高等电磁理论第一章

∂ ∫V ( we + wm )dV ∂t
含义：源提供的功率=从闭合面流出的功率+热耗散功率+体积内存储 的电磁能量随时间的增加率（即单位时间内增加的能量） 玻印廷矢量： = E × H ，[功率通量密度]，即单位时间通过单位面积能量。 S
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三. 电磁场中的重要原理和定理
1. 叠加原理： 一个复杂的系统问题可以分解为若干个简单问题的叠加。 2. 二重性（对偶性原理）： 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边 界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是二重性原理，亦称为 对偶原理。 具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同 等地位的量称为对偶量。
D = ε E +ξ H
B = ζ E + μH
其中： ξ ζ 为电磁张量，当 ε ξ μ ζ 均为标量时， 媒质称为双向各向同性媒质。
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2. 基本方程——麦克斯韦尔方程
积分形式： 微分形式:
∂D ∫l H ⋅ dl = ∫S ( J C + ∂t ) ⋅ dS ∂B ∫l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS
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（1）
⎡ε x 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ε = ⎢0 ε y 0⎥ ⎢0 0 ε ⎥ ⎣ z ⎦
当：① ②
ε x = ε y = ε z 时，称为各向同性媒质；
ε x = ε y ≠ ε z时，称为单轴晶体； ③ ε x ≠ ε y ≠ ε z 时，称为双轴晶体.
⎡ μ 11 μ 12 μ 13 ⎤ μ = ⎢ μ 21 μ 22 μ 23 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μ 31 μ 32 μ 33 ⎥ ⎣ ⎦
J s = n × (H b − H a ) J ms = ( E b − E a ) × n
值得注意：在每一种情况下，对于保持场的区域内，必须保持原有的场流和 媒质不变。
高等电磁理论 ③感应原理：该原理提供了一种由已知入射场求障碍物的散射场的方法。 问题：一组源在有障碍物（介质体）时的辐射，如图(a)所示。 此时：入射场，为这组源在无障碍物时的场， 散射场，为有障碍物时的场与入射场之差。
（2）
⎡ε 11 ε 12 ε 13 ⎤ ε = ⎢ε 21 ε 22 ε 23 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ε 31 ε 32 ε 33 ⎥ ⎣ ⎦
各向异性媒质：在电场作用下，媒质产生极化； 在磁场作用下，媒质产生磁化。
D =ε E B = μH
（3）双各向异性媒质：提供电场和磁场间的交叉耦合，将该媒质放在电场 或磁场中，将同时产生极化和磁化。
Il
Il
kl
kl
高等电磁理论 ②等效原理： 在规定区域之外的许多源的分布都能在该区域内产生同样的场， 那么这些源对该区域的场而言是等效的
Js = n × H J ms = E × n
(a)
(b)
那么：S面上的表面流和S面内的源在S之外的作用是等效的。 注意：该等效表面流作用的有效区域为S面之外。S之内为零场 根据唯一性定理，只要已知 E 或 H 在S上的切向分量，就可以确定场。
当 ω → 0 时， ω (ω ) → σ 直流参量。 [6]电荷密度（库/米 3 ） 注意：从
ρv
ε (ω ) 、μ (ω ) 、 (ω ) 定义可以看出：当 E 和 H 的时间导数 σ
变为足够小时，它们就变为直流分量；当电场变化很快时，物质 的原子质点既有质量又有电量，这些粒子就跟不上场的变化，有 时间滞后。
∂D ∇ × H = JC + ∂t ∂B ∇× E = − ∂t
∫
S
D ⋅ dS = ∫ ρV dV
V
∇ ⋅ D = ρV
∫
∫
S
B ⋅ dS = 0
J C ⋅ dS = − ∫
V
∇⋅B = 0
∂ρV dV ∂t
S
∂ρV ∇ ⋅ JC = − ∂t
高等电磁理论 物态方程（本构关系）：
D = ε (ω ) E
∫
V
∇ ⋅ ( E × H )dV =
∫∫
S
( E × H ) ⋅ dS = − ∫ ( E ⋅J t + H ⋅ J mt )dV
V
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∂D E ⋅ J = E ⋅( + Jc + Ji) ∂t ∂ = E ⋅ (ε E ) + E ⋅ σ E + E ⋅ J i ∂t ∂ 1 2 = ( ε E ) +σ E2 + E ⋅ J i ∂t 2
∇ ⋅ B = ρm
磁荷密度
高等电磁理论 只有电流源存在时
∇ × He = Jc + ∂B ∇ × Ee = − e ∂t ∇ ⋅ De = ρv ∇ ⋅ Be = 0 ∇ ⋅ Je = − B = ∇× A ∂ρv ∂t ∂De ∂t
只有磁流源存在时
∇ × Hm = ∂Dm ∂t ∂Bm ∂t
对偶量：
t
其中：
J t 表示总电流，
∂D 为位移电流， ∂t
Jc
为传导电流，
J i 为外加电流（源电流）。
∂B [2] 磁流：假想的流量，由麦克斯韦尔方程的对称性，将 视为位移磁 ∂t 流。 ∂B t Jm = + J mi ∂t
其中： J m t 为总磁流， J m i 为外加磁流（源磁流）。
高等电磁理论 麦克斯韦尔方程：
J s = n × (H s − H ) J ms = − n × ( E s − E )
H s − H = −H i
ˆ J ms = n × E i
E s − E = −Ei
ˆ J s = n × (− H i ) = H i × n
根据唯一性定理：这些表面流将在障碍物外产生散射场，图(b)为感应定理。
在自由空间：
B = μ (ω ) H
D = ε0E
B = μ0 H
J c = σ (ω ) E
Jc = 0
当场的时间导数很小时，称为简单物质，有：
D = εE
B = μH
J = σE
当场的时间导数很大时，称为广义线性物质。
高等电磁理论 3. 电流和磁流的概念 [1] 电流：
∂D J = + Jc + Ji ∂t
J s = n × (H a − H b ) J ms = ( E a − E b ) × n
为了使S面外，原来的问题不变，在S面边界上应满足边界等效电磁流。
高等电磁理论 类似：如图(d)所示的等效问题，在S面内，场源、媒质和电磁场与原有(a)问 题相同，在S 面外，场源、媒质和电磁场与原有的(b)问题相同。 S面上外加表面电流：
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第一章
1. 基本场量：
[1]电场强度 单位：伏/米
电磁场的基本概念
一、电磁学的基本场量及方程
定义：单位正电荷在电场中某点受到的电场力的大小及方向。
E = lim
F qt →0 q t
（V/m） 其中：ε 为复介电常数；
[2]电通量密度（电位移矢量） 单位：库/米
D=ε E
ε 为 ω 的复数函数，当 ω → 0 自由空间为 ε 0 。
[3]磁感应强度（磁通密度） 单位：韦伯/米 2 定义：
Fmax × a v B = lim qt →0 qt v
(w m 2 )
[4]磁场强度（安/米）
B = μ (ω ) H
μ 其中： (ω ) 复数磁导率，类似有：
∂ ∂2 B = ( μ + μ1 + μ 2 2 + ......) H ∂t ∂t μ (ω ) = μ + jωμ1 + (−ω 2 ) μ 2 + ......
ε 4π
Jm ⋅ e ∫∫∫ r − r '
A ↔ Am
dV
二重性原理的重要性：1.帮助记忆方程；2.减少数学上的运算量。 注意：磁流、磁荷、都是假想的，不是自然界存在的。
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3. 唯一性原理：
满足方程和边界条件的解是唯一的。 唯一性原理是等效原理、惠更斯原理、镜像原理、感应定理等电磁学中 常用的理论依据。 唯一性原理的应用： ①镜像原理：在指定场域边界之外添加“镜像源”，只要实际源和镜像源 共同作用，满足边界上的边界条件和特性，那么场域中的场 就用实际源和镜像源来确定。 导体平面上的镜像电流源和磁流源：
高等电磁理论 等效原理的一般情况： 如图（a）所示的原有问题中，闭合曲面S将整个均匀区域分为内、外
a 两部分。且在两区域中均有电流源和磁流源，产生的电磁场为 E a、 H 。
在图（b）所示的原有问题中，S面内、外也存在电流源和磁流源，且 产生的电磁场为E b 、 b。 H
高等电磁理论 等效问题：假定在S 面外，场源、媒质和电磁场与问题相同，在S 面内， 场源、媒质和电磁波与(b)问题相同。如图(c)
Ee ↔ Hm He ↔−Em Je ↔ Jm
∇ × Em = − J m − ∇ ⋅ Bm = ρ m ∇ ⋅ Dm = 0 ∇ ⋅ Jm = − ∂ρ m ∂t D = −∇ × F Am =
ρe ↔ ρm ε ↔μ μ ↔ε
− jk ( r − r ')
μ A= 4π
J ⋅ e − jk ( r − r ') ∫∫∫ r − r ' dV
通常：
时，称为直流参量，即常用的 ε （常数），
直流参量在很宽的频率范围内均可应用，但不是在所有的频率上都能应用。
∂ ∂2 D = (ε + ε 1 + ε 2 2 + ......) E ∂t ∂t
高等电磁理论 考虑到时谐关系，时间因子：
e jωt
所以：
ε (ω ) = ε + jωε1 + (−ω 2 )ε 2 + .....
同理： ω → 0 ， μ (ω ) → μ 称为直流参量。
高等电磁理论 [5]电流密度（安/米 2 ）
J c = σ (ω ) E
其中：σ (ω ) 复数电导率。
∂ ∂2 J c = (σ + σ 1 + σ 2 2 + ......) E ∂t ∂t
σ (ω ) = δ + jωδ1 + (−ω 2 )δ 2 + ......
2
根据玻印ε E + ⎟ ⋅ dV = ∂t V ⎝ 2 2⎠
根据能量守恒：
∫
S
( E × H ) ⋅ dS + ∫ J ⋅ E d V
V
∇ ⋅ ( E × H ) = H ⋅∇ × E − E ⋅∇ × H = H ⋅ (− J mt ) − E ⋅ J t
E s = E − Ei Hs = H −Hi
(a) 源问题
(b) 等效感应
高等电磁理论 该散射场可想象为障碍物上传导电流与极化电流所产生的场。 散射场是障碍物之外的无源场。 根据等效原理，建立如下等效问题： 保留障碍物，并假定原来的场存在于其内部，而散射场存在于其外 部。这两种场在各自的区域都是无源的。 在障碍物表面必须存在表面流： 由上式得： 所以有：
t
H ⋅ Jm
t
∂ 1 = ( μ H 2 ) + H ⋅ J mi ∂t 2
∂ ( E × H ) ⋅ dS = − ∫ ( we + wm ) ⋅ dV − ∫ σ E 2 ⋅ dV − ∫ ( E ⋅ J i + H ⋅ J m i )dV ∫∫ S V ∂t V V 。
PS = Pf + Pd +
高等电磁理论 当引入磁荷和磁流（对偶与电荷和电流）时，麦克斯韦尔方程中的对偶性 如下： 麦克斯韦尔方程： ∂D
∇× H = J +
∂t
∇× E = − ∇⋅ D = ρ ∇⋅ B = 0
∂B ∂t
引入磁荷和磁流的概念之后，磁场各物理量就和电场各物理量一一对应 起来了。 ∂D ∇ × H = Je + ∂t 下标m表示磁量，e 表示电量。 ∂B ∇ × E = −J m − ∂t 磁流密度 ∇ ⋅ D = ρe
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4．洛仑兹互易定理：该定理是电磁理论中最有用的定理之一。
广义的互易定理： 在同一线性媒质中，同时存在两种相同频率的交流源， E1 ， 1 是 H 由电流 J1 和磁流 J m1 产生的； E2 ，H 2 是由电流 J 和磁流 J m 2 产生的。 2 根据麦克斯韦尔方程：
∇× H = Jt ∇ × E = − J mt
根据矢量关系： 同理：
∇× J mt = 0
∇⋅Jt = 0
∫
S
J mt ⋅ dS = 0
∫
S
J t ⋅ dS = 0
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二、电磁场中的能量和功率
在简单物质中，已知：电场和磁场的能量密度分别为：
2 1 we = ε E 2
1 wm = μ H 2
高等电磁理论 ① 假定S内的场为零，在S面处放一理想导电体（电壁），同时在电壁上又 放置一磁流层：
J ms = E × n
此时，S外的场只由电壁上的磁流产生，如图(c)。
(c)
(d)
②假定S内的场为零，在S面处放一理想磁体（磁壁），同时在磁壁上 又放置一面电流层：
Jc = n × H
此时，S外的场只由该面电流产生，如图(d)。 结论：图(b)、(c)、(d)边界面电流、磁流均能产生原问题的相同场。所以图 (b)、(c)、(d)所示的三种情况都是图（a）所示问题的等效问题。