，求实数a 的取值范围.17．已知函数()2e e x f x ax =+-，R a Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x ¢的单调性；(3)若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-．(1)求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求证：()1f x £-；19．已知函数()()1e x f x ax a =-+.(1)若1a =，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的方程()1ef x =-恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.20．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.(2)已知R t Î，2()(2)ln g x tx t x x =+--时，讨论函数()g x 的单调性.(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.。

专题突破06 切线问题综合(解析版)高二数学上册常考题专练(选择性必修第二册)

专题突破——06切线问题综合1．已知32()3(02)f x x x ax x =-+<<，曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是【解答】解：2()36f x x x a '=-+，由题意，导函数在(0,2)有两个互异零点，故(1)0(0)0(2)0f f f '<⎧⎪'>⎨⎪'>⎩，即300a a -<⎧⎨>⎩，所以03a <<⋯⋯①．()6(1)f x x ''=-，所以，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 递增．且(0)f f '='（2）a =，f （1）3a =-．()(3f x a ∴'∈-，)a ，要使曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，只需(3)1a a -<-即可，解得3322a -+<<，结合①式得：3322a +<<即为所求．故答案为：3322a +<<．2．若直线y kx =既是曲线1x y e =-的切线，又是曲线()y ln x b =+的切线，则b =1．【解答】解：设y kx =与1x y e =-和()y ln x b =+的切点分别为1(x ，1)kx 、2(x ，2)kx ，由导数的几何意义可得121x k e x b==+，再根据直线y kx =既是曲线1x y e =-的切线，又是曲线()y ln x b =+的切线，可得11221()x kx e kx ln x b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，联立上述式子解得120x x ==，1k b ==，故答案为：1．3．若直线y kx b =+与曲线2y lnx =+相切于点P ，与曲线(1)y ln x =+相切于点Q ，则k =．【解答】解：设切点1(P x ，1)kx b +，2(Q x ，2)kx b +，由题意得12111k x x ==+，所以121x x =+，切线方程分别可以表示为：1111111()21y x x lnx x lnx x x =-++=++，1221211111()(1)1x y x x ln x x lnx x x x -=-++=+-+，所以有1111x x -=-，解得112x =，即2k =．故答案为：24．若过点(,)a b 可以作曲线y lnx =的两条切线，则()A ．lnb a，则1|x t y t='=，切线方程为1()1xy lnt x t t t-=-=-，把(,)a b 代入，可得1a b lnt t =+-，令()1af t lnt t =+-，则221()a t af t t t t-'=-+=，当(0,)t a ∈时，()0f t '<，当(,)t a ∈+∞时，()0f t '>，()f t ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则()f t 的最小值为f （a ）lna =，∴要使过点(,)a b 可以作曲线y lnx =的两条切线，则lna b <．故选：B ．5．已知函数41()(),[4,)f x k lnx x k k x =+-+∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使得曲线在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为()A ．4(,)5+∞B ．(1,)+∞C ．8(,)5+∞D ．16(,)5+∞【解答】解：函数41()()f x k lnx x k x =+-+的导数为2411()()1f x k k x x'=+⋅--，由曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，可得221122411411()1()1k k k x x k x x +⋅--=+⋅--，化为22212111411()()k x x k x x -=+-，即为12124x x k x x k+=+，由21212()2x x x x +<，可得1244k k x x +>+，由4k k +在[4，)+∞递增，可得45k k+ ，则1214455x x +>⨯=，故选：A ．6．若曲线()f x lnx x =+在点0(x ，0())f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b +的最小值为()A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解答】解：000()f x lnx x =+，因为切点在直线上，所以000lnx x kx b +=+①，1()1f x x'=+，结合导数的几何意义有001()1k f x x ='=+②，因为00x >，所以1k >，联立①②消去0x 得1(1)b ln k =---，所以1(1)k b k ln k +=---，(1)k >，令()1(1)g x x ln x =---，则12()111x g x x x -'=-=--，令()0g x '>，解得2x >；令()0g x '<，解得12x <<，所以()g x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，因此()min g x g =（2）1=，故k b +的最小值为1．故选：D ．7．若函数()(01)f x lnx x =< 与函数2()g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是()A．1(,)2--+∞B．13(,)24---C．3(4--D．13(,]24---【解答】解：1()f x x'=，()2g x x '=，设与2()g x a x =+相切的切点为(s ，)(0)t s >，与曲线()f x lnx =相切的切点为(,)m n ，01m < ，则有公共切线斜率为12n ts m m s-==-，又2t a s =+，n lnm =，可得2222n t lnm a s sm s -=--=-，且21sm =，化为2114a lnm m +=+，01m < ，设21()4h m lnm m =+，01m < ，2331121()22m h m m m m -'=-=，当2m >时，()h m 递增，当02m <<时，()h m 递减，则()h m 在m =处取得最小值，且为12+，由题意可得1111224a ln +<++ ，解得13224lna -<- ，即1324a -<- ．故选：D ．8．已知点P 是曲线3211:213C y x x x =+++在点(0,1)处的切线上的任意一点，点Q 是曲线2:lnxC y x=上的任意一点，则||PQ 的最小值是．【解答】解：点P 是曲线3211:213C y x x x =+++在点(0,1)处的切线上的任意一点，可得241y x x '=++，0|1x y ='=，所以P 满足的切线方程为：1y x -=，与直线10x y -+=平行的直线与曲线2:lnxC y x=相切的切点坐标为：(m ，())f m ，可得：21lnx y x -'=，所以：211lnmm -=，解得1m =，切点坐标(1,0)，切线方程为：10x y --=．点P 是曲线3211:213C y x x x =+++在点(0,1)处的切线上的任意一点，点Q 是曲线2:lnxC y x=上的任意一点，则||PQ=．9．已知函数()x f x ae x =-．（1）求()f x 的单调区间，（2）若关于x 不等式x ae x b + 对任意x R ∈和正数b 恒成立，求ab的最小值．【解答】解：（1）()1x f x ae '=-，当0a 时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减，若0a >时，令()10x f x ae '=-=，x lna =-，在x lna >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，在x lna <-时，()0f x '<，()f x 为减函数．（2）()x f x ae x =-，由题意()min f x b ，由（1）可知，当0a 时，()f x 在R 上单调递减，无最小值，不符合题意，当0a >时，()()1min f x f lna lna b =-=+ ，∴1a ab lna+，设h （a ）1a lna =+，则h '（a ）2(1)lnalna =+，(0a ∈，1]，h '（a ）0<；[1a ∈，)+∞，h '（a ）0 ，h ∴（a ）min h =（1）1=．10．若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是．【解答】解：由题得2sin [2y a x a '=-∈-，2]a +，则曲线在区间[2a -，2]a +内存在两数之积为1-，故只需(2)(2)1a a -+- ，解得a故答案为：[11．若存在实数a ，b ，使不等式2422elnx ax b x ++ 对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最小值是()A ．2eB ．4C ．eD ．2【解答】解：分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，可得0a >，若0b =，可得2422elnx ax x + ，即有242lnx ea x x x+ ，由224x x + ，当且仅当1x =时，取得最小值4，由4lnx y ex =的导数为214lnxy e x -'=，可得x e =处y 取得极大值，且为最大值4，可得a 的最小值为4．故选：B ．12．设函数()x f x e x =--图象上任意一点处的切线为1l ，函数()2cos g x ax x =+的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为．【解答】解：由()x f x e x =--，得()1x f x e '=--，11x e +>，∴1(0,1)1x e ∈+，由()2cos g x ax x =+，得()2sin g x a x '=-，又2sin [2x -∈-，2]，2sin [2a x a ∴-∈-+，2]a +，要使过曲线()x f x e x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则2021a a -+⎧⎨+⎩ ，解得12a - ．即a 的取值范围为12a - ．故答案为：[1-，2]．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是()A ．23(e -，)+∞B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e--【解答】解：设切点为0(x ，0)y ，过点P 的切线方程为00000(1)()x x y x e x x x e =+-+，代入点P 坐标化简为0200(1)x m x x e =---，即这个方程有三个不等根即可，令0200()(1)x f x x x e =---，求导得到()(1)(2)x f x x x e '=--+，函数在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)--上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减，故得到(2)(1)f m f -<<-，即231(,)e e--故选：D ．14．设(1,)x ∈+∞，在函数()xf x lnx=的图象上，过点(P x ，())f x 的切线在y 轴上的截距为b ，则b 的最小值为()A ．eB ．2e C ．22e D ．24e 【解答】解：函数()xf x lnx =的导数为21()lnx f x ln x-'=，当1x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，当x e >时，()0f x '<，()f x 递减．则x e =时，()f x 取得最大值．过点(P x ，())f x 的切线斜率为21()lnx f x ln x-'=，即有21xb lnx lnx x ln x--=-，化简可得2xb ln x=，1x >．24322ln x lnx lnx b ln x ln x--'==，当2x e >时，0b '>，函数b 递增；21x e <<时，0b '<，函数b 递减．则当2x e =时，函数b 取得极小值，也为最小值，且为24e ．故选：D ．15．若直线y kx b =+是曲线x y e =的切线，也是曲线(2)y ln x =+的切线，则k =．【解答】解：根据题意，设y kx b =+与x y e =和(2)y ln x =+的切点分别为(,)m m e 、(n ，(2))ln n +；曲线x y e =，其导数为x y e '=，有|m x m k y e =='=，则过(,)m m e 与x y e =相切的直线()m m y e e x m -=-，即m m m y e x me e =-+，曲线(2)y ln x =+，其导数为12y x '=+，有1|2x n k y n =='=+，则过(n ，(2)ln n +与(2)y ln x =+相切的直线1(2)()2y ln n x n n -+=-+，即1(2)22n y x ln n n n =-++++，若直线y kx b =+是曲线x y e =的切线，也是曲线(2)y ln x =+的切线，则有12(2)2m m m e n n me e ln n n ⎧=⎪⎪+⎨⎪-+=-++⎪+⎩，则有(2)m ln n =-+，解可得：1n =-或0，当0m =时，01m k e e ===；当1m =-时，11m k e e e-===故答案为：1或1e16．若直线(1)y kx b k =+<既是曲线y lnx =的切线，又是曲线21xy e e =的切线，则k =1e【解答】解：设直线与曲线y lnx =的切点为(,)m n ，直线与曲线21xy e e=的切点(,)s t ，y lnx =的导数为1y x '=，则1k m=，即1m k=，21x y e e =的导数为21xy e e'=，则2s k e -=，即有2s lnk =+，又n lnm km b ==+，可得1b lnk =--，由2s k t e ks b -===+，可得(2)b k k lnk =-+，即有12lnk k k klnk --=--，化为(1)(1)0k lnk -+=，由1k <可得1lnk =-，解得1k e=．故答案为：1e．17．已知实数a ，b 满足(1)30ln b a b ++-=，实数c ，d 满足20d c -=，则22()()a c b d -+-的最小值为1．【解答】解：问题转化为曲线(1)30ln x y x ++-=与直线2x y -上的两点之间距离的最小值．()3(1)y f x x ln x ==-+，1()31f x x '=-+，令1321x -=+，解得0x =，可得切点(0,0)P ．点P 到直线2x y -的距离1l ==．22()()a c b d ∴-+-的最小值为1．故答案为：1．18．已知直线(1)y a x =+与曲线()x f x e b =+相切，则ab 的最小值为()A ．14e-B ．12e-C ．1e-D ．2e-【解答】解：设切点为(,)m n ，()x f x e b =+的导数为()x f x e '=，可得m e a =，(1)m a m e b +=+，化为b alna =，可得2ab a lna =，设g （a ）2a lna =，g '（a ）2(21)alna a a lna =+=+，由a>时，g '（a ）0>，g （a ）递增；当0a <<g '（a ）0<，g （a ）递减，可得a=时，g （a ）取得最小值12e-．故选：B ．19．已知直线y ax b =+与曲线x y e =相切，则ab 的最大值是()A ．2e B ．e C D 【解答】解：设直线y ax b =+与曲线x y e =相切于(,)m M m e ，由x y e =导数为x y e '=，可得切线的斜率为m e a =，即m lna =，又m am b e +=，可得(1)m m b e me a lna =-=-，2(1)ab a lna =-，由f （a ）2(1)a lna =-，f '（a ）(12)a lna =-，0a >，当x >f '（a ）0<，f （a ）递减；当0x <<时，f '（a ）0>，f （a ）递增．即有f （a ）在x =12e ．故选：A ．20．已知直线2y x =与曲线()()f x ln ax b =+相切，则ab 的最大值为()A ．4e B ．2e C ．eD ．2e【解答】解：设切点为0(x ，0())ln ax b +，则由00()2af x ax b'==+，得01(0)2ax b a a +=>，又由00()2ln ax b x +=，得0011()222ax ln ax b =+=，则02222a a a ab ax ln =-=-，有2211(0)222aab a a ln a =->．令g （a ）2211222a a a ln =-，则g '（a ）1(22aa ln =-．故当0a <<g '（a ）0>；当a >时，g '（a ）0<．∴当a =时，g （a ）取极大值也是最大值为g e =．故选：C ．21．已知0k >，0b >且(4)kx b ln x ++ 对任意的4x >-恒成立，则bk的最小值为3．【解答】解：设()(4)(4)x f kx b ln x x =+-+>-，则()14x f k x '=-+，①当0k 时，104x >+∴()0x f '<，即函数()x f '在(4,)-+∞为减函数，当x →+∞时，()x f →-∞，()0x f ∴>在(4,)-+∞不恒成立，即0k 不成立．②当0k >时，设()0x f '>，得：14k x k ->，设()0x f '<，得：14k x k -<，即()x f 在区间14(4,)k k --上递减，在区间14(k k -，)+∞上递增，即()14()14x min k kf f b k lnk -==+-+，则140b k lnk +-+ ，41b k lnk ∴-- ，∴41(0)b k lnk k k k--> ，设()41(0)k k lnk g k k --=>则()k g lnk '=，易得，当1k >时，则()0x g '>，当01k <<时，则()0x g '<，即()k g 在区间(0,1)上递减，在区间(1,)+∞上递增，即()k min g g =（1）3=，故b k的最小值为3．故答案为：3．22．已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切，则2k b π+的最大值为24π．【解答】解：2()cos y f x x x ==+的导数为()2sin f x x x '=-，由于(2sin )2cos 0x x x -'=->，可得2sin x x -为增函数，当0x 时，2sin 0x x - ，则()y f x =递增，可得()(0)1f x f = ，因为()y f x =为偶函数，可得()f x 在(,0)-∞递减，问题转化为2cos x x kx b ++ 对x R ∈恒成立．当2x π=时，224k b ππ+ ，当224k b ππ+=时，令()02f k π'-=，即1k π=-，所以224b ππ-=，此时222cos (1)4x x x πππ-+-+ ，而22(1)4y x πππ-=-+为()f x 在2x π=处的切线方程．则2k b π+的最大值为24π．故答案为：24π．23．已知直线y kx b =+与函数x y e =的图象相切于点1(P x ，1)y ，与函数y lnx =的图象相切于点2(Q x ，2)y ，若21x >，且2(,1)x n n ∈+，n Z ∈，则n =4．【解答】解：由题意，121x k e x ==，①曲线x y e =在点1(P x ，1)y 处的切线方程为111()x x y e e x x -=-，即1111x x x y e x e x e =+-；曲线y lnx =在点2(Q x ，2)y 处的切线方程为2221()y lnx x x x -=-，即2211y x lnx x =+-．11121x x b e x e lnx ∴=-=-，②联立①②可得，2222210(1)x lnx lnx x x ---=>，令()1g x xlnx lnx x =---，则1()g x lnx x '=-，该函数在(1,)+∞上为增函数，g '（1）10=-<，g '（2）1202ln =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x '=，则()g x 在0(1,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，而0000000()10g x x lnx lnx x lnx x =---=--<，当1x +→时，()0g x <，()g x ∴的零点在0(x ，)+∞上，又g （4）6250ln =-<，g （5）4560ln =->，0(4,5)x ∴∈，则4n =．故答案为：4．。

2025年高考数学一轮复习-导数切线方程11种题型-专项训练【含解析】

第5讲导数切线方程11类【原卷版】【题型一】求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.2.已知点()1,1P -在曲线2xy x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--【变式演练】1.已知函数()x x af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（）AB ．2C ．2ln 2D ．ln 22.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（）A ．2π2032x -=B 2103y +--=C ．2π203x -=D 210y +=3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________.【题型三】求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________.3.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【题型四】无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______.【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-【题型五】“过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.2.过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（）A ．12B ．12eC ．1e D ．21e 【题型六】判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【题型七】多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A ．0a ，则实数m 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．122.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A ．1B ．2C ．3D ．43.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（）A ．11ln222--B ．ln 21--C ．12-D ．ln 2-【题型八】切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（）A1B 1C ．1-D ．1【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A2B ．1C D ．22.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．33.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【题型九】切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．42.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.3.已知a R ∈，b R ∈______．【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[]1,21e --B ．(,21]e -∞-C ．[]1,1e --D ．(,1]e -∞-2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.3.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型十一】切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A ．221,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________.2.已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.3.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（）A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或44.已知直线0x y -=是函数ln ()a xf x x=图像的一条切线，且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解，则（）A ．{}ln 2t e ∈B ．[0,ln 2]t e ∈C ．[0,2]t ∈D ．(,0]t ∈-∞5.．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.已知过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，则实数m 的取值范围是______.7.已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=，则()f x 和()g x 的公切线的条数为A ．三条B ．二条C ．一条D ．0条8.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．9.已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.10.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________.11.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-12.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.13.已知函数()3.f x x x =-（1）求曲线()y f x =在点()1,0M 处的切线方程；（2）如果过点()1,b 可作曲线()y f x =的三条切线,求实数b 的取值范围第5讲导数切线方程11类【解析版】【题型一】求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________.【答案】20x y -=【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．【详解】因为()()()221cos 2sin 1x x xf x x +-'=+，所以()02k f ='=，则所求切线的方程为2y x =.故答案为：20x y -=.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.【答案】310x y -+=【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.解：由()()1xf x x e x =++，得()'(1)1x x fx e x e =+++，所以在点()0,1处的切线的斜率为()'000(01)13fe e =+++=，所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=，故答案为：310x y -+=，2.已知点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.【答案】 32y x =--【分析】将点P 的坐标代入曲线方程，可求得a 的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点P 处的切线方程.【详解】因为点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，111a ∴=-，可得2a =，所以，22x y x =+，对函数求导得()()()222222422x x x x xy x x +-+'==++，则曲线在点P 处的切线斜率为13x k y =-'==-，因此，曲线在点P 处的切线方程为()131y x -=-+，即32y x =--.故答案为：32y x =--.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【答案】B【分析】求出函数()2ln x f x x a=+的导数'12()x f x x a =+,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π得'(1)1f =-,由此可求a 的值.解:函数()2ln x f x x a =+的导数'12()x f x x a =+,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π,∴'(1)1f =-,∴211a+=-,∴1a =-故选B.【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--【答案】C 【详解】令()'2314f x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为()()1,0,1,4--，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练】1.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（）A B ．2C ．2ln 2D ．ln 2【答案】D【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xxx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D2.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（）A．2π203x -=B210y +-=C．2π2032x -=D2103y +-+=【答案】A 【分析】求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.【详解】解：∵cos y x =，∴sin y x '=-，曲线在点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率是π3πsin32x y ='=-=，∴过点P 且与曲线在点P∴所求直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π203x -=．故选：A.3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________.【答案】()0,1【分析】由导数的几何意义，求得切点P 处的切线的斜率，得到0cos 1x =，求得02()x k k Z π=∈，分类讨论，即可求解.【详解】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==，所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=；当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意，综上可得，切点为()0,1.故答案为：()0,1.【题型三】求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【答案】B【分析】求导得到()2'3f x x =，根据垂直关系得到()2'33f a a ==，解得答案.【详解】()3y f x x ==，()2'3f x x =，直线310x y ++=，13k =-，故()2'33f a a ==，解得1a =±.故选：B .【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________【答案】1ln 2-+【解析】【分析】先设切点为00(,)x y ，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果.【详解】设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导，得到1y x'=，又曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，所以切线斜率为0112x =，∴02x =，因此0ln 2y =，即切点为()2,ln 2，代入切线12y x b =+，可得1ln 2b =-+.故答案为：1ln 2-+.2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】先设出切点坐标(,)m n ，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果.解：设切点为(,)m n ，由3y ax =得'23y ax =，则由题意得，2336640am m n n am ⎧=⎪--=⎨⎪=⎩，解得1,2,2m n a ===，故答案为：23.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解.【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()302004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：14.【题型四】无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______.【答案】2-【解析】【分析】求出2ln y a x =的导数，设切线为(,)m n ，由切点处的导数值为切线斜率求出m a =，再由切点坐标可把b 表示为a 的函数，再利用导数可求得b 的最小值．【详解】2ln y a x =的导数为2a y x '=，由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，设切点为(),m n ，则22am=，∴m a =，又22ln m b a m +=，∴2ln 2b a a a =-（0a >），()2ln 122ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，∴1a =为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln122-=-.故答案为：2-．【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.【答案】0【分析】由题意()()'2,3f e e fe ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________【答案】12e +解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1xf x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②.联立①②解得：12m =，2e n =，故11222e e m n ++=+=.故答案为：12e +.3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-【答案】D【详解】ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【题型五】“过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【答案】(),1e 1e【分析】设切点坐标为(,)x lnx ；利用导数求切线方程并求切点坐标．解：设切点坐标为(,)x lnx ；1y x '=；故由题意得，1lnx x x=；解得，x e =；故切点坐标为(,1)e ；切线的斜率为1e；故切线方程为1()1y x e e =-+，整理得0x ey -=．故答案为：(,1)e ；1e.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.【答案】21y x =+.【详解】设切点坐标为()000,e xx x +，由x y e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++，切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x xx x -=+--++，即00e 0x x =，∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+.2.过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.【详解】由ln f x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>，则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上，则0002ln 12x x x +=，得0x =，则切点坐标为.故答案为：.3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（）A ．12B ．12eC ．1eD ．21e 【答案】C【分析】设切点为00(,ln )x x ，求出切线方程00ln 1xy x x =+-，即得001ln 10a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程即得a 的值.【详解】设切点为00(,ln )x x ，∴切线方程是000001ln ()ln 1xy x x x y x x x -=-⇒=+-，∴0011ln 10a x a e x ⎧=⎪⇒=⎨⎪-=⎩，故答案为：C 【题型六】判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】【分析】设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.【详解】设在曲线S 上的切点为()3,3t t t -，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，21t =+31t =.因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条.故选：C.【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）【答案】A【详解】设切点为()000,e xx x ，(1)x y x e =+'，000(1)x x x y x e =∴=+⋅'，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+⋅-，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+⋅-2001x a x ∴=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-.故答案为:A.2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在【答案】D 【解析】试题分析：()1x a e f x a=-'，依题意，()0f x '<在R 上有解.当0a <时，()0f x '<在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()0,,ln x af x a e x a a <'符合题意，故0a >.易知曲线()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.假设该直线与x y e =相切，设切点为()00,x y ，即有0011111xe x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，消去a 化简得0001x x ex e =-，分别画出,1x x e xe -的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0x e e >，这与111a-<矛盾，故不存在.3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】C 【解析】分析：由曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出a 的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果.详解：由()3291f x x ax x =+-+，得()2'329f x x ax =+-，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，()'y f x ∴=关于1x =对称，即133aa -=⇒=-，点(),a a ，即为()3,3--，所以()32391f x x x x =--+，()2'329f x x ax =+-，设切点为()(),t f t 切线的方程为()()3'3y f t x +=+，将点()32,391t t t t --+代入切线方程可得()()3223933693t t t t t t --+=--+，化为322636310t t t ---=，设()32263631g t t t t =---()2'61218g t t t =--令()'0g t >得3t >或1t <-，令()'0g t <得10t -<<，()32263631g t t t t =---在()(),1,3,-∞-+∞上递增，在()1,3-上递减，t ∴在1-处有极大值，在3处有极小值，()110g ∴-=>且()31390g =-<，()32263631g t t t t =---与x 有三个交点，∴方程()0g t =有三个根，即过(),a a 的切线有3条，故答案为3.【题型七】多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A ．0a <B ．1a <-C ．02ea <<D ．20a e<<【答案】C 【解析】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量a 关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出a 的取值范围.【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t t s a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩，构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e>时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e<<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<.故选：C【变式演练】1.函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】A 【解析】【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案.【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111mf '=+=+解得4m =.故选：A.2.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y e e x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1x e x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x ex --⋅-=③.构造函数()()11x h x x e x -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e-=->=-<=->，根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B 3.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（）A ．11ln 222--B ．ln 21--C ．12-D ．ln 2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x 导数，设出切点，求出切线，将其与2()g x x a =+联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的最小值.【详解】解：'1()f x x=，设公切线与曲线()ln f x x =相切的切点为(),ln ,0m m m >，则公共切线为()1ln y x m m m=-+，即ln 0x my m m m --+=，其与2y x a =+相切，联立消去y 得：2ln 0mx x am m m m -++-=，则()14ln 0m am m m m ∆=-+-=有解，即211ln 4a m m=-+有解，令()211ln 4h m m m=-+，0m >，则()2'33112122m h m m m m -=-+=，令232102m m -=，得22m =，则()211ln 4h m m m =-+在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2min11ln 224211ln 222h m h ⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝--⎭，则11ln 222a --≥，所以实数a 的最小值为11ln 222--.故选：A.【题型八】切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（）A1+B1C．1-D．1【答案】B 【分析】先求导，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点()1,0，再利用()1,0到直线y x a =+的距离为1，结合图象解得参数即可.【详解】函数ln y x =的导函数为1y x=，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，则00000ln 11y x y x m x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得切点为()1,0，由题可知()1,0到直线y x a =+的距离为1，1=，解得1a =，结合图象可知，1a =-.故选：B.【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A．2B ．1CD ．2【答案】A设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得b 的值，进而可得结果.【详解】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，则两平行线间的距离即为AB 的最小值．设直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =的切点为(,ln )m m ，则由切点还在直线y ＝x ＋b 上可得ln m m b =+，由切线斜率等于切点的导数值可得11m=，联立解得m ＝1，b ＝－1，由平行线间的距离公式可得AB=故选：A.2.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（）A ．1BC ．2D ．3【答案】B 【分析】根据函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，将问题转化为求函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果.【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()x f x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()x f x e '=，所以函数()x f x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离d ==所以||MN 故选：B.3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【答案】A试题分析：对y=x 2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d ．解：（法一）对y=x 2求导可得y′=2x ，令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切点（，），切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.【题型九】切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称，所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x '==，∴ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =的距离为2.故原式的最小值为2.故选：B .【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称，所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x'==，∴ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =的距离为2.故原式的最小值为2.故选：B .2.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.【答案】10【分析】224()(a b a b ++-表示点(,)a a 与点4(,b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,b b-（0b <）是反比例函数4y x=-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值【详解】解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,B b b -距离的平方，而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，当B 是斜率为1的直线与4y x=-相切的切点时，点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值，由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-，min ||8AB c ∴===，所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=，当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10，故答案为：103.已知a R ∈，b R ∈______．【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),b b e 的轨迹是曲线()xf x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()xf x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d ==.【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先根据导数的几何意义求出直线y kx =与曲线x y e =相切时k 的值，再数形结合将e x ax >对任意的实数x 恒成立转化为0a e ≤<，最后判断充要关系即可得解.【详解】设直线y kx =与曲线x y e =相切，且切点为()00,xx e ，则000xx k e e kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x =，所以切点为()1,e ，k e =，所以切线方程为y ex =.数形结合可知，e x ax >对任意的实数x 恒成立等价于0a e ≤<.而由0a e ≤<不能得到02a <<，故充分性不成立；反之，由02a <<可得到0a e ≤<，故必要性成立.故选：B .【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[]1,21e --B ．(,21]e -∞-C ．[]1,1e --D ．(,1]e -∞-【答案】A 【分析】由题意求得a ，代入函数解析式，把问题转化为2x e mx x + 恒成立，对x 分类讨论，分离参数m ，再由导数求最值得答案．【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立．当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x -'=．当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当0x <时，2e 1xm x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A 2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【答案】0【分析】利用导数的几何意义分别求解出ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程以及x y e =在点()22,Q x y 处的切线方程，根据两切线重合，求解出12,x x 之间的关系式，由此可化简计算出12111x x x ++-的值.【详解】ln y x =的导数为1y x'=，可得曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=-，x y e =的导数为e x y '=，可得曲线x y e =在点()22,Q x y 处的切线的方程为()222x xy e e x x -=-，由两条切线重合的条件，可得211x e x =，且()212ln 11xx e x -=-，则21ln x x =-，即有()1111ln 11ln x x x -=+，可得1111ln 1x x x +=-，则121111ln ln 01x x x x x ++=-=-.故答案为:03.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am m a m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【题型十一】切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()(f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【答案】ln 31[,)3e 【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e =；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.【答案】1-函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -，切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对【答案】C 【分析】由题，先做出图像，然后找到最大根α，利用斜率公式可得α与tan α的大小关系.【详解】由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α.∴α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ，052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴=故选C.3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A ．221,e e ⎛⎤ ⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-，设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-，则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e =-；当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围。

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导数复习专题——切线问题例一：求曲线 y x33x21在点(1，1)处的切线方程变式一：已知函数变式二：已知函数y x33x ，过点A(0，16)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．y x33x ，过点A(2,2)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．例二：已知函数 f(x)=x3+3ax2-3b， g(x)=-2x2+2x+3(a ≠ 0)(1) 若 f(x)的图象与 g(x)的图象在 x=2 处的切线互相平行，求 a 的值；(2)若函数 y=f(x)的两个极值点 x=x1,x=x2恰是方程 f(x)=g(x)的两个根，求 a、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．变式二：设函数 y x3 ax2 9x 1 a 0 ，若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线12 x y 6 平行，求：（Ⅰ） a 的值; （Ⅱ）函数 f ( x) 的单调区间.例三：已知函数 y x3ax b a, b R（Ⅰ）若f ( x)的图像在 2 x 2 部分在 x 轴的上方，且在点(2, f 2 ) 处的切线与直线9x y 50 平行，求b的取值范围；（Ⅱ）当 x1 , x20,3，且x1x2时，不等式 f x1 f x2x1x2恒成立，求的3取值范围。

变式三：已知函数 f(x)=ax ，在 x=1 处取得极值为 2.2x b（1）求函数 f(x)的解析式；（2）若函数 f(x)在区间（ m， 2m＋ 1）上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若P（ x0，y0）为 f(x)=axl 与 f(x)=ax的图象相切于x 2图象上的任意一点，直线2b x b点 P，求直线l 的斜率的取值范围.课后练习：一：选择题1. 曲线 y 1 x2 2x 在点(1， 3 )处切线的倾斜角为 ( )2 2A. 1B. 45C. 45D.1352. 过点（－ 1， 0）作抛物线y x2 x 1 的切线，则其中一条切线为（）A.2 x y 2 0B. 3x y 3 0C. x y 1 0D. x y 1 0 3．已知函数f ( x) x2 (ax b)(a,b R) 在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1)) 处的切线与直线 3x+y=0 平行，则函数f(x) 的单调减区间为（）A. ,0B.（ 0， 2）C. 2,D. ,4. 曲线 y x( x 1)( x 2)...( x 50) 在原点处的切线，方程为（）A、y 1275 xB、y 50 2 x C. y 100x D、y 50! x曲线 y 1 x5. e2在点 (4， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. 9 e2B. 4e2C. 2e2D. e226. 设点 P 是曲线：y x3 3x b (b 为实常数 )上任意一点， P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A. 2 ,B.2 ,5C.［0, ］∪［ 5 , π］D.［ 0,2)∪［ 2 , π)3 6 2 6 37. 函数 y ax2 1的图象与直线y x 相切，则 a ＝( )1 1 1A．8 B．4 C．2 D． 1二：填空题nx) 在x 2 处的切线与a n1．正整数n，y x (1 y 轴交点的纵坐标为a n，则数列n 1 的前 n 项和的公式是2曲线ysin x在点 M ( ,0) 处的切线方程为.x3. 函数 y f ( x) 的图象在点P处的切线方程是y x 8，则 f (5) f (5) =.94. 点 P 是曲线y x 2 ln x 上任意一点，则P 到直线y x 2 的距离的最小值为三：解答题1. 求曲线 ( x 1)2 ( y 3 )2 5 的切线，使该切线平行于直线 2 x y 82 41 2与 C2 2 1 2都相切，求直线l 的方程 .2. 已知曲线 C :y=x :y=－ (x－2) ,直线 l 与 C 、C3.已知函数（1）求曲线f (x) x3x ．y f (x) 在点 M (t， f (t)) 处的切线方程；（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线y f (x) 的三条切线，证明： a b f (a) ．。

专题01 利用导函数研究函数的切线问题(原卷版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.......................................................1二、典型题型.......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................3题型三：已知切线斜率求参数......................................3题型四：确定过一点可以做切线条数................................4题型五：已知切线条数求参数......................................4题型六：距离问题转化为相切问题..................................5题型七：公切线问题..............................................5三、专项训练. (6)一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x .第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

第3讲导数中八大切线问题题型总结(解析版)_20230722153245

第3讲导数中八大切线问题题型总结【考点分析】考点一：曲线在点()()00,x f x P 处的切线方程①把切点的横坐标0x 带入导函数()x f '，得()0x f k '=②又因切点为()()00,x f x P ，利用点斜式直接写出切线为000()()()y f x f x x x '-=-考点二：过一点()n m A ,的切线方程①设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=②利用切点和斜率写出切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，③又因为切线方程过点()A m n ，，点入切线得000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目是在点P 处（P 为切点），还是过点P 的切线（P 不一定为切点）【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得()2f '表示切线1l 斜率10k >，()3f '表示切线3l 斜率30k >，又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32f f f f -=--，表示割线2l 的斜率2k ，结合图象，可得3210k k k <<<，即()()()()03322f f f f <<-<''.故选：C.【例2】函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（）A ．()()()()244222f f f f '<-<'B ．()()()()224224f f f f '<-<'C ．()()()()242242f f f f '<'<-D ．()()()()422422f f f f -<'<'【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知()f x 在(0,)+∞上单调递增，12AB k k k <<，故(4)(2)(2)(4)42f f f f -'<<'-，即()()()()224224f f f f '<-<'故选：B【题型专练】1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A ．()()32f f ''，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->.【详解】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>；记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>.故选：AB2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数()y f x =的图象如图所示，()f x ¢是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A 【分析】由()y f x =图象的变化趋势，结合导函数的定义有(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即可得答案.【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a eb -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（）A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-【答案】A【解析】【分析】求导数得出(1)f '，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算(2)f '-即可．【详解】()f x 是奇函数，3232()23(1)()23(1)f x x ax f x f x x ax f x ''-=++=-=-+恒成立，所以0a =，3()2(1)f x x f x '=--，2()6(1)f x x f ''=--，所以(1)6(1)f f ''=--，(1)3f '=-，即2()63f x x '=-+，2(2)6(2)321f '-=-⨯-+=-．故选：A ．【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（）A ．4x －y +8＝0B ．4x +y +8＝0C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝0【答案】B【解析】【分析】将2x =-代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.【详解】解：因为ln(25)y x x =+，所以()()2ln 25ln 2525x y x x x x ''=+=++⎡⎤⎣⎦+，所以24x y =-=-'．又当2x =-时，ln10y x ==，故切点坐标为(2,0)-，所以切线方程为480x y ++=．故选：B.【例4】过函数21()2x f x e x =-图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（）A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】求得2()1x f x e '=-，根据指数函数的性质，得到211x e ->-，即切线的斜率1k >-，进而得到tan 1θ>-，即可求解.【详解】由题意，函数21()2x f x e x =-，可得2()1x f x e '=-，因为20x e >，所以211x e ->-，即切线的斜率1k >-，设切线的倾斜角为θ，则tan 1θ>-又因为0θπ≤<，所以02πθ≤<或34πθπ<<，即切线的倾斜角的范围为30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B.【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x a y x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A【解析】【分析】依据题意列出关于a b k 、、的方程组，即可求得k 的值【详解】由切点()1,b 在曲线上，得23a b +=①；由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②；对曲线求导得()242a y x -'=+，∴2143x a y k ='-==，即49a k -=③，联立①②③236049a b k b a k +⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-=0,0,322x x g x x x f x f 图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【题型专练】1．【2018年新课标1卷理科】设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x=【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2.【2021年甲卷理科】曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．3．【2019年新课标1卷理科】曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．4．【2018年新课标2卷理科】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x=【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.5．【2018年新课标3卷理科】曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【答案】3-【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1x x ae ax e=++'则()f 012a =+=-'所以3a =-故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）【例1】【2022年新高考2卷】曲线=ln|U 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】=1e =−1e 【解析】【分析】分>0和<0两种情况，当>0时设切点为0,ln 0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0，即可求出切线方程，当<0时同理可得；【详解】解：因为=ln ，当>0时=ln ，设切点为0,0，由'=1，所以'|J 0=1，所以切线方程为−ln 0=−0，又切线过坐标原点，所以−ln0=0，解得0=e ，所以切线方程为−1=−e ，即=1e；当<0时=ln −，设切点为1,ln −1，由'=1，所以'|J 1=11，所以切线方程为−ln −1=−1，又切线过坐标原点，所以−ln −1=1，解得1=−e ，所以切线方程为−1=+e ，即=−1e ；故答案为：=1e；=−1e【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e x f x x =过点()0,0的切线方程为（）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=【答案】C 【解析】【分析】设切点2(,e )m m m ，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过()0,0代入求参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设2()(2)e x f x x x '=+，若切点为2(,e )m m m ，则2()(2)e m f m m m '=+，所以切线方程为22(2))e e (m m y m m m x m +-=-，又切线过()0,0，则22(2e )e m m m m m +=，可得0m =或1m =-，当0m =时，切线为0y =；当1m =-时，切线为e 1(1)y x --=+，整理得e 0x y +=.故选：C【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（）A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12【答案】D 【解析】【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点1(,0)2代入方程，解出切点坐标即可完成求解.【详解】因为函数()e x f x x =，所以()(1)e xf x x =+'，设切点为000(,e )xx x ，则切线方程为：00000e (+1)e ()x x y x x x x -=-，将点1(,0)2代入得000001e (+1)e ()2x x x x x -=-，即0001(+1)()2x x x -=-，解得012x =-或01x =，所以切点横坐标之和为11122-+=故选：D.【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型专练】1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】B【解析】【分析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.【详解】由题意可得点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭不在曲线2ln 3y x x =+上，设切点为()00,x y ，因为2ln 2y x '=+，所以所求切线的斜率0000022ln 21212y y k x x x =+==++，所以000002ln 2ln 1y x x x x =+++.因为点()00,x y 是切点，所以0002ln 3y x x =+，所以0000002ln 2ln 12ln 3x x x x x x +++=+，即002ln 20x x +-=.设()2ln 2f x x x =+-，明显()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =，所以002ln 20x x +-=有唯一解01x =，则所求切线的斜率2k =，故所求切线方程为12212y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.故选：B.2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（）A ．eB ．1CD ．1e【答案】B 【解析】【分析】设出切点()()000,ln 0P x x x >，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点()()000,ln 0P x x x >，由ln y x =，得1y x'=，所以001x x y x ='=，∴曲线在点P 处的切线l 方程为()0001ln y x x x x -=-，又l 过（0，0），∴()0001ln x x x -=-，解得0x e =，∴切点(),1P e ，纵坐标为1．故选：B ．3.过点(0，-1)作曲线()ln f x x x =的切线，则切线方程为A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x +2y +2=0D ．2x -y -1=0【答案】B 【解析】设切点为00(,)x y ，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.【详解】()'f x =ln x +1，设切点为00(,)x y ，∴000ln y x x =,∴001y x +=ln x 0+1，∴x 0ln x 0+1=x 0ln x 0+x 0，∴x 0=1，∴y 0=0，所以k =0()f x '=1，∴切线方程为y =x -1，即x -y -1=0，故选：B .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（）A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C 【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程.【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P -则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++=故选：C题型四：已知切线求参数问题【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++-上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=+，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'=0x >恒成立，即12x a x++≥对任意0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即2x =时，等号成立，故a ≤所以a 的取值范围是(-∞．故选：D ．【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线1ln 2y kx =+-是曲线ln 2y x =+的切线，则k =________．【答案】2【分析】设切点()111,P x y ，根据导数的几何意义列式求解即可.【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2y x b =+，则b =_____【答案】1-【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出1e a -=，再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为e ln x y a x x =+的导数为e ln 1x ya x '=++，又函数e lnx y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2yx b =+，可得e 012a++=，解得1e a -=，又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-.故答案为：1-.【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（）A ．1-或1B ．3-或3C ．2-或2D ．3-或3【答案】D 【解析】【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解.【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =3a =-，所以3b =-或3.故选：D 【题型专练】1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线()()e x f x x a =+在点(1,(1))f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为_________．2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+D ．32a =，1ln 4b=+【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义可求出结果.【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x x '=+，由题意可得(4)1(4)4f f b =⎧⎨=+'⎩，即114ln 44a b=⎪=+⎩，解得32ln 4a b =⎧⎨=+⎩，故选：A3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（）A ．－4B ．－1C ．1D ．4【答案】D 【解析】【分析】设曲线1C 的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得n 值.【详解】设直线l ：20x y m -+=与曲线1C 相切，切点为()()000,1ln x x x +，因为()1ln y x x =+的导数为2ln y x '=+，由02ln 2x +=，解得01x =，所以切点为()1,1，代入20x y m -+=得1m =-，所以切线方程为210x y --=.将2260xyx n +-+=化为标准方程为()()22399x y n n -+=-<，因为l 与圆2C =，解得4n =.故选：D题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C 【解析】【分析】设切点为()300,x x ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P 在切线上，即可代入切线方程，解得0x ，即可得解；【详解】解：设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =，所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．ln b a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点，221()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【例3】【2021年新高考1卷】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1【答案】C 【解析】【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P 带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，y t =与23()32g x x x =-，借助导数研究函数()g x 的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()266g x x x =-'，由()0g x '=，可得0x =或1x =，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】本题为过点P 的切线，切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得切线方程()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标整理为02001e x x x m -+=，即y m =与21()exx x f x -+=有三个交点．【详解】由e x x y =，则1e x x y -'=，设切点为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率001e x x k -=则在点000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标得()0000011e ex x x x m x --=-整理为02001e x x x m -+=，即这个方程有三个不等式实根，令21()e xx x f x -+=，则232()e x x x f x '-+-=，令()0f x '>则12x <<函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，故得(1)(2)f m f <<，即213,e e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（）A ．01t <<B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11te<<由图可知，0e t <<，【题型专练】1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（）A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解.【详解】设切点为()00,x y ,过点P 的切线方程为()()00001ee x xy x x x x =+-+,代入点P 坐标，化简为()02001e x m x x =---，即这个方程有三个不等根即可.令()()21e xf x x x =---,求导得：()()()12e x f x x x '=--+.令()0f x '>，解得：21x -<<-，所以()f x 在()2,1--上递增；令()0f x '<，解得：2x <-或1x >-，所以()f x 在(),2-∞-和()1,-+∞上递增.要使方程()02001e x m x x =---有三个不等根即可.只需()()21f m f -<<-,即231e ex -<<-.故选：D2.（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（）A ．0b D ．()3b b a -=【答案】B 【解析】【分析】设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，求出函数的导函数，即可得到()23003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意()g x 有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，则()203003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，则()()2666x ax g x x x a '=-=-，因为0a >，所以当0x <或x a >时()0g x '>，当0x a <<时()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以当0x =时()g x 取得极大值，当x a =时()g x 取得极小值，即()()0g x g b ==极大值，()()3g x g a b a ==-极小值，依题意()3223g x x ax b =-+有三个零点，所以()()00g x g b ==>极大值且()()30g x g a b a ==-<极小值，即30b a <<；故选：B3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（）A ．0e b a b <<B ．e 0a ab -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240e a b +<-<，即()24e 0a b -+<<.故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪B ．242,e e ⎛⎫- ⎪C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪D ．36,0e ⎛⎫- ⎪5.（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m的取值范围为（）A ．25e e m -<<B ．250em -<<C ．1em -<<D ．em <【答案】B 【解析】【分析】求导分析()e x f x x =的图象可得3n =，再设切点坐标为()00,x y ，由题可得()02001e x m x x =-++⋅有三根，再构造函数()()2e 1xg x x x =-++⋅求导分析图象单调性与最值即可【详解】由()e x f x x =，()()1e xf x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()x f x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题题型六：公切线问题【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线y kx b =+是曲线1e x y +=的切线，也是e 2x y =+的切线，则k =（）A ．ln 2B ．ln 2-C ．2D ．2-【答案】C【分析】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e xx +，()212,e x x +，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到k 的值.【详解】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e x x +，()212,e x x +，则切线方程分别为，()()1112e e x x y x x +--=，()22112e e x x y x x ++--=，化简得，11112e e e x x x y x x -=++2221112e e +e x x x y x x +++-=依题意上述两直线与y kx b =+是同一条直线，所以，12112211112e e e 2e e +e x x x x x x x x +++⎧=⎨+-=-⎩，解得1ln2x =，所以1ln 22e e x k ===．故选：C ．【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞【答案】B 【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成a 关于一个变量1x 的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，()1f x x'=，切线的斜率为11x ，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，即111ln 1y x x x =+-设公切线与函数2()g x x x a =++切于点22222()(),0B x x x a x ++<，()21g x x '=+，切线的斜率为221x +，则切线方程为22222()(21)()y x x a x x x -++=+-，即222(21)y x x x a=+-+所以有21212121ln 1x x x x a⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩因为1>0x ，所以2210x +>，可得2102x -<<，21210x <+<，即1101x <<，由21121x x =+可得：211122x x -=，所以22112111211111ln ln 1ln 111224a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-=，令11t x =，则()0,1t ∈，()22111311ln ln 4424a t t t t t =---=---，设()()2113ln 01424h t t t t t =---<<，则22192111()0222242h t t t t tt t t =--==⎛⎫-- ⎪-⎝⎭'<-，所以()h t 在()0,1上为减函数，则()()11311424h t h >=--=-，所以1a >-，所以实数a 的取值范围是()1,-+∞，故选：B ．【点睛】方法点睛：求曲线过点(),A a b 的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点P 00(,())x f x （2）求出()y f x =在0x x =处的导数()0f x '，即()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线斜率；（3）构建关系()000()f x bf x x a-'=-解得0x ；（4）由点斜式求得切线方程0()()y b f x x a '-=⋅-.【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A ．1.2B ．4C ．5.6D ．2e【答案】ABD【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（）A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b 与a 的关系式，再根据二次函数性质可求出b 的取值范围．【详解】()e x f x '=，()1g x x b'=+，设斜率为1的切线在1C ，2C 上的切点横坐标分别为1x ，2x ，由题知1211x e x b==+，∴10x =，21x b =-，两点处的切线方程分别为()1y a x -+=和()21y a x b -=--，故211a a b +=-+，即221992244b a a a ⎛⎫=+-- ⎪+⎝=≤-⎭.故选：D .【例5】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（）A ．(]0,2eB ．(]0,e C ．[)2,e +∞D ．(],2e e 【答案】A 【解析】【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a 的取值范围.【详解】设()()21122121122,1,,ln 1,2,,2,a a A x x B x a x y x y k x k x x ''--====切线：()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--切线：()()222ln 1a y a x x x x --=-，即22ln 1a y x a a x x =-+-，()122222122,41ln 1ln 1a x x a x x x a a x ⎧=⎪∴∴=-⎨⎪--=-+-⎩令()()()()22141ln ,81ln 4f x x x f x x x x x ⎛⎫=-=-+- ⎝'⎪⎭()88ln 448ln 412ln 0,x x x x x x x x x x =--=-=-==()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以(]max ()2,0,2.f x f e a e ==∴∈故选：A ．【例6】（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（）A ．0B ．1C ．eD ．e-【答案】D 【解析】【分析】设切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，分别求出切线方程，再令切线方程相等；【详解】设l 与()f x 的切点为11(,)x y ，则由()1x f x e -'=，有()11111:1x x l y xe x e --=+-.同理，设l 与()f x 的切点为22(,)x y ，由()eg x x'=，有()22:ln 1e l y x e x x =+-.故()()1112112,1ln 1.x x e e x x e e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得121,.x x e =⎧⎨=⎩或122,1.x x =⎧⎨=⎩则:l y x =或y ex e =-.因1k >，所以l 为y x =时不成立.故b e =-，故选：D.【例7】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B 【解析】【分析】设出切点，求出11e xk =，221k x =，根据斜率列出方程，得到11e 1xx =，22ln 1x x =，构造()ln f x x x =，利用函数单调性和图象特征，求出12=e xx ，从而求出答案.【详解】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅=故选：B 【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.【题型专练】1.已知函数()ln f x x x =，()2g x ax x =-．若经过点()1,0A 存在一条直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，则=a （）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】先求得()f x 在(1,0)A 处的切线方程，然后与()2g x ax x =-联立，由0∆=求解【详解】解析：∵()ln f x x x =，∴()1ln f x x '=+，∴()11ln11f '=+=，∴1k =，∴曲线()y f x =在()1,0A 处的切线方程为1y x =-，由21y x y ax x=-⎧⎨=-⎩得2210ax x -+=，由440a ∆=-=，解得1a =．故选：B2.【2020年新课标3卷理科】若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3.（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（）A ．2B ．2eC ．2e D【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义分别得到e a k =、ekb =，再运用基本不等式即可求解.【详解】设直线y kx =与函数()f x ，()g x 的图象相切的切点分别为(),A m km ，(),B n kn .由()af x x '=，有ln km a m a k m=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得e m =，e a k =.又由()e xg x b '=，有e e n n kn b b k⎧=⎨=⎩，解得1n =，e k b =，可得1e e 2e a k b k +=+≥=，当且仅当e a =，1e b =时取“=”.故选：B4.（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B 【解析】【分析】设公切线与曲线的切点为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，利用导数的几何意义分别求ln 1y x =-和2y ax =上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2x y x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令()0g x ¢=，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.。

专题03 导数中的切线问题(解析版)

导数中的切线问题一、单选题1．（2021·湖南省平江县第一中学高二月考）曲线42y x x =-在点(1,1)P -处的切线方程为（） A ．210x y +-= B ．20x y --= C ．230x y --= D ．10x y -+=【答案】C 【分析】先求函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，然后求切线方程即可. 【详解】由42y x x =-得342y x '=-所以曲线42y x x =-在点(1,1)P -处的切线的斜率为34122k =⨯-=所以曲线42y x x =-在点(1,1)P -处的切线方程为：()121y x +=-，即230x y --= 故选：C2．（2021·安徽蚌埠市·高三二模（文））已知曲线()()x f x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（） A ．2aeB ．12e + C ．e 2-D ．2e 【答案】D 【分析】求出函数的导数和在1-处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1-可得答案. 【详解】()()()1x x x f x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==，因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2e a =. 故选：D.3．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()x xf x e=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（） A ．2y ex e =- B ．2y ex e =--C ．23y ex =+D ．2y ex e =-+【答案】A 【分析】先求出0x >时，()f x 的解析式，利用导数求出切线斜率，写出切线方程. 【详解】函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，()xx f x e=，∴0x >时()xf x x e =⋅，当0x >时()()1xf x x e '=+⋅，又()1f e =，()12k f e '==，∴()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：2y ex e =-. 故选：A. 【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-.4．（2021·内蒙古包头市·高三期末（理））若直线2y x b =-+为曲线x y x e =-的一条切线，则实数b 的值是（） A ．ln33- B ．3ln33+ C ．ln33+ D ．3ln33-【答案】D 【分析】设切点为000(,)xx x e -，根据导数的几何意义求出切点坐标，再代入切线方程可得结果. 【详解】设切点为000(,)x x x e -，由xy x e =-得1xy e '=-，所以012x e -=-，得03x e =，得0ln 3x =，所以切点为(ln3,ln33)-，所以ln332ln3b -=-+，得3ln33b =-. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据导数的几何意义求解是解题关键.5．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =（） A ．-4 B ．-2C ．2eD ．e【答案】A 【分析】设切点()00,2ln x x ，写出切线方程0022ln 2xy x x =+-，从而可得01x e=，代入切线方程即可求解. 【详解】设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ，则()002f x x '=，所以的方程为()00022ln y x x x x -=-，则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-，故选：A.6．（2021·山东临沂市·高二期末）已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)27【答案】D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解，令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<，所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，又228327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解，得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.7．（2021·江苏高三一模）已知曲线ln y x =在()11,A x y ，()22,B x y ，两点处的切线分别与曲线xy e =相切于()33,C x y ，()44,D x y ，则1234x x y y +的值为（）A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B 【分析】根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项. 【详解】由题设有33111311ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简可得111311ln 1x x x x x -=-即31111ln ln x x x x x =+-=-，整理得到1111ln 1x x x +=-，同理2221ln 1x x x +=-，不妨设12x x <，令12ln ln 111x y x x x x +=-=----，因为当()0,1x ∈时，2ln ,1y x y x ==--均为增函数，故1ln 1x y x x +=--为增函数，同理当()1,x ∈+∞时，故1ln 1x y x x +=--为增函数，故12,x x 分别为1ln 1x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解，又1111111111ln ln ,111x x x x x x ++=-=---，故111111ln 11x x x +=-，故11x 为1ln 1x y x x +=--在()1,+∞的解，故211x x =即121=x x .所以34123412121212x x x x y y x x ex x x x ++=+=+=，故选：B. 【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()t y y f x x x -=-；(2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标11(,)x y ，再写出切线方程：111()()t y y f x x x -=-.8．（2021·河南高三月考（理））已知函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，若点P ，Q 分别在()f x ，()g x 的图象上，则当a 取最大值时，PQ 的最小值是（） A ．4eB ．2eC ．221e +D【答案】D 【分析】ln y x =与()x g x e =关于直线y x =对称，所以问题转化为()2f x ax =-与ln y x=有公共点，求得a 的最大值为e ，设直线e y x m =-与函数()e xg x =的图象相切，利用导数的几何意义求得切线方程，PQ 的最下值就是平行线的距离. 【详解】由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有实数解，即2ln xa x +=有实数解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=，所以当10e x <<时，()0h x '>；当1e x >时，()0h x '<，故1e x =时，()h x 取得极大值1e e h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也是最大值，所以()e h x ≤，所以e a ≤，即a 的最大值为e ，此时()e 2f x x =-，设直线e y x m =-与函数()e x g x =的图象相切于点(),e t A t ，如图，因为()e xg x '=，所以()e e tg t '==，所以e e e e t t t m⎧=⎨=+⎩，解得10t m =⎧⎨=⎩，所以切线方程为e y x =，易求得平行线e y x =与e 2y x =-=PQ .故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点求参数，以及数形结合求最值问题，本题的第一个关键是参变分离2ln xa x +=有实数解，构造函数，利用导数求()2ln x h x x+=的最大值，求a 的取值范围，第二个关键是数形结合，利用导数的几何意义求切线方程.二、多选题9．（2020·吕叔湘中学高二期中）过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 可能的值是（）A ．0BC ．5ln e -D ．e【答案】BCD 【分析】设切点坐标为()000,e xx x ，利用导数的几何意义求切线方程，代入点(),0A a 后，转化为关于0x 的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求a 的取值范围. 【详解】设切点坐标为()000,e xx x ，因为()1x y x e '=+，所以()0001x x x y x e =+'=，所以切线方程为()()000001xx y x e x ex x -=+-，将点(),0A a 代入可得()()000001x x x e x e a x -=+-，化简得200x ax a --=，过点(),0A a 作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程2000x ax a --=有两个不同的解，则240a a ∆=+>，解得：0a >或4a，故实数a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞.5ln 5ln 5e e -=-=-，所以由选项判断可知BCD 正确.故选：BCD 【点睛】思路点睛：当过定点的直线与曲线有两条切线时，转化为关于切点的方程有两个实数根，利用判别式可以求得实数a 的取值范围.10．（2021·应城市第一高级中学高二期末）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的有（） A ．是奇函数 B ．是周期函数C ．曲线在点()(),f ππ处的切线方程为0x y +=D ．在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，单调递增【答案】AC利用奇函数的定义可以判定函数()f x 是奇函数，所以选项A 正确；不存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，故()f x 不是周期函数，所以选项B 错误； ()f x 在点(π，())f π处的切线方程为0x y +=，所以选项C正确；利用导数可以判定函数()f x 在(2π，)π单调递减，所以选项D 错误.【详解】A ：()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，又函数的定义域是R ，所以函数()f x 是奇函数，所以选项A 正确；B ：不存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，故()f x 不是周期函数，所以选项B 错误；C ：()cos (sin )cos sin f x x x x x x x '=+-=-，()1f π'=-，()f ππ=-，故()f x 在点(π，())f π处的切线方程为：()y x ππ+=--，即0x y +=，所以选项C 正确；D ：()cos sin f x x x x '=-，(2x π∈，)π时，1cos 0x -<<，sin 0x x >，故()0f x '<，故()f x 在(2π，)π单调递减，所以选项D 错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间一般步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.11．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校高三月考）已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.12．（2020·吕叔湘中学高二期末）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项.对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.三、填空题13．（2021·河南驻马店市·高二期末（理））设点P 是曲线1x y e =+上的任意一点，曲线在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是_________．(用区间表示) 【答案】20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】由点P 处的切线的斜率等于该点处的导数值，所以求出导数的取值范围，可得切线斜率的取值范围，进而可得倾斜角的取值范围【详解】解：由1x y e =+，得'x y e =-因为0x e >，所以x e >设点P 处的切线的斜率为k ，则k >所以tan α>因为倾斜角α的范围为[0,)π，所以20,,23ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭14．（2021·广东梅州市·高二期末）直线l 过坐标原点且与线xy e =相切，则l 的方程为___________. 【答案】y ex = 【分析】设切点为坐标为00(,)P x y ，由导数几何意义求出切线方程，由切线过原点得0x ，从而得切线方程．【详解】设切点为00(,)P x y ，由x y e =得e xy '=，0x x =时，0x y e '=，又0x y e =，所以切线方程为00()-=-x x y e e x x ，而切线过原点，所以000()x x ee x -=⨯-，解得01x =．代入后得切线方程为y ex =．故答案为：y ex =．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，在求函数图象的切线时要注意是求在某点处的切线不是求过某点的切线，如果求()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，则只要求得()'f x 后可得切线方程000()()()y f x f x x x '-=-，若是求()y f x =过00(,)P x y 的切线方程，则设切点为11(,)Q x y ，由切点求出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，代入00(,)x y ，求出1x 后得切线方程．15．（2021·横峰中学高二开学考试（理））曲线31233y x =+在点()1,1处的切线方程为________．【答案】0x y -= 【分析】由()1,1为切点利用导数求斜率，再求切线方程. 【详解】()1,1为切点时，由2y x '=时，斜率k =1，所以切线方程：y -1=x – 1;故答案为：0x y -=16．（2020·四川南充市·阆中中学高三开学考试（理））对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()f x ''=0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数321()232g x x x =-+，则12320192020202020202020g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=__________.【答案】0 【分析】由题意对已知函数进行二次求导，得出函数关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即()1()0g x g x -+=，有次即可得到结果.【详解】由321()232g x x x =-+可得2()66g x x x '=-，()126g x x ''=-，令()1260g x x ''=-=解得12x =，321111()23=02222g ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可得函数321()232g x x x =-+关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以()1()0g x g x -+=，所以 12320192020202020202020g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12019220181020202020202020202g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：0 【点睛】本题主要考查导函数的求法，以及中心对称问题，解题的关键是找出中心对称的对称中心，考查学生的综合分析能力.四、解答题17．（2021·南昌市新建一中高二期末（理））已知函数3()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程.【答案】（1）20y +=；（2）30x y +=或24540x y --=. 【分析】（1）先对函数求导，再把1x =代入导函数中可求出切线的斜率，再求出(1)f 的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程；（2）设切点为3000(,3)x x x -，则32000036332x x x x -+=--，从而可求出00x =或3，进而可求得切线方程【详解】解：(1)由已知得2()33f x x '=-,则()01f '=，所以切线斜率0k =，因为()311312f =-⨯=-所以切点坐标为(1,2)-，所以所求直线方程为20y +=，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为20y +=. (2)由已知得2()33f x x '=-，设切点为3000(,3)x x x -,则32000036332x x x x -+=--，即3200260x x -=，得00x =或3，所以切点为(0,0)或(3,18)，切线的斜率为3-或24，所以切线方程为3y x =-或1824(3)y x -=- 即切线方程为30x y +=或24540x y --=，【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，求曲线的切线方程，解题的关键是注意过某点和在某点处的切线方程的求法的区别，考查计算能力，属于中档题 18．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数3211()ln 332af x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有2个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）718y =；（2）1a >. 【分析】（1）当1a =时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在1x =处的切线斜率，由点斜式可得结果；（2）由函数的极值的定义得1ln a x x x =+在0x >上有2解，令1()ln F x x x x=+，求导，分析函数的单调性，求得函数的最值，可得范围. 【详解】（1）依题意得，32111()ln 332f x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，117(1)19218f =--+=，()'222113ln 1ln 133f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，'(1)0k f ==，则切线方程为718y =；（2）()f x 有2个极值点，则()'222211()3ln 1ln 133f x x x x x ax x x ax =+--+=-+有2个零点（且左右异号），则1ln a x x x=+在0x >上有2解，令1()ln F x x x x =+，0x >，则'21()ln 1,0F x x x x=+->，又()F x '在0x >上单调递增，(1)0F '=，则当1x >时，'()0F x >，当01x <<时，'()0F x <，故()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故最小值为(1)1F =，则1a >．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

导数专题：导数与曲线切线问题(6大题型)(解析版)

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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。

【对点题型探究重点突破】第15讲用导数的几何意义研究曲线的切线(原卷及答案)高考数学复习(新高考)

第15讲用导数的几何意义研究曲线的切线真题展示2022新高考一卷第15题若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 (-∞，4)(0-⋃，)+∞ ．知识要点整理用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

特色专题一：导数求切线（讲义+典型例题+小练）（解析版）

特色专题一：导数求切线（讲义+典型例题+小练）函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。

相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。

题型一：在点处的切线方程例1：1.曲线6y x x =-在点()1,0处的切线方程为（） A ．44y x =- B ．55y x =- C ．66y x =- D ．77y x =-【答案】B 【解析】【分析】求出切点坐标和斜率，即可求出切线方程. 【详解】因为561y x '=-，所以曲线6y x x =-在点()1,0处的切线的斜率为615-=，当x =1时，y =0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为55y x =-.故选：B2.设曲线y=ax -ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3．故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．已知P （﹣1，1），Q （2，4）是曲线y=x 2上的两点，求与直线PQ 平行且与曲线相切的切线方程．【答案】4x ﹣4y ﹣1=0．【分析】根据导数的几何意义可知在x 处的导数等于切线的斜率1，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可．【详解】解：设切点坐标为M （x 0，y 0），则切线斜率为2x 0，又直线PQ 的斜率为k PQ =4121-+=1， ∴切线与直线PQ 平行， ∴2x 0=1，∴x 0=12， ∴切点为（12，14），切线斜率为1． ∴切线方程为y ﹣14=x ﹣12即4x ﹣4y ﹣1=0．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线平行的判定等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．举一反三：1．已知函数2ln ()f x x x =-+，则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为（） A ．10x y +-= B ．30x y --= C ．10x y ++= D ．0x y +=【答案】C 【解析】【分析】依据导数几何意义去求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程即可解决. 【详解】112 2=()xf x x x-'=-+则121=1()1k f -'===-，又12ln12()f =-+=- 则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++= 故选：C2．若函数()ln f x x =和()()2R g x x ax a =+∈的图象有且仅有一个公共点P ，则g (x )在P 处的切线方程是_________. 【答案】1y x =- 【解析】【分析】由()()0f x g x -=分离常数a ，结合导数求得a 的值，进而通过切点和斜率求得切线方程. 【详解】由()()2ln 0f x g x x x ax -=--=（0x >），分离常数a 得2ln x x a x -=，令()()2ln ,11x x h x h x -==-，()2'21ln x xh x x --=，令()()()21ln 0,10m x x x x m =-->=，()'120m x x x=--<，所以()m x 在()0,∞+上递减. 所以当()0,1x ∈时，()()'0,h x h x >递增；当()1,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <递减，所以()()11h x h ≤=-，所以1a =-，且()1,0P .()()()2'',21,11g x x x g x x g =-=-=，所以切线方程为1y x =-. 故答案为：1y x =-3．已知函数()3223125f x x x x ＝＋－＋，求曲线()y f x ＝在点()0,5处的切线方程；【答案】1250x y ＋－＝【分析】先求出函数的导数在0x =处的导数值（切线的斜率），再利用点斜式求出曲线()y f x ＝在点()0,5处切线的方程，最后化为一般式即可. 【详解】依题意可知：()26612f x x x '＝＋－， ()0|12x k f x '＝＝＝－，∴切线方程为512y x －＝－，即1250x y ＋－＝. 【点睛】本题考查导数的几何意义，解决此类题应注意分清“在点”和“过点”的区别，属于常考题题型二：过点处的切线方程例2：1．若存在过点(0,2)-的直线与曲线3y x =和曲线2y x x a =-+都相切，则实数a 的值是（） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用导数分别求过(0,2)-且与曲线3y x =和曲线2y x x a =-+的切线方程并设切点，进而列方程求参数即可. 【详解】3y x =的导函数为23y x '=，2y x x a =-+的导函数为21y x '=-，若直线与3y x =和2y x x a =-+的切点分别为311(,)x x ，2222(,)x x x a -+，∴过(0,2)-的直线为2132y x x =-、2(21)2y x x =--，则有212222223311321(21)232x x x x a x x x x ⎧=-⎪-+=--⎨⎪=-⎩，可得12122x x a =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D.2.求曲线y ＝x 3过点(－1，－1)的切线方程. 【答案】3x －y －2＝0和3x －4y －1＝0【分析】利用导数的定义，结合导数的几何意义，即可求解切线方程. 【详解】设所求切线的切点坐标为()300,x x ，则()()3320020033x x x y x x x x x x+∆-∆==+∆+∆∆∆. 当Δx 无限趋近于0时，y x∆∆无限趋近于203x ，所以曲线在切点处的切线的斜率为203x ，则所求切线方程为()320003y x x x x -=-.因为切线过点(－1，－1)，所以()32000131x x x --=--，即()()2001210x x +-=，解得01x =-或12，即所求的切线有两条，方程分别是y ＝3x ＋2和3144y x =-，即3x －y －2＝0和3x －4y －1＝0. 举一反三： 1．判断曲线1y x x=+在点()1,2P 处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 【答案】在点()1,2P 处有切线,切线的斜率为0. 【解析】【分析】先判断点()1,2P 在曲线上，再利用导数求解. 【详解】解：当1x =时，112y =+=，所以点()1,2P 在曲线上. 由题得21y 1x '=-，所以切线的斜率110k =-=. 所以在点()1,2P 处有切线,切线的斜率为0. 2．（1）求曲线e x y =在0x =处切线的方程；（2）过原点作曲线e x y =的切线，求切点的坐标．【答案】（1）1y x =+；（2）()1,e .【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设切点坐标为(),e tt ，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出t 的值，即可得出切点坐标. 【详解】解：（1）当0x =时，0e 1y ==，即切点坐标为()0,1，e x y '=，切线斜率为0e 1k ==，故所求切线方程为1y x -=，即1y x =+；（2）设切点坐标为(),e tt ，对函数e x y =求导得e x y '=，故切线斜率为e t ，所以切线方程为()e e t ty x t -=-，将原点坐标代入切线方程可得e e t t t -=-，解得1t =，故切点坐标为()1,e . 3．已知函数()1(0)f x x x=>，过点(),P a b 可作两条直线与函数()y f x =相切，则下列结论正确的是（） A ．0ab 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用导数的几何意义、韦达定理，结合特殊值法即可求解. 【详解】设切点为0001,,0x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又()21f x x '=-，则切线的斜率()0201k f x x '==- 又 001b x k x a -=-，即有020011b x x a x -=--，整理得20020bx x a -+=，由于过点(),P a b 可作两条直线与函数()y f x =相切所以关于0x 的方程20020bx x a -+=有两个不同的正根，设为12,x x ，则1212Δ440200ab x x b a x x b ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，得100ab b a <⎧⎪>⎨⎪>⎩， 01ab ∴<<，故B 正确，A 错误，对于C ，取1,24a b ==，则2265216a b +=>，所以22a b +的最大值不可能为2，故C 错误，对于D ，取1,45a b ==，则115e e e 4a b =<<=，故D 错误.故选：B.题型三：切线求参数例3：1．若曲线()2ln f x ax x x =-+存在垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围是( )A ．1,8∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．10,8⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,8∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,8∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】问题等价于f (x )的导数在x ＞0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题. 【详解】依题意，f (x )存在垂直与y 轴的切线，即存在切线斜率0k =的切线，又()121k f x ax x'==+-，0x >， ∴1210ax x +-=有正根，即2112a x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭有正根，即函数y ＝－2a 与函数211,0y x x x⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像有交点，令10t x =>，则g (t )＝221124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴g (t )≥g (12)＝14-，∴－2a ≥14-，即a ≤18.故选：C.2.已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系举一反三：1.曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．2．如果函数()363f x x bx b =-+在区间()0,1内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是___________. 【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由'0f x分离常数b ，结合二次函数的性质求得b 的取值范围.【详解】()'236f x x b =-，依题意可知，2360x b -=在区间()0,1内有解， 212b x =，212y x =在()0,1内递增，所以2110,22b x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭3．若曲线()2(3)(2)(1)(1)(2)4ln 31ln 3x x x x x x y x x x ---++=+++-在点()1,8ln 2处的切线与直线22x ay =-平行，则=a __________.【答案】23-【解析】【分析】令()y f x =，将1x =代入()f x 可知点(1,8ln 2)在曲线()y f x =上，利用求导公式和运算法则求出(1)f '，结合题意可得2(1)f a'=，即可解得a 的值. 【详解】由题意知，令()y f x =，则 2(3)(2)(1)(1)(2)()4ln(31)ln 3x x x x x x f x x x x ---++=+++-，0x >，2(13)(12)(11)(11)(12)(1)4ln(31)8ln 21ln13f ---++=++=+-，所以点(1,8ln 2)在曲线()y f x =上，1[(3)(2)(1)(1)(2)]x x x x x x x =---++=654321(3515412)0x x x x x x x =--++-=， 1[(3)(2)(1)(1)(2)]x x x x x x x ='---++54321(6152045812)12x x x x x x ==--++-=，21(ln 3)2x x x =+-=-，2111(ln 3)(2)3x x x x x x ==+-=+='， 1112[4ln(31)]331x x x x ===+'+=，所以212(2)03(1)33(2)f ⨯--⨯'=+=--，又曲线在点(1,8ln 2)处的切线与直线22x ay =-平行，所以23a =-，得23a =-. 故答案为：23-.举一反三：一、单选题1．曲线()33f x x x =-在点()()2,2f --处的切线方程为y kx b =+，则实数b =（）A ．-16B ．16C ．-20D ．20【答案】B 【解析】【分析】直接求出切线方程，即可得到答案. 【详解】函数()33f x x x =-的导数为233fx x .所以()()()322322f -=--⨯-=-，()()23239f x '=--=. 所以在点()()2,2f --处的切线方程为916y x =+.故b =16. 故选：B2．设函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，()f x 的图象在点()()1,1M f 处的切线方程为122y x =+，那么()'1f （） A ．2 B ．1C ．12D ．13【答案】C 【解析】【分析】根据切线的斜率求得()'1f .【详解】由于()f x 的图象在点()()1,1M f 处的切线方程为122y x =+，所以()'112f =.故选：C3．曲线2()ln f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为（） A ．y x =- B ．23y x =-C ．32y x =-+D ．21y x =-+【答案】A 【解析】【分析】利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由1()2f x x x'=-，有(1)1,(1)1f f =-=-'．曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)y x +=--，整理为y x =-．故选：A4．函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A ．()()()()02332f f f f '<<'<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()02323f f f f ''<<-<D ．()()()()03223f f f f ''<-<< 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义及函数的图象的性质可得正确的选项. 【详解】由题图，可知在点B 处的切线的斜率大于在点A 处的切线的斜率，则有()()032f f ''<<. 又因为()f x 从2到3的平均变化率为()()()()323232f f f f -=--，其几何意义为割线AB 的斜率，由题图，可知()()()()03322f f f f ''<<-<. 故选：B.5．曲线e 1x y =+上的点到直线20x y --=的距离的最小值是（） A ．3 B 2C ．2 D ．22【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导函数，设切点为()001,e xx +，依题意即过切点的切线恰好与直线20x y --=平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为e 1x y =+，所以e x y '=，设切点为()001,e xx +，则01|e x x x y ==='，解得00x =，所以切点为()0,2，点()0,2到直线20x y --=的距离222d ==e 1x y =+上的点到直线20x y --=的距离的最小值是2 故选：D6．已知曲线()23e x y x x =+在点()0,0处的切线为l ，数列{}n a 的首项为1，点()()1,n n a a n N*+∈为切线l 上一点，则数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为（）A ．623-B ．523-C ．613-D ．613 【答案】C 【解析】【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则13n n a a +=，从而求出{}n a 的通项公式，再构造不等式组求出数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项；因为()23e x y x x =+，所以()()()22321e 3e 3e 31x x xx x x x y x =+++++'=，所以曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线的斜率03x k y ='==.所以切线l 的方程为3y x =. 所以13n n a a +=.所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以1663n n n na ---=. 所以由11265336733n nn n n nn n-----⎧≤⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩，解得131522n ≤≤.因为n *∈N ，所以7n =.所以数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为6667133-=-.故选：C. 二、多选题7．(多选)曲线y =f (x )=x 3在点P 处的切线斜率k =3，则点P 的坐标是（） A ．(1，1) B ．(-1，-1) C ．(-2，-8) D ．(2，8) 【答案】AB 【解析】【分析】设出点P 的坐标，再对函数f (x )求导，利用导数的几何意义即可作答. 【详解】点P 在曲线f (x )=x 3上，设300(,)P x x ，而2()3f x x '=，由导数的几何意义得0()3f x '=，即2033x =，解得01x =±，所以点P 的坐标是(1，1)或(-1，-1).8．（多选）定义在区间[],a b 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，若[],a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为函数()f x 在区间[],a b 上的“中值点”，则下列函数在区间[]0,1上“中值点”多于一个的函数是（） A ．()f x x = B ．()2f x x=C ．()()ln 1f x x =+D ．()312f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可【详解】对于A ，由()()11,00,f f ==()1f x '=得()(1)(0110)f f f ξ-'=-=恒成立，所以A 符合.对于B ，()()11,00,f f ==又()2f x x '=，对于 ()(1)(0)112120f f f ξξξ-'===∴=-唯一，所以B 不符合.对于C ，(1)=ln 2f ，(0)=0f ，又1()1f x x '=+，对于 []0,1ξ∈，使得()1(1)(0)101ln 211ln 2f f f ξξξ-'===∴=--+唯一，所以C 不符合. 对于D ，1(1)=8f ，1(0)=-8f ，又2()312f x x '⎛⎫- ⎝⨯⎪⎭=，对于 []0,1ξ∈使得()2(1)(0)1133412201f f f ξξξ-'=⨯==∴⎛⎫- ⎪-⎝⎭=D 符合. 故选：AD. 三、填空题9．若直线2y x a =+是函数()ln f x x x =+的图象在某点处的切线，则实数a =____________. 【答案】1- 【解析】【分析】利用()'2f x =求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a .【详解】令()'112f x x=+=，解得1x =，所以切点为()1,1，将()1,1代入切线2y x a =+得12,1a a =+=-. 故答案为：1-10．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()2cos 1f x x =-，则曲线()f x 在点()(),f ππ处的切线方程为______．【答案】3y = 【解析】【分析】根据奇函数的对称性及导数的几何意义可求解. 【详解】当0x <时，()2sin f x x '=-，∴()()2sin 0f ππ'-=--=， ∴函数()f x 是奇函数，∴对称点处的导数相同， ∴()()0f f ππ''=-=，即切线的斜率为0，又()()()2cos 13f f πππ=--=---=⎡⎤⎣⎦，∴切线方程为3y =．故答案为：3y = 四、解答题11．已知函数()()21e x f x k x x =-+.(1)求导函数()f x '；(2)当1ek =时，求函数()f x 的图像在点()1,1处的切线方程.【答案】(1)e 2x kx x + (2)32y x =- 【解析】【分析】（1）利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算即可求解；（2）求出()13f '=，利用点斜式写出切线方程. (1)由()()21e x f x k x x =-+，得()()e 1e 2e 2x x xf x k k x x kx x '=+-+=+.(2)由（1）知当1ek =时，()1e 2xf x x x -'=+，则()13f '=.又()()2111e 111ex f =-+=，所以函数()f x 的图像在点()1,1处的切线方程为()131y x -=-，即32y x =-. 12．已知曲线3S 2y x x =-：(1)求曲线S 在点A (2，4)处的切线方程； (2)求过点B (1，—1)并与曲线S 相切的直线方程. 【答案】(1)10160x y --= (2)20x y --=或5410x y +-= 【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A 处的值为切线方程的斜率可得答案；（2）先设切点坐标，然后得出斜率，最后根据直线的点斜式方程列出切线方程，解出0x 即可得结果． (1)∴32y x x =-，则232y x '=-， ∴当2x =时，10y '=，∴点A 处的切线方程为：()4102y x -=-，即10160x y --=. (2)设()3000,2P x x x -为切点，则切线的斜率为()20032f x x '=-，故切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，又知切线过点()1,1-，代入上述方程()()()32000012321x x x x ---=--，解得01x =或012x =-，故所求的切线方程为20x y --=或5410x y +-=.。

专题04 导数求切线及公切线归类(解析版)

专题04 导数求切线及公切线归类一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间【题型】二、方程法判断函数零点个数【题型】三、数形结合法判断函数零点个数【题型】四、转化法判断函数零点个数【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数【题型】七、一元二次不等式恒成立问题【题型】八、一元二次不等式能成立问题二、题型讲解总结【题型】一、求曲线切线的斜率与倾斜角例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（） A ．2 B ．-2 C ．0 D ．1【答案】A【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率. 【详解】()11f x x'=+，故()12f '=，故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，故选：A.例2．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.例3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()ln 2f x x x =+，则（） A ．()f x 的定义域是()0,∞+ B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增【答案】BCD【分析】对A ，根据定义域即可判断；对B ，直接解方程可求解；对C ，求出()f x 在=1x -处的导数可得；对D ，求出函数导数，根据导数可判断单调性. 【详解】对于A ：函数的定义域是()2,-+∞，故A 错误；对于B ：令()0f x =，即()ln 20x x +=，解得：0x =或=1x -，故函数()f x 有2个零点，故B 正确；对于C ：斜率()()11ln 12112k f -'=-=-++=--+，故C 正确；对于D ：()()ln 22xf x x x '=+++，0x >时， ()ln 20x +>，02xx >+，故0f x，()f x 在()0,∞+单调递增，故D 正确.故选：BCD.【题型】二、求在曲线上一点处的切线方程或斜率例4．（2023·上海·高三专题练习）2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（） A ．290x y ++= B ．290x y +-= C ．290x y -++= D ．290x y -+-=【答案】B【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出()32f '=-再结合直线的点斜式公式，即可求解．【详解】由已知，2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，∴()()33limx f x f x∆→-∆-∆＝()()()033lim32x f x f f x∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（） A ．MN B ．FN C ．PM D ．ON【答案】B【分析】设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求出222a pPF p =+，得到PF FN ON =>，PF PM MN >=，即得解.【详解】解：如图，设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y p =，得x y p '=，所以C 在点P 处的切线方程为()22a a y x a p p -=-，从而2,0,0,22a a M N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据抛物线的定义，得2;22a pPF p =+ 又(0,)2pF ，222222p a a p FN p p ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以;PF FN ON => 由2,,,022a a P a M p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,2a N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得M 是PN 的中点，则MF PN ⊥，从而PF PM MN >=．故选：B ．例7．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 【答案】AC【分析】利用双曲线的渐近线、切线，利用导数求抛物线的切线，结合到角公式、向量的夹角公式进行求解.【详解】对于A ，若=0a ，1b =，则21y ax x b x =++=+，因为双曲线C ：224x y -=的渐近线为y x =±，所以曲线E ：=+1y x 与双曲线C 的渐近线为=y x 平行，所以C 与E 有一个交点，故A 正确；对于B ，若=1a ，=0b ，则曲线E ：2y x x =+，与双曲线C ：224x y -=联立，则()22240x x x -+-=，即43240x x ++=，令()4324h x x x =++，则()()32246223h x x x x x '=+=+，则由()0h x '>有32x >-，由()0h x '≤有32x <-，所以()min 302h x h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以43240x x ++=无解，故B 错误；对于C ，若0a b ，曲线E ：=y x ，对于双曲线C ：224x y -=，易知过点()1,0的切线的斜率显然存在，设切线方程为()1y k x =- ，与224x y -=联立有：()22221240k x k x k -+--=，由()()4222444116120k k k k ∆=++-=-=，解得k =因为斜率均为正数，所以1l为：)1y x =-，则1l 与E17=-C 正确；对于D ，若==1a b ，曲线E ：21y x x =++，则21y x '=+，则1|3x y ='=，则2l 为：()31y x =- ，其方向向量()1,3m = ，又1l为：)1y x =-，其方向向量231,3n ⎛= ⎝⎭，所以3cos ,70m n m n m n⋅+==，故D 错误. 故答案为：AC.例8．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()()e e x xf x x -=- ，则（）A ．()f x 在()0,∞+单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()=y f x 在点()()ln 2,ln 2f 处切线的斜率为35ln 222+D ．()f x 是奇函数【答案】AC【分析】求导，运用导函数的符号判断单调性，并由此判断零点数量，运用定义法判断奇偶性.【详解】()()'=e e +e +e ,>0x x x xf x x x --- 时，e e >0x x --，()()()'e +e >0,>0,x x x f x f x -∴∴ 在()0,+∞ 上单调递增，A 正确；当0x ＜时，()'0f x ＜，单调递减，∴()f x 在0x = 处有极小值，()00f = ，()f x 有且仅有一个零点，B 错误；()'1135ln2=2+2+ln2=+ln22222f -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，C 正确； ()()()()()=e e =e e =,x x x x f x x x f x f x ------∴为偶函数，D 错误；故选：AC .【题型】三、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（）A B ．C ．D ．-【答案】D【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对()()()2cos 0cos 2sin 0cos 2x f x x f x f x π⎛⎫-+=+' ⎝⎭=⎪'，求导可得，()()2cos 0sin f x x f x ''=-，得到(0)2f '=，所以，()22sin cos x x f x +=，所以，()2cos 2sin f x x x '=-，332cos 2sin 4434f πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知点M 是曲线()22ln 5f x x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】先求出()()2250f x x x x'=+->，再利用基本不等式求解即可. 【详解】根据题意得，()()2250f x x x x'=+->，所以()22551f x x x '=+-≥=-，当且仅当1x =时成立，所以该切线的倾斜角为：34π. 故选：D.例11．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））若()ln f x x x =，则()f x 图像上的点的切线的倾斜角α满足（） A ．一定为锐角 B ．一定为钝角 C ．可能为0︒ D ．可能为直角【答案】C【分析】求出导函数，判断导数的正负，从而得出结论．【详解】()ln 1f x x '=+，10e x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1ex >时，()0f x '>，()f x 递增，而11ln 10e e f ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为0︒，当90α=时，斜率不存在，而()f x '存在，则90α=不成立. 故选：C ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0sin 0x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，，， ()020x kx x g x x >⎧=⎨≤⎩，，，若x 1、x 2、x 3，x 4是方程()()f x g x =仅有的4个解，且x 1<x 2<x 3<x 4，则（） A ．0<x 1x 2<1 B ．x 1x 2>1 C ．43πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】分别作出函数()()f x ,g x 的图象，根据图象得出x 1、x 2、x 3，x 4的数量关系及范围即可求出结果.【详解】如图所示，|ln()|y x =-与2x y =的图象在(,0)-∞上有两个交点，所以()()12ln ln x x -<--，则()12ln 0x x <，则1201x x <<，故A 正确；|sin |y x =与y kx =的图象在(0,)+∞上有两个交点，则43,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且直线y kx =与|sin |y x =在4x x =处相切，所以44sin x kx -=，由导数几何意义得4cos x k -=，将上述两式相除得443tan ,2x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故C 正确．故选：AC.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【题型】四、求在过一点的切线方程例13．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】设切点(),e mm m ，由导数几何意义可表示出切线方程，代入()0,P b 可将问题转化为方程2e m b m =-的解的个数的求解；令()2e mf m m =-，利用导数可得()f m 图象，根据y b=与()f m 图象交点个数可确定方程解的个数，进而得到切线条数.【详解】设切点为(),e mm m ，()1e x y x '=+，∴切线斜率()1e m k m =+， ∴切线方程为：()()e 1e m m y m m x m -=+-；又切线过()0,P b ，()2e 1e e m m mb m m m m ∴=-+=-；设()2e m f m m =-，则()()2e mf m m m '=-+，∴当()(),20,m ∈-∞-+∞时，()0f m '<；当()2,0m ∈-时，()0f m '>；()f m ∴在(),2-∞-，()0,∞+上单调递减，在()2,0-上单调递增，又()242e f -=-，()00f =，()0f m ≤恒成立，可得()f m 图象如下图所示，则当240e b -<<时，y b =与()f m 有三个不同的交点，即当240eb -<<时，方程2e m b m =-有三个不同的解，∴切线的条数为3条. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x '=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，01ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >. 故选：D.例15．（2023·全国·高三专题练习）过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（） A ．a b = B ．1a b -= C ．1b a =+ D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线，设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--，将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =，故选：A.例16．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是________．【答案】11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题可知直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，利用导数研究函数的性质，利用数形结合思想能求出实数k 的取值范围．【详解】定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，方程1()2f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，即直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，由()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，当01x <≤时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当11ex <≤时，()0f x '>，()f x ∴在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()f x 在1,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，结合奇函数的对称性和“周期现象”得()f x 在[1-，2]上的图像如下：由于直线1:2l y kx =-过定点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，如图，连接A ，(1,0)B 两点作直线111:22l y x =-，过点A 作()ln (01)f x x x x =<<的切线2l ，设切点0(P x ，0)y ，其中000ln y x x =，()ln 1f x x '=+，则斜率20ln 1l k x =+，切线20000:ln (ln 1)()l y x x x x x -=+-过点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则00001ln (ln 1)(0)2x x x x --=+-，即012x =，则21ln 11ln 22l k =+=-，当直线1:2l y kx =-绕点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭在1l 与2l 之间旋转时，直线1:2l y kx =-与函数()y f x =在[1-，2]上的图像有三个交点，故11ln 2,2k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭例17．（2023·全国·高三专题练习）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是___________ 【答案】()0,1【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点P ，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()()26661g x x x x x '=-=-，由()0g x '=，可得0x =或1x =，则当0x <或1x >时，()0g x '<；当01x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点．故答案为：()0,1．【题型】五、利用导数值求出参数值例18．（2023·上海·高三专题练习）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=++，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'0x >恒成立，即12x a x+≥0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即x =时，等号成立，故a ≤所以a 的取值范围是(-∞．故选：D ．例19．（2023·全国·高三专题练习）若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（） A ．1 B ．e 2C ．2D ．e【答案】A【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：因为曲线()ln a xf x x=，所以()()21ln a x f x x-'=，又因为曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，所以()11f a '==，故选：A例20．（2023·全国·高三专题练习）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =-- D ．2364x y =-+【答案】C【分析】由题意可得到直线CM 所在的方程和圆方程联立求得点M 的坐标，设所求抛物线方程2y ax c =+，求导，根据导数的几何意义结合题意，可求得a,c ,即得答案. 【详解】由于某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，故1CM k =-,所以直线CM 所在的方程为：2(25)y x -=-+，代入22(25)(2)162x y ++-=，解得167x y =-⎧⎨=-⎩ 或3411x y =-⎧⎨=⎩ （舍，离y 轴较远的点），所以点M 的坐标为(16,7)--.由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，故设抛物线方程为：2y ax c =+，则2y ax '=，则由M 点处切线斜率为1可得321a -=，132a ∴=-，又217(16)32c -=--+，解得1c =，所以该抛物线的轨迹方程为21132y x =-+，即232(1)x y =--，故选：C.例21．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．【答案】D【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解.【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =a =，所以3b =- 故选：D例22．（2023·上海·高三专题练习）设函数()ln f x x x =，()1xg x x =+. (1)若直线12y x b =+是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； (2)证明：∴当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-； ∴0x ∀>，()()2e-<g x f x .（e 是自然对数的底数，e 2.718≈）【答案】(1)12e --(2)∴证明见解析∴证明见解析【分析】(1)首先利用导函数的几何意义求出切点，再将切点代入切线即可求出b ； (2)∴将原不等式化简为1()2ln 0h x x x x=-+>，然后利用导函数求()h x 在(0,1)上的最大值大于0即可；∴结合∴中条件，利用放缩法只需证明2112122ex x x -+<+，然后利用隐零点证明不等式在(0,1)上恒成立即可，最后结合()f x 和()g x 的单调性即可证明原不等式在[1,)+∞上恒成立. （1）由()ln f x x x =，则'()ln 1f x x =+，设12y x b =+在()f x 上的切点为000(,ln )x x x ，从而1'20001()ln 1e 2f x x x -=+=⇒=，故12y x b =+在()f x 上的切点为11221(e ,e )2---，将11221(e ,e )2---代入12y x b =+得，11122211e e e 22b b ----=+⇒=-，故b 的值为12e --. （2）∴当01x <<时，()()()1112ln 02g x f x x x x x x⋅>-⇔-+>，不妨令1()2ln h x x x x =-+，则2'2221(1)()10x h x x x x -=--=-<，故()h x 在(0,1)上单调递减，从而对(0,1)x ∀∈，都有()(1)0h x h >=，故当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-. ∴(i)由∴知，当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-，从而21ln (1)2x x x >-，故()()211122x g x f x x x -<-++，欲证()()2e -<g x f x ，只需证2112()122ex x x x ϕ=-+<+，则2'2211(1)()(1)(1)x x x x x x ϕ-+=-=++，令2()1(1)x x x φ=-+，则'2()(1)2(1)0x x x x φ=-+-+<，从而()x φ在(0,1)上单调递减，因为22111119()1(1)1(1)10e e e e 24e φ=-+>-+=->，219191966139111040404064000φ⎛⎫⎛⎫=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在的基本定理可知，0119,e 40x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2000()1(1)0x x x φ=-+=，从而20000(1)1x x x x =++，结合()x φ在(0,1)上单调递减可知，'0()00x x x ϕ>⇒<<；'0()01x x x ϕ<⇒<<，故()ϕx 在0(0,)x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，从而222320max 00000000111111()()(1)1222222x x x x x x x x x x ϕϕ==-+=+-+=+++，故32max 1911912()()()0.72402402ex ϕ<+⋅+<<，即当01x <<时，()()2e-<g x f x ； (ii) 由'1()ln 10e f x x x =+>⇒>-，从而()f x 在1[,)e-+∞上单调递增，故当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，又因为()1111x g x x x ==-++在(0,)+∞上单调递增，故当1e x ≤≤时，()()e 2()11e 1ex x g x f x f x x x -=-<≤<+++，当e x >时，()(e)e f x f >=，此时()()121e<01eg x f x x -<--<+，综上所述，0x ∀>，()()2e-<g x f x . 【点睛】利用隐零点证明不等式需要注意的地方：一、在利用隐零点求函数最值的时候，一定要精确隐零点所在区间I 的端点值，否则在证明的时候放缩过大或过小都很难求证；二、二分法是一种精确隐零点所在区间I 的一种较好的方法. 【题型】六、已知切线的斜率求参数方程例23．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()2e ,<1=e ,1x x x f x x -≥⎧⎨⎩若方程()0f x x a --=有三个不同的解，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,e 1-C ．()1,eD ．()e 1,e -【答案】B【分析】将原题转化为()=y f x 与y x a =+有三个不同的交点，结合图象分析相应的临界位置求解，并利用导数处理切线问题. 【详解】∴()0f x x a --=，则()f x x a =+ ∴原题转化为()=y f x 与y x a =+有三个不同的交点 y x a =+表示为斜率为1，纵截距为a 的直线，如图可知：满足条件的直线以过点()1,e A 的直线2l ，与()()e 1xf x x =≤相切的直线1l 为临界位置若过点()1,e A ，则e 1a =+，即e 1a =-若与()()e 1xf x x =≤相切，则()e 1x f x '==，可得()0,01x f ==即切点坐标为()0,1，则=1a ∴a 的取值范围是()1,e 1- 故选：B.例24．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（） A ．16 B ．12C ．8D ．4【答案】D【分析】设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出,a b 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，因为ln y x a =-，所以1y x'=，切线方程为()0000011ln ln 1y x x x a x x a x x =-+-=+--，所以201e x -=，0ln 1x a b --=，所以1a b +=，又0a >，0b >，所以()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值是4. 故选：D.例25．（2023·全国·高三专题练习）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（） A ．12BCD ．34【答案】A【分析】由导数几何意义得1a b +=，然后由基本不等式得最小值．【详解】由已知2()a b f x x x '=+，所以(1)1f a b '=+=， 222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立．故选：A ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是曲线23ln y x x =-上任意的一点，则点P 到直线2230x y ++=的距离的最小值是（）A ．74B ．78CD【答案】D【分析】由题意可知，过点P 的切线与直线2230x y ++=平行，由此可求出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可【详解】令()321,0y x x x'=-=->，则1x =，即(1,1)P ，所以4d ==，故选：D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 2xf x x =-，直线=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，则2a b +的最大值是__________ 【答案】2e 4-##24e -+【分析】求出函数的导函数，设切点()(),t f t ，从而表示出()f t ，()f t '，即可得到切线方程，从而得到()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩，则243e e t t a b t +=-+-，再构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】解：因为()e 2x f x x =-，所以()e 2xf x '=-，设切点()(),t f t ，则()e 2tf t t =-，()e 2t f t '=-，则切线方程为()())e 2e 2(t ty t x t --=--，即()()e 2e 1t ty x t =-+-，又因为=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，所以()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩，则243e e t t a b t +=-+-，令()43e e t tg t t +=--，则()()2e tg t t '=-，当2t >时，()0g t '<，()g t 在()2,+∞上单调递减，当2t <时，()0g t '>，()g t 在(),2-∞上单调递增，所以=2t 时，()g t 取最大值()222243e 2e 4e g =-+-=-+，即2a b +的最大值为24e -+. 故答案为：24e -+【题型】七、两条切线平行、垂直、重合公切线问题例28．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14【答案】B【分析】由(0)0f =得0d =，然后求得()f x '，由20(0)10f -'=-求得2c =，设()()g x xf x =，由(1)2g =得(1)2f =及0a b +=，再由(1)2g '=得3220a b ++=，解得,a b 后可得(2)f '．【详解】设32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，322(0)0,(),()32f d f x ax bx cx f x ax bx c ==∴=++∴'=++20(0)210f c -∴'===-，设()()g x xf x =，则(1)(1)22g f a b ==++=，即0a b +=……∴ 又()()(),(1)(1)(1)2,(1)0g x f x xf x g f f f '=+'∴'=+'=∴'=，即3220a b ++=……∴由∴∴可得2,2,2a b c =-==，(2)14f ∴'=-.故选：B.例29．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切，则直线l 的条数有（） A ．0 B ．1C ．2D ．无数条【答案】C【分析】先设出所求直线l ，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新的函数求解方程解的情况【详解】设直线:l y kx b =+因为直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切所以对于曲线e x y =，e x y k '==，ln x k =，切点(ln ,)A k k 对于曲线ln y x =，1y k x '==(0)x >，1x k ，切点11(,ln )B k k(0)k > 因为公切线过A 、B 两点所以1lnln 11ln ln AB A B k y y k k k k x x k k k k--+===--- 进而可得ln ln 10k k k k ---= 令()ln ln 1g k k k k k =--- (0)k >1()ln g x k k'=-(0)k > 因为ln k ，1k -均为增函数，又因为(1)10g '=-<，()1e 10eg =->'所以存在0k 使得001ln =0k k -即001ln k k = 所以()g k 在0(0,)k k ∈时单调递减，在0(,)k k ∈+∞单调递增，()01,e k ∈0min 0000()()ln ln 1g k g k k k k k ==---又因为001ln k k = 所以min 000000111()10g k k k k k k k =⋅---=--< 当2e k =时，()()222222e e e 1e 30g k g lnelne ==---=->因为()01,e k ∈，所以()()20e 0g k g <所以在()20,e k 内存在1k 使得直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切当21e k =时，()222222111111ln ln 1310e ee e e e g k g ⎛⎫==---=-+> ⎪⎝⎭ 因为()01,e k ∈，所以()0210e g k g ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以在021,e k ⎛⎫⎪⎝⎭内存在2k 使得直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切所以综上所述，存在两条斜率分别为12,k k 的两条直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切故选：C【点睛】∴本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来 ∴通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程∴通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】B【分析】利用导数可得切线斜率与切线方程，进而可得1x 与2x 的关系，即可得解.【详解】由()e xf x =，()lng x x =，得()e xf x '=，()1g x x'=，则121e x x =，121ln e ln x x =，即21ln x x =-．曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111e e 1x xy x x =+-，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为2211ln y x x x =-+，所以()112e 11ln x x x -=-+，可得()112111x x x -=--，整理得12121x x x x -+=-，故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（）A ．2B ．2eC ．2e D【答案】B【分析】利用导数的几何意义分别得到e a k =、ekb =，再运用基本不等式即可求解. 【详解】设直线y kx =与函数()f x ，()g x 的图象相切的切点分别为(),A m km ，(),B n kn . 由()af x x '=，有ln km a ma k m=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得e m =，e a k =. 又由()e xg x b '=，有e e n n kn b b k ⎧=⎨=⎩，解得1n =，e k b =，可得1e e 2e a k b k +=+≥=，当且仅当e a =，1eb =时取“=”. 故选：B例32．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（） A ．(]0,2e B ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【分析】设公切线与曲线的切点为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，利用导数的几何意义分别求ln 1y x =-和2y ax =上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫ ⎪⎝∈+⎭∞时，0g x ，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.例33．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（） A ．-1 B ．3 C ．1 D ．2【答案】AC【分析】求导，根据函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，由()min 0f x '≥求解. 【详解】解：因为函数()()()22ln 112-=++>-x axf x x x ，所以()11111111'=+-=++--≥-=-++f x x a x a a a x x ，当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立，因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC【题型】八、已知某点处的导数求参数或自变量例34．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】设P 点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案. 【详解】设()()40f x x x x=+<，点00(,)P x y ，则()241f x x '=-，由在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直可得()03f x '=-，即20413x -=-，又00x <，∴01x =-, 故选：B例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin f x m x b =+在6x π=处的切线方程为1y x =+，则实数b 的值为（）A ．12B C ．1 D 【答案】A【分析】求得()cos f x m x '=，利用导数的几何意义，求得1m =，得到()sin f x x b =+，再求得切点(,1)6P π代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x m x b =+，则()cos f x m x '=，可得()cos 66f m ππ'==，即切线的斜率k =，=，解得1m =，所以()sin f x x b =+，当6x π=时，116y π+=，即切点(,1)6P π代入函数()sin f x x b =+，可得sin 16b π+=，解得12b =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.例36．（2023·全国·高三专题练习）若实数a ，b ，c ，d 满足ln ,1a b c d =+=，则()()22a cb d -+-的最小值为______.【答案】2【分析】由ln b a =，1d c =+，故()()22a cb d -+-可理解为曲线ln y x =上一点(),a b 与直线1y x =+上一点(),c d 间的距离的平方，采用数形结合和对函数ln y x =求导可知，函数ln y x=在()1,0处的切线方程10x y --=与直线1y x =+之间的距离的平方为我们要求的()()22a cb d -+-的最小值.【详解】由ln b a =，1d c =+，故()()22a cb d -+-可理解为曲线ln y x =上一点(),a b 与直线1y x =+上一点(),c d 间的距离的平方，对于函数ln y x =，令11y x'==，故可得1x =，即函数ln y x =在()1,0处的切线方程为10x y --=，切线方程与直线1y x =+平行，则函数ln y x=在()1,0处的切线方程与直线1y x =+之间的距离d =()()22a cb d -+-的最小值为22d =.故答案为：2.。

【导数专题（二）】利用导数的几何意义研究函数的切线问题（有答案）

【导数专题（二）】利用导数的几何意义研究函数的切线问题（有答案）利用导数的几何意义研究函数的切线问题一、亮点1.导数的几何意义作为高中数学的重点章节，经常出现的高考中，在考试中占据重要地位；2.函数切线以及与函数切线相关的问题，往往是考察的重点，也是学生的易错点；3.本篇导数几何意义问题涉及面广，知识点多，会覆盖到极值点、最值等知识点，故本篇适合章节复习、综合复习.二、教学目标1.掌握导数的几何意义这类问题的基本列式方法及其解题对应思路；2.熟练掌握已知切点P(x0,y0)时，切线的求法；3.熟练掌握未知切点时，先设切点P(x0,y0)，再通过题目条件列方程组，解决问题的方法.三、考情总结导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义为函数y=f(x)图像在点(x0,f(x0))处的切线斜率.用导数的几何意义研究曲线y=f(x)的切线方程的两种类型及方法：类型1：已知切点P(x0,y0)问题已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程，解题过程为：先求出切线的斜率k切，即=f′(x0) ,再通过题目已知条件（可用点斜式），写出方程.k切类型2：未知切点P(x0,y0)问题若未知切点P，解题过程为：先设切出点P(x0,y0)，利用导数写出切线斜率k切=f′(x0)一个等量关系，再利用条件列出x0的另一个等量关系，求解方程(组)解得x0，求出斜率，再求出直线方程.1四、精品题单考点一：已知切点P(x0,y0)问题.学情分析：由于已知切点坐标，此类题目比较简单，直接求在切点处的导数，即为切线的斜率，带入点斜式就能解题.注意切点务必明确位置.这类题型的易错点有以下几个：（1）复杂函数求导易错，要注意方法和技巧，仔细求导；（2）明确切点位置易错，特别是一些相交问题中，必须要明确具体切点位置；（3）导数问题与其他问题结合易错，注意要用到数列、函数等其他知识综合解决.练1.（2019·南通模拟）已知x=1是函数f(x)=(x2+ax)e x的一个极值点，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为__________．【推荐理由】易错题，经典题【思路点拨】注意求导方法，求导要仔细【答案】?32【解析】解：由题意，函数f(x)=(x2+ax)e x，则f′(x0)=(x2+ax+2x+a)e x又由x=1是函数f(x)=(x2+ax)e x的一个极值点，所以f′(1)=(3+2a)e=0，解得a=?32，即f′(x)=(x2+12x?32)e x所以f′(0)=?32所以函数f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为?32．故答案为?32．2练2：（2019·无锡校级月考）已知f(x)=lnx，g(x)=12x2+mx+72(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m 的值为__________【推荐理由】易错题，考察思路【思路点拨】同时相切，导数相同，列方程组【答案】?2【解析】解：由题意得，f(x)=ln x的导数为f′(x)=1x ，g(x)=12x2+mx+72(m<0)的导数为g′(x)=x+m，∴与f(x)图象的切点为(1，f(1))的切线l的斜率k=f′(1)=1，且f(1)=ln1=0，所以切点为(1，0)，∴直线l的方程为：y=x?1，∵直线l与g(x)的图象也相切，∴{y=x?1y=12x2+mx+72此方程组只有一解，即12x2+(m?1)x+92=0只有一解，∴Δ=(m?1)2?4×12×92=0，解得m=?2或m=4(舍去)．故答案为?2．练3：（2019·南通模拟）设曲线y=x n+1(n∈N?)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+?+a99的值为______．【推荐理由】综合题，导数与数列结合3【思路点拨】注意求导后，形成的数列表达式的推导【答案】?2【解析】解：∵曲线y=x n+1(n∈N?)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N?)在(1，1)处的切线方程为y?1=(n+1)(x?1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=nn+1，∵a n=lgx n，∴a n=lgn?lg(n+1)，∴a1+a2+?+a99=(lg1?lg2)+(lg2?lg3)+(lg3?lg4)+(lg4?lg5)+(lg5?lg6)+?+(lg9 9?lg100)=lg1?lg100=?2故答案为?2．练4:（2019·泰州调研）己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=1?2ln(?x)x则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__________．【推荐理由】导数与函数奇偶性结合问题，综合性问题【思路点拨】注意奇函数求另一半的基本技巧．【答案】3x+y?4=0【解析】解：设x>0，则?x<0，所以f(?x)=1?2lnxx因为f(x)为奇函数，则f(?x)=?f(x)，所以f(x)=1?2lnxx (x>0)，则f′(x)=2lnx?3x2，所以切线的斜率为k=f′(1)=?3又f(1)=1，即切点坐标为(1，1)，所以切线的方程为y?1=?3(x?1)，即3x+y?4= 0．故答案为3x+y?4=0．45练5.（2019·苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+b x (a ，b 为常数)过点P(2，-5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行，则a +b 的值是______．【推荐理由】已知切线斜率，求参数问题【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】?3 【解析】解：∵直线7x +2y +3=0的斜率k =?72，曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，?5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行，∴y ′=2ax ?b x 2，∴{4a +b 2=?54a ?b4=?72，解得：{a =?1b =?2，故a +b =?3．故答案为?3．练6：（2019·南京模拟）设函数f(x)=x 2+c 与函数g(x)=ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，且曲线y =f(x)，y =g(x)在点P 处有相同的切线，若函数f(x)?g(x)的唯一零点在区间(k ，k +1)(k ∈Z)内，则k = 【推荐理由】易错题【思路点拨】相同切线问题，找方程组【答案】?1【解析】解：f′(x)=2x，g′(x)=ae x，∵曲线y=f(x)，y=g(x)在P(2，t)点处有相同的切线，∴f′(2)=g′(2)，即4=ae2，①又P为两曲线的公共点，∴f(2)=g(2)，即4+c=ae2，②，由①②解得c=0，a=4e x=x2?4e x?2，令?(x)=f(x)?g(x)=x2?4e2则?′(x)=2x?4e x?2，当x?0时，?′(x)<0，∴?(x)在(?∞，0)上递减，又?(?1)=1?4e?3>0，?(0)=?4e?2<0，∴?(x)在(?1，0)内有唯一零点，由题意知(k，k+1)=(?1，0)，∴k=?1．故答案为?1．考点二：未知切点P(x0,y0)问题学情分析：此类题型是切线问题中的难题，关键在于要主动设切点坐标，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.这类题型的易错点有以下几个：（1）设切点后找方程组过程易错，需仔细审题后找到对应的方程组；（2）方程组解题易错，要注意解方程组技巧；（3）审题不仔细易错，此类题目条件比较复杂，必须仔细审题，找到切入点解题.练1：（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A处的切线经过点(?e，?1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是______．6【推荐理由】高考题，典型题【思路点拨】设切点坐标【答案】(e，1)【解析】解：设A(x0，lnx0)，由y=lnx，得y′=1x，∴y′|x=xx 0，则该曲线在点A处的切线方程为y?lnx0=1x(x?x0)，∵切线经过点(?e，?1)，∴?1?lnx0=?ex01，即lnx0=e x，则x0=e．由右图可知e是唯一解∴A点坐标为(e，1)．故答案为：(e，1)．练2：（2019·苏北四市二模改编）过曲线y=x?1x(x>0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，O是坐标原点，若ΔOAB的面积为1 3，则x0=_________【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】注意方程组和面积的表达【答案】√5【解析】解：由题意可得y0=x0??1x0，x0>0，，∴切线的斜率为1+1x02，则切线的方程为y?x0+1x0=(1+1x02)(x?x0)，令x=0可得y=?2x0，令y=0可得x=2x01+x02，7∴ΔOAB的面积S=12·2x0·2x01+x02=13，解得x0=√5负的舍去)．故答案为√5．练3：（2019·江苏卷改编）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x?y+1=0，则点P的坐标是______．【推荐理由】高考题改编【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】(e，e)【解析】解：函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数为f′(x)=lnx+x?1x=1+lnx，直线2x?y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x?y+1=0，∴f′(x)=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是(e，e)，故答案为：(e，e)．练4：（2019·连云港校级模拟）若曲线f(x)=ln x+12ax2?(a+2)x+1上存在某点处的切线斜率不大于?5，则正实数a的最小值为________．8【推荐理由】易错题【思路点拨】设点坐标求导，解不等式【答案】9【解析】解：因为f(x)=ln x+12ax2?(a+2)x+1，所以f′(x)=1x+ax?(a+2)．因为f(x)上存在某点处的切线斜率不大于?5，设切点为(x,y) 所以存在x∈(0，+∞)，1x+ ax?(a+2)≤?5，得到2√(1x )·ax?(a+2)≤?5，当且仅当1x=ax时取“=”，化简得a?2√a?3≥0，解得a≥9．则正实数a的最小值为9．故答案为9．练5：（2019·宿迁模拟）点P在曲线y=x3?x+23上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是_____________【推荐理由】切线斜率是导数【思路点拨】求的是切线斜率范围，就是求所有导函数的值域【答案】[0，π2)∪[3π4，π)【解析】解：∵tanα=3x2?1，∴tanα∈[?1，+∞)．当tanα∈[0，+∞)时，α∈[0，π2)；当tanα∈[?1，0)时，α∈[3π4，π)．∴α∈[0，π2)∪[3π4，π)故答案为[0，π2)∪[3π4，π)．9练6:（2019·淮安模拟）若曲线y=x?lnx与曲线y=ax2+x在公共点处有相同的切线，则实数a=_________．【推荐理由】易错题【思路点拨】注意相同切线问题，斜率相同，列方程组【答案】?12e【解析】解：设曲线y=x?lnx与曲线y=ax2+x在它们的公共点P(s，t)，，{1?1s=2as+1 (1)s?lns=as2+s (2)由(1)得a=12s2，代入(2)式，解得a=?12e，故答案为a=?12e．练7：（2019·盐城模拟）已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则f′(x1)f′(x2)的值为_______．【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】14【解析】解：∵函数f(x)=x3，∴f′(x)=3x2，则曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线斜率为f′(x1)=3x12则曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线方程为y?x13=3x12(x?1011x 1)，与y =x 3联立，得x 3?3xx 12+2x 13=(x ?x 1)2(x +2x 1)=0，即x 2=?2x 1，，∴f ′(x 2)=3x 22=12x 12 , f ′(x 1)f ′(x 2)=14练8：（2019·徐州二模改编）已知点P 在曲线C ：y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．【推荐理由】易错题，关键题【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1【解析】解：设P (t ，12t 2)，因为y′=x ，所以切线l 的斜率k =t ，且t ≠0，则直线PQ ：y ?12t 2=?1t (x ?t)，即y =?1t x +12t 2+1，由{y =?1t x +12t 2+1，y =12x 2，消y 得：tx 2+2x ?t 3?2t =0，设Q(x 1，y 1)，则x 1+t =?2t ，即x 1=?t ?2t ，又因为点Q 在曲线C 上，所以y 1=12x 12=12(?t ?2t )2=12t 2+2+2t 2，故Q (?t ?2t ，12t 2+2+2t 2)．因为OP ⊥OQ ，所以OP ?OQ =0，即t ?(?t ?2t )+12t 2?(12t 2+2+2t2)=0，化简得t 4=4，则t 2=2，所以点P 的纵坐标为1．12练9：（2019·苏州校级模拟）设曲线y =(ax ?1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y =1?x e x在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈[0，32]，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________．【推荐理由】综合性强【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1≤a ≤32【解析】解：函数y =(ax ?1)e x 的导数为y′=(ax +a ?1)e x ，∴l 1的斜率为k 1=(ax 0+a ?1)e x 0，函数y =(1?x)e ?x 的导数为y′=(x ?2)e ?x ∴l 2的斜率为k 2=(x 0?2)e ?x 0，由题设有k 1?k 2=?1从而有(ax 0+a ?1)e x 0(x 0?2)e ?x 0=?1 ∴a(x 02?x 0?2)=x 0?3，∵x 0∈[0，32]得到x 02?x 0?2≠0，所以a =x 0?3x 02?x 0?2，又a′=(x 0?1)(x 0?5)(x 02?x 02)2，令导数大于0，解得1<="">x 0?3x 02?x 0?2在(0，1)是减函数，在(1，32)上是增函数，x 0=0时取得最大值为32； x 0=1时取得最小值为1．∴1≤a ≤32故答案为1≤a ≤32．13练10：（2019·常州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y =2lnx 的图像与圆M ：(x ?3)2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y =f(x)的图像经过点O ，P ，M ，则y =f(x)的最大值为________．【推荐理由】综合性强【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】98【解析】解：设点P(x 0，2lnx 0)，则因为y =2lnx ，所以，故函数y =2lnx ．在点P 处的切线的斜率为k 1=2x 0，又k PM =2ln x 0x 0?3，从而圆在点P 处的切线的斜率为k 2=?x 0?32ln x 0，从而k 1=k 2，即2x 0=?x 0?32ln x 0，故4ln x0x 02?3x=?1．因为函数f(x)过点O(0，0)，M(3，0)，所以设f(x)=ax(x ?3)，又过点P ，所以2lnx 0=ax 0(x 0?3)，解得a =2ln x 0x0(x 03)=?12，从而得f(x)=?12x(x ?3)=?12(x ?32)2+98≤98，当x =32时，f(x)max =98练11：（2019·镇江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y =?x 3+1上的一14个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为．【推荐理由】综合性强，计算要求高【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】3√234【解析】解：根据题意设P 的坐标为(t ，?t 3+1)，且0<="" 2，="" 2，故切线的斜率k="y′|x=t" 3+1)="?3t" 3+13t="" 3+1；令y="0，解得：x"，所以△AOB 的面积S =12(2t 3+1)·2t 3+13t 2=16(2t 2+1t )2，设f(t)=2t 2+1t ，则f ′(t )=4t ?1t 2=4t 3?1t 2令f ′(t )=0则t =√143，当0<√1<="" p="">4时，f ′(t )<0,f(t)单调递减，当t >√143时，f ′(t )>0,f(t)单调递增，所以当t =√143时，f(t)取得最小值，此时S 也取最小值为3√23 4．故答案为3√234．。

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专项突破：切线问题思路汇总
第一点：基础准备
导函数的几何意义就是指在平面图形中，所表示的涵义，即：
00()()y f x x x x ==在处有定义且可导处的导数表示该处的切线斜率。

斜率的表达方式，高中数学讲了以下几种
212211210(1)tan ;[0,)
(2),(,)(,)n (3)(,),k=(4)()
k y y
k x y x y x x a m n m
k f x θθπ=-=-='=为直线的倾斜角，范围是和为直线上的两点，这两点的横坐标不相同
若某直线的方向向量则这是在告诉考生
第二点：切线问题结构图
0000000000()(),()()(,)(3)y b f a x a y f x a b y '-=-'-=--=（1）题中说“在”点A(a,b)：该点必为唯一的切点，设切线方程为：即只需要求导数值就可以了；(2)题中说“过”点A(a,b)且该点不在f(x)上：思路是设切点(x ,y ),切线方程为：y x x ，将带入求出(x ,y )；切线问题题中说“过”点A(a,b)且该点在f(x)上：思路是设切点(x ,y ),
切线方程为：y 00000()()(,),a f x a b a ⎧⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎨⎪'-⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
x x ，将带入求出(x ,y )；注：这种情况，解得的x 必有一个为也可能只有一个a,也可以除了之外还有其他值，也就是说切线方程可能不唯一综上：上述三种情况的关键在于：设切点，并求出切点坐标
第三点：有两句话，在有关于切线问题的时候经常用到，没有思路的时候就要默念这两句话：函数在该点处的导数值为切线方程的斜率；
切点既在切线上同时也在曲线上，可以将其带入到这两个方程；习题巩固：
1
1. 2.(1)(1)______2
x f f '++=已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y=则
314
2.33
(1)(2,4)(2)(2,4)y x P P =+
已知曲线求曲线在点处的切线方程求过点的切线方程
4
3.____1
x P y P e αα=
+已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
4. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2
x y =
②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2
)1(+=x y
③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =
5. 设函数1
()ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.求,a b ；
6.=210,x y e P x y P -++=若曲线上点处的切线平行于直线则点的坐标为______
切线问题汇总参考答案
1.答案：3
解析：
2.
3.
4.
5.
6.。