2012数学建模深圳杯A答案

答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目：深圳人口和医疗需求预测（A）组别：本科生参赛学校：报名序号：参赛队员信息(必填)：答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1：省赛评阅2：省赛评阅3：省赛评阅4：省赛评阅5：深圳市人口和医疗需求预测模型摘要：人口和医疗问题是关系到国计民生的大问题，能够合理而准确地预测就显得非常重要。

但不同城市有不同的人口特点，本文在吸取前人经验的基础上，以深圳的人口为依托提出了一些新的简单而实用方法，希望能为政府决策提供帮助。

针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。

同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。

通过模拟出的常住人口和非户籍人口的函数，我们可以很容易的得出深圳市的人口数量变化情况，同时我们以非户籍人口和常住人口的函数之比作为深圳市人口结构的变化，通过作图发现，深圳市非户籍人口正逐年下降，这正和官方以及媒体报道深圳市产业转型相对应。

由于深圳市人口结构中外来人口比例接近76%，而且外来人口中以青壮年居多，可以认为在较短时间内（十年内）外来人口年龄结构近似不变，同时当地户籍人口因为受历史条件影响，人口年龄结构在短期内也不会发生较大变化，所以我们大胆假设深圳市未来十年人口年龄结构近似不变。

同时深圳市各区发展水平相同，可以认为其人口发展态势和深圳市总体相同，所以其所在深圳市人口比例不变。

通过查阅资料得知床位需求和各年龄段人数、住院率、平均住院天数以及该地平均年床开放日数有关，在查找资料以及大量演算基础上，利用已求出的常住人口变化函数，我们得出深圳市的床位需求函数，而深圳市各区对应的床位需求则为深圳市总的床位需求乘以本区总人口所占深圳市总人口的比例（已架设各区人口在较短时间内保持不变）。

考虑到问题研究的实用性，我们选取了肺癌和胃癌作为深圳市疾病研究的对象，我们通过查找肺癌和胃癌在深圳市不同年龄段的发病率，这两种病在市级和区级医院的住院天数以及这两种级别的医院的平均年床开放日数，利用已知的病床需求函数，做出了针对深圳市不同级别医疗机构的函数表达式，通过函数表达式我们可以很轻松的看出深圳市不同类型医疗机构的床位需求。

最后以我们的模型为依托去测试深圳市各年的相关数据，都表现出来比较好的吻合性，它充分证明了我们模型的正确性。

但是，由于时间仓促，模型仍有不完善地方，而且有其局限性（在较长时间内误差较大），随着时间推移，深圳外来人口比例将更低，老龄化趋势将更加显著，这显然会影响深圳市各级机构床位需求的预测，我们希望可以引入包含年龄结构的函数对其修正，而这将会成为我们以后的一个研究方向。

关键字：灰色GM(1,1)模型线性相关方程一、问题重述深圳市是一个流动人口多，户籍人口少的城市，外来人口多导致深圳市青壮年劳动力多，由于青壮年劳动力身体健康程度要高于其它人群，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。

然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。

这些都可能导致深圳市未来的医疗需求和现在有较大的差异。

未来的医疗需求和人口结构、数量和经济发展等因素相关。

请根据深圳市人口特点预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

二、问题分析深圳市人口特点是流动人口多，非户籍人口多，但户籍人口较少，针对这个情况，我们选取人口结构中的主要矛盾，即常住人口和非常住人口（即非户籍人口）进行研究。

我们首先分析了深圳市近十年的人口年龄结构变化，发现其结构变化幅度很小，因此在短期内我们可以认为其年龄结构恒定。

由于本题需要处理数据较多，我们采用matlab进行辅助分析，通过拟合结果研究其常住人口已经非户籍人口变化。

而对于人口结构，我们可以用非户籍人口和总人口的比例来表示。

床位需求主要由各年龄段的人数以及和其相对应的住院率相对应，因此我们可以先分析出深圳市的年龄结构（可以分析2010年），然后查找和其相对应的住院率数据，至此，我们便可完成问题的第一问。

而对于第二问，我们可以利用第一问得出的常住人口变化函数和人口年龄结构得出未来某一年深圳市的某一年龄段的人数。

考虑到研究的实用性和可行性，我们可以以肺癌和胃癌作为研究对象，通过肺癌和胃癌的住院率和发病率，得出住院人数。

同时我们需要考虑到不同类型的医疗机构的住院天数受医院设备、人员水平等因素影响，通过查找资料，我们可以得出不同类型的医疗机构治疗同一种病的住院天数。

于是，整个问题便被简化。

三、模型假设1.在较短时间内深圳市人口年龄结构保持不变；2.针对研究的问题，每个年龄段发病率住院率保持不变；3.抽样调查结果具有较高准确性；4.深圳市各区人口所占深圳市总人口比例保持不变；5.没有大的自然灾害等急剧影响深圳市人口结构的事件发生；6.深圳市现行的各种人口政策保持不变；四、符号说明 1.(0)x ——n 个元素的数列； 2.()(1)(0)1()ki x k x i ==∑；3.()d k ——x)1(的灰导数；4.(1)z ——()1x 的紧邻均值数列； 5.(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+-； 6.a ——称为发展系数；7.1()zk （）——称为白化背景值； 8.b 称为灰作用量； 9.Y 为数据向量； 10.B 为数据矩阵； 11.u 为参数向量；12.X ——总人口随时间变化的拟合函数； 13A ——人口结构变化率； 14.Q ——病床总需求； 15.C ——肺癌患病人数； 16.D ——胃癌患病人数；17.1E ——肺癌在市级医院的病床需求； 18.2E ——肺癌在区级医院的病床需求； 19.1F ——胃癌在市级医院的病床需求；20.2F ——胃癌在区级医院的病床需求；五、模型建立及求解问题I ：深圳市最近十年常住人口、非常住人口变化特征和未来十年发展情况。

首先，我们采用灰色GM(1,1)模型.采用原因：灰色模型适用于小样本、贫信息、内在规律未充分外露的系统，按适当办法处理原始数据后得到规律性较强的生成函数.本题给出的常住人口、非常住人口数据受到难以区分的多重因素影响，且数据量较小，适用于灰色模型.由于常住人口数量受历史影响较大，不易发生较大变化，且在数据处理中发现了较强的线性关系，我们之后采用了一元线性拟合来简化模型；而非常住人口受各方面因素影响较大，仍保持灰色模型不变。

最后我们得出了和常住/非常住人口相关的人口结构变化规律。

(一) 灰色模型部分.目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型.它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近.经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律.因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的.[1]GM(1,1)的定义设(0)x 为n 个元素的数列(0)(0)(0)(0)((1),(2),())x x x x n =,，(0)x 的AGO 生成数列为[](0)724.57746.62778.27954.28995.011037.2X =，其中()(1)(0)1()ki x k x i ==∑()1,2,k n =,.则定义()1x 的灰导数为(0)(1)(1)()()()(1)d k x k x k x k ==--，令(1)z 为数列()1x 的紧邻均值数列，即(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+-，2,3,,k n =…则(1)(1)(1)(1)((2),(3),())z z z z n =,.于是定义GM(1,1)灰微分方程模型为(1)()()d k az k b +=，即(0)(1)()()x k az k b += (a)其中(0)()x k 称为灰导数，a 称为发展系数，1()zk （）称为白化背景值，b 称为灰作用量.将时刻2,3,k n =…,代入(a)式中有(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)(3)(3)()()x az b x az bx n az n b⎧+=⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 令(0)(0)(0)((2),(3),())T Y x x x n =,，(,)T u a b =，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢-⎥⎣⎦，称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，u 为参数向量，则GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程Y Bu =.由最小二乘法可以求得1ˆˆˆ(,)()T T T ua b B B B Y -== GM(1,1)的白化型对于GM(1,1)的灰微分方程（7），如果将(0)()x k 的时刻2,3,k n =视为连续的变量t ，则数列()1x 就可以视为时间t 的函数，记为(1)(1)()x x t =，并让灰导数(0)()x k 对应于导数(1)dx dt，背景值(1)()z k 对应于(1)()x t .于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程为(1)(1)dx ax b dt+= 称之为GM(1,1)的白化型. 2. 模型建立此预测模型是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线拟合得到预测值. 建立过程如下： 1) 设原始数据序列(0)X 有n 个观察值，(0)(0)(0)(0){(1),(2),,()}X X X X n =，通过累加生成新序列(0)(1)(1)(1){(1),(2),,()}X X X X n =，利用新生成的序列(1)X 拟合函数曲线.2) 利用拟合出的函数求出新生序列(1)X 的预测值序列(1)X .3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原，得到灰色预测值序列0000{(1),(2),,()}X X X X n m =+（共n+m 个，m 个未来预测值）.将序列(0)X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映(0)X 的确定性增长趋势，0Z 反映(0)X 的平稳周期变化趋势.4) 对(0)X 序列的确定增长趋势进行预测.3 模型求解整理得深圳市2001年~2010年常住人口数，见下表.表一：深圳市2001~2010年年末常住人口数根据上述数据建立含有10个观察值的原始数据序列(0)X ：[](0)724.57746.62778.27954.28995.011037.2X =使用Matlab 软件对(0)X 进行一次累加，得到新数列(1)X ，见表二. 序号年份 模型值 残差 相对误差 级比偏差(1)(2)X 2001 724.57 0 0(1)(3)X 2002 739.77 0.0092 0.123% -0.0121 (1)(4)X 2003 771.49 0.0087 0.112% -0.0004 (1)(5)X 2004 804.56 -0.0047 0.059%-0.0135(1)(6)X 2005 839.06 -0.0134 0.1650% 0.0089 (1)(7)X2006875.03-0.00450.0518% 0.0090(1)(8)X 2007 912.54 -0.0002 0.0020% 0.0043 (1)(9)X 2008 951.66 0.0027 0.0287% 0.0029 (1)(10)X 2009 992.46 0.0026 0.0257% -0.0002 (1)(11)X20101035.010.00210.0204% -0.0005拟合函数：0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ⨯+=⨯-由残差、相对误差、级比偏差可知此模型精度较高，可用于预测.预测值见下表.表三：2011年~2020年深圳市常住人口预测人数同理，整理得2001年~2010年非户籍人口数如下表.表四：2001年~2010年非户籍人口数表五：GM(1,1)算法拟合值及误差表六：2011~2020年非户籍人口预测值拟合函数： 0.0327356(1)17965.017372.5t Y t e ⨯+=⨯-(二) 一元线性拟合部分由表一作出年份-常住人口数（单位：万人）曲线如下图：图一由图可见数据的线性关系很强，且在一段时间内仍保持线性增长趋势。