同济大学-概率论与数理统计-期末考试试卷(2套)

《概率论与数理统计》期末试卷（基础卷）

一．填空题（本题满分22分，每空2分）

1、设A ,B 是两个相互独立的事件,()=0.4P A B ⋃,()0.2P A =, 则

()P B = ,()P A B -= ,()P A B = .

2、设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 .

3、设X 服从区间)4,1(-上的均匀分布，则(2)P X <= ，Y 表示对X 作3次独立重复观测中事件}2|{|

4、设()1234,,,X X X X 是取自总体X 的一个样本,(0,2)X N ,样本均值为X ，样本方差为2S ,则()E X = ,()D X = , 2()E S = .

二.（本题8分）有甲、乙、丙三个箱子，甲箱中有四个白球和两个黑球，乙箱中有三个黑球和三个白球，丙盒中有两个白球和四个黑球，现随机的选一个箱子，再从箱子中任取两球。求（1）取出两个白球的概率；（2）当取出的两个球为白球时，此球来自甲箱的概率.

三.（本题12分）设随机变量X 的分布函数为

22,0()0,0

x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩. 其中,A B 为常数. (1)求常数,A B ; (2)求X 的概率密度函数；

(3)求概率(12)P X <<; (4)求2

(),(),()E X E X D X .

四.（本题12分）设随机变量,X Y 相互独立，(,)X Y 的联合分布律为

求常数,,a b c 的值。

五.（本题12分）若),(Y X 的联合密度函数为221,1(,)0,x y f x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他

(1) 分别求Y X ,边缘密度函数；

(2) 求 Y X ,的数学期望()E X 和()E Y ；

(3)求11(,)44

P X Y ≤

≤.

六.（本题8分）假设总体X 服从正态分布(,500)N μ，总体Y 服从正态分布(,625)N μ，现从这两个总体中各独立抽取了样本容量为5的样本1515,,,,,X X Y Y ，即合样本1515,,,,,X X Y Y 相互独立.

(1)求随机变量Y X -的概率密度函数,其中Y X ,分别为两个正态总体的样本均值；

(2)求概率()

30≤-Y X P .

七.（本题6分）假设一个复杂系统由400个相互独立工作的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,试用中心极限定理求该系统中至少有348个部件正常工作的概率.

八.（本题8分）设()12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为

()1,01,(0)0,

x x f x θθθ-⎧<<=>⎨⎩其余未知.试求： (1)θ的矩估计1;θ (2) θ的极大似然估计2θ.

九.（本题12分）假定婴儿的体重X 服从正态分布()22,,,N μσμσ未知,现从医院随机抽查了4个婴儿,得到他们的体重数据（单位：kg ）：3.1, 3.9, 3.2, 3 .

（1）由数据计算样本均值x ,样本方差2s ;（2）求μ的双侧99%置信区间;（3）求2

σ的双侧99%置信区间;（()2

2

0.9950.9950.0053 5.84,(3)12.83,(3)0.07t χχ===）.

《概率论与数理统计》期末试卷（综合卷）

一．填空题（本题满分22分，每空2分）

1、已知()0.3,()0.4,()0.32,P A P B P A B ===则()P A B ⋃=___ __，()P AB = ，()P A B ⋃= .

2、设随机变量X 的概率函数为1(1)(1)(2)3

P X P X P X =-=====,记{}1.5A X =≤，Y 表示在三次重复独立试验中事件A 发生的次数,则()P A = ，()2P Y == .

3、 设随机变量X 的密度函数为,02()0,cx x f x <<⎧=⎨⎩其他

，则常数c = ，()E X = .

4、设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，()~,1i X N μ,

221234()()Y a X X b X X =-+-,其中0ab ≠,则当常数a = ,b = 时，Y 服从自由度为 的 分布.

二.（本题8分）一公司为联赛生产比赛用乒乓球.自动包装机把白色和黄色的乒乓球混装，每盒装12只,每盒装白球的个数X 服从离散型均匀分布（即X 取各可能值的概率相等）. 为检查某一盒子中装有白球的数量，从盒中任取一球.

(1) 求从盒中取到的球为白球的概率；

(2）如果发现从盒中取到的球是白球，求此盒全是白球的概率.

三.（本题10分）设随机变量,X Y 相互独立且服从相同的分布，X 的密度函数为

23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他

，记{}{}{}1,11A X B X Y =≤=≤⋂≤，

求 ()P A 、()P A B -和()P A B ⋃.

四.（本题8分）设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，11(0)0.6,(1)0.4P X P X ====.(1)求随机变量14Y X X =的分布律；(2)求行列式