和三角形有关的向量问题

与三角形有关的向量问题

三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。

一、 三角形基本问题

例1. 如图∆ABC 中，= c ，= a ，= b ， 则下列推导不正确的是…（D ）

A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

B ．若a ⋅b = 0，则△AB

C 为直角三角形。

C ．若a ⋅b = b ⋅c ，则△ABC 为等腰三角形。

D ．若c ⋅(a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。

解：A ．a ⋅b = |a ||b |θcos < 0，则θcos < 0，θ为钝角

B ．显然成立

C ．由题设：|a |cos C = |c |cos A ，即a 、c 在b 上的投影相等

D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2. 如图：已知MN 是△ABC 的中位线，

求证：MN =2

1BC , 且MN ∥BC 证：∵MN 是△ABC 的中位线， ∴21=, 21= ∴2

1)(212121=-=-=-= ∴MN =2

1BC , 且MN ∥BC

例 3. 已知：平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。

证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R) 则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB

令1-t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1 充分性：=-=λ+ μ-= (λ-1)+ μ

= -μ+ μ= μ(-) = μ ∴三点A 、B 、C 共线

例4.（04浙江） 已知平面上三点C B A ,,

3=

4=

5=，则 AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于 一般地对于∆ABC 的结论是

A B C N M

例 . 某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，

无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ，

那么此时人感到的风速为v - a ，设OA = -a ，OB = -2a ∵PO +OA =PA ∴PA = v - a ，这就是感到由正北方向 吹来的风速，∵+= ∴= v -2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：∠PBO = 45︒, P A ⊥BO , BA = AO 从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风

二、 三角形重心问题

例1 . 已知O 是ABC ∆内一点，OA +OB +OC =0，则O 是ABC ∆的

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

例1.1 已知O 是ABC ∆内一点， OA +2OB +3OC =0，则问ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比是多少？

解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则2=+，()42=+，故可得： 32++()

22=+=，即2-=， 故2:3:=∆∆AOC AEC S S ，则1:3:=∆∆AOC ABC S S （二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是''C AB ∆的重心， '''9

131C AB AOC AOC S S S ∆∆∆==， 例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例 3. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P

满足

O

()++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 证：设= b ，= a ，则=+= b +21a , +== ∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设AG =λAD ，EG = μEB , 则=λ=λ(b +21a )=λb +2

1λa , = μ= μ(21b +a )=21μb +μa , ∵AG EG AE =+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +2

1λa ∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+2

1)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴32313202121021=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF

三、 三角形垂心问题 例1. ABC ∆中，O 为其外心，P 为平面内一点，OP OC OB OA =++ ，则P 是ABC ∆的

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P

满足

⎪⎫ ⎛++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

解：

C