菱形的性质 公开课获奖教案

18.2.2菱形

第1课时菱形的性质

1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)

2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)

一、情境导入

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．

二、合作探究

探究点一：菱形的性质

【类型一】利用菱形的性质证明线段相等

如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD 延长线于F.求证：CE＝CF.

解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC 平分

∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.

证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.

方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【类型二】利用菱形的性质进行有关的计算

如图，O是菱形ABCD对角线AC 与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C 作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE 相交于点E.

(1)求OC的长；

(2)求四边形OBEC的面积．

解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4(cm)；

(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．

方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．【类型三】运用菱形的性质证明角相等

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.

解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB，∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可．

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD

＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝1 2

BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.

方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．

【类型四】运用菱形的性质解决探究性问题

感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE ＝DF ，易知△ADE≌△DBF.

探究：如图②，在菱形ABCD中，AB ＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE ＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE 的度数．

解析：探究：△ADE与△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．

解：探究：△ADE与△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD ＝∠FDB＝120°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF；

拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，∴∠EAD＝∠FDB＝130°.∵AE＝DF，AD＝DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB ＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝18°.

方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．

探究点二：菱形的面积

已知菱形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是()

A．163B．83C．43 D．8

解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝BC，OA＝

1

2AC＝2，OB＝

1

2BD，AC⊥BD，∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝AB2－OA2＝

42－22＝23，∴BD ＝2OB ＝43，∴S 菱形

ABCD ＝12AC ·BD ＝1

2×4×43＝8 3.故选B. 方法总结：菱形的面积有三种计算方

法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．

三、板书设计 1．菱形的性质

菱形的四边条都相等；

菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

2．菱形的面积

S 菱形＝边长×对应高＝1

2ab (a ，b 分别是

两条对角线的长)

通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，

体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】 直接运用勾股定理

如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，

AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：

(1)AC 的长； (2)S △ABC ； (3)CD 的长．

解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据面积公式得到CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .

解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；

(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝1

2

×5×12＝30(cm 2)；

(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝1

2CD ·AB ，∴CD

＝

AC ·BC AB ＝60

13

cm.