04-第四章-一元函数微分学的应用
04一元函数微分学的应用
第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle ）定理如果函数)(x f y =满足下列三个条件： ①在闭区间],[b a 上连续; ②在开区间),(b a 内可导; ③)()(b f a f =,则至少存在一点),,(b a ∈ξ使0)(='ξf .⑵ 拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f y =满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得,)()()(ab a f b f f --='ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.⑶ 柯西（Cauchy ）中值定理如果函数)(x f 与)(x g 满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续；②在开区间),(b a 内可导，且),(,0)(b a x x g ∈≠', 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--. 2.洛必达法则 如果①,0)(lim 0=→x f x x 0)(lim 0=→x g x x ;② 函数)(x f 与)(x g 在0x 某个邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； ③ ),,()()(lim 0∞-+∞∞=''→或也可为为有限数A A x g x f x x ,则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00. 注意 上述定理对于∞→x 时的00型未定式同样适用,对于0x x →或∞→x 时的∞∞型未定式也有相应的法则.3. 函数的单调性定理设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则有 ①若在),(b a 内0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； ②若在),(b a 内0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点⑴ 极值的定义 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点)(0x x x ≠，都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值；如果对于该邻域内任一点)(0x x x ≠，都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为函数)(x f 的极值点.⑵ 驻点 使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点.⑶ 极值的必要条件 设函数)(x f 在0x 处可导，且在点0x 处取得极值，那么0)(0='x f .⑷ 极值第一充分条件设函数)(x f 在点0x 连续，在点0x 的某一去心邻域内的任一点x 处可导,当x 在该邻域内由小增大经过0x 时，如果①)(x f '由正变负，那么0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是)(x f 的极大值； ②)(x f '由负变正，那么0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是)(x f 的极小值； ③)(x f '不改变符号，那么0x 不是)(x f 的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件设函数)(x f 在点0x 处有二阶导数，且()00='x f ，()00≠''x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点，)(0x f 为函数)(x f 的极值，且有①如果0)(0<''x f ，则)(x f 在点0x 处取得极大值； ②如果0)(0>''x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值.5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点⑴曲线凹向定义 若在区间),(b a 内曲线)(x f y =各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在),(b a 内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线)(x f y =各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在),(b a 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间),(b a 内具有二阶导数，① 如果在区间),(b a 内0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是上凹的. ② 如果在区间),(b a 内0)(<''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是下凹的.⑶拐点 若连续曲线)(x f y =上的点),(00y x P 是曲线凹、凸部分的分界点，则称点P 是曲线)(x f y =的拐点.7. 曲线的渐近线⑴水平渐近线 若当∞→x (或+∞→x 或-∞→x )时，有b x f →)(（b 为常数），则称曲线)(x f y =有水平渐近线b y =.⑵垂直渐近线 若当a x →(或-→a x 或+→a x )（a 为常数）时，有∞→)(x f ，则称曲线)(x f y =有垂直渐近线a x =.⑶斜渐近线 若函数)(x f y =满足xx f a x )(lim ∞→=， ])([lim ax x f b x-=∞→(其中自变量的变化过程∞→x 可同时换成+∞→x 或-∞→x )，则称曲线)(x f y =有斜渐近线b ax y +=.二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法例1 求下列极限 （1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim ++∞→解 （1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→ 30sin cos lim x xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型. )]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型）=1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nx n xnxx nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在， 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于00或∞∞未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当)()(limx g x f ''不存在时，并不能断定)()(lim x g x f 也不存在，此时应使用其他方法求极限.2 . 单调性的判别与极限的求法例2 试证当1≠x 时，x xe e >.证 令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f . 当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即 当1>x 时，e e )(-='xx f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.例 3 求函数344x x y -=的单调性与极值. 解 函数的定义域为),(+∞-∞. )3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数)(x f ；利用导数判定)(x f 的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
第四章一元函数积分知识点梳理
一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。
柯西(Cauchy)中值定理与汇总
4
2
例 2 求lim1 cos x ． xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0．
xπ tan x
xπ 1
cos2 x
π arctan x
例 3 求 lim 2
．
x
1
x
解
π arctan x
lim 2
x
1
x
=
lim
x
1
1
x 1 x2
2
=
lim
x
1
x
2
x
2
=
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0或 0
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
(2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，
则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当lim f (x) 不存在(不包括 的情况)时，并不 g(x)
能断定lim f(x) 也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
因为 x1, x2 是 (a,b) 内的任意两点，于是上式表明 f (x) 在 (a,b) 内任意两点的值总是相等的，即 f (x) 在 (a,b)内是一个常数，证毕．
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) g(x) C （C 为常数）．
1．
例4
求
lim
x
ln x xn
(n
0).
1
解
lim
x
ln x xn
lim
x
x nx n 1
lim
x
1 nx
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
一元函数微分学公式
一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。
在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。
本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。
一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。
下面我们逐一介绍这些内容。
1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。
导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。
以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。
通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。
3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
新编高等数学第二版教材答案
新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。
一元函数微分学的应用88页PPT
二、洛必达法则
把 两 个 无 穷 小 量 之 比 或 两 个 无 穷 大 量 之 比 的 极 限
称 为 0型 或 型 不 定 式 (也 称 为 0型 或 型 未 定 型 )
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的 极 限 ,洛 必 达 法 则 就 是 以 导 数 为 工 具 求 不 定 式 的 极 限
x
1 lx i11 m 1 x l n x ln x lx i1x m 1 2x 1 x1 2.
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
( 1 )每 次 使 用 法 则 前 ， 必 须 检 验 是 否 属 于 0 或 0
未 定 型 ， 若 不 是 未 定 型 ， 就 不 能 使 用 该 法 则 ；
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
(2) 如 果 有 可 约 因 子 ， 或 有 非 零 极 限 值 的 乘 积 因 子 ， 则 可 先 约 去 或 提 出 ， 以 简 化 演 算 步 骤 ；
( 3 )当 lifm ( x 不 存 )在 ( 不 包 括 的 情 况 ) 时 ， 并 不 g (x)
能 断 定 lifm (也 x 不 ) 存 在 ， 此 时 应 使 用 其 他 方 法 求 极 限 ． g(x)
π a rc ta n x
一元函数微分学的应用 (2)
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y ,∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？ 答：平均成本()xx C x C =)(. (3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>t ut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q 是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）, （2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）,tu（3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为 x x C 23)(+=， 15)(+=x x x R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =xx C 1)('= 边际收入R M =2)1(5)('+=x x R 边际利润x x M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，(2)需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px , 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p <0, 即0<p <40时，需求弹性小.。
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。
（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
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1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。
积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。
通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。
本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。
一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。
同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。
希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。
一元函数微分学的应用
第四章 一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形. 重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.难点：函数的最大值与最小值及其应用问题.第一节 中值定理与洛必达法则一、罗尔定理1、罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 在团区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =，那末在），（b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零：0)(='ξf 。
几何解释:在曲线弧AB 上至少有一点C ，在该点处的切线是水平的。
证明 由于)(x f 在闭区间[a,b ]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[a,b ]上必定取得它的最大值M 和最小值m ，这样只有两种可能情形：（1）m M =。
这时)(x f 在区间[a,b ]是必然取相同的数值M ：M x f =)(。
由此有0)(='x f ，因此可以取（a,b ）内任意一点作为ξ而有0)(='ξf 。
（2）m M >。
因为)()(b f a f =，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于)(x f 在区间[a,b ]的端点处的函数值。
为确定起见，不妨设)(a f M ≠（如果设)(a f m ≠，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b ）内有一点ξ使M f =)(ξ。
下面证明)(x f 在点ξ处的导数等于零：0)(='ξf 。
一元函数微分学的应用最全版
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
一元函数微分学的概念
常见的中值定理
柯西中值定理 泰勒中值定理
常见的中值定理
费马定理
通常作为小定理与其他的搭配使用
常见的中值定理
罗尔定理
通常等式较多，且给了函数值
常见的中值定理
拉格朗日中值定理
见到研究f和f`关系以及f-f的时候要考虑
常见的中值定理
柯西中值定理
通常会明显出现ln和分式
常见的中值定理
泰勒中值定理
隐函数
两边同时求导
1
多项相乘除
变成对数的加法好 解
3
幂指函数
5
2
反函数
一阶反函数求导简 单，要记好二阶反 函数求导的公式
4
参数求导
用公式即可
高阶求导
数学归纳法
熟练掌握高阶求导三部曲 先写通式
再写对应题目函数的具体展 开式
消除掉对应项 剩下的即是其高阶求导的结
果
12 43
把高阶求导的十个常见展开式背下 来
导数
导数的存在性
左导数=右导数
导数
常研究存在性的点
分段函数的分段点 抽象函数的特指点 抽象函数的泛指点 四则运算中的特殊点
导数
常见的几个不存在点
需要特殊注意分段点和带绝对值符号时候的0聆听
极坐标通常转换为
参数方程来进行处
3
理
隐函数
5
2
参数方程
4
分段函数
一元函数微分学的应用
物理应用
通常为求A对B的变化率问题，然后我们需要从A到B研究出一条可 导路径
03
中值定理
常见的中 值定理
0 1
连续函数的存 在性定理
0 4
费马定理
0 2
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
一元函数的微分与微分公式
一元函数的微分与微分公式微积分是现代数学的重要分支，也是许多自然科学领域的基础理论。
微积分的两个核心概念是微分和积分。
其中，微分是对函数进行局部近似的一种方法。
在微分中，我们将一个函数在某一个点的斜率视为该函数在该点的变化程度。
因此，微分被视为对数学中的变化进行描述的一种工具。
微分的基本原理在于，任何可导函数在某一点的导数可以表示为该点函数的局部线性逼近斜率。
这就是微分的核心思想——近似。
在数学中，我们使用微分公式来计算函数的导数，从而得到函数在给定点的变化率。
了解微分公式是微积分学习中的关键，因此本文主要讨论一元函数的微分和微分公式。
一、微分的定义与微分公式微分是数学中的一个基本概念，其定义可以简单地解释为函数的变化量对自变量的变化量的极限。
对于一元函数$f(x)$而言，如果它在点$x_0$处可导，那么在这个点其微分定义为：$$df|_{x=x_0}=f'(x_0)dx$$其中，$dx$可以看成是自变量在$x_0$处的微小变化量。
$f'(x_0)$是函数在点$x_0$处的导数。
如此定义，微分可以被视为对函数$f(x)$在$x_0$处的局部线性逼近。
在微分公式的应用中，$dx$通常可以被视为一个数量接近于零的常数。
这种常数的概念在微积分中被称为“无穷小”，可以简单地理解为比任意小的值，但仍然大于零。
微分公式是计算函数导数的关键。
一切微分公式的推导都基于微分的定义。
下面是一元函数的微分公式：（1）常数函数的微分公式若$f(x)= C$（其中$C$为常数），则$f'(x)=0$。
（2）幂函数的微分公式若$f(x)=x^n$（其中$n$为正整数），则$f'(x)=nx^{n-1}$。
（3）指数函数的微分公式若$f(x)=a^x$（其中$a$为正数），则$f'(x)=a^x\cdot\ln a$。
（4）对数函数的微分公式若$f(x)=\log_a x$（其中$a$为正数且不等于$1$），则$f'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}$。
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04-第四章-一元函数微分学的应用第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle ）定理如果函数)(x f y =满足下列三个条件： ①在闭区间],[b a 上连续; ②在开区间),(b a 内可导; ③)()(b f a f =,则至少存在一点),,(b a ∈ξ使0)(='ξf .⑵ 拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f y =满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得,)()()(ab a f b f f --='ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.⑶ 柯西（Cauchy ）中值定理如果函数)(x f 与)(x g 满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续；②在开区间),(b a 内可导，且),(,0)(b a x x g ∈≠',则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--.2.洛必达法则 如果①,0)(lim 0=→x f x x 0)(lim 0=→x g xx ; ② 函数)(x f 与)(x g 在0x 某个邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；③),,()()(lim∞-+∞∞=''→或也可为为有限数A A x g x f x x ,则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00. 注意 上述定理对于∞→x 时的0型未定式同样适用,)(x f 的极小值；③)(x f '不改变符号，那么0x 不是)(x f 的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件设函数)(x f 在点0x 处有二阶导数，且()00='x f ，()00≠''x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点，)(0x f 为函数)(x f 的极值，且有①如果0)(0<''x f ，则)(x f 在点0x 处取得极大值； ②如果0)(0>''x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点⑴曲线凹向定义 若在区间),(b a 内曲线)(x f y =各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在),(b a 内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线)(x f y =各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在),(b a 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间),(b a 内具有二阶导数，① 如果在区间),(b a 内0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是上凹的.② 如果在区间),(b a 内0)(<''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是下凹的.⑶拐点 若连续曲线)(x f y =上的点),(00y x P 是曲线凹、凸部分的分界点，则称点P 是曲线)(x f y =的拐点.7. 曲线的渐近线⑴水平渐近线 若当∞→x (或+∞→x 或-∞→x )时，有b x f →)(（b 为常数），则称曲线)(x f y =有水平渐近线b y =.⑵垂直渐近线 若当a x →(或-→a x 或+→a x )（a 为常数）时，有∞→)(x f ，则称曲线)(x f y =有垂直渐近线ax =.⑶斜渐近线 若函数)(x f y =满足xx f a x )(lim∞→=，])([lim ax x f b x -=∞→(其中自变量的变化过程∞→x 可同时换成+∞→x 或-∞→x )，则称曲线)(x f y =有斜渐近线b ax y +=.二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法 例1 求下列极限 （1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x xx x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→ 解 （1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为00型，用洛必达法则所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim1cot lim2020-=-→→ 30sin cos lim xxx x x -=→ （分母等价无穷小代换） 20cos sin cos lim3x x x x x x →--= 01sin lim 3x x x→-=31-=. （2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则所以 )e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xx x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = .（3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =11011lim--→-+n x x nx=.01lim lim110=-=-++→+→nxn xnx x nx（5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在， 但 101cos 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x x xx x x x x x x . 小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于00或∞∞未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当)()(limx g x f ''不存在时，并不能断定)()(lim x g x f 也不存在，此时应使用其他方法求极限.2 . 单调性的判别与极限的求法 例2 试证当1≠x 时，x x e e >.证 令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='x x f .当1<x 时，e e )(-='x x f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即()(1)0.f x f >=当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x x e e >.例 3 求函数344x x y -=的单调性与极值.解 函数的定义域为),(+∞-∞. )3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表x)0,(-∞ 0 )3,0( 3 ),3(+∞y '-0 - 0 +y极小由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 427)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数)(x f ；利用导数判定)(x f 的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。
由例3知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对0)(=''x f 、)(x f '及)(x f ''同时不存在的点不能使用.3. 求函数的凹向及拐点的方法例4 求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解 函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表由此可知，上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的拐点是)2ln ,1(±.小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使y ''不存在的点取得.4. 求函数的最大值与最小值的方法例 5 求函数 32)52(x x y -=在区间]2,1[-上的最大值与最小值 .解 函数在]2,1[-上连续， 由于313)1(10xx y -='，令 0='y ， 则 1=x ，y '在0=x 处不存在. 故x)1,(--∞-1 (-1,1) 1 ),1(+∞y '' -0 +-y⋂拐点⋃ 拐点⋂)}1(),0(),2(),1(m ax {max f f f f y -=,0}3,0,2,7max {32=---=7}3,0,2,7min{32min -=---=y .小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出)(x f 在),(b a 内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5 . 求曲线渐近线的的方法. 例6 求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = （2）1222-+-=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ， 可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线. 由于 -∞=+→xxx ln lim0， 可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线. （2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于-∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ，+∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2，所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.6 . 函数图形的描绘例 7 作出函数 22)1(+=x x y 的图形. 解 函数的定义域),1()1,(+∞-⋃--∞， ()()()()34221211212+=++⋅-+='x xx x x x x y ，4623)1(42)1()1(32)1(2+-=++⋅-+=''x xx x x x y ， 令 ,0='y 0=''y ， 解得 21,021==x x .列表x)1,(--∞ -1)0,1(-0 )21,0( 21 ),21(+∞ y ' + -0 + + +y '' ++ + + 0 -()x f极小拐点由上表可知： 极小值1)0(=f ， 拐点 )91,21(.（3）渐近线1)1(lim lim 22=+=∞→∞→x x y x x ， 所以 1=y 是水平渐近线，+∞=+=-→-→2211)1(lim lim x x y x x ， 所以 1-=x 是铅直渐近线. （4）作图如图所示.7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法例 8 一条边长为a 的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解 设截取的小方块的边长为 )20(a x x <<，则方盒子的容积为322244)2()(x ax x a x a x x v +-=-= 22128)(x ax a x v +-='令 0)(='x v ， 得驻点 2,621ax a x == （不合题意，舍去）由于在)2,0(a 内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.因此， 当6a x =时 )(x v 取得最大值.故当正方形薄片四角各截去一个边长是6a 的小方块- 1xyO后，折成一个无盖方盒子的容积最大.小结求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数)(xf一f，若根据实际问题本身可以断定可导函数)(x定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部)f有惟(x一的极值点，则该极值点一定是最值点.三、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明 的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例1 中的几点注意，并且和教科书第二章求极限的方法结合起来使用.4. 函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等，这就要求读者按教材中指出的步骤完成.。