2021高三数学联合诊断性考试2

合集下载

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学【含答案】

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A ．3：1B ．3：2C ．1：3D ．2：35．若存在复数z 同时满足|z －i|＝1，|z －3＋3i|＝t ，则实数t 的取值范围是A ．[0，4]B ．(4，6)C ．[4，6]D ．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋SN )来表示，其中C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a ) C ．f (a )＜f (c )＜f (b ) D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ． x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2 D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x-=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克) [160，180)[180，200)[200，220)[220，240)[240，260) [260，280]数量(单位：只)32 15 20 7 3(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值； (2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．POC BA22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不小于0． (1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．数学解析版 2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2021-2022年高三数学第二次诊断性考试试题理

2021-2022年高三数学第二次诊断性考试试题理说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页，试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选．．．．．项．符合题意） 1. A.RB. C. D.○2.A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是增函数的是A. B. C.D.4.A. B. C. D. 5.已知命题p ：在△ABC 中，“C>B ”是“sinC>sinB ”的充分不必要条件；命题q ：“a>b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是A.p 真q 假B.p 假q 真C.“p ∨q ”为假D.“p ∧q ”为真的定义域为则若)(,)12(log 1)(21x f x x f +={}{}()等于则设集合B A C x x y y B R x x x A R ,21,|,,22≤≤--==∈≤=的值为则已知θθπθθθcos sin ),40(34cos sin -<<=+6.将函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为A. B. C. D.7.则命题已知,0)(),2,0(:,sin3)(<∈∀-=xfxpxxxfππA.)(),2,0(:≥∈∀⌝xfxp；pπ是假命题B.)(),2,0(:≥∈∃⌝xfxp；pπ是假命题C.)(),2,0(:>∈∀⌝xfxp；pπ是真命题D.)(),2,0(:≥∈∃⌝xfxp；pπ是真命题8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是A. B.（-2，1） C.（-1，2） D.9.△ABC中，，则△ABC的周长为A. B.C. D.10.已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+2)+3f(-x)=0,当x[0,2]时，f(x)=x2-2x,则当x[-4,-2]时，f(x)的最小值为A.-1B.C.D.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a , b , c ，且a=15,b=10,A=60°，则cosB= 。

天津市武清区等五区县2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 3．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC + 4．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PF PA的最小值为（） A ．12 B 2C 3D 22 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．3y x =B ．22y x =±C ．52y x =±D ．22y x =± 6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（） A ．85 B ．852 C ．35 D ．3527．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（）A ．1637B ．949C ．937D ．3118．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A ．26B ．4C ．3D ．229．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4- 10．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（）A ．6B ．5C ．4D ．311．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 12．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题理(含解析)

四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】【分析】由两直线平行的条件判断．【详解】由题意，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ；（2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；（2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；（2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。

福建省南平市2021届高三下学期5月第二次质量检测数学试卷,含答案解析

南平市2021年高中毕业班第二次质量检测数学试题本试卷共六页。

考试时间120分钟。

满分150分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{2，3，4}，集合B＝{x|x2－3x＋m＝0}。

若A∩B＝{2}，则B＝A.{1，－2}B.{1，0}C.{1，2}D.{1，3}2.复数z满足zz＝i，则复平面上表示复数z的点位于A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.实轴D.虚轴3.函数f(x)＝xx1212-+·cosx的图象的大致形状是4.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑。

如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2α，则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为A.3sinαB.3cosαC.2sinαD.2cosα5.克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献。

5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋SN)。

它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比。

按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加A.10%B.20%C.30%D.50%6.过点P(2，1)的直线l与函数f(x)＝x1x2--的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则()OA OB OP+⋅=A.5B.25C.5D.107.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：A.不更换设备B.更换为A设备C.更换为B设备D.更换为A或B设备均可8.设函数f(x)＝(x－1)e x，若关于x的不等式f(x)<ax－1有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围是A.(－1，e2]B.(1，22e] C.(1，212e+] D.(212e+，3213e+]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川遂宁市高中2021届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题word版含答案

四川遂宁市高中2021届高三下学期其次次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2021•遂宁模拟）已知集合A=，B={x|（x+3）（2x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．B．C．，∵A=，∴A∩B=，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2021•遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的听力成果（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：依据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：依据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，依据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图供应的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．3．（5分）（2021•遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i ，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）（2021•遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则推断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．故选：A．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本学问的考查．5．（5分）（2021•遂宁模拟）设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：简易规律．【分析】：依据充分条件和必要条件的定义进行推断即可．【解析】：解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）（2021•遂宁模拟）已知向量，若，则实数λ=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2【考点】：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面对量及应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．（5分）（2021•遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N﹣2的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足推断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足推断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足推断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足推断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足推断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】：本题考查循环结构的应用，留意循环的结果的计算，考查计算力量，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．（5分）（2021•遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．4+2B．2+C．2+2D．4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC =，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．（5分）（2021•遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】：抛物线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M′（x0，y0），则∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0）令y=0，则x H=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，故选：D．【点评】：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查同学的计算力量，比较基础．10．（5分）（2021•遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间⊆D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log c（c x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据复合函数的单调性，先推断函数f（x）的单调性，然后依据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：若c＞1，则函数y=c x+t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x+t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．，所以a，b是方程log c（c x+t）=，两个不等实根，即a，b是方程c x +t=c两个不等实根，化简得出：c x+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0故选：B．【点评】：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，推断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有肯定的难度．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．（5分）（2021•遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2﹣x 相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）（2021•遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．则：sinx∈，当sinx=时，函数f（x）的最大值为．【点评】：本题考查的学问要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．17．（12分）（2021•遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，依据分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、争辩，这个学科攻关小组打算选出2名老师做某项试验，方法是先从小组里选出1名老师做试验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做试验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率．【考点】：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）依据分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本大事数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a 1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师大事大事数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1．（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本大事有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本大事有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P==．【点评】：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简洁的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估量的方法，属基础题．18．（12分）（2021•遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又由于PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，由于DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）由于BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查同学的空间想象力量、规律推理力量和运算求解力量，是中档题．19．（12分）（2021•遂宁模拟）已知数列{a n}为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n =，T n为数列{b n}的前n项和，当不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n；（2）由（1）化简b n =，利用裂项相消法求出T n，代入不等式λT n＜n+8分别出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1…（5分）（2）由（1）得，b n ==（），∴T n==（1﹣）=…（8分）要使不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立，只需不等式=+17恒成马上可…（10分）∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…（12分）【点评】：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（13分）（2021•遂宁模拟）已知定点A（﹣2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N 两点．（1）求C的方程；（2）试推断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化为．（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=．由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）（2021•遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe x（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；（3）若对全部的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），依据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类争辩，即可求出a的取值范围．【解析】：解：（1）g'（x）=k（x+1）e x所以g'（0）=k=1…（3分）（2）证明：令G（x）=e x﹣x﹣1，G′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；所以e x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，∴xe x＞（x+1）ln（x+1），所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，所以x=e a﹣1﹣1＜0，从而对全部x＞0，h′（x）＞0；h（x）在…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题．。

安徽省马鞍山市2021届高三第二次教学质量监测(二模)文科数学试题(word含答案)

马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。

下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。

新疆维吾尔自治区2021届高三数学下学期第二次诊断性测试试题理(含解析)

新疆维吾尔自治区2021年普通高考第二次适应性检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2|03x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{|}B x x t =<，若A B ⊆，则实数t 的取值集合是（） A. (2,)+∞ B. [2,)+∞ C. (3,)+∞ D. [3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】先求集合A ，再根据A B ⊆可得t 的范围. 【详解】由203x x +≤-，32<≤-x ，所以{}23A x x =-≤<，因为A B ⊆,{}B x x t =<，所以3t ≥, 故选D.【点睛】本题考查子集关系的应用，解分式不等式，属于基础题.2.设x R ∈，则“1x =”是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数为纯虚数，则210{10x x -=+≠解得1x =，“1x =”是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件，选C.考点：复数的概念，充分条件、必要条件的定义.3.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2396150a a a +-+=，则11S （）A. 35B. 36C. 45D. 55【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的性质2396150a a a +-+=可化为2662150a a -+=，求得6a ，再利用等差数列的求和公式得11611S a =,求解.【详解】由{}n a 是等差数列，得3962a a a +=，因为2396150a a a +-+=，所以2662150a a -+=，65a =，63a =-，又0n a >，得65a =，所以1111161()1111552S a a a =+⋅==，故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列前n 项和的求法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B 【解析】由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．【此处有视频，请去附件查看】5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 240B. 220C. 200D. 260【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可以画出该几何体的直观图,四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧面是矩形，计算侧面与底面面积，可得四棱柱的表面积.【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2下底为8，高为4，腰为5，所以表面积12((28)4)2108102(510)2S =++⋅+⋅+⋅=240.故选A.【点睛】本题考查空间三视图的还原，几何体的面积计算，利用“长对正，宽相等，高平齐，”确定立体图中的元素位置关系和数量关系，考查空间想象能力，推理能力，属于基础题. 6.将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于直线y x =对称，则=)(x f （） A. ln(1)x + B. )1ln(-x C. 1ex +D. 1x e -【答案】C 【解析】【分析】通过已知函数式进行逆变换求()f x ，先把ln y x =作其关于直线y x =的对称图形，得函数x y e =的图像，再把x y e =的图像向左平移一个单位可得所求.【详解】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数x y e =的图像，再把x y e =的图像向左平移一个单位得函数1+=x e y 的图像，所以1()x f x e +=.故选C.【点睛】本题考查函数图像的平移变换与对称变换的应用，理解原变换与逆变换的关系是关键，属于基础题.7.已知x R ∈，sin 3cos x x -=tan 2x =（） A.43B.34 C. 34-D. 43-【答案】A 【解析】【分析】利用sin 3cos x x -=1cos sin 22=+x x 解方程组求出sin x 与x cos ，计算x tan ，再利用二倍角的正切公式求解.【详解】因为sin 3cos x x -=1cos sin 22=+x x，得223cos )cos 1x x +=即25cos 20x x ++=，cos 5x =-或cos 5x =-，所以sin 5x =-sin 5x =1tan 2x =或tan 2x =-，当1tan 2x =时1242tan 21314x ⋅==-；当tan 2x =-时2(2)tan 214x -=-43=，所以4tan 23x =，故选A.【点睛】本题考查同角的三角函数关系及二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题. 8.已知点(,)P a b ，且,{1,0,1,2}a b ∈-，使关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的点P 的概率为（） A.78B.1613 C.34D.58【答案】B 【解析】【分析】先确定{},1,0,1,2a b ∈-所得到的点P 的个数，再判断方程220ax x b ++=为一元一次方程与一元二次方程何时有解，确定此时点P 的个数，然后利用古典概型概率计算公式求解.【详解】因为{},1,0,1,2a b ∈-，所以得到点P 共有4416⨯=个.因为方程220ax x b ++=有实数解，所以440ab -≥，0a ≠，即1ab ≤，当),(b a 取(1,2)，(2,1)，(2,2)时1ab >；又0a =时原方程为20x b +=有解，所以方程220ax x b ++=有实数解的点P 的概率为163131616-=，故选B.【点睛】本题考查古典概型的概率，确定对立事件的基本事件数是本题的关键，属于基础题.9.设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点),(00y x P ，满足0022x y -=，则m 的取值集合是（）A. 4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作出线性约束条件对应的可行域，变动边界直线x m=-与直线y m=，确定可行域上的点(,)m m-在直线22=-yx的下方时可行域与直线22=-yx有公共点，列不等式220m m--->求解.【详解】因为关于x，y的不等式组210x yx my m-+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y，满足0022x y-=，所以可行域与直线22=-yx至少有一个公共点.变动直线x m=-与直线y m=，当点(,)m m-在直线22=-yx的下方时符合条件，所以220m m--->，得23m<-.故选C.【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解题的关键，属于中档题.10.O是ABC∆的外接圆圆心，且0OA AB AC++=，1OA AB==，则CA在BC方向上的投影为（）A.21- B.32-C.12 D.32【答案】B【解析】【分析】化简0OA AB AC++=为OB CA=，则在圆O中四边形ABOC为菱形且一个夹角为60°，确定CA与BC的夹角为150，利用向量数量积的几何意义可得.【详解】由0OA AB AC ++=，得OB CA =,所以四边形ABOC 是平行四边形.又O 是ABC ∆外接圆圆心，所以OC OB OA ==，所以四边形ABOC 是菱形，且60ACO ∠=,所以BC 平分ACO ∠，所以ACB 30∠=,即CA 与BC 的夹角为150，因为1OA AB ==，所以CA 在BC 方向上的投影为cos150CA =-.故选B. 【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.11.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，若在椭圆上存在一点P ，使得21F PF ∆的内心与重心G 满足12//IG F F ，则椭圆的离心率为（）A.2B. 23C.13D. 12【答案】D 【解析】【分析】设P 点坐标，得三角形的重心G ，由IG ∥12F F 可得21F PF ∆内心I 的纵坐标即内切圆半径，利用面积关系列出关于a,c 的等式进行求解.【详解】设),(00y x P ，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，则21F PF ∆的重心00(,)33x y G .因为IG ∥12F F 所以21F PF ∆内心I 的纵坐标为3y .即21F PF ∆内切圆半径为03y .由三角形21F PF ∆面积12121()2S PF PF F F r =++，12012S F F y =，及椭圆定义122PF PF a += 得0011(22)2232y a c c y +=，解得21=e ，故选D.【点睛】本题考查椭圆的离心率，列出关于a,c 的方程是关键，属于基础题 12.已知函数1()0.5f x x =-+，()2cos g x x π=，当)2,3(-∈x 时，方程()()f x g x =的所有实根之和为（）A. -2B. -1C. 0D. 2【答案】A 【解析】【分析】作出函数()f x ，()g x 在)2,3(-的图像，判断图像的对称性，观察图像的交点个数，利用对称性求出所有交点横坐标的和可解.【详解】作出函数()f x ，()g x 在1(,2)2-的图像，由反比例函数及三角函数性质()f x ，()g x 的图像都关于点P 1(,0)2-对称，所以它们的交点关于点P 对称.两个函数图像在1(,2)2-有2个交点，所以方程()()f x g x =在)2,3(-有4个根，141x x +=-，231x x +=-，所有实根之和为12342x x x x +++=-.故选A.【点睛】本题考查函数的图像与方程根的问题，函数图像的对称性，属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.观察下列事实：（1）1x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为4；（2）2x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为8； ……则505x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为__________．【答案】2021 【解析】【分析】观察（1）（2）中方程不同整数解(),x y 的个数是方程右侧数的4倍，利用归纳推理可得所求方程整数解的个数.【详解】由（1）1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4；（2）2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8；······方程不同整数解(),x y 的个数是方程右侧数的4倍，所以505x y +=的不同整数解(),x y 的个数为5054⨯=2021.故答案为2021.证明：作出曲线505x y +=，图像为菱形，且图像关于原点及x 、y 轴对称.0x >，0y >时505x y +=，x 可以取1,2,3，···，504，有504个整数解，及(505,0),(0,505),(505,0),(0,505)--，所以共有整数解4504+4=2020⨯个.【点睛】本题考查归纳推理的应用，关键由所给等式找出其内在规律，属于基础题.14.若二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为160-，则()2031a x dx -=⎰______. 【答案】6 【解析】【详解】注意到(616rrrr T C x x -+⎛= ⎝()662261r rr r r C a x ---=- ()6361r r r r C a x --=-. 令30r -=.则3r =.由常数项为3336201602C a a a -=-=-⇒=.故()()223316axdx x x -=-=⎰.15.在四面体A BCD -中，5=AB ，3BC CD ==，32=DB ，4AC =，60ACD ∠=︒，则该四面体的外接球的表面积为__________．【答案】25π 【解析】【分析】由已知222AB BC AC =+，利用余弦定理得AD ，得222AB BD AD =+，确定四面体外接球的直径为AB ，即可计算球的表面积.【详解】因为5,3,4AB BC AC ===，所以222AB BC AC =+,所以AC BC ⊥.在△ACD 中3,4,60CD AC ACD ==∠=,由余弦定理2224324cos6013AD =+-=，又BD =222AB BD AD =+,所以BD AD ⊥，所以AB 是两个圆的直径，所以AB 是四面体A-BCD 的外接球的直径，25R =，52R =，所以该四面体的外接球的表面积为25S π=.故答案为25π. 【点睛】本题考查球的表面积，组合体的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力，属于中档题.16.已知函数()32f x x ax =-在()1? 1?-，上没有最小值，则a 的取值范围是________________．【答案】1,-∞（）【解析】【分析】先求导，利用f′（x ）=0时，x=0或x=23a,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a 的范围. 【详解】∵f （x ）=x 3﹣ax ，∴f′（x ）=3x 2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x ）=0时，x=0或x=23a , （1）当23a ∈（﹣∞，﹣1]时，即a 32≤-时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f （x ）取得最小值，所以舍去. （2）当-1<23a <0时，f(x)在（-1，23a ）单调递增，在（23a，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意()32f x x ax =-在()11-，上没有最小值，则有()()2101a 0.301a f f ⎧-<<⎪⇒-<<⎨⎪>-⎩（3）当a=0时，f(x)=3 x 在()11-，上显然没有最小值，故成立. （4）当0<23a <1时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，23a ）单调递增减，在（23a，1）单调递增，由题意()32f x x ax =-在()11-，上没有最小值，则有()201330a .2213aa f f ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎛⎫⎪>- ⎪⎪⎝⎭⎩（5）当213a ≥时，即a 32≥时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减，此时f(x)在()11-，上没有最小值. 综上：a>-1. 故答案为1,∞-（）. 【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()n n a S n N ++=+∈，且212a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log (1)n n n n b a a n =+-⋅，求数列}{n b 的前n 项和n H .【答案】（Ⅰ）12()n n a n N -+=∈；（Ⅱ）4(2)2(2)23(2)2(21)2nn n n n n k H n n n k +⎧-⨯+=⎪⎪=⎨-⎪-⨯-=-⎪⎩，其中+∈N k ..【解析】【分析】（Ⅰ）由11n n a S +=+，得11n n a S -=+，相减可得等比数列的公比，再由211a S =+及212a a =得到首项1a ，利用等比数列通项公式求解.（Ⅱ）由n a 求出1(1)2(1)n n n b n n -=-+-，利用错位相减法先求{}1(1)2n n --的前n 项的和，讨论n 求{}(1)n n -的前n 项和，可得所求.【详解】解：（Ⅰ）∵11n n a S +=+，∴当2n ≥时，11n n a S -=+，又11n n a S +=+，∴()122,n n a a n n N ++=≥∈，又∵21111a S a =+=+，212a a =解得：11a =. ∴()12n n a n N -+=∈.（Ⅱ）∵()()()12log 1121nnn n n n b a a n n n -=+-⨯=-⨯+-⨯，设数列(){}112n n --⋅的前n 项和为nT ，则有()()0121021222...12n n T n n N -+=⨯+⨯+⨯++-⨯∈ (1)∴()()1232021222...12n n T n n N +=⨯+⨯+⨯++-⨯∈……（2）由（2）-（1）得：()222n n T n =-⨯+. 当n 为偶数时，()()()222123 (12222)n n n n H n n n n =-⨯+-+-+--+=-⨯++ ()4222n n n +=-⨯+. 当n 为奇数时，()()()1222123 (12222)n n n n H n n n n n -=-⨯+-+-+---=-⨯++- ()3222n n n -=-⨯-. 故()()()()42222322212nn n n n n k H n n n k +⎧-⨯+=⎪⎪=⎨-⎪-⨯-=-⎪⎩，其中k N +∈.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，通项n a 与n S 的关系，考查错位相减法求和,考查分类讨论、运算能力，属于中档题.18.如图，在直三棱柱中111A B C -A BC 中，AB ⊥AC ， AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．【答案】【解析】试题分析：因为直线AB 、AC 、两两垂直，故以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）向量11,A B C D 分别为直线A 1B 与C 1D 的方向向量，求出11,A B C D 的坐标，由空间两向量夹角公式111111cos ,A B C D A B C D A B C D⋅=可得向量11,A B C D夹角的余弦值；（2）设平面的法向量为1(,,)n x y z =，又1(1,1,0),(0,2,4)AD AC ==，根据法向量定义求出平面的一个法向量1n ，因为平面，取平面的一个法向量为2(0,1,0)n =，先求出1n 与2n 夹角的余弦值，又平面ADC 1与平面ABA 1夹角与1n 与2n 夹角相等或互补。

2021届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

【详解】设球的半径为，由球体的体积公式有，得 .
设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，则，圆柱的高为，
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，时，圆柱的侧面积最大，
圆柱的侧面积的最大值为．
故选：B．
【点睛】关键点睛：一是要巧妙的设出变量，二是要写出侧面积的表达式以及求最值.
8．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（）
9．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】当时，；当时，；而也符合，
∴ ， .又，
【答案】B
【分析】将正四面体放在正方体中观察
对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；
对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交；
对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断；
对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出
【详解】
在棱长为的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体，
【答案】D
【分析】对先化简计算，直接写出虚部.
【详解】，所以虚部为1.
故选：D
3．命题“ ， ”的否定为（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“ ， ”的否定是：，．

湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考(二模)试题文

湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考（二模）试题文注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝A.{－1，0，1，2}B.{－1，0，1}C.{0，1，2}D.{－1，1}2.已知复数z满足(i－1)z＝－i(i为虚数单位)，则|z|＝A.2B.－22C.22D.13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信经济融合、文化包容的命运共同体，自202X 年以来，“一带一路”建设成果显著。

右图是202X－2021年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A.这五年，出口增速前四年逐年下降B.这五年，202X年出口额最少C.这五年，2021年进口增速最快D.这五年，出口额总和比进口额总和大4.下列命题中的真命题是A. x∈N，x2≥1B.命题“∃a ，b ∈R ，2b aa b+>”的否定 C.“直线l 1与直线l 2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于－1”D.“m>－1”是“方程22121x y m m -=+-表示双曲线”的充分不必要条件 5.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kw ·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：若由表中数据求得线性回归方程为：260y x =-+，则a 的值为 A.64 B.62 C.60 D.586.函数(x)＝2|1|x x e -的大致图象是7.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若2AF AE AE ⋅=，则|AF |＝A.3B.5C.32 D.528.设函数f(x)＝2,(1)1,(1)x a x x x -⎧≤⎪⎨+>⎪⎩，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为A.[0，2]B.(1，2]C.[1，2]D.[1，＋∞)9.设a ＝ln 12，b ＝125--，c ＝13log 2，则A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a10.2021年4月，国内新冠疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光，某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：两个旅游团计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元，若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差的绝对值为A.20B.30C.35D.4011.已知函数f(x)＝sin2x，将y＝f(x)的图象向左平移6π得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数h(x)＝f(x)＋g(x)的结论中错误．．的是A.函数h(x)的最小正周期为πB.函数h(x)的图象关于直线x＝23π对称C.函数h(x)的单调增区间为[kπ－6π，kπ＋3π](k∈Z) D.函数h(x)不是奇函数12.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为x－2y＝0，A，B是C上关于原点对称的两点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则k2的取值范围为A[18，14] B.[14，12] C.[－14，－18] D.[－12，－14]第II卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

内蒙古包头市2021届高三数学二模考试试题理(含解析).doc

内蒙古包头市2021届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知i 是虚数单位，复数1111i i--+的共轭复数是（） A. i B. i -C. 1D. -1【答案】B 【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数. 【详解】因为()1i 1i 11i 1i 1i 2+---==-+, 所以共轭复数就是i -. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知集合{}2|0,A x x x x R =+=∈，则满足{}0,1,1A B =-的集合B 的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】先求解集合A ，然后根据{}0,1,1AB =-可求集合B 的个数.【详解】因为{}{}2|0,0,1A x x x x =+=∈=-R ，{}0,1,1AB =-，所以集合B 可能是{}{}{}{}1,0,1,1,1,0,1,1--. 故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量a ，b 满足3a b +=，7a b -=，则a b ⋅=（） A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：2223a ab b+⋅+=，①2227a ab b-⋅+=，②，则①-②即可得解．【详解】因为向量a，b满足||3a b+=，||7a b-=，所以2223a ab b+⋅+=，①2227a ab b-⋅+=，②由①-②得：44a b⋅=-，即1a b⋅=-，故选：C．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算a bad bcc d=-，则函数()1sin21xf xx=的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数()f x为奇函数排除B、D；再根据函数的单调性排除选项C ，即可得到答案．【详解】根据题意得，1()sin 2f x x x =-且函数()f x 为奇函数，排除B 、D ； (0)0f =；当0πx <<时，1()cos 2f x x '=-，令()03f x x ππ'>⇒<<，令()003f x x π'<⇒<<，∴函数()f x 在(0,)π上是先递减再递增的，排除选项C ；故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆C :221x y +=，定点()00,P x y ，直线l :001x x y y +=，则“点P 在圆C 外”是“直线l 与圆C 相交”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点P 在圆C 外，则22001x y +>，圆心到直线l :001x x y y +=的距离1d =<，此时直线l 与圆C 相交；若直线l 与圆C相交，则1d =<，即22001x y +>，此时点P 在圆C 外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 6.某程序框图如图所示，若输入的6N =，则输出的值是（）A. 65B.56 C. 76D. 67【答案】D 【解析】【分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到1,22s k ==经过第二次循环得到112,3263s k =+== 经过第三次循环得到213,43124s k =+== 经过第四次循环得到314,54205s k =+== 经过第五次循环得到415,65306s k =+== 经过第六次循环得到516,6427s =+=66≥ 此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为67故选：D ．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列{}n a 中，24a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则8a =（） A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D 【解析】【分析】根据1a ，3a ，9a 成等比数列可求公差，然后可得8a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，3a ，9a 成等比数列，所以2319a a a =，即有2(4)(4)(47)d d d +=-+，解得2d =，0d =（舍），所以82616a a d =+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.已知1F ，2F 为椭圆E 的左右焦点，点M 在E 上（不与顶点重合），12MF F ∆为等腰直角三角形，则E 的离心率为（）1 1-C.12【答案】B 【解析】【分析】先根据12MF F ∆为等腰直角三角形可得12,MF MF ，结合椭圆的定义可求离心率. 【详解】由题意12MF F ∆等腰直角三角形，不妨设112MF F F ⊥，则11222,MF F F c MF ===，由椭圆的定义可得22c a +=，解得1c a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建,,a b c 间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 803B.603C. 503D.403【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是23+、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积11404(23)4323V=⨯⨯⨯+⨯=，故选：D．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若921axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A 【解析】【分析】先根据921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的各项系数的和为1，求解a ，然后利用通项公式可得常数项. 【详解】因为921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的各项系数的和为1，所以()911a -=，即2a =；9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()()9219183199212r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，令1830r -=得6r =，所以展开式中的常数项为3692672C ⨯=.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数()222cos sin 22x x x x f =+，则()f x 的最大值为（） A. 1 B.52C.32D. 2【答案】B 【解析】【分析】先化简函数()f x ，然后利用()f x 解析式的特点求解最大值.【详解】()223132cos sin cos sin 22222262x f x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，因为sin 16x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以5()2f x ≤. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，点B ､C 分别是圆O 和圆1O 上的点，AB 长为23π，1AC 长为43π，且B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则11A O 与BC 所成角的大小为（） A.3πB.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】【分析】由弧长公式可得1123AO C π∠=，3AOB π∠=，由异面直线所成角的作法可得CBD ∠为异面直线11A O 与BC 所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知1123AO C π∠=，3AOB π∠=，在底面圆周上去点D 且23AOD π∠=，则CD ⊥面AOD ，连接CD ，BC ，BD ，则11//BD AO即CBD ∠为异面直线11A O 与BC 所成角，又2DB =，2DC =，所以4CBD π∠=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题 13.向平面区域(){},|01,01x y x y ≤≤≤≤内随机投入一点，则该点落在曲线21y x =-下方的概率为______. 【答案】4π 【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域{(,)|01x y x ，01}y 及曲线21(0,0)y x x y =-如图， 111OABC S =⨯=正方形，21144S ππ=⨯=阴影．∴向平面区域{(,)|01x y x ，01}y 内随机投入一点，则该点落在曲线21y x =-下方的概率为4P π=．故答案为：4π．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设x ，y 满足约束条件10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的取值范围是______.【答案】[]28, 【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的取值范围．【详解】作出x ，y 满足约束条件，则10101x y y x x +-⎧⎪--⎨⎪⎩对应的平面区域（阴影部分），由23z x y =+，得233z y x =-+，平移直线233z y x =-+，由图象可知当直线233zy x =-+经过点(1,2)A 时，直线233zy x =-+的截距最大，此时z 最大．此时z 的最大值为21328z =⨯+⨯=，由图象可知当直线233z y x =-+经过点(1,0)B 时，直线233zy x =-+的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为21302z =⨯+⨯=，28z ∴故答案为：[2，8]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若543S S -=，392S =，22n S =，则n =______. 【答案】8 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得. 【详解】因为543S S -=，所以53a =，因为392S =，所以232a =，设等差数列的公差为d ，则114332a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111,2a d ==，由22n S =得(1)12222n n n -+⨯=，解得8n =. 故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线y kx =既是曲线1xy e =-的切线，又是曲线()ln y x b =+的切线，则b =______.【答案】1 【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.【详解】设直线y kx =与曲线1xy e =-相切于点()11,e 1xx -，直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切于点()22,ln()x x b +，则1e x k =且11e 1xkx -=，解得11,0k x ==；同理可得21k x b=+且22ln()x b kx +=，解得21,0b x ==；故答案为：1. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三､解答题17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 0b c A +=.（1）若1b c ==，求a 和ABC S ∆；（2）求cos B 的最小值. 【答案】（1）a =ABC S ∆=（2【解析】【分析】（1）利用已知条件求出A 的余弦函数值，然后求解A 的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为1b c ==，代入2cos 0b c A +=，得1cos 2A =-，所以120A =︒，30C B ==︒，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin120sin 30a ︒==︒11sin 1sin 3022ABC S ac B ∆==⨯︒=（2）把余弦定理代入2cos 0b c A +=，得222202b c a b c bc +-+⋅=，解得2222a cb -=.再由余弦定理得22222222232cos 224a c a c a c b a c B ac ac ac-+-+-+===≥=当且仅当223a c =，即a =时，cos B【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题． 18.一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关.现收集了7组观测数据如下表:为了预报一只红玲虫在40︒时的产卵数，根据表中的数据建立了y 与t 的两个回归模型.模型①:先建立y 与t 的指数回归方程(1)0.272 3.849t y e -=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程:(1)0.272 3.849ut =-；模型②:先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543yt =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程:(2)0.367202.543yx =-.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40︒时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.0311131e =，71096e =，82981e =；ln7 1.946=，ln11 2.398=，ln 21 3.045=，ln 24 3.178=，ln66 4.190=，ln115 4.745=，ln325 5.784=）【答案】（1）(1)1131y =，(2)384.657y=（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把40t =︒分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较. 【详解】(1)当40t =︒时，根据模型①，得(1)0.27240 3.8497.031u=⨯-=，(1)7.0311131ye==，根据模型②，得2(2)0.36740202.543384.657y=⨯-=.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和11550.538Q =小于模型②的残差平方和215448.431Q =，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数210.98R =大于模型②的相关指数220.80R =，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程(1)0.272 3.849u t =-计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程(2)0.367202.543yx =-得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合y 与t 的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ；（2）建立坐标系，根据二面角P AC E --的余弦值是63可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得2AC =设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -. 又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0CA=，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m n m n m na ⋅===⋅+，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设F 为抛物线C :22y px =的焦点，A 是C 上一点，FA 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB的中点，且3FB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于M ，N 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值.【答案】（1）24y x =（2）32 【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得p ，则抛物线C 的方程可求；（2）由已知直线1l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =-，与抛物线方程联立，求出||MN ，||DE ，可得四边形MDNE 的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，A 为FB 的中点，A ∴到y 轴的距离为4p， 3||3||42422p p p FB AF ∴=+===，解得2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由已知直线1l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =-．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=． △0>，设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y∴12242x x k +=+，则1221||24(1)MN x x k =++=+；同理设3(D x ，3)y 、4(E x ，4)y ，∴23424x x k +=+，则234||24(1)DE x x k =++=+． ∴四边形MDNE 的面积2211||||8(2)322S MN DE k k ==++．当且仅当1k =±时，四边形BCDE 的面积取得最小值32．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.e 是自然对数的底数，已知函数()()2xf x x x e =-，x ∈R .（1）求函数()y f x =的最小值；（2）函数()()(g x f x f =-在R 上能否恰有两个零点?证明你结论. 【答案】（1）(21f =（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。

江苏省盐城市、南京市2021届高三年级二模数学试题(详解版)

南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i 2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝ ”是“A✶ U B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a⋅c＝b⋅c＝2，则c的模为A．1 B． 2 C．2 D．224．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()RN VN-．已知新冠病毒在某地的基本传染数R＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为A．40% B．50% C．60% D．70%5．计算2cos10sin20cos20︒-︒︒所得的结果为A．1 B． 2 C． 3 D．26．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为A ．12－50B ．17－50C ．21－00D ．35－007．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．28．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，且当x ＞0时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式(x 2－1)f (x )＜0的解集为A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m //α，n //β，α⊥β，则m ⊥n 或m //nC ．若m //α，α//β，则m //β或m ⊂βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α或n ⊂α 10．已知a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若a －b ＝1，则a －b ＜1B ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1C ．若2a －2b ＝1，则a －b ＜1D ．若22log log 1a b -=，则a －b ＜1 11．已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |,则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴C ．f (x )的增区间为2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．f (x )的值域为⎡⎣ 12．已知*n N ∈，n ≥2，p ＋q ＝1，设()22k n kn f k C q-=，其中k ∈N ，k ≤2n ，则 A ．()201nk f k ==∑ B ．()202nk kf k npq ==∑C ．若np ＝4，则f (k )≤f (8)D ．()()0112212nnk k f k f k ==<<-∑∑第II 卷 (非选择题共90分)三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)14．已知椭圆22143x y +=的右顶点为A ，右焦点为F ，以A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于B ，C 两点，若直线BC 过点F ，则R 的值为 ▲ ．15．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝2．若点E 、F 分别为AB ，AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P －ABCD 的外接球所截得的线段长为 ▲ ．16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点()()00x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点()()11x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，称x 2为r 的2次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n+1，记l n+1与x 轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r 的的n ＋1次近似值．设()31f x x x =+-(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为 ▲ ；设33321n n n n x x a x +=+，n ∈N *，数列{}n a 的前n 项积为T n ．若任意n ∈N *，T n ＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①b ＝3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin B A C C --=，c ＝3， ▲ ？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋r ，其中r 为常数．(1)求r 的值；(2)设()221log n n b a =+，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求123100c c c c ++++的值．某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49，求A ，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，……，(x n ，y n )，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-． ②线性相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中111ni ii x y==∑，212.24ni i y ==∑， 4.4≈2.1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C ＝6，AB ⊥B 1C. (1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求BP 的长21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线C ：24y x =于A ，B 两点． (1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若→AT ＝2→TB ，求实数m 的值；(2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ∈[]0π，，a ∈R ． (1)当a ＝12时，求证：f (x )≥0；(2)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值范围．南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数学试题(总分 150 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题共 60 分）一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数 z 1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3＋4i ，则 z 1z 2＝A ．25B ．－25C ．7－24iD ．－7－24i 【答案】A【解析】＋4i)( 3－4i)＝32＋42＝25，故选择A. 2．设集合 A ，B 是全集 U 的两个子集，则“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由韦恩图，A ∩B ＝∅，而显然可得 A ⊆∁U B ，又 A ⊆∁U B ，可得 A ∩B ＝∅，所以“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的充要条件，故选择 C.3．已知 a ，b 是相互垂直的单位向量，与 a ， b 共面的向量 c 满足 a ·c ＝b ·c ＝2，则 c 的模为A ．1 【答案】DB ． 2C ．2D ．2 2【解析】不妨设 a ，b 分别为平面直角坐标系中 x 轴，y 轴上的单位向量，则 a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设 c ＝(x ,y )，则 a ·c ＝x ＝2，b ·c ＝y ＝2，所以 c ＝(2,2)，所以|c |＝ 22＋22＝2 2，故选择 D.4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 R 0，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 人中有 V 个人接种过疫苗(V 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 N R 0(N －V )．已知新冠 N 病毒在某地的基本传染数 R 0＝2.5，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1，该地疫苗的接种率至少为()A ．40% 【答案】CB ．50%C ．60%D ．70%R 0 V【解析】为使 1 个感染者传染人数不超过 1，即 (N －V )≤1，即 R 0 (1－ )≤1，由题 R 0＝N N 2.5，所以 2.5(1－V)≤1 V 60%，即接种率至少为 60%，故选择 C. ，所以可解得N ≥N 2cos10º－sin20º 5．计算所得的结果为 cos20ºA ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】C【解析】cos10° ＝ c os(30° － 20°) ＝ c os30°cos20° ＋ sin30°sin20°＋ 1sin20°. 故 22cos10°－sin20°3cos20° ＝＝ 3，故选择C. cos20°6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如 7 密位写成“0-07”，478 密位写成“4-78”．1 周角等于 6000 密位，记作 71 周角＝60-00，1 直角＝15-00．如果一个半径为2 的扇形，它的面积为 π ，则其圆心角用密6 位制表示为 A ．12-50 B ．17-50C ．21-00D ．35-00【答案】B7π 6 7πS 7 【解析】面积 6 ，半径为 2 的扇形所对的圆心角弧度大小为 θ＝2π·πr 2＝2π·4π＝12π，由题 7 π12意，其密位大小为 6000× 2π ＝1750，故用密位制表示为 17-50.故选择B.x 2 y 27 ．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 作倾斜角 1为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 cos θ ＝4．若|AB |＝|AF 1|，则双曲线 C 的离心率为3 A ．4 B ． 15C ．2D ．2【答案】D1【解析】由双曲线的性质，|AF 1|－|AF 2|＝2a 即|AB |－|AF 2|＝|BF 2|＝2a ，由 cos θ＝知 B 点的4a 215 (c －2) () 21 a横坐－＝1， a 2 b 2c结合 c 2＝a 2＋b 2 消去 b 2 即离心率为 2.故选择 D.，可得a ＝f (x ) 8．已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f ′(x )，且当 x ＞0 时， f ′(x ) ·ln x 0，＋＞x 则不等式(x 2－1)f (x )＜0 的解集为 A ．(－1， 1)C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】设 g (x )＝f (x )·ln x ，则 g'(x )＝f'(x )·ln x ＋f (x )·1(x ＞0)，则由题意 g (x )在(0,＋∞)单调递 x ，增，且由 g (1)＝0 知，当 x ∈(0,1)时 g (x )＜0，当 x ∈(1,＋∞)时 g (x )＞0，又由 g (x )＝f (x )·ln x ，故有 x ∈(0,1)或(1,＋∞)时 f(x)＞0.因为 f (x )为奇函数，所以 x ∈(－∞,－1)或(－1,0)时 f (x )＜0. 综上(x 2－1) f (x )＜0 的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择 B.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 对于两条不同直线 m ，n 和两个不同平面 α，β，下列选项中正确的为 A ．若 m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则 m ⊥n B ．若 m //α，n //β，α⊥β，则 m ⊥n 或 m //nC. 若 m //α，α//β，则 m //β 或 m ⊂βD. 若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n //α 或 n ⊂α【答案】ACD 【解析】略10．已知 a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若 a － b ＝1，则 a －b ＜1B ．若 a 2－b 2＝1，则 a －b ＜1C ．若 2a －2b ＝1，则 a －b ＜1D ．若 log 2a －log 2b ＝1，则 a －b ＜1 【答案】BCa 2－b 2 1【解析】a －b ＝( a － b )( a ＋ b )＝ a ＋ b ＞ a － b ＝1，A 错误；a －b ＝ a ＋b ＝a ＋b 1 ＜，a －b ＜1，B 正确；2a －2b ＝1＝2b (2a －b －1)＞2a －b －1，a －b ＜1，C 正确；log 2a a －b －log 2b ＝1＝log a，a ＝2b ，a －b 无法判断，D 错误；故选择BC.2b 11．已知函数 f (x )＝ |sin x |＋ |cos x |，则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴π，k ⊥Z D ．f (x )的值域为[1，4 8]C ．f (x )的增区间为[k π，k π ＋2] 【答案】ABD【解析】A 显然正确；注意到 f (－x )＝ |sin(－x )|＋ |cos(－x )|＝ |sin x |＋ |cos x |＝f (x )， π＝1， π＝4 8，C 错误；f (x )＝ |sin x | 故 y 轴为 f (x )的一条对称轴，B 正确；注意到 f (0)＝f (2) f (4) k π π(k ∈Z )时，取“＝”，又 f (x )＝＋ |cos x |≤(1＋1)(sin x ＋cos x )≤ 4 8，当且仅当 x ＝＋24|sin x |＋ |cos x |≥ |sin x |2＋ |cos x |2＝|sin x |＋|cos x |≥1，当且仅当 x ＝k π(k ∈Z )时，取2 “＝”，D 正确；故选择ABD.k * k 2n － k12．已知 n ⊥N ，n ≥2，p ，q ＞0，p ＋q ＝1．设 f (k )＝C p q，其中 k ⊥N ，k ≤2n ，则2n 2nA ． ∑ f (k )＝1k =02nB ． ∑ kf (k )＝2npqk =0n1 nC ．若 np =4，则 f (k )≤f (8)D ． ∑ f (2k ) f (2k －1)＜＜∑ 2 k =0k =1 【答案】AC2n2n2n 2n －1k k － k k 2n k － 1 k 2n k －p k q 2n －1－k ＝【解析】A 显然正确； ∑ kf (k )＝ ∑ kC p q ＝ ∑ 2nC p q ＝2np ∑ C 2n 2n －12n －1 k =0 k =0 k =1 k =0k k 2n k－f (k ) C p qp (2n ＋1－k ) f (k ＋1) p (2n －k ) p (2n －k ) 2n 2np ，B 错误；＝＝，＝， ≤1≤ k － qkf (k ) f (k －1) 1 k — ＋－1 2n 1 k q (k ＋1) q (k ＋1) C p q 2n p (2n ＋1－k ) 1n ，2np －p ≤k ≤2np ＋q ，8－p ≤k ≤8＋q ，k ＝8，C 正确；当 p ＝q ＝2时，∑f (2k )qk k =01 n＝＝∑f (2k －1)，D 错误；故选 AC. 2 k =1三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有【答案】36▲ 种．（用数字填写答案）【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有 C 2A 3＝6×6＝36 种. 4 3 x 2 y 2 14 ．已知椭圆4 ＋ 3 ＝1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，以 A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于 B ，C 两点．若直线 B C 过点 F ，则 R 的值为 ⊥ ．13【答案】2【解析】A (2,0), F (1,0), B ，C 两点关于 x 轴对称，即横坐标为 1，代入椭圆方程，得 B ,C 坐 33 2＝ .标为(1， ±2）,R ＝ (2－1)2＋(0 －2) 15．在四棱锥 P －ABCD 中，P A ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 P A ＝ 2．若点 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，则直线 EF 被四棱锥 P －ABCD 的外接球所截得的线段长为▲ ．【答案】 6【解析】注意到⊥P AC ，⊥PBC ，⊥PDC 均为以 PC 为斜边的直角三角形，故外接球球心O为 PC 中点，R ＝2PC ＝ 3，取 EF 中点 G ，又AC ＝OC ＝故 GO ⊥PC ，d ＝GO ＝ 1P C GC 6l ＝2 R 2－d 2＝ 6.16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 r 是函数 y ＝f (x )的一个零点，任意选取 x 0 作为 r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1，设 l 1 与 x 轴交点的横坐标为 x 1，并称 x 1 为 r 的 1 次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2，设 l 2 与 x 轴交点的横坐标为 x 2，并称 x 2 为 r 的 2 次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ⊥N )作曲线 y ＝f (x )的切线 l n ＋1，记 l n ＋1 与 x 轴交点的横坐标为 x n ＋1，并称 x n ＋1 为 r 的 n ＋1 次近似值．设 f (x )＝x 3＋x －1(x 3x 3＋x n n，n ⊥N *，数列{a n }≥0)的零点为 r ，取 x 0＝0，则 r 的 2 次近似值为 ▲ ；设 a n ＝ 2x 3＋1n 的前 n 项积为 T n ．若任意 n ⊥N *，T n ＜λ 恒成立，则整数 λ 的最小值为 ▲ ．3【答案】4，2【解析】(1) f '(x )＝3x 2＋1，取 x 0＝0，f (0)＝－1，f '(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1 斜率为 1，l 1 方程为 y ＝x －1,交 x 轴点横坐标为 1，即 x 1＝1，f (1)＝1，f '(1)＝4，过点(1，1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2 斜率为 4，l 2 方程为 y ＝4x －3 交 x 轴点横坐标为3(2)f (x 0)＝； 42 x 3＋1 0x 3＋x －1，f '(x )＝3x 2＋1，切线方程为 y ＝(3x 2＋1)(x －x )＋x 3＋x －1,即 x ＝,可得出0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 x 2＋1 03 2 32x ＋1 n －1 1 3x ＋1 x n －1 n －1 3x ＋x n －1x n －1 n －1 ,即 a ＝，所以 n ⊥N * {x }的递推关系式为 x ＝, ＝ , ＝ n n n －1 3x ＋1 x n 2x ＋1 2 3 x n 3x n 2x ＋1n －1 n －1 n －1 x 11 3 1 ，因为 f '(x )＞0，且 f ( )＝－，f (1)＝1，所以 f (x )的有唯一零点 x '∈( ，1)，所以时 T n ＝2 8 2 x n ＋11x 1 当 n ≥1 时，x ⊥(x '，x ) (2， 1)，所以 T ＝ ∈(1，2).故 λ 的最小值为 2. n ＋1 1 n x n ＋1四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)在①b ＝ 3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在⊥ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin B －sin(A －C )＝ 3sin C ，c ＝3，?解：因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin B ＝sin(A ＋C )，所以 sin B －sin(A －C )＝(sin A cos C ＋cos A sin C ) －(sin A cos C －cos A sin C )＝2cos A sin C ＝ 3sin C ，因为 C ∈(0，π)，所以 sin C ≠0，所以 cos A ＝π又 A ∈(0，π)，所以 A ＝6.若选①，由正弦定理，sin B ＝ 3sin A π 2π所以 B ＝3或 3 ，ππ 若 B ＝3，则 C ＝π－A －B ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝2π π若 B ＝ 3 ，则 C ＝π－A －B ＝6，所以 a ＝c ＝3，1 1 S ⊥ABC ＝2ac sin B ＝2×3×3×若选②，因为 c ＝3，由正弦定理，sin A ＝sin C cos B ，又因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以 cos C sin B ＝0，又 B ∈(0，π)，所以 sin B ≠0，π所以 cos C ＝0，C ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝1若选③，由正弦定理 c sin A ＝a sin C ＝1，由 c ＝3，sin A ＝2，矛盾，所以这样的三角形不存在 . 18．(本小题满分 12 分)已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ＋r ，其中 r 为常数． (1)求 r 的值；(2)设 b n ＝2(1＋log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列 {c n }，求 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100 的值．解:(1)n ＝1 时，a 1＝S 1＝2＋r ，－1n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以 a 2＝2，a 3＝4，a 22＝1，即 2＋r ＝1，所以 r ＝－1，因为{a n }为等比数列，所以 a 1＝ a 3n此时，对任意 n ⊥N ，a ＝2 ，所以 n ≥2 时，a * n 1－ ≠0，＝2，故{a }为等比数列，所 n n －1 na n －1以 r ＝－1．(2)b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ，b n ＋1－b n ＝2，所以{b n }是首项为 2，公差为 2 的等差数列．数列{b n }前 100 项为 2，4，6，8，…，200，其中 2，4，8，16，32，64，128 为数列{a n } 中的项，所以{c n }前 100 项为{b n }中前 107 项去除 2，4，8，16，32，64，128 后按原来顺序构成的数列．故 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 107)－(a 2＋a 3＋…＋a 8) 107(2＋214) ＝－2(2 －1)＝11556－256＋2＝11302． 7 2 19．(本小题满分 12 分)某公司对项目 A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用 7 百万元对 A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元所获得的利润 y 近似满足：y ＝0.16x －0.49＋0.49，求对 A ，B 两个项目投资金额分别x ＋1 为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，···，(x n ，y n )，其回归直线方程^y ＝b ^x ＋a^的斜率和项目 A 投资金额 x（单位：x 百万元）12345所获利润 y（单位：y 百万元）0.30.30.50.91n∑ x i y i －nx · y— －i=截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝n ∑ i i =1n∑ x i y i －nx · y i =1 — －②线性相关系数 r ＝．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以n ( n∑ x i －nx ) ( ∑ y i －ny 2 －2 2－2 )i =1i =1上(含 0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．n n参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中∑ x y ＝11， ∑ y ＝2.24， 4.4≈2.1．2i i i i =1 i =1解(y ＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6， 5∑ i ＝1 5∑ 22i =1 5 ∑2 2i =1 5∑ x i y i －5 x · y — －i =1 则b ^ ＝^－ ^ ^ －＝0.2，a ＝ y －bx ＝0.6－0.2×3＝0，则有y ＝0.2x ， 5 ∑ i i =15∑ x i y i －5 x · y— －2 2＝＝ ≈0.9524＞0.95， i ＝1 r ＝2.1 5 5 10×0.44 ∑ x i －5 x ) ( ∑ y i －5 y 2 －2 2－2 ( )i ＝1i ＝1答：线性回归方程为：^y ＝0.2x ；y 与 x 线性相关性较强．(2)由于对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元，则对项目 A 投资(7－x )百万元，则总利润为：y ＝0.16x －0.49＋0.49＋0.2(7－x )，(1≤x ≤6)x ＋1 y ＝1.89－0.04x －0.49 ＝1.93－[0.04(x ＋1)＋0.49] x ＋1 ≤1.93－0.28＝1.65x ＋1当且仅当 x ＋1＝3.5，即 x ＝2.5 时，取到最大值 1.65 百万元，答：投资 A 项目 4.5 百万元，B 项目 2.5 百万元，利润最大值为 1.65 百万元． 20．(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，B 1C ＝ 6，且 AB ⊥B 1C ．（1）求证：平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；4（2）若点 P 在棱 BB 1 上且直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值为，求 BP 的长．5z C 1C 1B 1B 1A 1A 1PxCCBOAy （第 20 题图）A （第 20 题图）解(1)证明：取 AB 中点 O ，连结 B 1O ，CO ，在正三角形 ABC 中，CO ⊥AB ，且 CO ＝ 3，因为 AB ⊥B 1C ，CO ∩B 1C ＝C ，所以 AB ⊥平面 B 1CO ，所以 AB ⊥B 1O ，因为 BO ＝1，BB 1＝2，所以 B 1O ＝ 3，因为 B 1O 2＋CO 2＝6＝B 1C 2，所以 B 1O ⊥CO ，因为 CO ∩AB ＝O ，所以 B 1O 垂直平面 ABC ，又 B 1O ⊆平面 ABB 1A 1，所以平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；(2)由(1)，OC ，OA ，OB 1 两两垂直，故可分别以 OC ，OA ，OB 1 方向为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以 A (0，1，0)，C( 3，0，0)，B (0，－1，0)，B 1(0，0， 3)，→ → - - 所以AC ＝( 3，－1，0)，CB ＝(－ 3，－1，0)，AA 1＝BB 1＝(0，1， 3)，设BP ＝λBB 1＝(0，- →→ λ， 3λ) ，则CP ＝ C B ＋ BP ＝ (－ 3，λ－1， 3λ).设平面 ABB 1A 1 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，⎧⎪→ ⎧y ＝ 3 则⎨ AC ·n ＝ 3x －y ＝0，取 x ＝1，得⎨ ， ⎪ → ⎩z ＝－1 ⎩ AA 1·n ＝y ＋ 3z ＝0所以 n ＝(1， 3，－1)，设直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的大小为 θ， →则 sin θ＝|cos<n ， C P >| ＝(1， 3，－1)·(－ 3，λ－1， 3λ)||12＋( 3)2＋(－1)2× (－ 3)2＋(λ－1)2＋( 3λ)2＝ 2 3 1 1 4 ＝，得 4λ －2λ＋＝0，解得 λ＝， 2 4 4 55× 4λ2－2λ＋41 1所以 BP ＝ BB 1＝ .4 221.已知直线 l :y ＝x ＋m 交抛物线 C :y 2＝4x 于 A ，B 两点． -(1)设直线 l 与 x 轴的交点为 T ，若AT ＝2 TB ，求实数 m 的值；(2)若点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，求证:A ，B ，M ，N 四点共圆．解:(1)在 y ＝x ＋m 中令 y ＝0，可得 T (－m ，0)，设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，- - → → 因为AT ＝2 TB ，所以OA ＝3 OT －2OB ，即(x 1，y 1)＝(－3m －2x 2，－2y 2)，所以 y 1＝－2y 2，将 y ＝x ＋m 代入 y 2＝4x 可得 y 2－4y ＋4m ＝0，所以 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，所以 y 1＝8，y 2＝－4，m ＝－8，所以实数 m 的值为－8．(2)证法 1：设 M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，代入 y 2＝4x 得 y 2＋4y ＋4n ＝0，所以 y 3＋y 4＝－4，y 3y 4＝4n ， x ＋x 3 4所以 MN 中点为 ( ，－2)，2y 2＋y 2 x 3＋x 4 3 4＝ (y 3＋y 4)2－2y 3y 4 因为＝＝2－n ，2 8 8所以 MN 中点为(2－n ，－2)，所以－2＝2－n ＋m ，即 m －n ＝－4，y 3－y 4 4(y 3－y 4) 4因为 k MN ＝＝＝， y 2－y 2x 3－x 4 3 4y 3＋y 4 4 16 所以 k AM ·k BM ＝ 4· ＝， y 2＋(y 1＋y 2)y 3＋y 1y 2y 3＋y 1 y 3＋y 2 3因为 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，16 4 所以 k AM ·k BM ＝ 16＝＝＝－1，y 2＋4y 3＋4m 4x 3＋4y 3＋4m m －n 3 所以⊥AMB ＝90º，同理⊥ANB ＝90º，所以 A ，B ，M ，N 都在以 AB 为直径的圆上，所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．证法 2：因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，所以 A ，B ，M ，N 满足方程(x －y ＋m )(x ＋y ＋n )＋2(y 2－4x )＝0，即 x 2＋y 2＋(m ＋n －8)x ＋(m －n )y ＋mn ＝0，所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高中数学－解析几何系统解析》. 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ⊥[0，π]，a ⊥R ． 1 (1)当 a ＝2 时，求证：f (x )≥0；(2)若函数 f (x )有两个零点，求 a 的取值范围． 1 1解：(1)当 a f (x )=e x －2x sin x －x －1，＝2时， 1f'(x )＝e x －2(sin x ＋x cos x )－1，1 1 f'(x )＝e x －2(cos x ＋cos x －x sin x )＝(e x －1)＋(1－cos x ) ＋2x sin x ≥0(因为 x ∈[0，π])，所以 f'(x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f'(x )≥f ’(0)＝0，所以 f (x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f (x )≥f (0)＝0．1 1≤2时，f (x )≥e x －2x sin x (2)由(1)知，当 a －x －1≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号，此时函数 f (x )仅有 1 个零点．1当a＞2时，因为f(x)＝e x－ax sin x－x－1，所以f′(x)＝e x－a(x cos x＋sin x)－1，f′′(x)＝e x＋a(x sin x－2cos x)．当x∈ π[2，π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．π时，f′′′(x)＝e x＋a(3sin x＋x cos x)．当x∈[0，2]因为e x＞0，a(3sin x＋x cos x)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调递增．πππ又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，ππ因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0⊥(0，)．2当x⊥(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；2π当x⊥(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．2又f′(0)＝0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1⊥(x0，π)．当x⊥(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；当x⊥(x1，π)时，f′(x)＞0，所以f (x)单调递增．又f (0)＝0，f (x1)＜f (0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是1(2，＋∞)．18。

2021年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷(理科)(二) (解析版)

2021年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷（理科）（二）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝N，集合A＝{x|≥0，x∈N}，则∁U A＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，3}D．{0，1，2}2．若复数z满足z（1+i3）＝3+i（i为虚数单位），则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．若sin，则sin2θ的值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3B．C．D．47．已知a，b∈{﹣2，﹣1，1，2}，若向量＝（a，b），＝（1，1），则向量与所成的角为锐角的概率是（）A．B．C．D．8．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为r的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A．B．C．D．9．已知圆＝3，过直线x﹣y﹣6＝0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为（）A．B．C．D．10．已知平面向量，，其中||＝2，向量与﹣的夹角为150°，则||的最大值为（）A．2B．3C．4D．11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为32，则该抛物线的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝4x D．y2＝8x12．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x﹣1）＝2f（x）．当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x （x+1）．若对任意x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若曲线y＝2ln（x+1）在x＝1处的切线斜率为a，则二项式（x﹣）3的展开式中的常数项为.（用数字作答）14．已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且∠BAC＝60°，BC＝3，若球O的表面积为48π，则点O到平面ABC的距离为．15．已知函数f（x）＝4cosωx•sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4，若存在t∈[0，2]，使得f（t）﹣m≤0，则实数m的取值范围为．16．给出下列五个命题：①已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，2），若P（ξ＜0）＝P（ξ＞2），则随机变量ξ的期望为1，标准差为2；②两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内；③已知log2a+log2b≥1，则2a+4b的最小值为8；④已知f（n）＝n2+pn+q（p，q∈R，n∈N*），则“f（n+1）＞f（n）”的充要条件是“p≥﹣2”；⑤已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]单调递减，若f（﹣2）＝1，则满足f（1﹣x）＜1的x的取值范围是（﹣1，3）．其中所有真命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S6﹣S3＝27，数列{b n}的前n项和T n满足T n＝2b n﹣n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n（b n+1）}的前n项和R n．18．某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图．用x表示该车的使用时间（单位：年），y表示其相应的平均交易价格（单位：万元）（Ⅰ）已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在[12，20]的车辆数；（Ⅱ）由散点图分析后，可用y＝e bx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程．x i y i x i z i x5.59230080385表中z＝lny，＝z i根据上述相关数据，求y关于x的回归方程；附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠ADB＝∠BDC，且AD＝BD ＝CD，∠ADC＝60°．（Ⅰ）证明：平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）E为BD上一点，且V D﹣AEC＝V B﹣ADC，求二面角C﹣AE﹣B的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P（2，﹣1）和点Q（）为椭圆C上两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为0，求线段AB 中点M的轨迹方程．21．已知函数f（x）＝cos x﹣ln（1++x），f′（x）为函数f（x）的导数，证明：（Ⅰ）f′（x）在区间（﹣1﹣，0）上存在唯一极大值点；（Ⅱ）f（x）在区间[0，+∞）上有唯一零点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝﹣2．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），l分别与曲线C1和C2交于点A（异于点O）和点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣2|﹣|ax+2|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时，不等式f（x）+x＞0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝N，集合A＝{x|≥0，x∈N}，则∁U A＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，3}D．{0，1，2}解：由≥0，解得x＜1或x≥3，∴A＝{x|x＜1或x≥3，x∈N}，又全集U＝N，则∁U A＝{x|1≤x＜3，x∈N}＝{1，2}．故选：B．2．若复数z满足z（1+i3）＝3+i（i为虚数单位），则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i解：因为z（1+i3）＝3+i，所以．故选：A．3．若sin，则sin2θ的值为（）A．B．C．D．解：因为sin，可得sin（）＝﹣sin（+θ）＝﹣，所以sin（+θ）＝（sinθ+cosθ）＝，可得sinθ+cosθ＝，两边平方，可得1+sin2θ＝，所以sin2θ＝﹣．故选：D．4．函数f（x）＝﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝﹣（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，当x＝1时，f（1）＝﹣1＝e+e﹣1﹣1＞0，排除A，当x→+∞，f（x）→+∞排除D，故选：B．5．如图，矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，，0），D（0，0，0），F（1，0，1），C（0，，0），＝（﹣1，﹣，0），＝（﹣1，，﹣1），设异面直线BD与FC所成角为θ，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为：cosθ＝＝＝．故选：C．6．已知，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3B．C．D．4解：＝sin x＝1，模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝++…+的值，可得S＝++…+＝（）+（）+…+（﹣）＝﹣＝4﹣1＝3．故选：A．7．已知a，b∈{﹣2，﹣1，1，2}，若向量＝（a，b），＝（1，1），则向量与所成的角为锐角的概率是（）A．B．C．D．解：根据题意，a，b∈{﹣2，﹣1，1，2}，则a、b的取法有4×4＝16种，若向量与所成的角为锐角，•＝a+b＞0且a≠b，则a、b的取法有或或或，共4种情况，则向量与所成的角为锐角的概率P＝＝，故选：B．8．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为r的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A．B．C．D．解：设扇形OAB的圆心角为α，OC的长为r，R＝OA＝20cm，由题意可得＝，解得α＝（3﹣）π，由于＝，解得r＝×20＝10（﹣1），故扇形装饰品的面积为S＝R2α﹣r2α＝α（R2﹣r2）＝×（3﹣）π×（202﹣×202）＝（﹣2）π×202．＝400（﹣2）π．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为＝﹣2．故选：D．9．已知圆＝3，过直线x﹣y﹣6＝0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为（）A．B．C．D．解：根据题意，如图：连接AC、BC、PC，圆＝3，则其圆心（，3），半径r＝，cos∠APB＝cos2∠APC＝（1﹣2sin2∠APC）＝1﹣2×＝1﹣，当PC最小时，sin2∠APC最大，cos∠APB的值的最小，而PC的最小值为点C到直线x﹣y﹣6＝0的距离，则PC的最小值为d＝＝3，则cos∠APB的最小值为1﹣＝，故选：A．10．已知平面向量，，其中||＝2，向量与﹣的夹角为150°，则||的最大值为（）A．2B．3C．4D．解：根据题意，如图：设＝，＝，||＝t，则＝﹣＝﹣，若向量与﹣的夹角为150°，则∠BAO＝30°，在△AOB中，＝，变形可得t＝4sin B，又由0°＜B＜150°，则sin B≤1，则有t≤4，即||的最大值为4，故选：C．11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为32，则该抛物线的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝4x D．y2＝8x解：∵y2＝2px，∴抛物线的焦点为（，0），准线方程为：x＝﹣，∵直线AB的倾斜角为45°，∴斜率k＝tan45°＝1，∴直线AB的方程为y＝x﹣，代入y2＝2px（p＞0），得：x2﹣3px+＝0，则x1+x2＝3p，x1x2＝，令A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），则y1﹣y2＝x1﹣x2＝＝2p，∵四边形AA′B′B是直角梯形，∴S AA′B′B＝（x1++x2+）•（y1﹣y2）＝4p2＝32，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，故选：C．12．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x﹣1）＝2f（x）．当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x （x+1）．若对任意x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为f（x﹣1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x+1），∵x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1）∈[﹣，0]，∴x∈（﹣2，﹣1]时，x+1∈（﹣1，0]，f（x）＝2f（x+1）＝2（x+1）（x+2）＝2（x+）2﹣∈[﹣，0]，∴x∈（﹣3，﹣2]时，x+1∈（﹣2，﹣1]，f（x）＝2f（x+1）＝4（x+2）（x+3）＝4（x+）2﹣1∈[﹣1，0]，故存在x∈（﹣3，﹣2]，由4（x+2）（x+3）＝﹣，解得x＝﹣或x＝﹣，若对任意x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣，则m≥﹣．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若曲线y＝2ln（x+1）在x＝1处的切线斜率为a，则二项式（x﹣）3的展开式中的常数项为﹣9.（用数字作答）解：函数y＝2ln（x+1），y，所以y′|x＝1＝，即a＝1，所以二项式（）3的展开式的通项公式为C＝C，令3﹣3r＝0，解得r＝1，所以展开式的常数项为C＝﹣9，故答案为：﹣9．14．已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且∠BAC＝60°，BC＝3，若球O的表面积为48π，则点O到平面ABC的距离为3．解：球O的表面积S＝4πR2＝48π，解得R＝2，在△ABC中，点A，B，C为球O的球面上的三点，且∠BAC＝60°，BC＝3，外接圆的半径为：r，2r＝＝2，r＝，球心到平面ABC的距离d＝＝3．，故答案为：3．15．已知函数f（x）＝4cosωx•sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4，若存在t∈[0，2]，使得f（t）﹣m≤0，则实数m的取值范围为[﹣2，+∞）．解：f（x）＝4cosωx•sin（ωx﹣）＝4cosωx•（sinωx﹣cosωx）＝2sinωx cosωx ﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣（1+cos2ωx）＝2sin（2ωx﹣）﹣．∴最小正周期T＝＝＝4，∴f（x）＝2sin（x﹣）﹣．当t∈[0，2]时，t﹣∈[﹣，]，∴sin（t﹣）∈[﹣，1]，∴f（t）∈[﹣2，2﹣]，∃t∈[0，2]，使f（t）﹣m≤0，只需f（t）min﹣m≤0即可．即﹣2﹣m≤0，∴m≥﹣2，即m∈[﹣2，+∞）．16．给出下列五个命题：①已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，2），若P（ξ＜0）＝P（ξ＞2），则随机变量ξ的期望为1，标准差为2；②两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内；③已知log2a+log2b≥1，则2a+4b的最小值为8；④已知f（n）＝n2+pn+q（p，q∈R，n∈N*），则“f（n+1）＞f（n）”的充要条件是“p≥﹣2”；⑤已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]单调递减，若f（﹣2）＝1，则满足f（1﹣x）＜1的x的取值范围是（﹣1，3）．其中所有真命题的序号为①②③⑤．解：对于①，因为ξ～N（μ，2），P（ξ＜0）＝P（ξ＞2），所以μ＝＝1，σ＝2，所以①对；对于②，因为两两相交且不过同一点的二条直线必在同一平面内，满足条件的第四条直线必在该平面内，所以②对；对于③，因为log2a+log2b≥1，所以ab≥2，于是a•2b≥4，所以2a+4b的＝≥＝8，当a＝2，b＝1时等号成立，所以2a+4b的最小值为8，所以③对；对于④，因为当p≥﹣2时，f（n+1）﹣f（n）＝2n+1+p＞0，反之不成立，所以④错；对于⑤，因为f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]上单调递减，所以在[0，+∞）上单调递增，又因为f（﹣2）＝1，f（1﹣x）＜1⇔﹣2＜1﹣x＜2，解之得﹣1＜x＜3，所以x的取值范围是（﹣1，3），所以⑤对；故答案为：①②③⑤．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S6﹣S3＝27，数列{b n}的前n项和T n满足T n＝2b n﹣n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n（b n+1）}的前n项和R n．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，首项为a1，由于a2＝3，S6﹣S3＝27，所以，解得，故a n＝2n﹣1，数列{b n}的前n项和T n满足T n＝2b n﹣n．所以当n＝1时，解得b1＝1，当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣1+1，整理得b n+1＝2（b n﹣1+1），故（常数），故{b n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；故，整理得，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，则：①，②，①﹣②得：，整理得：．18．某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图．用x表示该车的使用时间（单位：年），y表示其相应的平均交易价格（单位：万元）（Ⅰ）已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在[12，20]的车辆数；（Ⅱ）由散点图分析后，可用y＝e bx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程．x i y i x i z i x5.59230080385表中z＝lny，＝z i根据上述相关数据，求y关于x的回归方程；附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，使用时间在[12，20]的频率为4×（0.01+0.03）＝0.16，所以使用时间在[12，20]的车辆数为100×0.16＝16辆；（Ⅱ）由题意可得，z＝lny＝lne bx+a＝bx+a，所以，所以a＝，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠ADB＝∠BDC，且AD＝BD ＝CD，∠ADC＝60°．（Ⅰ）证明：平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）E为BD上一点，且V D﹣AEC＝V B﹣ADC，求二面角C﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，△ABD≌△CBD，所以AB＝BC，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC＝90°，取AC的中点O，连结DO，BO，所以BO⊥AC，OB＝OA，又因为AD＝DC，∠ADC＝60°，所以△ADC为正三角形，所以DO⊥AC，因为AO2+OD2＝AD2，OA＝OB，AD＝BD，故OB2+OD2＝BD2，所以DO⊥OB，因为OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以DO⊥平面ABC，又DO⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）解：由题设以及（1）可知，OA，OB，OD两两垂直，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，又V D﹣AEC＝V B﹣ADC，即V C﹣AED＝V C﹣AEB，所以点E时BD的中点，设AC＝2，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，），，则，设平面CAE的法向量为，则有，即，令z＝1，则x＝0，y＝，故，设平面BAE的法向量为，则有，即，令c＝1，则，故，故＝，由图可知，二面角C﹣AE﹣B是锐二面角，所以二面角C﹣AE﹣B的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P（2，﹣1）和点Q（）为椭圆C上两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为0，求线段AB 中点M的轨迹方程．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），因为点P（2，﹣1）和点Q（）为椭圆C上两点，所以，解得，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）设PA的斜率为k，所以直线PA的方程为y+1＝k（x﹣2），即y＝k（x﹣2）﹣1，联立方程组，可得（x﹣2）[（1+4k2）x﹣8k2﹣8k+2]＝0，所以点A的横坐标为，纵坐标为，因为直线PA与PB的斜率之和为0，所以直线PB的斜率为﹣k，同理可求出点B的坐标为，故点M的坐标为，所以点M的坐标满足x＝2y，由，解得x＝±2，所以﹣2＜x＜2，故点M的轨迹方程为x﹣2y＝0（﹣2＜x＜2）．21．已知函数f（x）＝cos x﹣ln（1++x），f′（x）为函数f（x）的导数，证明：（Ⅰ）f′（x）在区间（﹣1﹣，0）上存在唯一极大值点；（Ⅱ）f（x）在区间[0，+∞）上有唯一零点．【解答】证明：（Ⅰ）f（x）的定义域是（﹣1﹣，+∞），f′（x）＝﹣sin x﹣，令g（x）＝f′（x）＝﹣sin x﹣，则g′（x）＝﹣cos x+，令h（x）＝g′（x）＝﹣cos x+，则h′（x）＝sin x﹣＜0在（﹣1﹣，0）恒成立，∴h（x）在（﹣1﹣，0）上递减，又∵h（﹣）＝1＞0，h（0）＝﹣1+＜0，由零点存在性定理可知，h（x）在（﹣1﹣，0）上存在唯一的零点x0，使得h（x0）＝0，在（﹣1﹣，x0）上，g′（x）＞0，在（x0，0）上，g′（x）＜0，∴f′（x）在（﹣1﹣，x0）上单调递增，在（x0，0）上单调递减，即f′（x）在区间（﹣1﹣，0）上存在唯一的极大值点；（Ⅱ）∵f′（x）＝﹣sin x﹣，当x∈[0，）时，f′（x）＝﹣sin x﹣＜0恒成立，（注意：区间右端点取法不唯一，如取x∈[0，π）也正确），∴f（x）在[0，）上单调递减，∵f（0）＝1﹣ln（1+）＞1﹣lne＝0，f（）＝﹣ln（1+π）＜0，∴f（x）在[0，）上存在唯一零点x1，当x∈[，+∞）时，ln（1++x）≥ln（1++）＝ln（1+π）＞lne＝1，∴f（x）＝cos x﹣ln（1++x）＜0在[，+∞）上恒成立，∴f（x）在[，+∞）上没有零点，综上，f（x）在[0，+∞）上有唯一零点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝﹣2．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），l分别与曲线C1和C2交于点A（异于点O）和点B，求线段AB的长．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数）．转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y+2）2＝5，整理得x2+y2+2x+4y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ＝0．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝﹣2，根据转换为直角坐标方程为x+y+4＝0．（Ⅱ）直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），直线l与曲线C1交于点A，则，解得，直线l与曲线C2交于点B，故，解得．故|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣2|﹣|ax+2|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时，不等式f（x）+x＞0恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝|x﹣2|﹣|x+2|＝，所以不等式f（x）＜1，等价于，或，或，解得x≥2，或﹣＜x＜2，或x∈∅，所以不等式f（x）＜1的解集为{x|x＞﹣}；（Ⅱ）x∈（0，2）时，不等式f（x）+x＞0恒成立，等价于2﹣x﹣|ax+2|+x＞0恒成立，即2＞|ax+2|恒成立，两边平方并化简得a2x2+4ax＜0，又x∈（0，2），所以不等式化为a2x+4a＜0，即a（ax+4）＜0；等价于，或，解得a∈∅，或﹣2＜a＜0，所以实数a的取值范围是（﹣2，0）．。

2021年浙江省高职考试研究联合体高考数学第二次联考试卷(解析版)

2021年浙江省高职考试研究联合体高考数学第二次联考试卷一、单项选择题（1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分共50分）1．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，5，7}，则A∪B等于（）A．{2，3}B．{6，7}C．{2，3，5}D．{1，2，3，4，5，6，7}2．“x＝2”是“x2﹣4＝0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．不等式|x﹣1|＜3的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|﹣2＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜4} 4．函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）5．若有5本不同的课外书要摆放在书架上（同一排），则不同的摆放方法有（）A．120种B．24种C．256种D．625种6．下列各角中，与角的终边相同的是（）A．B．C．D．7．若角α的终边经过点P（﹣5，12），则sinα+tanα等于（）A．B．C．D．8．若经过A（4，y），B（2，﹣3）两点的直线的倾斜角是，则y的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣59．椭圆＝1的焦点坐标为（）A．（0，﹣4），（0，4）B．（0，），（0，﹣）C．（4，0），（﹣4，0）D．（，0），（﹣，0）10．下列说法中，正确的是（）A．a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．a，b，c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥cC．α，β，γ是三个不同的平面，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γD．l为一条直线，α和β是两个不同的平面，若l⊥α，α⊥β，则l⊂β11．已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（）A．a2＞b2B．|a|＞|b|C．sin a＞sin b D．2a＞2b12．已知函数f（2x）＝，则f（1）等于（）A．0B．C．D．13．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α等于（）A．B．C．D．14．“抛掷两枚骰子，所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍”的概率为（）A．B．C．D．15．若等差数列{a n}的前三项依次是a﹣1，a+1，3，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝2n+1C．a n＝2n﹣1D．a n＝2n﹣3 16．若向量，则等于（）A．（3，3）B．（2，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）17．点（﹣1，2）到直线x﹣3y+1＝0的距离为（）A．B．C．D．18．若焦点在x轴上、焦距为8的双曲线C的离心率为2，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．19．若抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离是8，则点P到y轴的距离是（）A．12B．10C．6D．420．我们把长为1189mm，宽为841mm，面积约为1m2的纸称为A0纸，A0纸按长边对裁形成两张A1纸，A1纸按长边对裁形成两张A2纸，…，以此类推，则常用的A4纸的面积约为（）A．0.25m2B．0.125m2C．0.0625m2D．0.1m2二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21．若函数f（x）＝，则f[f（3）]＝．22．若x＞0，则f（x）＝的最小值为．23．（）9的展开式中的常数项为．24．经过点（2，3），且与直线3x﹣y+1＝0平行的直线方程为．25．若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝2相切，则双曲线C的离心率为．26．轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积为．27．已知sinα＝，且α是第一象限角，则tan（α+）＝．三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤。

2021届北京市丰台区高三二模数学试题(解析版)

a2
a
因为双曲线 x2 y2 1(a 0) 的渐近线与圆 x2 y2 4 y 3 0 相切， a2
3
所以 2a 1，化简得 3a2 1，解得 a 3 或 a 3 （舍去），
1 a2
3
3
故选：C
8．将函数 y log2 (2x 2) 的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，
【答案】C
【分析】求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半
径，列方程可求出 a 的值
【详解】解：由 x2 y2 4 y 3 0 ，得 x2 ( y 2)2 1，所以圆心为 (0, 2) ，半径为
1，
双曲线 x2 y2 1(a 0) 的渐近线方程为 y x ，
3
3
根据条件 △AFC 与VBDA 全等，所以 AF BD 1
在△ABD 中， AD 3, BD 1
AB2 AD2 BD2 2 AD BD cos BDA
32
12
2
1
3
1 2
13
所以 AB 13
故答案为： 13
15．函数
f (x) 是定义域为 R 的奇函数，满足
f
2
x
f
D 中，若 a / / , a / / ， , 可能相交也可能平行，则错误．
故选：B
6．“ a 1”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的（）
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直得到 a R ，再利用充分必要

西城区2021年高三二模数学试卷及答案

西城区2021届高三年级二模考试数学试卷2021.5本试卷共6页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{9}A x x =∈Z ≤，{2}B x x =>−，则A B =I （A ）{0,1,2,3} （B ）{1,2,3}（C ）{1,0,1,2,3}−（D ）{23}x x −<≤（2）已知复数2i 1iz a =+−，其所对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（A ）(,1)−∞ （B ）(1,+)∞（C ）(1,)−+∞（D ）(,1)−∞−（3）要得到函数sin(2)3y x π=−的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移6π个单位长度（C ）向左平移3π个单位长度（D ）向右平移3π个单位长度（4）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（A ）83（B ）43（C ）8 （D ）4（5）在ABC △中，2a =，π6A =，则“π3B =”是“b =的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件a（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若直线2y x =与双曲线:C 22221x y a b−=无公共点，则双曲线C 的离心率可能是（A （B ）1 （C ）2 （D ）（7）“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将 “苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡（1）、〢（2）、〣（3）、〤（4）、〥（5）、〦（6）、〧（7）、〨（8）、〩（9）、〇（0）.为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（A ）29（B ）30（C ）58（D ）59（8）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知18a =，41a =−，则数列{}n S （A ）有最大项，有最小项（B ）有最大项，无最小项（C ）无最大项，有最小项（D ）无最大项，无最小项（9）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ，(2,2)C ，P 是圆22:(4)2M x y +−=上一点，Q 是ABC △边上一点，则OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值是（A ）（B ）12（C ）（D ）16（10）甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛（至少包含数学和物理），在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数. 在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则（A ）甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛（B ）x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21（C ）在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二（D ）在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高三数学第二次诊断性考试试题(理科)

四川省乐山市高中2021届高三第二次诊断性考试数学试题〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部, 共150分, 考试时间120分钟。

第一卷〔选择题, 共60分〕考前须知:1. 答第一卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B铅笔写、涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后, 用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再涂选其它答案, 不准答在试题单上。

3．考试结束, 将本试卷和答题卡一并交回。

4. 参考公式:如果事件A.B互斥, 那么如果事件A.B相互独立, 那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P, 那么次独立重复试验中恰好发生次的概率一、选择题: 本大题共12小题, 每题5分, 共60分, 在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 复数〔〕A. B. C. 2 D. -22．设全集为U, 集合, 那么以下关系中正确的选项是〔〕A. M=NB.C.D.3. 设的等差中项, 那么的最小值为〔〕A. B. C. 1 D.4．命题；对任意；命题: 存在, 那么以下判断: ①且是真命题；②或是真命题；③是假命题；④是真命题, 其中正确的选项是〔〕A. ①④B. ②③C. ③④D. ②④5．函数的图象如以下图所示, 那么函数的递减区间是〔〕A.B．3[2,2],44k k k zππππ++∈C．5 [,],88k k k zππππ-+∈D．3 [,],44k k k zππππ-+∈6. 函数的反函数是等于〔〕A. 1B. -1C. -2D. 27．将编号为①②③④的四个小球放到三个不同的盒子内, 每个盒子至少放一个小球, 且编号为①②的小球不能放到同一个盒子里, 那么不同放法的种数为〔〕A. 24B. 18C. 30D. 368．如图, 在四边形ABCD中, , 设〔〕A. 4B. -4C. -2D. 69. 某工艺品厂为一次大型博览会生产甲、乙两种型号的纪念品, 所用的主要原料为A.B两种贵重金属, 生产一套甲型纪念品需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒, 生产一套乙型纪念品需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒, 假设甲型纪念品每套可获利700元, 乙型纪念品每套可获利1200元, 该厂月初一次性购进原料A.B的量分别为200盒和300盒, 那么该厂生产甲、乙两种纪念品各多少套才能使该厂月利润最大？〔〕A. 19, 25B. 20, 24C. 21, 23D. 22, 2210．三棱锥P—ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形, 且AB=2, PA=PB=PC=2, 那么该三棱锥的外接球面上, P、A两点的球面距离是〔〕A. B. C. D.11．长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上, 那么AB中点M的横坐标的最小值为〔〕A. B. C. D.12．对于实数, 定义表示不超过大整数, 正数数列满足：, 其中为数列的前项的和, 那么〔〕A. 20B. 19C. 18D. 17第二卷〔非选择题, 共90分〕考前须知:1. 第II 卷用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

北京市海淀区2021届高三二模数学试题(解析版)

2021北京海淀高三二模数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()3,4-，则cos θ=（） A.45B.35C.35D. 45-【答案】C 【解析】【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可.【详解】设点()3,4P -，因为5OP ==，所以33cos 55θ-==-. 故选：C.2. 设a R ∈，若()()213i a i i +-=--，则a =（） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘法和复数相等可得出关于实数a 的等式，即可解得实数a 的值. 【详解】()()()()221213i a i a a i i +-=++-=--，所以，21123a a +=-⎧⎨-=-⎩，解得1a =-. 故选：A.3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（）A. a b c <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<. 故选：B4. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，()00,P x y 是该抛物线上的一点.若2PF >，则（）A. ()00,1x ∈B. 0(1,)x ∈+∞C. 02,( )y ∈+∞D. 0,2() y ∈-∞【答案】B 【解析】【分析】根据焦半径公式，直接求0x 的范围. 【详解】由条件可知12p=，根据焦半径公式012PF x =+>，解得：01x >. 故选：B5. 向量a ，b ，c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则()a b e +⋅（）A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3【答案】D 【解析】【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知()1,1a =-，()2,1b =--，()1,0e =，则()3,0a b +=-，所以()3a b e +⋅=-.故选：D6. 已知实数x ，y 满足2246120x y x y ++-+=，则x 的最大值是（）A. 3B. 2C. -1D. -3【答案】C 【解析】【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定x 的最大值.【详解】方程变形为()()22231x y ++-=，圆心()2,3-，半径1r =，则x 的最大值是211-+=-.故选：C7. 已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（） A.32B.23C.3 D.3【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】由题意可得()3xg x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a-=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得3a =故选：D.8. 已知正方体1111ABCD A B C D -（如图1），点P 在侧面11CDD C 内（包括边界）.若三棱锥1B ABP -的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由俯视图可知，点P 在棱1DD 上运动，对点P 的位置进行分析，可得出合适的选项. 【详解】由俯视图可知，点P 在棱1DD 上运动.对于A 选项，若点P 与点D 重合，则三棱锥1B ABP -的左视图如A 选项所示；对于B 选项，若点P 与点1D 重合，则三棱锥1B ABP -的左视图如B 选项所示；对于C 选项，若点P 为线段1DD 的中点，则三棱锥1B ABP -的左视图如C 选项所示；对于D 选项，当点P 在棱1DD 上运动时，左视图中右边的一条边与底边垂直，且右边的一条边的边长与正方体的棱长相等，左视图不可能如D 选项所示. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体左视图，解题的关键就是对动点的位置进行分析，结合左视图的形成来进行判断.9. 已知实数,.+2,k k Z αβαβπ=∈“”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的（）A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】当+2,k k Z αβπ=∈时，()sin +0αβ=，且sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβααπαα+=+-+=-=，充分性成立；当()sin +sin sin αβαβ=+时，未必有+2,k k Z αβπ=∈，例如,0απβ==时，此时()sin +sin sin 0αβαβ=+=，但不满足+2,k k Z αβπ=∈. 所以实数,.+2,k k Z αβαβπ=∈“”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的充分而不必要条件.故选：A.10. 已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2D. 无数【答案】B 【解析】【分析】分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x a f x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若0a <，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解. 综上所述，1a =. 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知数列{}n a 满足112,20(,2,)1n n a a a n +=-==，则{}n a 的前6项和为___________. 【答案】126 【解析】【分析】利用等比数列的定义，结合等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为1120,20n n a a a +-==≠，所以10,2n n na a a +≠=，因此数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以{}n a 的前6项和为662(12)12612S -==-.故答案为：126.12. 已知()12nx +的展开式的二项式系数之和为16，则n =___________；各项系数之和为___________.(用数字作答)【答案】 (1). 4 (2). 81 【解析】【分析】根据二项式系数和的公式216n =，求解；再根据赋值法求各项系数之和. 【详解】展开式中的二项式系数的和是216n =，所以4n =，令1x =，()41281+=，即各项系数和为81. 故答案为：4；8113. 在ABC 中，23,7,3a b B π==∠=，则ABC 的面积为___________.【解析】【分析】运用余弦定理求出c ，最后根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知：222212cos 49923()52b ac ac B c c c =+-⇒=+-⨯⋅-⇒=或8c =-（舍去），所以ABC 的面积为：11sin 3522ac B ⋅=⨯⨯⨯=14. 已知双曲线2222:1x y M a b-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.1 【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠=，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，四边形1F ABO 是菱形，1212BO F F ∴=，12BF BF ∴⊥，并且根据对称性可知2OBF △是菱形，260BF O ∴∠=，13BF c ∴=，根据双曲线定义可知，122BF BF a -=，即32c c a -=，即3131c a ==+-31【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：222111c b e a ab c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence )，该数列的后一项由前一项的外观产生.以(),09i i N i ∈≤≤为首项的“外观数列”记作i A ，其中1A 为1、11、21、1211、111221、，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，，按照相同的规则可得其它i A ，例如3A 为3、13、1113、3113、132113、.给出下列四个结论：①若i A 的第n 项记作n a ，j A 的第n 项记作n b ，其中29i j ≤<≤，则n N *∀∈,n n a b i j -=-； ②1A 中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3； ③1A 的每一项中均不含数字4；④对于2k ≥，1i ≠，i A 的第k 项的首位数字与1A 的第2k +项的首位数字相同. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】【分析】列出i A 、j A 的前四项，观察规律，可判断①的正误；利用反证法可判断②的正误；利用②中的结论可判断③的正误；根据i A 和1A 各项首位数字出现的周期性可判断④的正误. 【详解】对于①，1a i =，21a i =，3111a i =，4311a i =，，n a i =，1b j =，21b j =，3111b j =，4311b j =，，n b j =，由递推可知，随着n 的增大，n a 和n b 每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，所以，n n a b i j -=-，①正确；对于②，若1A 中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为3，即333n a =，由题中定义可知，1n a -中必有连续三个位置上的数字均为3，即1333n a -=，.以此类推可知，1a 中必有连续三个位置上的数字均为3，这与11a =矛盾，②错误；对于③，由②可知，1A 的每一项不会出现某连续三个数位上都是3，故1A 中每一项只会出现1、2、3，③正确；对于④，对于2k ≥，1i ≠，有1a i =，21a i =，3111a i =，4311a i =，513211a i =，6111312211a i =，，由上可知，记数列{}n a 的首位数字构成数列{}n c ，则数列{}n c 为：i 、1、1、3、1、1、3、，且当2k ≥时，3k k c c +=；记1A 的第k 项记为k b ，则11b =，211b =，321b =，41211b =，5111221b =，6312211b =，713112221b =，81113213211b =，，记数列{}n b 的首位数字构成数列{}n d ，则数列{}n d 为：1、1、2、1、1、3、1、1、3、，且当4k ≥时，3k k d d +=.由上可知，24c d =，35c d =，46c d =，，所以，当2k ≥时，2k k c d +=，④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义，解题时要紧扣“外观数列”的定义，充分利用数列的规律、数列的周期性等基本性质来解决问题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,65,,BC AC BC PC AC BC PA PC D E ⊥⊥====，分别是AC ，PC 的中点.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角A DE B --的余弦值【答案】（1）见解析；（2）2929. 【解析】【分析】（1）连接PD ，由BC ⊥平面PAC ，得BC ⊥PD ，结合PD AC ⊥可证得PD ⊥平面ABC ，进而得证；（2）以点D 为原点，,DA DP 为,y z 轴，过点D 作与CB 平行的方向为x 轴建立空间直角坐标系，由平面的法向量计算求解即可.【详解】（1）连接PD ，因为PA PC =，D 为AC 的中点，所以PD AC ⊥，又,BC AC BC PC ⊥⊥，,AC PC 为平面PAC 的两条相交直线，所以BC ⊥平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以BC ⊥PD ，,BC AC 为平面ABC 的两条相交直线，所以PD ⊥平面ABC ，又PD ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以点D 为原点，,DA DP 为,y z 轴，过点D 作与CB 平行的方向为x 轴建立空间直角坐标系.所以3 (0,0,0),(2,1,0),(0,0,4),(0,3,0),(0,,2)2DB PC E---，设平面BDE的法向量为(,,)n x y z=，3(2,1,0),(0,,2)2DB DE=-=-则203202n DB x yn DE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令1x=，则32,2y z==，3(1,2,)2n=，平面ADE的法向量为(1,0,0)m=，所以二面角A DE B--的余弦值为1229||||||299144m nm n⋅==⋅++17. 已知函数()()sin0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）直接写出ω的值；（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数()f x在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.条件①：直线712xπ=为函数()y f x=的图象的一条对称轴；条件②：,03π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()y f x=的图象的一个对称中心【答案】（1）2ω=；（2）条件选择见解析，()f x 在区间124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的最小正周期，由此可求得ω的值；（2）根据所选条件求得ϕ的表达式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，再由()0f =求得A 的值，由,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出23x π+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得()f x 的最小值.【详解】（1）由图象可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，则22T πω==；（2）选择条件①：因为直线712x π=为函数()y f x =的图象的一条对称轴，所以，()7322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()23k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，3πϕ∴=，则()0sin3f A A π===，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ≤+≤，所以当236x ππ+=或56π时，即当12x π=-或4π时，函数()f x 取得最小值，即()min 1f x =；选择条件②：因为,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，则()223k k Z πϕππ⨯+=+∈，解得()23k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，3πϕ∴=，则()0sin32f A A π===，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ≤+≤，所以当236x ππ+=或56π时，即当12x π=-或4π时，函数()f x 取得最小值，即()min 1f x =. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上最值的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.18. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：（1）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（2）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；（3）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生､10名女生作为冬奥宜传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为1μ，这10名女生竞赛成绩的平均数为2μ，能否认为12＞，说明理由.【答案】（1）13；（2）96245；（3）不能认为12＞，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式进行求解即可；（2）根据题意结合古典概型计算公式分类讨论进行求解即可；（3）根据平均数的运算公式，结合特例法进行判断即可.【详解】（1）根据茎叶图可知：男生共有15名，其中竞赛成绩在90分以上的共有5人，所以估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为：51 153=；（2）当2名男生都在90分以上，2女生都在90以下，则此时概率为：2251222151544735 C CC C⋅=；当2名男生都在90分以上，2女生有一个90以下，则此时概率为：211512322151524735 C C CC C⋅⋅=；当2名男生有一个在90分以上，2女生都在90以下，则此时概率为：11210512221515220735 C C CC C⋅=,所以估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率：442422096735735735245++=；（3）不能认为12＞，理由如下：如果选出10名男生的成绩没有超过90分以上的，这时16068757879818486878878.610μ+++++++++==，如是选出10名女生成绩是前10名的，这时29898958686787876767684.710μ+++++++++==，显然12μμ<，故不能认为12＞.19. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左､右焦点分别为12,,F F E 是椭圆C 上一点，且12122, 4.F F EF EF =+= （1）求椭圆C 的方程；（2）M ，N 是y 轴上的两个动点(点M 与点E 位于x 轴的两侧)，190MF N MEN ∠=∠=，直线EM 交x 轴于点P ，求EP PM的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；（2）设出(0,)(0)M m m >，根据直角的性质求出N 点坐标、E 点的纵坐标，进而求出点P 坐标，最后利用两点间距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为12122,4F F EF EF =+=，所以22222,241,2,3,c a c a b a c ==⇒===-=∴椭圆方程为22143x y +=；（2）因为M ，N 是y 轴上的两个动点，所以不妨设(0,)(0)M m m >，(0,)N n ，因为点M 与点E 位于x 轴的两侧，所以设000(,)(0)E x y y <,所以2200143x y +=，由（1）知1c =，所以1(1,0)F -，因为190MF N ∠=，所以1111111F M F N m n k k n m⋅=-⇒⋅=-⇒=-，因为90MEN ∠=，所以220000001111()10EM ENy m y m k k x y y m x x m---⋅=-⇒⋅=-⇒++--=--，而2200143x y +=，所以20013()90y y m m +--=，解得03y m =-或03y m =，因为00y <，0m >，所以03y m =-，因此04EM mk x =-，所以直线EM 的直线方程为： 04m y x m x =-+，令0y =，得04x x =，即0(,0)4x P ，3EP PM ===. 【点睛】关键点睛：根据直角得到N 点坐标、E 点的纵坐标是解题的关键. 20. 已知函数()ln .f x x a x =-（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若关于x 的方程ln =0x a x -有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a -＞【答案】（1）(1)y a x a =-+；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()af x x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）由（2）可得()ln 0f a a a a =-<，得a e >，进而得0x a <，只需证得01ax a -＞即可，通过构造()1ln g x x x =--，可证得.【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：(1)y a x a =-+，（2）函数()ln f x x a x =-定义域(0,)+∞，()1a x a f x x x'-=-= 当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上()0f x '<，()f x 单调递减，在(,)a +∞上()0f x '>，()f x 单调递增，综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）由（2）可知，当0a ≤时显然不成立，所以0a >时，()ln 0f a a a a =-<，解得a e >，因为0x 为较小的实根，所以0x a <，要证()01a x a -＞，只需证01ax a -＞，下面证明()ln 0111a a a f a a a a =->---，令()1ln g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，所以1x ≠时，1ln 0x x -->，因为(1,)11a e a e ∈--，所以()(1ln )0111a a af a a a a =-->---，从而()f x 在(,)1a a a -单调递减，且()01af a >-，所以01ax a -＞，所以()01a x a -＞. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明01ax a -＞即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明()01af a >-，利用构造函数的方法即可. 21. 已知有限集X ，Y ，定义集合{}|,x Y X Y x x X -=∈∉且，X 表示集合X 中的元素个数. （1）若{}{}1,2,3,4,3,4,5X Y ==，求集合X Y -和Y X -，以及()()X Y Y X -⋃-的值；（2）给定正整数n ，集合{}1,2,,n S =，对于实数集的非空有限子集A ，B ，定义集合{}=|,,C x x a b a A b B =+∈∈①求证：1A S B S S C -+-+-≥；②求()()()()()()||A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值.【答案】（1）X －Y ＝{1,2}，Y －X ＝{5}，|(X －Y )∪(Y ∪X )|＝3；（2）①见解析；② 1.n + 【解析】【分析】（1）直接根据定义求解即可；（2）①分若A ∪B 中含有一个不在S 中的元素和A S ⊆，且B S ⊆，两种情况讨论即可，当A S ⊆，且B S ⊆时，可通过1C ∉得证；②结合①知()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-1S A S B C S ≥-+-+-+，讨论若A S ⋂=∅，或B S ⋂=∅，得S A S B n -+-≥，若A S ⋂≠∅，且B S ⋂≠∅，设{}12,,,s A S a a a ⋂=，{}12,,,t B S b b b ⋂=，可证得()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值是 1.n +【详解】（1）根据定义直接得X －Y ＝{1,2}，Y －X ＝{5}，|(X －Y )∪(Y ∪X )|＝3. （2）①显然0X ≥.若A ∪B 中含有一个不在S 中的元素，则1A S B S -+-≥，即1A S B S S C -+-+-≥.若A S ⊆，且B S ⊆，则0A S B S -=-= 此时A 中最小的元素1a ≥，B 中最小的元素1b ≥，所以C 中最小的元素2a b +≥. 所以1C ∉.因为{}1,2,,n S =，所以1S C -≥，即1A S B S S C -+-+-≥. 综上，1A S B S S C -+-+-≥. ②由①知1A S B S S C -+-+-≥.所以()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-A S S AB S S BC S S C =-+-+-+-+-+- 1.S A S B C S ≥-+-+-+若A S ⋂=∅，或B S ⋂=∅，则.S A S B n -+-≥ 若A S ⋂≠∅，且B S ⋂≠∅，设{}12,,,s A S a a a ⋂=，{}12,,,t B S b b b ⋂=且121s a a a n ≤<<≤，121t b b b n ≤<<≤，则S A n s -=-，.B S n t -=- 若s t n +>，因为11121232t t t s t a b a b a b a b a b a b ≤+<+<<+<+<+<+，所以1112123,,,,,,,t t t s t a b a b a b a b a b a b ++++++这1s t +-个数一定在集中C 中，且均不等于1.所以2().S A S B C S n s t s t n n -+-+-≥--++-= 所以()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-1 1.S A S B C S n ≥-+-+-+≥+当A B S ==，{}2,3,,2C n =时，()()()()()() 1.A S S A B S S B C S S C n -⋃-+-⋃-+-⋃-=+所以()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值是 1.n + 【点睛】关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得()()()()()()A S S AB S S BC S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-1S A S B C S ≥-+-+-+，进而进行分情况讨论可得解.。

安徽省江淮名校2021届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案

安徽省江淮名校 2021届高三其次次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间：120分钟。

考生务必将答案答在答题卷上，在试卷上作答无效。

考试结束后只交答题卷。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知集合{}{}||2,,2,A x x x R B x x z=≤∈=∈，则AB =（）A ．（0,2）B ．[0，2]C ．{0,2}D ．{0,l,2}．2．复数21ii -在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()sin (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度4．已知等差数列{a n }的前n 项之和是S n ，则－a m <a 1<－a m+l 是S m >0，S m+1<0的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不毖要5．244(2cos tan )2xx dx ππ+⎰A ．22π+B 2C ．2πD ．2π+6．若非零向量,a b ，满足||||a b b +=，则（）A ．|2 a |>|2 a + b |B ．|2 a |<|2 a + b |C ．|2 b |>|a + 2b |D ．|2 b |<|a + 2b |7．已知函数()xf x a x b =+-，的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足2a =3，3b =2，则n 的值是（） A ．－2 B ．－l C ．0 D ．1 8．已知数列{a n }的前n 项之和是S n ，且4S n =（a n +1）2，则下列说法正确的是 A ．数列{a n }为等差数列 B ．数列{a n }为等差或等比数列 C ．数列{a n }为等比数列 D ．数列{a n }可能既不是等差数列也不是等比数列 9．平面对量,a b 满足|3,a b |≤4，则向量,a b 的最小值为A ．43 B ．－43 C ． 34 D ．－ 3410．已知G 点为△ABC 的重心，且AG BG ⊥，若112tan tan tan A B C λ+=，则实数λ的值为A ．1B ．23C ．25D ． 27第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置，） 11．命题”存在x 0>一1，2x +x 0 －2022>0”的否定是12．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y=lo 1223,,xy x y ==⎝⎭，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A 点的纵坐标是2，则D 点的坐标是。

浙江省高职考试研究联合体2021届高考数学第二次联考试卷(含答案解析)

浙江省高职考试研究联合体2021届高考数学第二次联考试卷一、单选题（本大题共20小题，共50.0分）1.已知集合A={x|y=√x2−x},B={x|3x−1>0}，则()A. A∩B={x|x≤0}B. A∪B=RC. A∪B={x|x≥1}D. A∩B={x|x>1}2.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=12(|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，若对于任意的实数x，都有f(x−1)≤f(x)成立，则实数a的取值范围是()A. [−√36,√36] B. [−√66,√66] C. [−13,13] D. [−√33,√33]4.设函数g(x+2)=2x+3，则g(3)的值()A. 6B. 13C. 9D. 55.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有()A. 324种B. 360种C. 648种D. 684种6.与−460°角终边相同的角的集合()A. {ð|ð=k⋅360°+460°(k∈Z)}B. {ð|ð=k⋅360°+100°(k∈Z)}C. {ð|ð=k⋅360°+260°(k∈Z)}D. {ð|ð=k⋅360°−260°(k∈Z)}7. 6.已知命题使；命题，下列是真命题的是A. B. C. p^() D.8.经过两点(3,9)、(−1,1)的直线在x轴上的截距为A. B. C. D. 29.已知点M(√5,0)，椭圆x26+y2=1与直线y=k(x+√5)交于A，B两点，则△ABM的周长为()A. 12B. 24C. 2√6D. 4√610. 已知l ，m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不重合的平面，下列命题中正确的个数为( ) ①若m ⊥α，m ⊥β，则α//β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β ③若m//α，m//β，则α//β；④l//α，m ⊂α，则l//m ．A. 1B. 2C. 3D. 411. 若实数a >b ，则下列结论成立的是( )A. a 2>b 2B. 1a <1bC. ln2a >ln2bD. ax 2>bx 212. 函数f(x)=√x 2−5x −6的单调减区间是( )A. (−∞,−52)B. [52,+∞)C. (−∞,−1]D. (−∞,−3]13. sin 2π12−cos 2π12的值为( )A. −12B. 12C. −√32D. √3214. 从数字0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数组成两位数，其中奇数的概率为( )A. 25B. 1225C. 13D. 1215. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=45，那么a 5等于( )A. 4B. 5C. 9D. 1816. 已知向量a ⃗ =(l,2)，b ⃗ =(−1,0)，则a ⃗ +2b ⃗ =( )A. (−1,2)B. (−1,4)C. (1,2)D. (1,4)17. 已知直线3x +4y −3=0与6x +my +14=0平行，则它们之间的距离是( )A. 0B. 2C. 4D. 1318. 双曲线x 23−y 2=1与x 2−y 23=1有相同的( )A. 离心率B. 渐近线C. 实轴长D. 焦点19. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左顶点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−2,−1)，则双曲线的方程为( )A. x 216−y 24=1B.x 28−y 24=1C.x 24−y 2=1D.x 22−y 2=120.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A. 10元B. 20元C. 30元D. 元二、单空题（本大题共7小题，共28.0分）21.函数f(x)是奇函数，且在[−1,1]上单调递增，又f(−1)=−1，若当a∈[−1,1]时，对任意x∈[−1,1]，f(x)≤t2−2at+1恒成立，则t的取值范围是______．22.已知正数x，y满足：x+2y=20，则xy的最大值为______ ．23.14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为________．24. 3.已知直线和互相平行，则的值是___ ．25.已知双曲线C：x2a2−y2b 2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点．若∠PAQ=60°且OQ−=2OP−，则双曲线的离心率______．26.如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B=60°，点E，F分别在边BC，AB上运动(不含端点)，且EF//AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B−ECDAF 的体积最大时，EF的长为______．27.已知sinα−3cosα=0，则sin2αcos2α−sin2α=______ ．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）28.计算：(1)lg5lg20−lg2lg50−lg25．(2)(2a 23b12)(−6a12b13)÷(−3a16b56)29.已知a∈R，直线l1：(2a+1)x+2y−a+2=0与直线l2：2x−3ay−3a−5=0垂直．(1)求a的值；(2)求以l1，l2的交点为圆心，且与直线3x−4y+9=0相切的圆的方程．30.在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m⃗⃗⃗ =(cosB,cosC)，n⃗=(2a+c,b)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(Ⅰ)求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；(Ⅱ)若b=√13，a+c=4，求△ABC的面积．31. 等差数列{a n}中，已知a3=1，a5=11，求a n和S n．32. 已知函数f(x)=sin x2cos x2+cos2x2−12．(1)若f(a)=√24,a∈(0,π)求a的值；(2)求函数f(x)在[−π4,π]上最大值和最小值．33. 已知圆M：(x+√3)2+y2=16，点N(√3,0)，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线MP于点Q，设动点Q的轨迹为C．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m与轨迹C交于G，H两点，O为坐标原点，若△GOH的重心恰好在圆x2+y2=49上，求m的取值范围．34. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面BCP，CD//平面ABP，BC=CP=BP=2，CD=2，AB=4(1)证明：平面ABP⊥平面ADP；(2)若直线PA与平面PCD所成角为α，求sinα的值．35. 从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.(注：月利率为年利率的十二分之一)已知某公司现有2020年底结余资金1050万元．(1)若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；(2)公司决定将550万元作协定存款，于20211月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500−x)万元作结构性存款．①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业+0.02x2+0.135x)万元的收益，机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得(−x330000有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本.问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集的定义等基础知识，是基础题．分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果．解：∵集合A ={x|y =√x 2−x},B ={x|3x −1>0}， ∴A ={x|x ≤0或x ≥1}，B ={x|x >0}， ∴A ∩B ={x|x ≥1}，A ∪B =R ．故选B ．2.答案：A解析：本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题．先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解．解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A ．3.答案：B解析：解：当x ≥0时， f(x)={x −3a 2,x >2a 2−a 2,a 2<x ≤2a 2−x,0≤x ≤a 2，由f(x)=x −3a 2，x >2a 2，得f(x)>−a 2；当a 2<x <2a 2时，f(x)=−a 2；由f(x)=−x ，0≤x ≤a 2，得f(x)≥−a 2． ∴当x >0时，f(x)min =−a 2．∵函数f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)ma x=a2．∵对∀x∈R，都有f(x−1)≤f(x)，∴2a2−(−4a2)≤1，解得：−√66≤a≤√66．故选：B．把x≥0时的f(x)改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f(x−1)≤f(x)，可得2a2−(−4a2)≤1，求解该不等式得答案．本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了转化思想，对任意的实数x，都有f(x−1)≤f(x)成立的理解与应用是关键，也是难点，属于难题．4.答案：D解析：解：∵函数g(x+2)=2x+3，∴g(3)=g(1+2)=2×1+3=5．故选：D．利用函数的性质求解．本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.答案：C解析：解：3名男生3名女生站成两排照相有A66=720种，3名男生在同一排的有A22⋅A33⋅A33=72种，所以每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有720−72=648种，故选：C．利用间接法，6名学生进行全排列，然后再排出3名男生在一排的情况，问题得以解决．本题主要考查了排列中的特殊元素特殊处理的原则，利用间接法，属于基础题．6.答案：C解析：解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与−460°角的终边相同的角是α，则α=−460°+k⋅360°，k∈Z，又260°与−460°终边相同，∴α=260°+k⋅360°，k∈Z，与−460°终边相同的角的集合是{α|α=260°+k⋅360°,k∈Z}故选：C．终边相同的角相差了360°的整数倍，又260°与−460°终边相同．然后判断角所在象限．本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．角所在象限的判断，基本知识的考查．7.答案：D解析：8.答案：A解析：试题分析：直线l的斜率为所以所求直线方程为，令y=0，则，所以此直线在x轴上的截距为．考点：求直线方程，直线在坐标轴上的截距．点评：一定要搞清楚截距不是距离，在x轴上的截距就是直线与x轴交点的横坐标．9.答案：D+y2=1的焦点坐标(±√5,0)，长半轴为a=√6，解析：解：椭圆x26直线y=k(x+√5)恒过(−√5,0)，即椭圆的左焦点，+y2=1与直线y=k(x+√5)交于A，B两点，则△ABM的周点M(√5,0)是椭圆的右焦点，椭圆x26长为：4a=4√6．故选：D．求出椭圆的焦点坐标，长半轴的长，判断直线恒过的定点，利用椭圆的性质求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线系的应用，考查计算能力．10.答案：A解析：解：(1)假设α∩β=l，则过l有两个平面α，β都与m垂直，矛盾．∴假设错误，∴α//β.故①正确．(2)以直三棱柱为例，设直三棱柱的两个侧面为α，β，底面为γ，则α⊥γ，β⊥γ，但α与β相交．故②错误．(3)当α∩β=l时，若m//l，m⊄α，m⊄β，则m//α，m//β，显然α与β不平行；故③错误．(4)以正方体ABCD−A′B′C′D′为例，AB//平面A′B′C′D′，AC//平面A′B′C′D′，但AB与AC不平行，故④错误．故选：A．结合常见几何体模型进行举反例判断．本题考查了空间线面位置关系的判断，结合常用的几何模型举出反例是关键．11.答案：C解析：解：由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2<b 2，故选项A 不正确；对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有1a >1b ，故选项B 不正确；≠≠ 对于C ：∵a >b ，∴2a >2b >0，∴ln2a >ln2b ，故选项C 正确；对于D ：当x =0时，结果不成立，故选项D 不正确；故选：C ．本题可根据不等式的性质进行分析，以及特殊值法的应用，还有指数函数、对数函数值大小的比较．本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．12.答案：C解析：本题考查复合函数的单调性，解题的关键是求出函数的定义域，确定内外函数的单调性．求出函数的定义域，确定内外函数的单调性，即可得到结论．解：由x 2−5x −6≥0，可得函数的定义域为(−∞,−1]∪[6,+∞)，令t =x 2−5x −6，则y =√t 在(0,+∞)上单调递增， ∵t =x 2−5x −6=(x −52)2−494在(−∞,52)上单调递减， ∴函数f(x)=√x 2−5x −6的单调减区间为(−∞,−1]．故选：C ．13.答案：C解析：解：sin 2π12−cos 2π12=−(cos 2π12−sin 2π12)=−cos π6=−√32．故选：C ．利用二倍角公式和特殊角三角函数值回答即可．此题考查了二倍角的余弦公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．14.答案：B解析：本题考查古典概型，属于简单题．先列出所有可能情况，根据概率公式计算即可．解：从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，共有10，12，13，14，15，20，21，23，24，25，30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25种情况，其中奇数有13，15，21，23，25，31，35，41，43，45，51，53，共12个，，故从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为P=1225故选：B．15.答案：C解析：解：∵a3+a4+a5+a6+a7=45，∴5a5=45，那么a5=9．故选：C．利用等差数列的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：A解析：解：根据题意，向量a⃗=(l,2)，b⃗ =(−1,0)，则2b⃗ =(−2,0)则a⃗+2b⃗ =(−1,2)；故选：A．根据题意，由向量的坐标计算公式直接计算即可得答案．本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量坐标计算公式．17.答案：B解析：本题考查了点到直线的距离公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．,0)，利用点到直线的距离公式即可得出．在6x+my+14=0上取点(−73,0)，解：在6x+my+14=0上取点(−73则点(−73,0)到直线3x +4y −3=0的距离=|−73×3+0−3|√32+42=2．故选B ．18.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程求解双曲线的焦点坐标，推出结果．解：双曲线x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，则c =2，焦点坐标(±2,0)，离心率为e =2√33，实轴长为2√3，渐近线为y =±√33x ；x 2−y 23=1，可得a =1，b =√3，c =2，焦点坐标(±2,0)，离心率为e =2，实轴长为2，渐近线为y =±√3x ；所以双曲线x 23−y 2=1与x 2−y 23=1有相同的焦点．故选D ．19.答案：C解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键，属于基础题．由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．解：∵双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左顶点(−a,0)与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F(p2,0)的距离为4， ∴p2+a =4；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−2,−1)，渐近线的方程应是y =ba x ，而抛物线的准线方程为x =−p2，因此−1=ba ×(−2)，−2=−p2，联立得{p 2+a =4a =2b p =4，解得a =2，b =1，p =4．故双曲线的标准方程为：x 24−y 2=1．故选：C ．20.答案：A解析：由题意可设s A (t)=kt +20，s B (t)=mt ，又s A (100)=s B (100)，∴100k +20=100m ， ∴k −m =−0.2，∴s A (150)−s B (150)=150k +20−150m =150×(−0.2)+20=−10，即两种方式电话费相差10元．21.答案：{t|t ≤−2，或t =0，或t ≥2}解析：解：根据题意，函数f(x)是奇函数，且在[−1,1]上单调递增，则f(x)的最大值为f(1)=−f(−1)=1，若f(x)≤t 2−2at +1对a ∈[−1,1]、x ∈[−1,1]恒成立， ∴t 2−2at +1≥1对任意a ∈[−1,1]恒成立， ∴t 2−2at ≥0对任意a ∈[−1,1]恒成立，把y =t 2−2at 看作a 的一次函数，由a ∈[−1,1]，知其图象是一条线段， ∴t 2−2at ≥0对任意a ∈[−1,1]恒成立，则有{t 2+2t ≥0t 2−2t ≥0，解得t ≤−2，或t =0，或t ≥2．故实数t 的取值范围是{t|t ≤−2，或t =0，或t ≥2}；故答案为：{t|t ≤−2，或t =0，或t ≥2}．根据题意，由于f(x)为增函数，f(x)的最大值为f(1)=1，故f(x)≤t 2−2at +1对a ∈[−1,1]、x ∈[−1,1]恒成立，所以t 2−2at ≥0对任意a ∈[−1,1]恒成立，由此能求出实数t 的取值范围．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数恒成立问题，关键将恒成立问题转化为最值问题．22.答案：50解析：解：∵x >0，y >0， ∴x +2y =20≥2√2xy ，∴0<xy ≤50，当且仅当x =2y 时取等号，即xy的最大值是50．故答案为：50．直接利用基本不等式可求出xy的取值范围，注意等号成立的条件，从而求出xy的最大值．本题主要考查了基本不等式，解题时注意“一正、二定、三相等”是基本不等式的前提，属于基础题．23.答案：解析：24.答案：−1解析：25.答案：2√33解析：解：因为∠PAQ=60°且OQ−=2OP−，所以△QAP为等边三角形，设AQ=R，则PQ=R，OP=R，三角形OAQ是直角三角形，∠QOA=30°，渐近线方程为y=ba x，ba=tan30°=√33，可得e=ca =√1+b2a2=√1+13=2√33．故答案为：2√33．确定△QAP为等边三角形，设AQ=R，则OP=R，判断三角形的形状，利用渐近线的斜率，转化求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质：离心率，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．26.答案：2√63解析：解：取EF 的中点G ，连接BG ，∵边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，∴△ABC 是边长为2的等边三角形，∵EF//AC ，∴△BEF 是等边三角形， ∴BG ⊥EF ，∵平面BEF ⊥底面ECDAF ，平面BEF ∩底面ECDAF =EF ，BG ⊂平面BEF ， ∴BG ⊥平面ECDAF ，设EF =x(0<x <2)，则BG =√32x ，∴S 五边形ECDAF =S 菱形ABCD −S △BEF =2×√34×22−√3x 24=2√3−√34x 2， ∴五棱锥B −ECDAF 的体积V(x)=13×(2√3−√34x 2)×√3x2=x −x 38，V′(x)=1−3x 28=8−3x 28， ∴当0<x <2√63时，V′(x)>0，当2√63<x <2时，V′(x)<0，∴当x =2√63时，V(x)取得极大值也是最大值．故答案为：2√63．取EF 中点G ，证明BG ⊥平面ECDAF ，设EF =x ，得出棱锥的体积关于x 的函数V(x)，利用导数求出V(x)的极大值点即可．本题考查了棱锥的体积公式，函数最值得计算，属于中档题．27.答案：−34解析：解：∵sinα−3cosα=0，即tanα=3， ∴sin2αcos 2α−sin 2α=sin2αcos2α=tan2α=2tanα1−tan 2α=2×31−32=−34．故答案为：−34所求式子分母利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正切函数公式化简，再由已知等式弦化切后求出tanα的值，代入计算即可求出值．此题考查了同角三角函数基本关系的应用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28.答案：解：(1)原式=(1−lg2)(1+lg2)−lg2(2−lg2)−(2−2lg2)=1−lg 22−2lg2+lg 22−2+2lg2=−1． (2)原式=2×(−6)−3a 23+12−16b 12+13−56=4a ．解析：(1)利用对数的运算法则及其lg2+lg5=1即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数函数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．29.答案：解：(1)直线l 1的斜率为k 1=−2a+12，…(1分)当a =0时，直线l 2与x 轴垂直，显然不与直线l 1垂直， ∴a ≠0，∴直线l 2的斜率为k 2=23a …(3分) ∵l 1⊥l 2，∴k 1×k 2=−1…(4分) 即−2a+12×23a=−1，解得a =1…(6分)(2)由(1)知，l 1：3x +2y +1=0，l 2：2x −3y −8=0以上二方程联立{3x +2y +1=02x −3y −8=0，解得{x =1y =−2，即圆心坐标为(1,−2)…(8分) 圆心到直线3x −4y +9=0的距离为22=4…(10分)∴圆的半径为4 …(11分)∴所求圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=42…(12分)解析：(1)利用两条直线斜率的积为−1，建立方程，即可求a 的值；(2)联立l 1，l 2的方程，得到交点为圆心，求出圆心与直线3x −4y +9=0的距离，可得半径，即可求出圆的方程．本题考查直线与直线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 30.答案：解：(Ⅰ)∵m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴cosB ⋅(2a +c)+cosC ⋅b =0∴2cosBsinA +cosBsinC +sinBcosC =0，整理得cosB =−12，3∵y=sin2A+sin2C=2sin(2A+2C2)cos(2A−2C2)=2sin(A+C)cos(A−C)=2sinBcos(A−C)=√3cos(A−C)，∵0<A=π3−C<π3，π3>C>0，∴−π3<A−C<π3，∴12<cos(A−C)≤1，∴√32<y≤√3．(Ⅱ)由余弦定理知b2=a2+c2−2accosB，∴13=a2+c2+ac=(a+b)2−2ac+ac=16−ac，∴ac=3，∴S△ABC=12acsinB=12×3×√22=3√34．解析：(Ⅰ)根据两个向量垂直，利用向量积的运算和正弦定理求得cos B的值，进而求得B．(Ⅱ)利用余弦定理求得ac，进而利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，向量积的问题．考查了学生综合运用数学基础知识解决问题的能力．31.答案：解：∵等差数列{a n}中a3=1，a5=11，∴公差d=11−15−3=5，∴a1=1−2×5=−9，∴a n=−9+5(n−1)=5n−14∴S n=n(a1+a n)=n(−9+5n−14)=5n2−23n解析：由题意可得公差d，进而可得通项公式和求和公式．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．32.答案：解：(1)函数f(x)=sin x2cos x2+cos2x2−12=12sinx+1+cosx2−12=√22sin(x+π4)，由题意知√22sin(α+π4)=√24，即sin(α+π4)=12∵a∈(0,π)即α+π4∈(π4,5π4)12(2)∵−π4≤a ≤n 即0≤α+π4≤5π4f(x)max =f(π4)=√22，f(x)min =f(π)=−12解析：试题分析：(1)利用二倍角公式、两角和的正弦函数，化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用f(a)=√24,a ∈(0,π)求出α的值．(2)通过[−π4,π]，求出0≤α+π4≤5π4，即可求出函数的最大值，最小值．33.答案：解：(Ⅰ)如图，∵|QP|=|QN|，∴|MQ|+|QN|=|MP|=4，故点Q 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设点G(x 1,y 1)，H(x 2,y 2)，方程联立{y =kx +mx 24+y 2=1 ，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，由韦达定理，得x 1+x 2=−8mk1+4k 2，所以y 1+y 2=2m1+4k 2，所以△GOH 的重心的坐标为(−8mk3(1+4k 2),2m3(1+4k 2))， ∴[−8mk3(1+4k 2)]2+[2m3(1+4k 2)]2=49，整理得：m 2=(1+4k 2)21+16k 2①依题意△=(8mk)2−16(m 2−1)(1+4k 2)=16(1+4k 2−m 2)>0，得m 2<1+4k 2 ② 由①、②易得k ≠0，设t =1+16k 2 (t >1)，则1+4k 2=t+34，所以m 2=t+9t+616≥2√t⋅9t+616=34，当且仅当t =3取等号，所以实数m 的取值范围是(−∞,−√32]∪[√32,+∞)．解析：本题考查点的轨迹方程的求法，考查韦达定理、基本不等式、直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意积累解题方法，属于中档题．(Ⅰ)如图，通过|QP|=|QN|，|MQ|+|QN|=|MP|=4，可知点Q 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长等于4的椭圆，即得椭圆C 的方程；(Ⅱ)设点G(x 1,y 1)，H(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆C 的方程，由韦达定理得x 1+x 2，从而可得y 1+y 2，及△GOH 的重心的坐标并将其代入圆的方程，通过计算得m 2=(1+4k 2)21+16k 2<1+4k 2(k ≠0)，利用不等式即得实数m 的取值范围．34.答案：解：(1)∵CD//平面ABP ，CD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABP =AB ，∴CD//AB ，分别取AP ，BP 中点E ，O ，连接DE ，EO ，OC ，则CD//EO ，CD =EO ，所以四边形DEOC 为平行四边形． ∴DE//OC ，∵CO ⊥PB ，CO ⊥AB ，PB ∩AB =B ， ∴CO ⊥平面ABP ，∴DE ⊥平面ABP ∵DE ⊂平面DAP ，∴平面BAP ⊥平面DAP ， (2)由(1)可得OC ，OB ，OE 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系O −xyz ，如图，则由已知条件有：C(√3,0,0),D(√3,0,2)，P(0,−1,0),A(0,1,4),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,4)，平面PCD 的一个法向量记为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2z =0√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)，从而sinα=|cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|−2√32√5×2|=√1510．解析：(1)推导出CD//AB ，分别取AP ，BP 中点E ，O ，连接DE ，EO ，OC ，推导出四边形DEOC 为平行四边形．从而DE//OC ，由CO ⊥PB ，CO ⊥AB ，得CO ⊥平面ABP ，从而DE ⊥平面ABP ，由此能证明平面BAP ⊥平面DAP ．(2)由OC ，OB ，OE 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出sinα的值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．35.答案：解：(1)设恰有3个股东选择同一种产品的事件为A ，由题意可知，5个股东共有45种选择，而恰好由3个股东同时选择同一种产品的可能情况为C 53⋅(A 42+A 43)种，所以P(A)=C 53⋅(A 42+A 43)45=45128；(2)①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为： [(550+500+⋯+100+50)+50]×0.016812=(550+502×11+50)×0.0014=4.69(万元)；②由条件可知，高新项目投资可得收益频率分布表为：所以高新项目投资所得收益的期望为：E(t)=(−x 330000+0.02x 2+0.135x)×0.6+0×0.2−0.2×0.27x=−0.00002x 3+0.012x 2+0.027x ，所以存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：L(x)=−0.00002x 3+0.012x 2+0.027x +0.036×(500−x)+0.018×612x +4.69 =−0.00002x 3+0.012x 2+22.69(0≤x ≤500)，所以L′(x)=−0.00006(x 2−400x)，令L′(x)=0，解得x =400或x =0，由L′(x)>0，可得0<x <400，由L′(x)<0，可得400<x <500，所以当x =400时，L(x)取得最大值为L(400)=662.69，所以当x =400时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大为662.69万元．解析：(1)设恰有3个股东选择同一种产品的事件为A ，分别求出5个股东的选择种数，恰好由3个股东同时选择同一种产品的种数，然后利用古典概型的求解公式计算即可；(2)①利用等差数列求和公式求解2021年全年该公司从协定存款中所得的利息即可；②先求出高新项目投资可得收益频率分布表，然后利用期望的计算公式求出高新项目投资所得收益的期望E(t)和存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望L(x)，然后利用导数求解最值即可．本题考查了古典概型、概率分布列、等差数列、导数等知识的综合应用，考查了数据处理能力、逻辑推理能力、化简计算能力，综合性强，属于中档题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021高三数学联合诊断性考试2
数学（理科试题）
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时刻120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共50分)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题上。

3．考试终止，监考人将本试题和答题卡一并收回。

参考公式：
假如事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 假如事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 ()(1)k k n k n n P k C P P -=-
球的表面积公式 24S R π= 其中R 表示球的半径
球的体积公式 34
3
V R π= 其中R 表示球的半径
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必需答在答题卡上。

1．在锐角三角形ABC 中，设sin sin , cos cos x A B y A B =⋅=⋅，则,x y 的大小关系是 A ．x y ≤ B ．x y < C ．x y ≥ D ．x y >
2．若()215n
x +的展开式中各项系数之和是n a ，()325n
x +的展开式中各项二项式系数
之和为n b ，则2lim
34n n
n n n
a b a b →∞
-+的值为
A ．23-
B ．12-
C ．14
D ．13
3．已知命题p ：不等式1x m ->的解集是R ，命题q ：()2m
f x x
-=在区间()0,+∞上是减函数。

若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范畴是
A ．(),0-∞
B ．()0,2
C ．[)0,2
D ．(),2-∞
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
5．如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，I 为DE 的中点，G 、H 分别在FC 、EC 上，且
2
3
CG CH CF CE ==，将ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与BI 所成角的余弦值为
A ．1
2
B
C
D
6．假如一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称那个
点为“好点”。

在下面的五个点()()()()11,1,1,2,2,1,2,2,2,2M N P Q G ⎛⎫
⎪⎝⎭
中，“好点”的个数
为
A ．0个
B ．1个
C ． 2个
D ．3个
7．不等式1
ax a x
->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范畴为 A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
8．已知()()22
2212:9,
:461C x y C x y +=-+-=，两圆的内公切线交于1P 点，外
公切线交于2P 点，若1112PC C P λ=，则λ等于
A ．916-
B ．12-
C ．13-
D ．1
3
9．已知关于t 的二次方程()20,t tx y x y R +-=∈的实根[]1,1t ∈-，那么点(),P x y 的集合的平面区域的形状（图）是
D
C
B
A
10．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到()0,1，尔后它接着按图所示在x 轴、y 轴的平行方向向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，2005秒
时，那个粒子所处的位置是
A ．()19,44
B ．()44,19
C ．()19,45
D ．()45,19
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
C
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上
（只填结果，不要过程）。

11．若复数1
1z i =+，则复数()
z z i -的虚部是______________.
12．已知()()31
33
f x x xf =+'0，则()1f '等于______________.
13．在下面等号右侧两个分数的分母处，各填上一个自然数，同时使这两个自然数的
和最小，()()
141=+.
14．若焦点在x 轴上的椭圆22
2
145x y b +=上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，
则b 的取值范畴是____________.
15、关于函数()111cos 222x
f x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，有下面四个结论：
①()f x 是奇函数； ②当2005x >时，()1
2
f x >恒成立； ③()f x 的最大值是
32； ④()f x 的最小值是12
-。

其中正确结论的番号是______________________.
16、定义运算()()()()1:,0,n n x nx c cx c x -ΓΓ=Γ=Γ=Γ（c 为常数），
()()()x y x y Γ+=Γ+Γ，若()()()23432
3523,x f x x f x x x x f x ⎡⎤⋅+⋅Γ=+-⎣⎦为多项式函数，则()f x =____________________________.
三、解答题：（本大题6个小题，共76分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要的文字说明、推理过程或运算步骤）。

17．（12分）有一批零件共10个合格品，2个不合格品。

安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回。

（Ⅰ）求最多取2次零件就能安装的概率；
（Ⅱ）求在取得合格品前差不多取出的次品数ξ的分布列，并求出ξ的期望E ξ和方差D ξ（方差的运算结果保留两个有效数字）。

18．（13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面,ABCD CD PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，,,3AD BC AB BC AB AD PB ⊥===。

点E 在棱PA 上，且PE=2EA 。

（Ⅰ）求证：PC 平面EBD ；
（Ⅱ）求平面PCD 与平面PAB 所成的角（用反三角函数表示）。

19．（13分）锐角,αβ满足()sin cos sin 0,2m m πβαβααβ⎛
⎫=+⋅>+≠ ⎪⎝
⎭，令
tan ,tan y x βα==
（Ⅰ）试求()y f x =的表达式；
C B
（Ⅱ）当,42ππα⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，求函数y 的最大值。

20．（12分）设函数()2*2
1
x x n
y x N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，
且n c
（Ⅰ）求数列{}n c 的通项公式；
（Ⅱ）令12
111
n n
T c c c
=+++
，求证：)
21n T <<
21．（12分）已知函数()()2
212
x f x x R x -=∈+在区间2
2,1a a ⎡⎤+⎣⎦上是增函数。

（Ⅰ）求实数a 的取值范畴；
（Ⅱ）设关于x 的方程()1
f x x m
=+的两个实根为()1212,,x x x x m
≠-，试问：是否存
在实数b ，使不等式21221b tb x ++≤-对任意m R ∈及[]1,1t ∈-恒成立，若存在，
求出b 的范畴；若不存在，请说明理由。

22．（14分）如图所示，已知A ，B
2222
的公共顶点。

P ，Q 分别为双曲线和()
(),1AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈>，设AP BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k 。

（Ⅰ）求证；12340k k k k +++=；
（Ⅱ）设12,F F 21PF QF ，求22221234k k k k +++的值。

声明：
本试卷仅在中国名师教育网发表。

任何人不得转载或用于其他商业途径。

否则将追究责任！。

2021高三数学联合诊断性考试2

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学【含答案】

2021-2022年高三数学第二次诊断性考试试题 理

天津市武清区等五区县2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)

福建省南平市2021届高三下学期5月第二次质量检测 数学试卷,含答案解析

四川遂宁市高中2021届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题word版含答案

安徽省马鞍山市2021届高三第二次教学质量监测(二模)文科数学试题(word含答案)

新疆维吾尔自治区2021届高三数学下学期第二次诊断性测试试题 理(含解析)

2021届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考(二模)试题 文

内蒙古包头市2021届高三数学二模考试试题 理(含解析).doc

江苏省盐城市、南京市2021届高三年级二模数学试题(详解版)

2021年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷(理科)(二) (解析版)

2021年浙江省高职考试研究联合体高考数学第二次联考试卷(解析版)

2021届北京市丰台区高三二模数学试题(解析版)

西城区2021年高三二模数学试卷及答案

高三数学第二次诊断性考试试题(理科)

北京市海淀区2021届高三二模数学试题(解析版)

安徽省江淮名校2021届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案

浙江省高职考试研究联合体2021届高考数学第二次联考试卷(含答案解析)

2021-2022年高三数学第二次诊断性考试试题理

四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题理(含解析)

福建省南平市2021届高三下学期5月第二次质量检测数学试卷,含答案解析

新疆维吾尔自治区2021届高三数学下学期第二次诊断性测试试题理(含解析)

湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考(二模)试题文

内蒙古包头市2021届高三数学二模考试试题理(含解析).doc