22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析

通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物线的 实际问题转化为二次函数的问题.
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
当水面下降1m2时，水面的纵坐标为
（3）若正常水位时，有一
艘宽8米，高2.5米的小船 能否安全通过这座桥？
C
10
D
A
20
B
y （4，4）
20 9
a 1
4
0
如图，建立平面
3
8
x
直角坐标系，
9
y 1 x 42 4
9
当x 8时，y
(0≤x≤8)
20 9
点（4，4）是图中这段抛物 ∵篮圈中心距离地面3米
线的顶点，因此可设这段抛
y 1
当 y 1 时，x 6 2
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
0X
注意:
在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标 系.
总结:
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路: 1.建立适当的平面直角坐标系 2.根据题意找出已知点的坐标 3.求出抛物线解析式 4.直接利用图象解决实际问题.
物线对应的函数为：
∴此球不能投中
y ax 42 4 (0≤x≤8)
抛物线经过点 0，20
20
a0
42
4
9
9
探究2： y
0
(-2,-2)
●
(2,-2)
●
l
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y ax2
由抛物线经过点（2，-2），可得
x
a1
2
所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 x2 2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3
当 y 3 时，x 6
所以，水面下降1m，水面的宽
度为 2 6m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
22.3实际问题与二次函数（3） ---拱形问题
回顾旧知：
图象
总结 抛物线的顶点在_原__点_，对称轴为_y_轴__ 抛物线解析式的形式为__y_=_a_x__2 _.
抛物线的顶点在y_轴__上_，对称轴为_y_轴__ 抛物线解析式的形式为y_=__a_x_2+_k__.
抛物线的顶点在_X_轴上，对称轴平行于_y_轴 抛物线的形式为_y_=_a_(_x_-_h_)_2.
y
(0,2)
●
(-2,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y=ax2+k y=a(x-x1)(x-x2）
由抛物线经过点（0，2），可得
(2,0)
●
X
y=ax2+2 由抛物线经过点（2，0），可得
a1 2
所以，这条抛物线的解析式为：
y=-1x2+2 当水面下降12m时，水面的纵坐标为
y=-1
当 y 1 时，x 6 2