矩形谐振腔

d 2E k x2 E 0 2 dx d 2E 2 ky E0 2 dy d 2E k x2 E 0 2 dz 2 2 k k x2 k y k z2
一、谐振频率0
可见,谐振腔在三个方向都是纯驻波，而传输线kc 是二维谐振。
传输线—二维 kc 传输腔—三维 k
图 31-3
一、谐振频率0
理想腔 耦合腔 非理想腔 G-介质
C
Go
L
Go L C
C L Go
G

Q
G0
图 31-2
谐振腔研Βιβλιοθήκη Baidu的思路框图
一、谐振频率0
但是在求解中,它与传输线不同。在传输线中z是优 势方向:即。从概念上讲：x、y方向是驻波，而z方向 假定是行波。
传
y
输
线
谐
y
振
-z
腔
-z
0
x
x 0
d 2E 2 kx E0 2 dx d 2E 2 ky E0 2 dy d 2E 2E 0 dz 2 2 2 kx ky k z2 k 2 k z2 2
二、品质因数Q0
2 1 W We Wm | H | dv 2 v
(31-7)
而导体壁损耗
1 1 2 PL | J s | Rs ds Rs | H |2 ds S 2 S 2
Rs
(31-8)
式中Rs是表面电阻率， 为切向磁场。 因此，有限电导率所对应的谐振腔Q值
g l
所以，TE101模Ey最终写成
E y E0 sin x sin a l z
(31-27)
现在采用Maxwell方程组解出
四、矩形腔TE101模的场和λ0
E j 0 H 1 H j
0 x
第31章
矩形谐振腔
Rectangular Resonator
如果说微波传输线充当低频的R、L、C部件，那 么微波谐振腔相当于低频振荡电路。这是振荡器、 滤波器和耦合器应用中所必须涉及的。
选 谐振腔 滤 频 波 波长计 介质抽量
灵敏测量
图 31-1
谐振腔应用
第31章
矩形谐振腔
Rectangular Resonator
图 31-5
矩形TE101模
四、矩形腔TE101模的场和λ0
已经知道，TE10模中
x j z E y E m sin e a 首先在z=0处放一块金属板(全反射),则有
(31-25)
x j z x j z E y Em sin e e 2 jEm sin sin z a a
(31-29) a2 l 2 其场结构如图31-6所示。值得提出：如果是TE10p模， l l l 只要作代换 即可，这时有 p
0
2al
0
2al
pa
2
(31-30)
l2
四、矩形腔TE101模的场和λ0
图 31-6
TE101模的场结构
五、TE101模的Q值
W We max
一、谐振频率0
谐振腔中谐振频率 0 ( 或 f0)和谐振波长0是最基 本参数，但是要注意 0是不变量，而 0则与媒质r0 有关。
在一个封闭系统中，电能与磁能相等称之为谐 振。谐振腔的规律同样服从Maxwell方程组，可导出 Helmholtz方程。
2 Ek E0
2
(31-1)
2
2 E0 0 2 l 2 x 2 z 0 E0 a + 2 cos sin dxdz 0 0 2a a l 8 2 l a
(31-28)
四、矩形腔TE101模的场和λ0
从概念上来考察矩形波导， Ey 和 Hz 在 z方向行波
同时出现最大值；而 TE101 模中E y ~ sin l
最大值对应最小值。在相位方面，Ey和只差一负号，
使
1 S z E y H z 2
， z H z ~ cos a z ，
四、矩形腔TE101模的场和λ0
归纳起来TE101模的场
x sin z E y E0 sin a l E0 0 x z sin cos Hx j 2a a l E0 0 x z cos sin Hz j 2a a l
2 1 W E dV 2 V PL 1 0 E 2 dV 2 V
(31-13)
二、品质因数Q0
于是
Qd
0W
PL
1 tg
(31-14)
可见,均匀分布的介质Q值(31-14)是一个普适的 公式，它与波型无关。现在，我们进一步引进复频 ~ 率 ，令
在填充空气的条件下
k
2
0

0
c
(31-3)
一、谐振频率0
进一步,如果讨论的是传输型谐振腔，即
l p
则有
0
1 1 1 0 g
2 2
( p 1,2,3,)
(31-4)

1 1 p 2l c
二维谐振和三维谐振
一、谐振频率0
从这个意义上看谐振频率 是问题的本征值， 0 而对应的场分布则是本征矢 E 。 2 2 2 2 l E kc E 0 E k E 0 (31-2) L l E l E L E E 所以我们可以进一步深入地用本征值问题加以讨论。
2 2
(31-5)
二、品质因数Q0
品质因数又称Q值，它反映谐振腔储能与损耗之 间的关系。 W 0W Q0 2 (31-6) Wr PL
W 表示谐振腔的平均储能， WT 表示一个周期 T 内 谐振腔的能量损耗。 WT=TPL，PL 表示一个周期内平 均损耗功率。式(31-6)对于低频和高频均适用的。 平均储能在谐振时有一特点，即腔内所储的电能 等于所储的磁能。
0
i
y
Ey
j
z
0
k
E x E0 0 x 1 E y z z Hx j j 0 sin cos = j sin cos 0 z 0 l a l 2l a l E0 E0 0 1 E y x z x z Hz j j cos cos sin j sin x a a l 2a a l
dt
dW PL dt
0W
Q
另外，根据式(31-17)，导出
(31-18) (31-19)
dW 2 0Wdt
比较(31-18)和(31-19)很清楚
二、品质因数Q0
1 2Q
(31-20)
这样，引入复频率，可以把谐振频率和值包含 在一个公式之中
1 ~ 0 1 j 2Q
讨论谐振腔的主要指标是谐振频率0、品质因数 Q 和电导 G。谐振腔的讨论思路是 : 理想腔 — 耦合腔 — 非理想腔，如图(31-2)所示。 在研究谐振频率 f0时，采用不计及腔损耗，即腔 壁由理想导体构成。但是，当研究 Q 时 , 则必须考虑 损耗的因素。 耦合腔和实际腔反映了谐振腔的具体应用。
0 0 l a

b
dydz 2
2
0 0

2 2 E0 2 0 2 x 0 E0 bl dydz sin 2 2l a 4 2 a 2 l a 2 2
0 0
H
l a
x
Hz
2

E x z dxdz 2 0 0 sin 2 cos 2 dxdz 0 0 2l a l
(31-23)
则有
G0 RS
H
b
2

d
2
(31-24)
E dl a
由于在微波谐振腔中,电压Um定义的不唯一性, 所以现代微波理论中对于G0这个参量已经比较淡化 (只有在TEM波，例如同轴腔才使用)，而强调ω0和 Q这两个参量。
四、矩形腔TE101模的场和λ0
矩形腔TE101模是最基本而重要的模式，它是由传 输线TE10模在z方向加两块短路板而构成的金属封闭 盒。
Q0
0 , H 2
0
Rs
|H |
V S
| H |2 dv

2
ds

|H |
2
V S
| H |2 dv

2
ds
(31-9)
二、品质因数Q0
其中集肤深度
0
2
1 2 | H | ~ | H |2 。作估值公式，令 2
1V Q0 S
(31-10)


令E0=2jEm而且在 z l 处放一块金属板(全反射)， 即 sin l 0 。这时有 2 p p 1, 2, (31-26) g
四、矩形腔TE101模的场和λ0
l 1 1 p g，其中 min l g 2 2
，这时对应 p 1
2
。则
b b a 1 Re 2 H x 0 0 2 a

2
(31-31)
l 0 0
2
dxdy 2 z 0
b 0
l
0 0 2

b
Hz
2
dydz 2 x0
H
a
2 x
Hz
2
dxdz
0 l

0
Hx Hz
z 0 2 x0 2
dxdy 2
l

b
a
0
2 2 E0 2 0 2 x 0 E0 ab dxdy sin a 2 2l 4 2 l 2 2
(31-21)
由于复频率的引入,使我们可以采用复变函数的理 论工具研究谐振腔。
三、等效电导G0
等效电导 G0 用来统一表征谐振系统的损耗
1 2 PL G0U m 2
或者写出
G0 2PL
2 Um
(31-22)
，若选定
图 31-4
谐振腔等效电导G0
三、等效电导G0
U m Em dl
a b
2 1 1 l b a 2 2 2 1 E dv E0 sin x sin z dxdydz ablE02 a l 2 V 2 0 0 0 8
计算导体Q值时有六个面需要考虑
PL (1) ( 2) (3) 2 2 2
可以知道， 小、 V/S大，是 Q0大的先决条件。理 想腔的品质因数也称为固有品质因数Q0(或无载Q值)。
Q无量纲,只与媒质、腔体几何形状和波型有关。 事实上可以有很多损耗源，例如
PL PLi
i1 n
(31-11)
二、品质因数Q0
于是也可以定义各种损耗因素所对应的Q n n PLi 1 1 (31-12) Q i1 0W i1 Qi 其中， Qi=0W/PLi对应第 i 个损耗源的 Q值。除了导 ~ ' j " 对应的 电壁的Q值以外，最普遍的是介质 Qd。这时储能和损耗功率分别是
有行波传输的实功率；而TE101模中相位
差90°，因此Sz只有虚功率。如果研究Ey和Hz也有类
似情况。
四、矩形腔TE101模的场和λ0
由于
2 2 2 2 2 k kx k y kz a l 0
2 2 2
可知
~ 0 1 j
(31-15)
(31-16)
于是内部场可写成
j j t t ~t E Eme Eme e
0 0 0
二、品质因数Q0
~ 相当于场衰减。于是能量可写成 复频率
损耗功率 PL dW dt，于是
W Wme2 t
0
(31-17)