第3、4章地图投影2三种常用投影

❖ 大圆航线是地球面上任意两点间的最短距离。
❖ 远洋航行时两者结合。
（即在球心投影图上，起、终点连成直线即为大圆航线，
然后把该大圆航线所经过的主要特征点转绘到墨卡托投影 图上，依次将各点连成直线，各段直线就是等角航线。航 行时，沿此折线而行。）
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球心投影图上的等角航线和大圆航线 31
墨 卡 托 投 影 上 的 等 角 航 线 和 大 圆 航 线 32
国际百万分之一地图
投影的几何概念：
1:100万地图分幅大小
经差6×纬差4
（1）为减少投影误差，按纬差4分带投影：从赤道开始，
纬差4为一带，共分为15个投影带（中国范围：北纬0－60）。
（2）实际投影时，每幅图单独投影。同一投影带中，只需
计算一幅图的投影，其余图共用计算结果。
（3）标准纬线的位置 ：
切投影仅适合制作赤道附近沿纬线延伸地区的地图。 割投影适合制作沿纬线延伸地区的地图。 两者均不适合制作高纬度地区的地图。
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❖ 等角航线是地面上两点间同所有经线构成相同方位 角的一条曲线。等角航线又名恒向线、斜航线。 在墨卡托投影中它成为两点之间的直线(墨卡托投影
是等角投影，而经线又是平行直线，那末两点间的一条等 方位曲线在该投影中当然只能是连接两点的一条直线)。
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❖ 16世纪荷兰地图学家墨卡托(Mercator)所创造的，故又称 为墨卡托投影，属于正轴等角圆柱投影，是广泛应用于航 海、航空方面的重要投影之一。
❖ 该投影赤道上的长度比为最小，两极的长度比为无穷大。 面积比是长度比的平方，所以面积变形很大。
例如，格林兰岛的实地面积仅是南美洲的1/8左右，但从等 角圆柱投影图上看，它比南美洲还大（如图）。
❖ 2．横轴方位投影: 切点在赤道（φ=0。）除经过切点的经 线和赤道投影为直线外，其余经纬线都是曲线，主要用于 东、西半球图。
❖ 3．斜轴方位投影: 切点在任意纬度（0。＜φ＜90。）除经 过切点的经线投影为直线外，其余经纬线都为曲线，主要 用于编大陆半球图、大洲图、大洋图，全球航空图以及机 场为中心的航行半径图，地震带的范围图，大城市交通图 等。
1 = s + 40 2 = N - 40
由于每幅图的纬差仅为4°，因此投影的变形极小，长度变形 在边纬与中纬上为±0.030％，面积变形约为长度变形的两倍。
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拼接裂隙： 投影的特点决定了：
图幅的东西方向拼接不会产 生裂隙；但南北方向拼接时， 因投影带不同，会产生裂隙。
sin 2cos Lsin
空间斜轴墨卡托投影 （Space Oblique Mercator Projection）
美国针对陆地卫星对地面扫描图像的需要 而设计的一种近似等角的投影。
这种投影与传统的地图投影不同，是在地 面点地理坐标（λ，φ）或大地坐标（x，y， z）的基础上，又加入了时间维，即上述坐标 是时间t的函数,在四维空间动态条件下建立的 投影。空间斜轴墨卡托投影简称SOM投影。
三种常用几何投影
圆锥投影 圆柱投影 方位投影
1
几何投影: 源于透视几何学原理，以几何特征为依据，将椭球
面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。
2
一、圆锥投影(conic projections):
以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面 上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

r2U
2

tan 45
U
2 ,sin e sin
tane 45
2
9
面积比等 变形线
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投影变形规律：
（1）无角度变形； （2）等变形线和纬线一致，同一条纬线上变形处处相等； （3）两条标准纬线上没有任何变形； （4）同一经线上，两标准纬线外侧为正变形 （1），
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正轴投影的经纬线形状
a.正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆； b.正轴圆柱：经纬线均为一组平行的直线， 纬 线与经线垂直； c.正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心 圆。
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练习： 一、判断题
1. 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基
准面。
√
2. 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 √
裂隙距 裂隙角 图幅经差 L 边长
当纬度较低时，裂隙角增大， L也增大，裂隙距自然也增大。
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思考： 正轴圆锥投影的变形分布规律？
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正轴投影的变形特点
①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同 的，等变形线的形状是与纬线取得一致的同心圆弧；
②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n。=1，其余纬线上 长度比均大于1，并向南、北方向增大；
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二、圆柱投影(Cylindrical projections):
以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面 上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。
正轴：圆柱轴与地轴重合； 横轴：圆柱轴与地轴垂直； 斜轴：圆柱轴与地轴斜交；
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正轴圆柱投影的经纬线形状图
正轴的圆柱投影其经纬线为 相互垂直的两组平行直线。
3. 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体
看，采用地心经纬度。
√
4. 在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。
5. 球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或
褶皱。
√
6. 长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向
的Baidu Nhomakorabea化而变化。
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2、双标准纬线等角圆锥投影
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投影公式：


K U
,


x s cos
y sin
m

n


r

K
rU
P

m2

n2


K
rU
2
0
α, K 均为投影常数：
lg r1 lg r2
lg U2 lg U1
K

r1U1
x s cos y sin
ρ
纬线投影半径
δ
经线夹角的投影
λ
椭球面上经线的夹角
m d Md
α
小于1的常数
n
r
sin a b
2 ab
或者：
tan 45 a
4 b
6
思考： 正轴圆锥投影的变形主要受什么因素影响？
答案：CCAC
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三、多项选择题
1．高斯-克吕格投影用于
地图投影。
A．沿经线延伸区域 B．沿纬线延伸区域 C．1:5千至1:50万 地形图系列 D．亚洲地图
2．等角投影条件可以表示为
A．a=b B．θ=90°，m=n C．m=n D．m=1
3．等距离投影条件可以表示为
A．a=b B．θ=90°，m=n C．a=1 或 b=1 D．θ=90°，
之间为负变形（1）； （5）同一纬线上等经差的线段长度相等。
长度变形的最大部位是： 中间纬线及φS、φN 。
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双标准纬线等角圆锥投影的经纬线特征： 纬线为一系列的同心圆弧； 经线为辐射的直线束。
该投影适用范围： 中纬度地区沿纬线方向分布的制图区域。
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双标准纬线等角圆锥投影的应用特例：
C．等角航行投影为直线 D．纬线投影为圆
（）4．高斯-克吕格投影用于
地图投影。
A．世界地图 B．沿纬线延伸区域 C．1:5千至1:50万地形图系列 D．亚 洲地图
（）5．等角投影条件可以表示为
A．a=b B．m*n=1 C．n=1 D．m=1
答案： BDBCA
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（）6．等距离投影条件可以表示为 A．a=b B．θ=90°，m=n C．a=1 或 b=1 D．n=1 （）7．墨卡托投影纬线上的变形椭圆是 A．大小形状均相同的微分圆 B．大小不变、形状变化的微分椭圆 C．大小变化、形状不变的微分圆 D．m=1的圆或椭圆 （）8．高斯投影中央经线上的变形椭圆为 A．大小形状均相同的微分圆 B．大小不变、形状变化的微分椭圆 C．n=1的圆或椭圆 D．m=1的圆或椭圆 （）9．等角圆锥投影中央经线上变形椭圆是 A．大小形状均相同的微分圆 B．大小不变、形状变化的微分椭圆 C．大小变化、形状不变的微分圆 D．m=1的圆或椭圆
m=1
答案：1、AC 2、AB 3、CD
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课后作业
❖ 掌握：三种几何投影（建立、经纬线形状、变形分布 特点和应用范围）
❖ 掌握：正轴等角割圆锥投影 ❖ 了解：墨卡托投影的应用 ❖ 预习：地图投影的识别与选择
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正轴圆柱投影变形特点： ① 变形随纬度变化，与经差无关； ② 在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道向两侧
随纬度的增加而增大； ③在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，变形自
标准纬线向内和向外增大。
圆柱投影中，等变形线与纬线相合，成为平行直线。 适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。
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东、西半球（横轴方位投影）
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❖ 1．正轴方位投影: 切点在极点（φ=90。）经线为从一点 向外放射的直线束，纬线为以切点为圆心的同心圆。投影 中心为各经线的交点，所以投影后的夹角δ与经差λ相等 即δ=λ，并且因为经线和纬线相互正交。主要作两极地 图。
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二、单项选择题
（）1．在墨卡托投影中，满足
A． n=1 B．等角性质 C．m=1 D．经线为椭圆经线
（）2．任意投影中的变形椭圆是
A．大小形状均相同的微分圆 B．大小不变、形状变化的微分椭圆
C．大小变化、形状不变的微分圆 D．大小形状均变化的微分椭圆
（） 3．在等面积圆柱投影中
A．极点投影为圆弧 B．经线投影为直线
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三、方位投影(Azimuthal projections):
以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经 纬线投影到平面上而成。
根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影， 横轴投影，斜轴投影:
正轴方位投影，投影面与地轴相垂直； 横轴方位投影，投影面与地轴相平行； 斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。
7. 长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。
8. 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变 形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。√
9. 制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，
那么1：100万就是地图的主比例尺。
√
10.等角航线是地球面上两点间的最短航线。
1）纬线为一系列的同心圆； 经线为辐射的直线束。
2）等变形线与纬线一致。 该类投影适合于具有圆形轮 廓的制图区域。
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正轴方位投影变形特点：
① 等变形线与纬圈一致；
②在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大；
③ 在割方位投影中，在所割小圆上
，自所割小圆向
内与向外增大。
2 1
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横轴方位投影
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（正轴方位投影）
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1、方位投影（正轴）的一般公式：

f z
x cos
y sin
1

d
Rdz
2


R sin
z
P 1 2
sin a b
2 ab
或者： tan 45 a
4 b
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2、正轴方位投影的经纬线特征：
③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬线1、2 向内、向外增大，在 1、2 之间n<1,在之外n>1.
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根据圆锥投影的变形特征可以得出结论：圆锥 投影最适宜于作为中纬度处沿纬线伸展的制图区域 之投影。
圆锥投影在编制各种比例尺地图中均得到了广 泛应用，原因如下：
1）地球上广大陆地位于中纬地区； 2）这种投影经纬线形状简单，经线为辐射直线， 纬线为同心圆圆弧，在编图过程中比较方便，特别 在使用地图和进行图上计算时比较方便，通过一定 的方法，容易改正变形。
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正轴：圆锥轴与地轴重合 横轴：圆锥轴与地轴垂直 斜轴：圆锥轴与地轴斜交
横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。 凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。
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对正轴圆锥投影，设区域中央经线投影作为X轴， 区域最低纬线与中央经线交点为原点。
5
1、圆锥投影（正轴）的一般公式：
f