DS立体几何垂直证明专题(教师版)

空间几何垂直证明专题

一、知识梳理

（一）直线与直线垂直的证明

1) 共面垂直：（1）等腰（等边）三角形中线

（2）勾股定理中的三角形（可求边长） (3) 菱形（正方形）对角线 (4)相似或全等证明直角 2) 异面垂直：

（1）利用线面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

（2）利用面面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

3) 利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，

直于第三条直线。

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互

c

a b

a ⊥∥c

b ⊥⇒l

b l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥βαβαβ

αb

a ⊥⇒ b

α

α

⊥⊂b a a

b ⊥⇒α

a

b

相垂直。

（二）直线与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。

3)利用线面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

4)利用面面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

5)利用常用结论：

①线线平移法：一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。

②面面平移法:

中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

（三）平面与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面

等

α

⊥

b

b

a∥

α

⊥

⇒a

β

α⊥

⇒

l

a

a

l

⊥

⊂

=

⋂

⊥

α

β

α

β

α

b

a

l

αA

α

⊥

⇒

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

l

b

l

a

l

A

b

a

b

a

⊥

⊥

=

⊂

⊂

α

α

α

α

α

∥

b

a⊥

b

a⊥

⇒

β

α

a

l

α

β

α

⊥

a

∥

β

⊥

⇒a

2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面

角），就说这连个平面互相垂直。 3) 利用面面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

二、题型全归纳

题型一、线线垂直

类型一、共面垂直

【例题】如图，在四棱锥S −ABCD 中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱SA =4，AC 与BD 相交于点O ．

(1)证明：SO ⊥BD ；

(2)求三棱锥O −SCD 的体积． 【答案】证明：(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥BD ，

∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC ，

又SA ⊂平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，SA ∩AC =A ， ∴BD ⊥平面SAC ，∵SO ⊂平面SAC ， ∴SO ⊥BD ．

(2)∵四边形ABCD 是边长为1的正方形， ∴S △OCD =1

4S 正方形ABCD =1

4×12=1

4

．

∴V O−SCD =V S−OCD =1

3S △OCD ⋅SA =1

3×1

4×4=1

3．

【解析】(1)由SA ⊥平面ABCD 可得SA ⊥BD ，又AC ⊥BD ，故BD ⊥平面SAC ，于是BD ⊥SO ； (2)V O−SCD =V S−OCD =13S △OCD ⋅SA ．

本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．

【变式训练1.1】在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AD =2AB ，E ，F 是线段BC ，AB 的中点． (Ⅰ)证明：ED ⊥PE ；

(Ⅱ)在线段PA 上确定点G ，使得FG//平面PED ，请说明理由．

α

β

⊂⊥a a β

α⊥⇒a

α

β

【答案】(本题满分为12分)

解：(Ⅰ)证明：由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA.连接AE，

因为AD=2AB，

所以由勾股定理可得DE⊥AE．

所以DE⊥平面PAE，

因此PE⊥ED.…(6分)

(Ⅱ)过点F作FH//ED交AD于点H，则FH//平面PED，

AD．

且有AH=1

4

AP．

再过点H作HG//DP交PA于点G，则HG//平面PED，且AG=1

4

由面面平行的判定定理可得平面GEH//平面PFD，

进而由面面平行的性质得到EG//平面PFD，

从而确定G点位置.…(12分)

【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD先证明DE⊥PA.连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面PAE，即可得证PE⊥ED．

(Ⅱ)过点F作FH//ED交AD于点H，再过点H作HG//DP交PA于点G，通过证明平面GEH//平面PFD，然后证明EG//平面PFD．

本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．

类型二、异面垂直（由线构面）

【例题】如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在平面ABC内的

射影D在AC上，∠ACB=90∘，BC=1，AC=CC1=2．

(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；

(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为√3，求二面角A1−AB−

C的大小．

【答案】解：(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC

∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，

由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，