初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题16 相似三角形的性质

专题16 相似三角形的性质

阅读与思考

相似三角形的性质有：

1. 对应角相等；

2. 对应边成比例；

3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；

4. 周长之比等于相似比；

5.

面积之比等于相似比的平方.

性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.

如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长.

H

G

E

F D C

B

A

例题与求解

【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）

解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换.

G

E

F

D

C

B

A

【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =，

则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题）

A.1:9:36

B.1:4:9

C.1:8:27

D. 1:8:36

解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积.

G

E

F

D C

B

A

【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题）

解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.

t 1

t 2

t 3

I P H

G

E

F D

C

B

A

如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：

① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ；

② 1HG IE DF

BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI

BC AC AB

++=； ④

2ABC S =△.

上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.

【例4】如图，△ABC 中，O 是三角形内一点，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠.

求证：2BC AC AB =⋅. （北京大学自主招生考试试题）

解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设P 是△ABC 内一点，满足

PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，称点P 是△ABC 的布洛卡点，则有 cot cot cot cot BAC ABC ACB θ∠+∠+∠=.

O

C

B

A

【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，5DC =

，AB =，45B ∠=︒. 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间为t 秒. （1）求BC 的长；

（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；

（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形. （济南市中考试题） 解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.

在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.

M

C

B

【例6】 设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△A 2B 2C 2的面积为S 212()S S <，当△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且

1

2

0.30.4S S ≤

≤时，则称△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ， 30B ∠=︒，60BCD ∠=︒，连接AC . （厦门市中考试题）

（1）若AD =DC ，求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”；

（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.

解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..

E

D

C

B

A

能力训练

A 级

1. 如图，在△ABC 与△BED 中，若5

3

AB BC AC BD BE DE ===，且△ABC 与△BED 的周长之差为10cm ，则△ABC 的周长为

cm.

F

E

C

A

D

B

C

A

D

B

E

D

C

B

A

（第1题） （第2题） （第3题）

2. 如图，△ABC 中，:1:2CE EB =，DE ∥AC . 若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为 . （苏州市中考试题）