1.1.2 空间向量的数量积运算

第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”.
1.对于非零向量a,b,〈a,b〉与〈a,-b〉相等. ( ✕ ) 提示:〈a,b〉与〈a,-b〉互补. 2.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c). ( ✕ ) 提示:(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,但c与a不一定共线. 3.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ✕ ) 提示:由a·b=b·c知b·(a-c)=0,即b与a-c垂直或a=c,故a=c不一定成立. 4.若a·b=0,则a=0或b=0. ( ✕ )
| a || b |
2.求两条异面直线所成的角的步骤 (1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量); (2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题; (3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值; (4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加 上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.
利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量的模表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示此向量; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广 由公式|a|= a a 可以推广为|a±b|= （a b）= a2 2abb2.
·(OA
+OB
+OC
)=
1 OB 3
1 OC 3
1 3
OA
·(OA
+OB
+OC
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)=
3
2
OB
1
+
3
2
OC
1
+
3
2
OA
1
=
3
×22+1
3
×32+
1 ×12=14 .
3
3
答案 (1) 1 a2
4
(2)14
3
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
利用空间向量的数量积求夹角
1.求空间两个向量的夹角的方法 (1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围; (2)先求a·b,再利用公式cos〈a,b〉= a b 求cos〈a,b〉,最后确定〈a,b〉.
36
36
36
所以 AO⊥ BO ,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
2
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
空间向量的数量积
1.定义 已知两个非零向量a,b,则⑦ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作⑧ a·b . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨ 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
利用空间向量的数量积判断或证明线线、线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量,只 要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然 后利用向量法证明线线垂直即可. 用向量法证明垂直关系的步骤: ①把几何问题转化为向量问题; ②用已知向量表示所证向量; ③结合数量积公式和运算律证数量积为0; ④将向量问题回归到几何问题.
证明 设VA =a,VB =b, VC=c,正四面体的棱长为1,
则VD
=
1 3
(a+b+c),
AO
=
1(b+c-5a),
6
BO
=
1(a+c-5b),
6
CO
=
1 6
(a+b-5c),
所以 AO ·BO= 1 (b+c-5a)·(a+c-5b)= 1 (18a·b-9|a|2)= 1 ×(18×1×1×cos 60°-9)=0,
.
解析
(1)
AE
·AF
1
=2
(AB
+AC
1
)·2
AD
1
=4
(AB
·AD
+AC
·AD
1
)=4
1
(a2cos 60°+a2cos 60°)=4
a2.
(2)由题意知
OG
=OA
+
AG
=OA
+
2 3
×
1 2
(
AB
+
AC
)=OA
+
1 3
[(OB
-OA
)+(OC
-OA
)]=
1 3
OB
+
1 3
OC
+
1 3
OA ,
∴ OG
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 AE
·AF =
;
(2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG ·
(OA + OB+ OC)=
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD= b,求C,D间的距离. 思路点拨 已知线段AB、AC、BD的长度,由已知可得线段AB、AC、BD两两所成角,所以用 CA+ AB+ BD 表示 CD,结合向量的数量积公式求出C,D间的距离. 解析 由AC⊥α,知AC⊥AB.如图,过点D作DD'⊥α于点D',连接BD',则∠DBD'=30°,〈 CA, BD〉 =120°,
a，b
b |b|
,向量c称为
向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)).
图(1)
图(2)
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
2.如图,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A', B',得到向量 A'B',向量 A'B'称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a, A'B的' 夹角就是向 量a所在直线与平面β所成的角.
a2
5.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立).
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
空间向量的投影
1.如图(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一
个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=
| a | cos
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选择性必修第一册 人教A版
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的夹角及其表示方法. 2.掌握空间向量的数量积及其运算律. 3.能用空间向量的数量积解决立体几何问题.
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
空间向量数量积的性质
1.a·e= |a|cos〈a,e〉 (其中e为单位向量); 2.若a,b为非零向量,则a⊥b⇔ a·b=0 ;
3.a·a=|a||a|cos〈a,a〉=|a|2或|a|= a a=
a2 ;
ab
4.若a,b为非零向量,则cos〈a,b〉= | a || b | ;
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为
0,
π 2
,因此利用向
量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当〈a,b〉∈
0,
π 2
时,它们相等;
当〈a,b〉∈
π 2
,π
时,它们互补.
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
空间两个向量的夹角
1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA =a, OB=b,则① ∠AOB 叫做向量a,b的 夹角,记作② 〈a,b〉 .
2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ [0,π] ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若 〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 相反 ;若〈a,b〉=π ,则向量a,b⑥ 互相垂直 .
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
空间向量的数量积运算
1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代 入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入向量的数量积公式进行运算求解.
所以|CD |2=CD ·CD =(CA +AB +BD )2=|CA |2+|AB |2+|BD |2+2CA ·AB +2CA ·BD +2AB ·BD =b2+a2+b2 +2b2cos 120°=a2+b2,故CD= a2 b2.
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
利用空间向量的数量积证明垂直
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何
如图,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.求证:AO,BO,CO两两垂直.
思路点拨 因为正四面体各条棱都相等,且相邻两条棱的夹角为60°,所以可以用过同 一顶点的三条棱表示AO,BO,CO,利用数量积的运算证明垂直.
第1讲 描述第运动一的章基本空概间念向量与立体几何