和三角形有关的向量问题
三角形向量的公式大全
三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量加法）- 已知向量→AB和→BC，则→AC=→AB+→BC。
- 几何意义：将向量→AB的终点作为向量→BC的起点，连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。
2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。
- →AB+→BC=→BC+→AB（虽然三角形法则中顺序有意义，但从向量加法的结果看满足交换律，这里可以通过平行四边形法则辅助理解，以→AB和→BC为邻边的平行四边形，对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同）3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。
- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD)，例如在三角形ABC和三角形BCD中，(→AB+→BC)得到→AC，→AC+→CD=→AD；而→BC+→CD=→BD，→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量减法）- 若→AC=→AB+→BC，则→AB=→AC-→BC。
- 几何意义：向量减法是加法的逆运算，在三角形中，→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。
2. →AB与→BA的关系。
- →AB=-→BA，在三角形中，如果→AB表示从A到B的向量，那么→BA 就是从B到A的向量，它们大小相等，方向相反。
三、三角形中的向量数量积公式。
1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。
- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC，它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。
- 这个公式可以用来求三角形中的角，例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。
2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。
- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。
在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下，如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE（→AE=→AC+→AD），那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。
三角形面积向量公式
三角形面积向量公式三角形面积向量公式是指通过向量叉乘计算三角形的面积的公式。
在解决几何问题时，面积是一个重要的概念，而向量叉乘则是计算面积的有效方法之一。
本文将介绍三角形面积向量公式的原理和应用。
一、三角形面积向量公式的原理三角形的面积可以由底边和高计算得到，而向量叉乘可以通过向量的模长和夹角计算得到。
因此，我们可以通过向量叉乘的方法来计算三角形的面积。
在平面几何中，给定三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以构造两个向量AB和AC。
向量AB可以表示为向量OA减去向量OB，即AB = A - B；向量AC可以表示为向量OA减去向量OC，即AC = A - C。
我们可以求得这两个向量的叉积记为AB × AC。
根据向量叉积的性质，向量的模长与夹角的正弦值之积等于向量叉积的模长，即|AB × AC| = |AB| × |AC| × sinθ。
其中，θ为向量AB和向量AC的夹角。
三角形的面积等于底边AB的长度乘以高AC与底边AB的夹角θ的正弦值的乘积的绝对值的一半，即S = 1/2 × |AB| × |AC| × sinθ。
这就是三角形面积向量公式的原理。
三角形面积向量公式在几何问题中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断三点是否共线给定三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以构造两个向量AB和AC。
如果这两个向量的叉积AB × AC的模长等于零，那么三个点即共线。
这是因为共线的三个点构成的三角形的面积为零。
2. 判断两条线段是否相交给定线段AB和线段CD，我们可以构造四个向量AB、AC、CD和CA。
如果这四个向量的叉积AB × AC和CD × CA的符号不同，那么线段AB和线段CD相交。
这是因为相交的两条线段构成的四边形的面积大于零。
向量中三角形的外心问题
向量中三角形的外心问题
在向量中，三角形的外心问题是一个有趣且重要的数学问题。
外心是指三角形外接圆的圆心，这个问题涉及到向量的运算和几何性质，对于理解向量和几何的关系有着重要的意义。
首先，我们来看一下向量中三角形的外心是如何定义的。
给定三角形ABC，我们可以通过向量运算来求解外心O。
假设向量OA、OB、OC分别表示向量O到A、B、C的位移，那么外心O满足以下条件，OA⋅AB=OB⋅BC=OC⋅CA，即外心到三角形三个顶点的向量长度成比例。
通过这个定义，我们可以利用向量的线性组合和点积来求解外心的坐标。
这个过程需要一定的向量运算知识和几何推导，但是通过这个问题的研究，我们可以深入理解向量的性质和几何形状之间的联系。
除了理论研究外心的坐标，外心问题还可以引申出一些有趣的几何性质。
例如，外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离，这些性质可以通过向量运算和几何推导来证明，从而加深我们对向量和几何的理解。
在实际应用中，外心问题也有着重要的意义。
例如，在工程设计中，我们需要确定三角形的外心位置来设计合适的支撑结构；在计算机图形学中，外心问题也可以用来优化三角形网格的生成和渲染过程。
总之，向量中三角形的外心问题是一个涉及向量运算、几何性质和实际应用的重要数学问题。
通过研究这个问题，我们可以深入理解向量和几何的关系，拓展数学知识，同时也可以应用到实际工程和计算机领域中。
专题四：三角形中的三角问题含向量
高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝__2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝_______.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，AE CD P =I , 求△APC 的面积．例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sinsin cos +-的取值范围．例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝________.4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是________．5． 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝________..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____． 8. 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C －lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的序号是：9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的__ ______心．10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,；（2）求△ABC 的面积．12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a . (1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．专题四：三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝__－16解析 因为AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝2AM →，又AC →－AB →＝BC →，所以(AB →＋AC →)2－(AC →－AB →)2＝4AB →·AC →＝4AM →2－BC →2＝－64，所以AB →·AC→＝－16. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝____－14____.解析 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD→＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析 由m 与n 平行，得 3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，A ＝π3.又由a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，得sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是__2______．解析 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →. (1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB→的值． 解析 (1)因为BP →＝P A →，所以BO→＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，所以OP →＝12OA →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝12.(2)因为BP →＝3P A →，所以BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →， 即OP →＝34OA →＋14OB →，所以x ＝34，y ＝14.故OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，求△APC 的面积．解析 设AB→＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 和点D ，P ，C 均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又因为AP →＝AD →＋DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13μa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ＝67，μ＝47，所以S △P AB ＝47S △ABC ＝47×14＝8 (cm 2)，S △PBC ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67＝2 (cm 2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm 2).例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式212222C A A sin cos -的取值范围．答案 解：（Ⅰ）∴ABC ∆为正三角形.（Ⅱ）212cos 2sin 32sin 2-+A A C ==1223A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴126sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是144⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由题意，得OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1·OB →＋(ln x －y )·OC →，且A ，B ，C 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＋(ln x －y )＝1，所以y ＝f (x )＝ln x ＋12x 2(x >0)．(2)因为f ′(x )＝1x ＋x ，所以|a －ln x |>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，即a <ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 或a >ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 恒成立．因为ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln x 2x 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2＋1在[1,2]上取最小值－ln 2，ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln(x 2＋1)在[1,2]上取最大值ln 5，所以a 的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为 5∶12．在四边形ABCD 中，AB→＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD的面积为____3____．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝__π4______. 4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是___[－6,1]_____．解析 由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm ≤1.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)＝_－49_______.解析 因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝__52______. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____2． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2× 2 8． 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C－lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： ⑴⑵⑶9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC的__外______心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0， 所以NM→⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 22 11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,； （2）求△ABC 的面积．解析（1）OC OB OA 543-=+．两边平方，得222||25||1624||9OC OB OB OA OA =+⋅+，0=⋅∴OB OA ．同理可得，54-=⋅OCOB ，54-=⋅OC OB ．（2）由0=⋅OB OA ，可得，21||||21,=⋅=∴⊥∆OB OA S OB OA AOB ． 由54-=⋅OCOB ，得53sin ,54cos =∠∴-=∠BOC BOC ，103sin ||||21=∠⋅=∴∆BOC OC OB S BOC 同理求得其他三角形面积， 所以565210321=++=++=∆∆∆∆AOC BOC AOB ABC S S S S ． 12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA. 解析（1）f(x)=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 23322x x x x ππ--+=- ∴函数f(x)的最大值为13+,最小正周期π. （2）f(3C )=132sin 23C -=－41，∴23sin 3C =，∵C 为锐角， ∴233C π=，∴2C π=,∴sinA =cosB=31.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a .(1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．解析 (1) A ＝π3.(2)b ＋c ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32.所以32cos B ＋32sin B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF→的最值．解析 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，是设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值13－43，(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.。
微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。
关于三角形中平面向量的两个结论
因 为 Ｄ点 在 三 角 形 ＡＢＣ的 内 部 。所 以在 线 段 ＢＣ上 ．Ｋ 点
之 间 的关 系 。 而 三角 形 相 似 可 以提 供 线 段 之 间 的 比 例 关 系 。 必定在 厶点 的左边 ，即 ＢＫ＜ＢＬ，再 由① 和② 可得 ： ＡＦ ＜ Ｂ Ｅ ＝
ＡＢＤＥ￣ＡＢＣＡ＠ ＢＥ＝器
：ｍ （ｍ为正实数，且小于１），贝ｆ Ｊｌ 『：ｍＩ ｌ，并且有
：， 十 ① 接 下 来 我 们 期 望 得 出 与 之 间 的关 系 ：
求 与 之 间 的关 系 的 方法 也 和 上题 类 似 ：
△ ，ＪＥ △曰
＝
③
△ｃ △ 曰 ＝＿ＡＦ＿ ④
由于 与 是共线向量，所以只需找到Ｊ Ｊ与ｊ ｆ
实 践 讲 堂
近些 年来 ．平 面 向 量 与 解 三 角 形 相 结 合 的 题 目经 常 出 现 在 取 值 范 围为 Ｏ＜ｍ＋ｎ＜ｌ。 各 类 考 试 题 中 ．并 且 通 常 是 以选 择 或 填 空 的 形 式 出 现 ．下 面 是 与 之 相关 的 两个 简单 结 论 。
· ＝ ＋ＡＴ ： ＋（１一ｍ） ，
．
显 然 ，ｎ＝ｌ—ｍ，即 ｍ＋ｎ＝Ｉ。
＜１－ｍ ，．‘．Ｏ＜ｍ ＋ｎ＜ｌ。
【其 他 形 式 】若百 ＝ｍ百 ＋ｎ ，则 ｍ＋ｎ的范 围 是 ｏ＜ｍ＋ｎ １；若 ＝ｍ ＋ｎｃ －－ｆ，则 ｍ＋ｎ的范围是 ０＜ｍ＋ｎ＜１；若 Ｄ点是三 ￣ ｆ￣ＡＢＣ的 中 心 ，此 时 ｍ＝ｎ＝丁１
结 论 ２：如 图 （３），在 三 角 形 ＡＢＣ 中 ，Ｄ 是 ＡＡＢＣ 内 的 任 意
：ｍ ＋ｎ （ｍ， Ｅ Ｒ），则 ｍ２＋ｎ２—２ｍ一２ｎ＋３的 取 值 范 围 是
向量在证明三角形相关性质中的运用
向量在证明三角形相关性质中的运用陈珊珊摘要：向量的双重身份使其成为沟通几何与代数的强而有力的工具，更为几何证明开辟了新途径。
本文将利用向量来证明三角形的相关性质。
关键词：向量，三角形，特殊几何点 一、 引言伴随着教育教学理论的不断发展，高中数学正如火如荼的进行着。
这场课程改革的一个主要特征就是将向量引入中学数学教材 。
这也是近几十年来国内外教学改革的一个共同特点。
从六十年代初的新数运动到七十年代末的回到基础 ,许多国家的数学课程都不同程度涉及到平面向量 。
日本数学课程安排的必学内容较少 ,但却安排不少的向量知识作为必学内容 。
前苏联也曾致力于用向量、变换等来处理欧氏几何。
由国家教委组织编写的《中学数学实验教材》、人教社编写的高中《数学》试验课本 ,都曾在不同程度上将向量知识渗透入中学数学 ,用向量方法处理传统的几何、三角等问题[1]。
这次将向量作为高一的必修内容 ,是一个重大举措 。
向量本身具有双重身份，一是几何形式——它既有大小又有方向，并用有向线段来表示，其运算都具有明确的几何意义。
二是代数形式——平面内的任一向量可以用有序实数对来表示，其运算都具有相应的代数表示。
这就使向量成为沟通几何与代数的强而有力的工具。
同时也为几何证明开辟了全新的途径。
传统的几何证明称为综合法，是利用欧几里得几何学所采用的方法，也是最早的研究几何的方法。
它不使用其他工具，只是依据基本的逻辑原理，从公理出发，通过演绎推理建立起来的几何体系。
应当说，综合法所给出的几何论证严谨且优雅，但没有一般规律可循，存在较大的思考难度，往往对人的智力形成极大的挑战。
与之相反，利用向量工具来进行几何证明遵循着一定的规律，那就是我们所熟悉的“三步曲”，简单的表述为：[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。
例如，运用传统欧氏几何的证明方法来证明三角形的特殊几何点（重心、垂心、内心、外心）的存在性是较难的。
然而利用向量可以把复杂的几何证明转化为简单的向量运算，从而有效的简化问题。
三角形向量定理
三角形向量定理三角形向量定理是解决三角形中各种问题的重要工具。
它将三角形的边和角与向量的数量关系结合起来，使得我们可以通过向量的运算来推导和解决与三角形有关的各种问题。
本文将从三角形向量定理的定义、推导和应用几个方面进行介绍。
我们来看一下三角形向量定理的定义。
三角形向量定理是说，对于任意一个三角形ABC，如果我们以一个点O为原点建立一个坐标系，那么三角形的三个顶点A、B、C对应的向量a、b、c满足以下关系：c = a + b。
也就是说，三角形的一条边的向量等于另外两条边的向量之和。
接下来，我们来推导一下三角形向量定理。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
我们以点O为原点建立坐标系，那么向量a、b、c的坐标分别是(a1, a2)、(b1, b2)、(c1, c2)。
根据向量的加法规则，我们可以得到：c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2。
这就是三角形向量定理的推导过程。
三角形向量定理可以应用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，我们可以利用三角形向量定理来求解三角形的面积。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
根据三角形的面积公式，我们可以得到三角形的面积S等于底边BC的长度与高h的乘积的一半。
而底边BC的长度可以通过向量c的模长来计算，即|c| = √(c1^2 + c2^2)。
而高h可以通过点A到直线BC的距离来计算，即h = |Proj_AB(c)| = |c| * sin(angle(AB, c))，其中Proj_AB(c)表示向量c在向量AB上的投影，angle(AB, c)表示向量AB与向量c之间的夹角。
因此，三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * |c| * |c| * sin(angle(AB, c)) = 0.5 * |c|^2 * sin(angle(AB, c))。
除了求解三角形的面积，三角形向量定理还可以用于判断三角形的形状。
与三角形相关的向量典型问题分析
与三角形相关的向量典型问题分析一、与三角形“四心”相关的向量问题【定理1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．的重心．例1、 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的（的（ ）. A. 外心外心 B. 内心内心 C. 重心重心 D. 垂心垂心【定理2】 P 是ABC △所在平面上一点，若P A PC PC PB PB P A ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．例2. 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足c o s c o s A B A C O P O A A B B A C C l æöç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（的（ ）．）．A. 外心外心B. 内心内心C. 重心重心D. 垂心垂心【定理3】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．的内心．A B A C A B A C l æöç÷=++÷，l 222OA OB OC O cos cos OB AB AC OP AB B AC Cæö+=+÷AB AC 满足)||||AB AC BC AB AC +×12||||AB AC AB AC ×=，则|BA tBC ||AC 23OA OB OC = 0, 则：则： 垂直、夹角)OC OA OB l m =+，且2AD DB =，1CD的直线分别交直线AB 、AC 于不同于不同 AB mAM =，AC nAN =，则，则 的重心，若PQ 过△ABC 记CA = a ,CB = b , CP = m a , CQ = n b , 则11m n+=__________. ||1a =, ||2b =, a 与b 的夹角为求使a kb +与ka b +的夹角为锐角的实数k 的取值范围. 已知(2,a m =-，(21,b m =+，且a 与b 的夹角为钝角，求实A B C M O N E G A B C M P Q 。
三角形外心向量定理
三角形外心向量定理
三角形外心向量定理，也称作费马定理或外接圆定理，指出在任意三角形ABC中，三角形的外心O到三个顶点A、B、C的向量之和等于零，即：
OA + OB + OC = 0
这个定理表明，在任意三角形中，外心O到三个顶点的向量之和为零。
也就是说，从外心出发，到达三个顶点的向量的合力为零。
这个定理可以通过向量的运算进行证明。
我们可以通过向量OA、OB 和OC的定义，将它们表示为两个顶点的向量之差：
OA = A - O
OB = B - O
OC = C - O
将这些向量代入上述等式中，我们可以得到：
(A - O) + (B - O) + (C - O) = 0
然后将括号中的向量相加，得到：
A +
B +
C - 3O = 0
由于三个顶点的坐标是已知的，我们可以将它们代入上式中，进一步简化为：
O = (A + B + C) / 3
这个结果表明，三角形的外心O的坐标可以通过三个顶点的坐标求平均值得到。
三角形外心向量定理是三角形的一个重要性质，它与外接圆的性质密切相关，对于解决与三角形外接圆有关的问题具有重要的应用价值。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
向量在三角形中的应用课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
感谢您的观看。
总结词
04
CHAPTER
三角形面积与向量的关系
三角形面积与向量的关系三角形作为几何学中的基本图形之一，在数学研究中具有重要的地位。
而面积作为三角形的一个重要属性，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将探讨三角形的面积与向量的关系，并阐述相关的计算方法和证明过程。
一、向量的基本概念在开始具体讨论三角形面积与向量的关系之前，我们首先需要了解一些向量的基本概念。
1. 向量的定义：向量是带有方向和大小的量，通常用箭头符号表示。
在平面几何中，我们常常用有向线段来表示向量，其中箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量，并且它们的大小可能相等也可能不等。
3. 向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，表示这两个向量的相对于夹角大小的乘积。
4. 向量的叉积：两个向量的叉积是一个向量，其大小与构成这两个向量的平行四边形的面积成正比。
二、三角形面积的计算公式在几何学中，我们通常使用基于三角形的底和高的计算公式来求解三角形的面积。
对于已知三角形的底和高的情况，我们可以使用以下公式来计算三角形的面积：S = (1/2) * 底 * 高三、三角形面积与向量的关系三角形的面积与向量有密切的关系。
下面我们将从两个方向来探讨这种关系。
1. 向量的数量积与三角形面积的关系设向量a和向量b分别为三角形的两边，夹角为θ。
根据向量的数量积的定义，我们知道：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度。
从这个公式中，我们可以看出，当θ=90°时，cosθ=0，向量a和向量b垂直，此时向量的数量积为零，即：a·b = 0这说明两条垂直的向量的数量积为零。
而在几何学中，两条垂直的向量所构成的平行四边形正好是一个矩形，其面积为a和b的数量积的绝对值，即：S = |a·b|所以，我们可以得出结论：两个向量的数量积的绝对值等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。
微专题8 平面向量与三角形的“四心”
+
| |
或＝＋
若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即为经
典的“奔驰定理”.若△ABC的三边为a，b，c，有a·＋b·＋c·＝0，则O
为△ABC的 （
）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析：B
∵＝＋，＝＋，∴a·＋b·＋c·＝a·
＝·，则点G可能通过△ABC的
（填：重心、内心、垂心或外
心）.
解析：由·＝·⇔·－·＝0⇔·（－）＝0，
【例4】 在△ABC中，设 2 － 2 ＝2·，那么动点M形成的图形必经过
△ABC的
A.垂心
（
）
B.内心
C.外心
D.重心
解析 如图所示，设线段BC的中点为D，则＋＝2，
∵ 2 － 2 ＝2·
，∴（＋）·
（－）＝
2·
，∴·
（＋－2）＝0，∴·
【例1】 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ（＋
）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的 （
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
）
解析 因为动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），所以＝λ（＋
），取BC中点D（图略），则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重
＋b（＋）＋c（＋）＝（a＋b＋c）·＋b·＋c·＝0，
∴＝
++
+
，∵ ， 分别是，方向上的单位向量，∴向
量 ＋ 平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，∴O为
三角形向量常用结论
三角形向量常用结论一、向量的加法在三角形中，我们可以将三个向量相加得到一个新的向量。
设三角形的三个边向量分别为a、b、c，则三个边向量的和向量为：a + b + c = 0。
这是因为在三角形中，从一个点出发，按顺时针或逆时针方向依次连接三个边向量的终点，会回到起点，即形成一个闭合的路径。
二、向量的数量积在三角形中，我们可以利用向量的数量积来计算三角形的面积。
设三角形的两条边向量为a和b，则三角形的面积S等于这两个向量的数量积的模的一半，即S = 1/2 |a·b|。
这是因为向量的数量积的模等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
三、向量的叉积在三角形中，我们可以利用向量的叉积来计算三角形的面积和方向。
设三角形的两条边向量为a和b，则三角形的面积S等于这两个向量的叉积的模的一半，即S = 1/2 |a×b|。
另外，向量的叉积还可以确定三角形的法向量，其方向垂直于三角形所在平面。
四、向量的投影在三角形中，我们可以利用向量的投影来计算三角形的高和底边的长度。
设三角形的一条边向量为a，以及与该边垂直的高向量h，则三角形的面积S等于底边的长度b与高的长度h的乘积的一半，即S = 1/2 bh。
其中，高向量h等于向量a的模与向量a的单位向量的数量积，即h = |a|·cosθ，其中θ为a与b的夹角。
五、向量的角平分线在三角形中，我们可以利用向量的角平分线来计算三角形的内心坐标。
设三角形的三个顶点坐标为A、B、C，对应的边向量为a、b、c，则三角形的内心坐标I等于三个边向量的和向量的模与和向量的单位向量的数量积，即I = (|a|a + |b|b + |c|c)/(|a| + |b| + |c|)。
六、向量的中线在三角形中，我们可以利用向量的中线来计算三角形的重心坐标。
设三角形的三个顶点坐标为A、B、C，对应的边向量为a、b、c，则三角形的重心坐标G等于三个顶点坐标的向量和的一半，即G = (A + B + C)/3。
三角形各心与向量的关系推导
三角形各心与向量的关系推导在三角形ABC中，0A，0B和0C分别表示三角形狭边AC，BC和AB 的单位向量。
另外，设AO，BO和CO分别表示三角形内心O对顶点A，B，C的向量，即OA，OB，OC.
首先显而易见，向量OA，OB，OC与向量0A，0B和0C成正切，依据正切定理有：OA*0A=OB*0B=OC*0C，并且整个三角形ABC的面积可由矢量叉积求得，即S=OA*0A*(1/2) 。
根据“勾股三边定中心点”的原理可以得出：
OA=|AB|/2=|BC|/2=|AC|/2 * 0A。
因此，OA*0A=(|AC|/2)*0A*0A=(|AC|/2)*1，同理
OB*0B=(|BC|/2)*1，以及OC*0C=(|AB|/2)*1。
整理上述结论可得：
OA*0A=OB*0B=OC*0C=1/2*(|AB|+|BC|+|AC|)/2，而三角形ABC的面积可以间接推出：S=OA*0A*(1/2)=1/4*(|AB|+|BC|+|AC|) 。
综上所述，三角形ABC 各内心与向量之间的关系可以推导出：OA*0A=OB*0B=OC*0C=1/2*(|AB|+|BC|+|AC|)/2，并且可进一步得出：S=OA*0A*(1/2)=1/4*(|AB|+|BC|+|AC|)。
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
三角形中基本向量关系
三角形中基本向量关系在三角形中，基本向量关系是指三角形内各个向量之间的相互关系。
这些向量包括三角形的边向量、斜边向量、高的向量等。
通过研究三角形中的基本向量关系，我们可以深入理解三角形的性质和性质之间的联系。
本文将从不同角度探讨三角形中的基本向量关系。
1. 三角形的边向量关系在一个三角形中，三条边可以表示为三个向量，分别为AB、BC和CA。
根据向量的性质，我们知道三角形的边向量之和为零。
即：AB + BC + CA = 0这个关系式可以用来验证三角形的边向量关系是否成立。
通过求和计算三个边向量的矢量和，我们可以判断它们是否为零向量，从而确定它们是否满足基本向量关系。
2. 三角形的斜边向量关系在一个直角三角形中，可以利用边向量和直角边向量的关系来探讨斜边向量的性质。
设直角三角形的斜边向量为AC，直角边向量为AB和BC。
根据勾股定理，可得：AC² = AB² + BC²这个关系式表明，直角三角形的斜边向量的平方等于直角边向量的平方和。
通过分解斜边向量和直角边向量的模长，我们可以进一步研究三角形的斜边向量关系。
3. 三角形的高的向量关系在一个三角形中，可以通过高的概念来研究三个顶点形成的三个向量之间的关系。
三角形的高可以分为高线和高的向量两个概念。
设三角形ABC的底边为BC，高线为AH，高的向量为AH。
根据垂直向量的定义，高的向量与底边向量垂直，即：AH·BC = 0这个关系式表示高的向量与底边向量的点积为零。
通过求解点积等于零的方程，我们可以进一步研究三角形的高的向量关系。
4. 三角形的角平分线向量关系在一个三角形中，可以通过角平分线的概念来研究三个角平分线所构成的向量之间的关系。
设三角形ABC的内角A的角平分线为AP，内角B的角平分线为BQ，内角C的角平分线为CR。
根据角平分线的性质，可得：AP/AB = AQ/AC = 1/2BQ/AB = BR/BC = 1/2CR/AC = CP/BC = 1/2这个关系式表示，三个角平分线所构成的向量与对边的比值均为1/2。
三角形的“四心”与平面向量
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其
｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋
｜｜cos
｜｜cos
｜｜cos
＋
＋
，
｜｜cos
｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.
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与三角形有关的向量问题三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。
在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。
一、 三角形基本问题例1. 如图∆ABC 中，= c ，= a ，= b ， 则下列推导不正确的是…（D ）A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
B ．若a ⋅b = 0，则△ABC 为直角三角形。
C ．若a ⋅b = b ⋅c ，则△ABC 为等腰三角形。
D ．若c ⋅(a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。
解：A ．a ⋅b = |a ||b |θcos < 0，则θcos < 0，θ为钝角B ．显然成立C ．由题设：|a |cos C = |c |cos A ，即a 、c 在b 上的投影相等D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2. 如图：已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN =21BC , 且MN ∥BC 证：∵MN 是△ABC 的中位线， ∴21=, 21= ∴21)(212121=-=-=-= ∴MN =21BC , 且MN ∥BC例 3. 已知：平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。
证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R) 则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB令1-t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1 充分性：=-=λ+ μ-= (λ-1)+ μ= -μ+ μ= μ(-) = μ ∴三点A 、B 、C 共线例4.（04浙江） 已知平面上三点C B A ,,3=4=5=，则 AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于 一般地对于∆ABC 的结论是A B C N M例 . 某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。
解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v - a ，设OA = -a ，OB = -2a ∵PO +OA =PA ∴PA = v - a ，这就是感到由正北方向 吹来的风速，∵+= ∴= v -2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：∠PBO = 45︒, P A ⊥BO , BA = AO 从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风二、 三角形重心问题例1 . 已知O 是ABC ∆内一点，OA +OB +OC =0，则O 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例1.1 已知O 是ABC ∆内一点， OA +2OB +3OC =0，则问ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比是多少？解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则2=+，()42=+，故可得： 32++()22=+=，即2-=， 故2:3:=∆∆AOC AEC S S ，则1:3:=∆∆AOC ABC S S （二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是''C AB ∆的重心， '''9131C AB AOC AOC S S S ∆∆∆==， 例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例 3. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P满足O()++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：设= b ，= a ，则=+= b +21a , +== ∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设AG =λAD ，EG = μEB , 则=λ=λ(b +21a )=λb +21λa , = μ= μ(21b +a )=21μb +μa , ∵AG EG AE =+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa ∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+21)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴32313202121021=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF三、 三角形垂心问题 例1. ABC ∆中，O 为其外心，P 为平面内一点，OP OC OB OA =++ ，则P 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P满足⎪⎫ ⎛++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：C⎫⎛+=λ，且0=+=⋅⎪⎫⎛+λ例3. 已知O是ABC∆所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则O是ABC∆A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4. 如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，AB= a, = b, AH= h,则BH= h-a , = h-b , = b-a∵BH⊥, ⊥∴0)()()()()(=-⋅⇒⋅-=⋅-⇒⎭⎬⎫=⋅-=⋅-abhabhbahaahbah∴⊥又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点例4. 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2 + ||2 = ||2 + ||2 = ||2 + ||2，则O是三角形的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：设= a, = b, = c,则= c-b, = a-c, = b-a由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，化简：a2 + (c-b)2 = b2 + (a-c)2 = c2 + (b-a)2得：c•b = a•c = b•aCC从而•= (b - a )•c = b •c - a •c = 0 ∴⊥ 同理：⊥, ⊥四、 三角形外心问题例1. 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222OC OB OA ==，则O 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足++=2⎪⎫ ⎛+λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：点P 在BC 的垂直平分线上五、 三角形内心问题例 1. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P满足⎪⎫ ⎛++=OA OP λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例 2. O 是ABC ∆所在平面上一点，C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若=++c b a ，则O 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：因为0=++OC c OB b OA a ，又AB OA OB +=，AC OA OC +=，所以()=++++c b c b a，即⎪⎫ ⎛++=c b a bc 例3. 三个不共线向量,,满足⎫⎛+⋅=⎫⎛+⋅=⎫⎛+⋅则O是ABC∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4. 若I是ABC∆的内心，CBA,,所对的边分别是cba,,，O为ABC∆所在平面上一点，求证：cbaOCcOBbOAa++⋅+⋅+⋅=六、三角形心心关系在ABC∆中，HGO,,分别是ABC∆的外心、重心、垂心。
（1）求证：OCOBOAOH++=；（2）求证：HGO,,三点共线；（3）若OAAH=，求BAC∠的大小.解：连接BO并延长交ABC∆外接圆于点D 连接AD,CD,AH,CH,显然BCAH⊥，BCCD⊥，所以CDAH//，同理DACH//，所以CDHA=，即--=-=-，所以OH++=因为G是是ABC∆的重心，所以()OAACABAOAGOG+⎪⎭⎫⎝⎛+=-=2132=()++31=()++31。
OAAH=，则=-，所以=+，两边平方并注意到==，又BOC∠cos=BAC∠2cos=21-，323ππ或=∠BAC七、八、DC。