多目标优化

中的m个目标函数按工程中某种意义分清主次，按重要程 度逐一排队，重要的目标函数排在前面，然后依次对分目 标函数求各自的最优解，只是最后一个目标函数求优应在 前一个目标最优解的集合域内求优。但由于分目标函数的 最优解常常是唯一的，其最优解域的集合只有一个设计点 那么求下一个目标函数的最优解就无意义了。
所建立的目标函数一般分为：单目标函数，多目标函数 一般的，所包含的分目标函数越多，设计结果越完善，但 设计求解的难度增大。因此，在实际设计中，在满足设计性 能要求的前提下，应尽量减少分目标函数的个数。
7.1.3关于约束条件问题
设计约束是在设计中对设计变量所提出的种种限制来确 定的。约束条件表达式同常有显性约束与隐性约束；不等 式约数与等式约束；边界约束与性能约束等。
为了使分层序列法不是去在有效解中秋最终解（选好 解）的功能，则将各目标函数的最优值给与放宽，使在后 一个分目标函数求优时，能在前一个最优值附近的某一范 围内求优。具体做法如下：
对一般表达式的多目标优化设计问题，给各分目标函数
最优值的宽容量分别是 1 0 2 0 …… m1 0 则宽容
分层序列法的步骤如下
D： gu(x) ≥0
hv(x)=0
四，乘除法
该方法适于处理下面问题。按分目标函数的性质可分为
两类，两类的期望相反。其中的一类是表现目标函数值越
小越好，如追求体重轻，结构紧凑，原材料消耗少，加工
成本和加工费低，磨损量和应力小等；另外一类表现为目
标函数值越大越好，如产品产量，机械效率，零件强度及
在许多实际设计中，一个设计方案又企望有几项设计指 标同时都达到最优值，这种在优化设计中同时要求两项极其 以上设计指标达到最优值得问题，成为多目标优化设计，目 标函数称为多目标函数。
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
min F (x) f1 (x) f2 (x) fm (x)T
1绝对最优解
定义一：一般表达式多目标设计优化问题，若包括所有的 J=1，2，……m对于任意的设计点x∈D都有
fj(x) ≥fj(x*) 成立，则点x*是多目标优化问题的绝对最优解。
无约束一维多目标 优化设计问题 (维数n=1， 分目标m=2) x*为绝对最优解得 迭代点，绝对最优 解（x*，F*）
为了与单目标优化问题相区别，在目标函数前加V， 即表示为
V min F (x) f1(x) f2 (x) fm (x)T
7.3.2多目标优化设计的概念
在单目标优化设计中，对于各种性态函数，总可以通过对 迭代点函数值的比较，找出全局最优解，对任意两个解都能 判断其优劣。而多目标函数问题与单目标则有根本区别，任 意两个解之间，就不一定能判断出优劣。
同理，区间[1，2]中的 任意一点都满足有效解 定义。所以，区间[1，2] 组成了有效解（非劣解） 集。
定义三：在可行域D内，除绝对最优解与有效解集以外， 部分的设计点均称劣解点，劣解点的全部称为劣解集。
例7.2一个二维分目标的多目标优化设计问题。
V min F (x) [ f1 (x) f1(x) x2 2x 2 f2 (x) x 2 6x 11
将其映射到目标函数构成空间图
(b)，曲线A1A2与Q1Q2对应，一 些目标函数值比较小的解集在曲
线Q1Q2上，为有效集。
3最终解（选好解）
从有效解中选出最终解或称选好解。如无某种要求， 一般从有效解集（A1A2曲线或Q1Q2曲线）中任选一点， 都可作为最终解；有时，设计者要根据设计问题的不同 要求与意愿，从中选出一个符合某种要求“满意”的解 作为最终解。
① min f1(x) 求解得到最优解 (x1* , f1* ) xD
②
min f2 (x)
x D1 {x f1 (x) f1* 1}
( x2* ,
f
* 2
)
③ min f3(x)
x D2
{x
f2(x)
f
* 2
2}
( x3* ,
f
* 3
)
…………………………………………
m min fm (x)
向量
F* [ f1*
f
* 2
f
* m
]T
上式称为理想解。
如果在本问题不存在绝对最优解的情况下，对于向量目
标函数 F (x) f1(x) f2 (x) fm (x)T 来说理想解似得
不到的；但要力求使各分目标仅可能接近各自的理想值，
则可以认为达到有效解中的选好解。
在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定 出一个合理的各分目标函数值构成理想解
D： 0 x 4
f 2 (x)]T
见右图，在可行域[0，4]内，区间 [1，3]为有效解集；[0，1]，[3，4] 为劣解集。
例7.3二维（n=2）两个分目标（m=2）优化问题。分目标 函数为f1(x),f2(x)，可行域D目标函数等值线见右下图。
该优化问题不存在绝对最优解， 可行域D边界上一段曲线A1至 A2为有效解集，在可行域的其 余部分全部构成劣解集。
第七章 关于机械优化设计当中的 几个问题
➢建立优化数学模型的有关问题 ➢数学模型中的尺度变换 ➢多目标函数优化设计 ➢关于离散变量的优化设计问题 ➢优化方法的选择及评价准则
7.1建立优化数学模型的有关问题
优化数学模型总体包含：设计变量，目标函数，约束条件
7.1.1关于设计变量的确定
工程设计中总是包含许多各种设计参数。在确定设计变 量时，要对各种参数加以分析，以进行取舍。
x Dm1
{x
fm1(x)
f* m1
m1}
(xm* ,
f
* m
)
上式也可写为
① min f1(x) 求解得到最优解 (x1* , f1* ) xD
② min fm (x)
x Dm1
{x
fi (x)
f
* i
i
}
(xm* ,
f
* m
)
i=1，2，……，m-1
取最后一个目标函数的最优点 xm* 作为多目标优化问题
7.3.3多目标优化问题的求解方法
多目标优化求解方法大体分为两大类。 其一是将多目标优化问题化为一系列单目标优化问题求 解；另一是将多目标优化问题重新构造成一个新的函数， 即评价函数，从而将多目标优化求解转变为求评价目标函 数的最优解。
一，宽容分层序列法
该方法的基本思想是将
V min F (x) f1(x) f2 (x) fm (x)T
上式称为向量目标函数，是多目标函数； 式中的f1(x),f2(x),……，fm(x)称为目标函数中的各分目标函数。
数学模型的一般表达式
min F (x) f1 (x) f2 (x) fm (x)T
x x1 x2
gu(x) ≥0 hv(x)=0
xn D Rn
(u=1,2,……，p) (v=1,2……，q<n)
在设计中应尽量减少约束条件的个数。在众多约束条件 中，可能存在消极约束，所谓消极约束是指在某些约束得 到满足时，而有另一个或几个约束必然得到满足，其作用 被覆盖，被覆盖了作用的约束称为消极约束。如果经分析 能确认是消极约束，在建立数学模型时，应将其除掉。在 一般情况下，消极约束是不容易识别出来的。所以，在很 多时候，仍是将全部约束都列出来，不加区别的代进算法 程序中求解计算。
其中l4=a为已知，是设计常
量；又l1=l3，l3为非独立变
量；又 l2
，l2是l1与
a的0 函2l1数co，s故0l2也
为非独立变量。所以只有两
个参数是独立变量
x l1 0 T x1 x2
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
约束一维多目标优 化设计解的情况。 在可行域[0，1]中， 绝对最优解发生在 x*=1处。 存在绝对最优解 （x*，F*）
n=2 m=2约束多目标 优化设计解的情
况，点x*为最优 点。
2有效解（非裂解）与劣解
定义二：对于一般表达式，若有设计点x∈D，不存在任意 的x∈D，使F(x) ≤F(x*)成立，或fj(x) ≥fj(x*)，对于所有的 j=1，2，……m成立。则称x*为有效解或非劣解。
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换
7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。
的最优点x*。
即 xm* x *
二，线形加权法
线形加权法又称线形组合法，它是处理多目标优化问题 常用的较简单的一种方法。
按各分函数的重要程度，对应的选择一组加权系数λ1， Λ2，……，λm。其界线为
m
j 1, i 0 （j=1，2，……m）
j 1
用fj(x)与λj(x)（j=1，2，……m）的线形组合构成一个评 价函数
按设计问题维数的大小，通常把优化设计问题规模分为 三类：
小型优化问题：维数2-10 中型优化问题：维数10-50 大型优化问题：维数50以上
7.1.2关于目标函数的建立
优化设计数学模型中的目标函数F（x），是以设计变量表 示设计问题所追求的某一种或几种性能指标的解析表达式， 用它来评价设计方案的优劣程度。通常，设计所追求的性能 指标较多，建立目标函数，要针对影响质量和性能最为重要 的，最显著的指标作为设计追求的根本目标写入目标函数。
m
U (x) j f j (x) j 1
求新的评价函数最优解，即
m
minU (x) j f j (x)
x D Rn j1
x*
D： gu(x) ≥0
hv(x)=0
即将一般式的单多目标优化问题转化成求上式的单目标 优化问题
关于确定一组合理的加权系数λj（j=1，2……，m）， 希望能准确的反映各目标函数在整个多目标优化问题中的 重要程度，它是一个困难且较复杂的问题，如果取得合理， 则可以达到预期优化的目的，否则有可能造成计算谬误而 失败。目前，确定加权系数有的是设计者评设计经验直接 给定，也有用试算统计计算。
j(
f j (x)
f
j
)
2
j 1
m
绝对值离差 U (x)
j
f j (x)
f
j
j 1
将式 min F (x) f1 (x) f2 (x) fm (x)T 中的多目标
函数构造出以上几式的单目标函数作为评价函数，用评价
目标函数的解作为原多目标优化问题的最终解。其表达式
为
minU (x)
x D Rn
F 0 [ f10
f
0 2
f
0 m
]T
将
f
* j
与
f
j0在写法上统一为
f
j
，在构造设计方案与理想
解之间的离差函数U(x),U(x)函数可取以下形式
相对离差
U (x)
m
[
j 1
f
j
(x)
f
j
f
j
]2
加权相对离差
U (x)
m j 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j[
f
j
(x)
f
j
f
j
]2
m
平方和加权离差 U (x)
设计变量必须是独立变量。要从优互相依赖关系的变量 中剔除非独立变量。
下图所示为汽车前轮转向梯形机构。
等腰梯形机构ABCD中，给定机架长度LAD=a（常数）。 当汽车转弯时，为了保证所有车轮都处于纯滚动，要求从
动件CD转角 与主动件AB转角 保持某确定关系
()
该四杆机构的参数有各杆长度：l1,l2,l3,l4，和初始角 0
例7.1 一个二维分目标（n=1，m=2）的多目标优化问题为
V min F (x) [ f1 (x) f1(x) 2x 22
f2 (x) x
D： 0 x 2
f 2 (x)]T
见右下图。 取x=b，该点是有效解。因为在可行域D内，任取另一点 X，不存在F(x) ≤F(b)， 即f1(x) ≤f1(b)， 又同时有f2(x) ≤f2(b)。 x=b点满足有效解定义。
j
1
f
* j
（j=1，2，……m）
行其域中内，的f最j* 优 目mxi标Dn 函f j (数x)值（。j=1式，中2的…… j，反m映）了即各分分目目标标在函可数
离开各自最优值得程度。
三，理想点法
多目标优化问题的一般式中，先求出各分目标函数在可
行域D内的最优解
(
x
* j
,
f
* j
)（j=1，2……，m）最有函数值