小波分析简介

小波分析简介
报告人：胥柏香 程荷兰 指导老师：苏先樾
主要内容
Fourier变换与信号时频局部化分析 Fourier变换与信号时频局部化分析 连续小波变换 二进小波变换 L2（R）的多尺度分析 正交小波变换 小波分析的应用实例
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Fourier变换 (一) Fourier变换 与信号时频局部化分析
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允许小波的定义： 设 ψ ∈ L2 ∩ L1 且满足
ˆ |ψ(ω) |2 Cψ = ∫ dω < ∞ −∞ | ω |
+∞
（*）
则ψ 叫做允许小波，而条件（*）被称 为“允许性”条件。
“允许性”条件是连续小波变换重构定 允许性” 允许性 理存在的必要条件。 理存在的必要条件。
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令 Wb,ω (t ) = e iωt w(t − b )，则短时FT为
+∞
Parseval 恒等式
1 ˆ ˆ ~ (Gb f )(ω) = ∫ f (t )Wb,ω (t )dt = f ,Wb,ω = f ,Wb,ω 2π −∞
ˆ 可以证明 Wb,ω 和 Wb,ω都是窗函数，其确定 的矩形窗口为
1 2
该窗函数所确定的频域窗 [ω 0 − ∆ w , ω 0 + ∆ w ] ˆ ˆ
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一个时域函数为窗函数，并不一定其 Fourier变换也为窗函数。只有当、同 时为窗函数时，才能在相空间确定一 个矩形窗口: [t 0 − ∆ w , t 0 + ∆ w ]× [ω 0 − ∆ w ,ω 0 + ∆ w ] ˆ ˆ
时间和频率是描述信号的两个最 重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
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Fourier变换（FT）: Fourier变换（FT） 变换
ˆ f (ω ) =
+∞ −∞
∫ f (t )e
− iω t
dt
离散Fourier变换: 离散Fourier变换: Fourier变换
− 1 2
b ∈ R, a ∈ R − {0}
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连续小波函数的性质
1. 3.
ψ a ,b
2. ψ a ,b (ω ) = ae −ibωψ (aω ) ˆ ˆ
2
=ψ
2
如果 ψ 的中心及半径分别为 t 0、∆ψ ，则 ψ a,b 确定的时频窗口为：
ω0 ∆ψ ω0 ∆ψ ˆ ˆ [at0 + b − a∆ψ, at0 + b + a∆ψ]× − , + a a a a
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的卷积形式连续小波变换定义为
)
内积型、卷积型连续小波互换公式
(
1 1 ~ x −t t −x ψ Wψ f (s, x ) = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t )h dt sR sR s s = sgn(s ) s = sgn(s ) s
− 1 2
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(六)小波分析在单自由度 小波分析在单自由度 动力分析中的应用
1. 分析原理 2. 算例
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有待讨论和进一步学习的问题
正交小波构造的进一步讨论 正交小波包 双正交小波变换 小波分析的更广泛应用
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谢 谢 ！
2003. 6. 5
信号时频分析的重要性：
1. 信号与Fourier变换 2. 时频局部化分析
相空间与窗函数 短时Fourier变换
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(二) 连续小波变换
1. 连续小波函数 2. 常见小波函数举例 3. 连续小波变换
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(三) 二进小波变换 1. 二进小波变换的定义 2. 二进小波的构造 3. 有限信号二进小波变换 的算法及应用
[t0 + b − ∆w,t0 + b + ∆w ]×[ω0 +ω − ∆w,ω0 +ω + ∆w ] ˆ ˆ
短时FT同时给出了函数时域和频域的信息
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窗函数 Wb ,ω 的特点：
随着 b , ω 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口 来提取被变换函数的信息； 函数族 确定的时频窗口只是随 发 b,ω Wb ,ω 生平移，窗口的大小和形状固定不变.
)
1 t −x ∫ f (t )h s dt sR
−
1 2
(Wh f )(s, x)
•两种连续小波变换的本质相同； 两种连续小波变换的本质相同； 两种连续小波变换的本质相同 •卷积型连续小波ψ s 在信号分析中看作一个系统作用，因 卷积型连续小波 在信号分析中看作一个系统作用， 此小波变换可以看成是输入信号在系统下的响应 。
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da ∫∫ (Wψ f )(a, b)ψ a,b (t ) a 2 db R2
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二进小波变换
函数 ψ ∈ L ∩ L 称为二进小波，如果 存在常数A、B，使得 2 k （**） ˆ A ≤ ψ (2 ω ) ≤ B
2 1
∑
k∈ k ∈z
W 函数序列 { 2 f }j∈叫做 f 的二进小波变换， z
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实际中信号分析的要求： 信号高频部分对应时域中的快变成分，如 陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对 时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分 析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要 求高。 因此，短时Fourier变换不能敏感地反映 信号的突变，不能很好地刻画信息。
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窗口中心： 窗口中心：
(at0 + b,ω0 a)
ω
时间窗半径： 时间窗半径： a∆ψ 频率窗半径： 频率窗半径：∆ψˆ a 窗口面积： 窗口面积： 4 ∆ψ ∆ψˆ
t
连续小波函数窗口的“变焦”特性:
当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察 的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动； 当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察 范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.
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窗函数的举例
Gaussian 函数
α >1
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短时Fourier变换
ˆ 若w(t ), w(ω ) 都是窗函数， 则短时Fourier变换定义为
~ (Gb f )(ω ) =
+∞
−∞
∫
f (t )e −iωt w(t − b )dt
短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
1 2
该窗函数所确定的时间窗 [t 0 − ∆ w , t 0 + ∆ w ]
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窗函数的定义实际上就是对函数衰 减性的控制，也就是说窗函数具有在坐 标轴上具有很好的衰减性，从而达到对 坐标轴进行局部化的目的。窗函数所确 定的窗口是对它的局部性的一次刻画， 它是可用来对信号进行时频局部化分析 的基本函数，而窗函数本身则可由窗口 的尺度来表征其局部性，若 ∆ w 越小，则 说明 w(t ) 在时域上的局部化程度越高。
ψ
f ,ψ a,b = a
−
1 2
t −b ∫ f (t )ψ a dt R
2 f ∈ L，信号 f
定义2 定义2 设 ψ 是基本小波，对
(
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1 ~ x −t Wψ f (s, x ) = f ∗ψ s (x ) = ∫ f (t ) ψ dt sR s
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一维连续小波的例子：
3. Morlet小波：
ψ(t) = e e
jωt -t 2 / 2
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一维连续小波变换 {ψ 是其生成的连 定义1 定义1 设 ψ 是基本小波， a,b } 续小波，对 f ∈ L2 ，信号 f 的内积形 式连续小波变换定义为
(W f )(a, b) =
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(四) 多尺度分析
1. 多尺度分析的基本概念 2. 双尺度差分方程 3. 多尺度分析举例
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(五)一维正交小波变换 1. 正交小波与小波级数 2. 正交小波与多尺度分析的关系 3. 一维正交小波变换 4. 离散信号的一维正交小波变换 5. 正交小波变换的矩阵形式 6. 正交小波与二进小波的比较
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连续小波函数定义：
ˆ ψ ∈ L2 ∩ L1且ψ (0) = 0 ，则下面的函数族 { a,b } ψ 设
叫小波分析或连续小波，ψ 叫基本小波或 小波。若ψ 是窗函数，就叫为窗口小波 函数，一般我们恒假定ψ 为窗口小波函数。
t −b ψ a,b (t ) = a ψ a
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一维连续小波的例子：
1. Haar小波：
1, 0 ≤ t ≤ 1/2 ψ(t) = - 1, 1/2 < t < 1 0, others 0,
பைடு நூலகம்
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一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波：
ψ(t) =
2 2 −1 / 4 π (1 - t 2 ) e-t / 2 3
i
2πmn N
逆变换
1 ˆ x(n) = ∑ X (m)e N m=0
N −1
−i
2πmn N
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FT在信号处理中的局限性 用傅立叶变换提取信号的频谱需要 利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的 变化信号频率成分的变化情况。
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在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范 围中的特征, 例如： 在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么 样的音符； 对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什 么样的反射波； 图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分 的位置，即纹理结构。 这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析
j
1 W2 j f ( x ) = f ∗ψ 2 j ( x ) = j 2
∫
R
x −t f (t ) j dt ψ 2
（**）称为稳定条件，当A=B时称为最稳定条件
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二进小波变换的几点说明
2∆ω
ω0
t0
2 ∆ ωˆ
窗口中心： (t 0 , ω 0 ) 窗口面积： 4∆ w ∆ w ˆ
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Heisenberg测不准原理
设 w(t ) 能确定一个矩形窗，则：
∆ w∆ w ˆ
1
1 ≥ 2
t2 exp − 2 等号成立. 当且仅当 w(t ) = 14 12 (2π ) ∆ w 4∆ w
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一维连续小波重构定理 ψ 允许小波，则对 f , h ∈ L2 (R ) ，有 设是
da ∫∫ (Wψ f )(a, b)(Wψ h)(a, b) a 2 db = Cψ f , h R2
而且，对任意 f ∈ L2及t ∈ R ，在 f 的连 续点处，有
1 f (t ) = Cψ
(F {c k })(ω ) = ∑ c k e ikω
k = −∞
+∞
数字信号的离散Fourier变换就是以数字信号为系数的 变换就是以数字信号为系数的 数字信号的离散 Fourier级数 级数
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有限数字信号的 FT
正变换
ˆ X (m ) =
∑ x (n )e
n =0 =0
N −1
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相空间是指以“时间”为横坐标， 相空间是指以“时间”为横坐标， 是指以 频域”为纵坐标的欧氏空间， “频域”为纵坐标的欧氏空间，而相空 间中的有限区域被称为窗口 窗口， 间中的有限区域被称为窗口，沿时间轴 的一段区间被称为时间窗 时间窗， 的一段区间被称为时间窗，沿频率轴的 频率窗。 一段区间被称为频率窗 一段区间被称为频率窗。
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w(ω ) ∈ L1 (R ), 且ωw(ω ) ∈ L2 (R ) , 如果函数 ˆ
ˆ 则 w(ω )被称为窗函数.它的中心和半径分别 定义为： +∞ 1 2 ˆ ω0 = ω w(ω ) dω 中心： 2 ∫
ˆ w
2 −∞
半径：
+∞ 1 2 2 ˆ ∆w = ∫ (ω − ω 0 ) w(ω ) dω ˆ ˆ w 2 −∞
ω
t
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窗函数的数学定义 如果函数 w (t ) ∈ L1 (R ), 且 tw (t ) ∈ L 2 (R ) ,
则 w (t )被称为窗函数.它的中心和半径分别 定义为： +∞ 1 2 t0 = t w (t ) dt 中心： 2 ∫
w
2 −∞
半径：
+∞ 1 2 2 ∆w = ∫ (t − t 0 ) w(t ) dt w 2 −∞