【名校真题-理数】武汉市2020年3月高三质检质理科数学试题及答案解析
湖北省武汉市高2020届高三3月份质检理数试题及答案
武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C D A B D A C B二、填空题13．131222=−y x 14．[)∞+−，1 15．14.9 16．21− 三、解答题17．（1）由已知条件c b c BA B A −=+−tan tan tan tan 得：c b B A B =+tan tan tan 2， 由正弦定理得C B c b sin sin =，则C B B A B sin sin tan tan tan 2=+， 即B BB A AC B B sin )cos sin cos sin (sin cos sin 2⋅+=⋅，由0sin ≠B ， 整理得：B A B A A C sin cos cos sin cos sin 2⋅+⋅=⋅，……3分即)sin(cos sin 2B A A C +=⋅，……4分即C A C sin cos sin 2=⋅，由0sin ≠C ，故21cos =A ……6分 由（1）知3π=A ，则bc A bc S ABC 43sin 21==Δ， 由余弦定理得：A bc c b a cos 2222−+=，而4=a ，则1622=−+bc c b由bc c b 222≥+得162≤−bc bc ，即16≤bc ，……9分所以34164343sin 21=×≤==Δbc A bc S ABC ， 当c b =时取等号．……12分18．（1）取DC 的中点H ，AB 的中点M ，连接QH ，HL 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD −中，Q 为11D C 的中点，则CD QH ⊥，从而⊥QH 面ABCD ，所以QH ⊥……2分在正方形ABCD 中，H 、L 分别为CD 、BC 所以HL BD //，而BD AC ⊥，则AC HL ⊥, ……4又H HL QH =I ，所以⊥AC 面QHL ，所以QL AC ⊥．……6分（2）连接ML 、MP ，由AC QL ⊥，//ML AC 知ML QL ⊥，则四边形PQLM 为矩形，则点A 到平面PQL 的距离即为点A 到平面PML 的距离，设其值为h ，……8分 在四面体AML P −中，281222121a a a BL AM S AML =⋅⋅=⋅=Δ， 222243)2()2(222121a a a a a PM ML S PML =++⋅⋅=⋅⋅=Δ， 由等体积法可知：PML A AML P V V −−=，即h a a a ⋅⋅=⋅⋅2243318131， 解之得a h 63=，故点A 到平面PQL 的距离为a 63． ……12分 19．（1）)0(22>=p px y 的焦点)0,2(p F ，而)32,2(=，所以点)32,22(+p P ， 又点P 在抛物线px y 22=上，所以)22(2)32(2+=p p ，即01242=−+p p ， 而0>p ，故2=p ，则抛物线的方程为x y 42=． ……4分（2）设),(00y x M ，),(11y x N ，),(22y x L ，则1214x y =，2224x y =，直线MN 的斜率为01202101010144y y y y y y x x y y k MN +=−−=−−=， 则MN l ：)4(420010y x y y y y −+=−，即10104y y y y x y ++=①； 同理ML l ：20204y y y y x y ++=②；将)2,3(−A 、)6,3(−B 分别代入①、②两式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=−++=−202010********y y y y y y y y ，消去0y 得1221=y y ， ……9分 易知直线214y y k NL+=，则直线NL 的方程为)4(421211y x y y y y −+=−， 即2121214y y y y x y y y +++=，故2121124y y x y y y +++=，所以)3(421++=x y y y ， 因此直线NL 恒过定点)0,3(−．……12分20．（1）依题意0.380101=∑=i i x，则38045433938373633313210=+++++++++x ，解得：4610=x ．……3分（2）（Ⅰ）由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆ254y x a =+知 254363=b ，即254363101010122101=−−=∑∑==i i i i i x x y x y x b ， 即25436325410340381046128751010=+⋅⋅−+y y ， 解之得：5110=y ．……8分 （Ⅱ）易得38=x ，1.39=y ，代入a x y+=254363ˆ得：a +×=382543631.39， 解得21.15−≈a ，所以21.15254363ˆ−=x y，……10分 当40=x 时，96.4121.1540254363≈−×=y故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是96.41万元．……12分 21．（1）2cos 2(cos sin )x y e x x x x ′=−−−x x x e x cos 4sin 2−+=，……2分 因为)2,(ππ−−∈x ，所以0>x e ，0sin 2>x x ，0cos 4>−x ，故()0y x ′>， 所以e 2sin 2cos x y x x x =−−在)2,(ππ−−上单调增．……4分（2）可得：22cos 2)1()(xx x x e x f x −−=′，……5分 令x x x e x g x cos 2)1()(2−−=，则)cos 4sin 2()(x x x e x x g x −+=′， 当)2,(ππ−−∈x 时，由（1）知0cos 4sin 2>−+x x x e x ，则0)(<′x g ，故)(x g 在2,(ππ−−递减， 而0)12()2(2<−−=−−πππe g ，0)1(8)(>+−=−−πππe g ， 由零点存在定理知：存在唯一的)2,(0ππ−−∈x 使得0)(0=x g ……7分 即0cos 4sin 20000=−+x x x e x ，当),(0x x π−∈时，0)(>x g ，即0)(>′x f ，)(x f 为增函数； 当2,(0π−∈x x 时，0)(<x g ，即0)(<′x f ，)(x f 为减函数， 又当)0,2(π−∈x 时，0cos 2)1()(2<−−=′x x x e x f x ， 所以)(x f 在)0,2(π−上为减函数，从而()f x 在)0,(0x x ∈上恒为减函数； 因此()f x 有惟一的极大值点0x .……9分由()f x 在0(,2x π−上单调递减，故0()()2f x f π>− 22e 1(2sin()2022e 22f ππππππ−−=−−=−+>− 故0()0f x > 又0000e ()2sin x f x x x =−，当0(,)2x ππ∈−−时，00e 10x x −<<，002sin 2x <−< 故0()2f x <所以00()2f x <<.……12分22．（1）由⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x ，消去参数θ可得1162522=+y x ……2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入03cos 42=+−θρρ得03422=+−+x y x ．……5分 （2）2C 的圆心为)0,2(M ，则20cos 20cos9)0sin 4()2cos 5(2222+−=−+−=θθθθMP ，……7分 由1cos 1≤≤−θ知，当1cos =θ时，9920209min 2=−+−=MP， 故3min =MP ，……9分 从而2min =PQ ．……10分23．（1）在4=a 时，8342≥−+−x x ， 当3≥x 时，8342≥−+−x x ，解之得5≥x ；当32≤<x 时，8342≥−+−x x ，解之得9≥x ；此时x 无解； 当2≤x 时，8324≥−+−x x ，解之得31−≤x ； 综上[)+∞⎥⎦⎤⎜⎝⎛−∞−∈,531,U x ……5分 （2）①当2≥a 时有21a a ≥−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−+−−<<−−≥+−=2,12312,11,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，12)2()(min −==a a f x f ，则只需2122a a ≥−，而2≥a ，则φ∈a ； …… 7分②当2<a 时有21a a <−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−≤−+−<<−−≥+−=1,12321,12,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，2112)2()(min a a a f x f −=−==，则只需2212a a ≥−， 即022≤−+a a ，所以12≤≤−a ，而2<a ，故所求a 范围为：12≤≤−a ． 综合以上可知：12≤≤−a ．……10分。
【答案】2020年3月7日武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学
4
2
△SAB 所在外接圆的圆心为 SB 的中点 O2 ，外接圆半径 r2 3 ，设△ABC 的中心为 O1 ，则△ABC 外
3 接圆的半径 r1 3 ，设 D 为 AB 中点，连接 DO1, DO2 ，则 DO1 DO2 2 ，
则易证得 AB DO1, AB DO2 ，所以 O1DO2 即为二面角 S AB C 的平面角，过点 O1 作平面 ABC
4
2 6 2 2
8．答案：B
解析：结合选项可知 an ≥1 ，由 (an an1 1)2 4anan1 ，得 an1 an 1 2 anan1 ，
( an1 an )2 1 ，又 an1 an ， an1 an 1，所以数列{ an }是首项为 1，公差为 1 的等差
2
x12
a2
由
x22
y12 b2
y22
1 ，两式相减，得 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2
1
( y1
y2 )( y1 b2
y2 )
k AB
y1 y2 x1 x2
b2
a2
x1 x2 y1 y2
，
a2 b2
P
2
当
q
1 2
时，
a5
a1
(q4
1)a1
15
16
a1
15,a1
16
，舍去；
当 q 2 时， a5 a1 (q4 1)a1 15a1 15, a1 1,a3 a1q2 4 ．
5．答案：C
13
2020年3月7日武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学【含答案】
2
A．
5
3
B．
5
1
C．
5
2
D．
15
x2 y2 11．已知点 P 在椭圆 : 1(a b 0) 上，点 P 在第一象限，点 P 关于原点 O 的对称点为 A ，点
a2 b2
3 P 关于 x 轴的对称点为 Q ，设 PD PQ ，直线 AD 与椭圆 的另一个交点为 B ，若 PA PB ，则椭
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 2x a x a 1 ．
（1）当 a 4 时，求解不等式 f (x) ≥ 8 ；
a2 （2）已知关于 x 的不等式 f (x) ≥ 在 R 上恒成立，求参数 a 的取值范围．
2
武汉市 2020 届高中毕业生学习质量检测理科数学参考答案
6
19 (1) y2 4x
(2) 直线 NL 恒过定点 (3, 0)
(ii) 若该城市居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额
20 (1) x10 46 (2)(i) y10 51
是 41.96 万元．
22
(1) C1
:
x2 25
y2 16
1,
C2
:
x2
y2
4x
3
0
(2)
PQ 1 min
a5 a1 a4 a2
q4 1 q3 q
(q2 1)(q2 1) q(q2 1)
q2 1 q
15
6
5 ,2q2 2
5q 2
0,
1 (2q 1)(q 2) 0 ，解得 q 或 q 2 ，
2
当
q
1 2
时，
湖北省武汉市数学2020届高中毕业班理数3月教学质量检测试卷
湖北省武汉市数学2020届高中毕业班理数3月教学质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·都昌期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 已知，其中是虚数单位，则实数 =（）A . -2B . -1C . 1D . 23. （2分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲、乙和中位数y甲， y乙进行比较，下面结论正确的是（）A . 甲>乙,y甲>y乙B . 甲<乙,y甲<y乙C . 甲<乙,y甲>y乙D . 甲>乙,y甲<y乙4. （2分） (2016高二上·河北开学考) 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A . 28+6B . 30+6C . 56+12D . 60+125. （2分） (2019高三上·郑州期中) 如果执行下边的程序框图，且输入，，则输出的（）A . 240B . 120C . 720D . 3606. （2分）若a<b<0，则下列不等式中成立的是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A .B . 2C .D . 38. （2分） (2017高二上·大庆期末) 若把连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=25外的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·新乡期末) 函数y=2sin2（x﹣）﹣1是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为2π的奇函数C . 最小正周期为π的偶函数D . 最小正周期为2π的偶函数10. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A . y=﹣3x+5B . y=3x﹣1C . y=3x+5D . y=2x11. （2分） (2019高二上·昌平月考) 已知F是双曲线的右焦点,P是C左支上一点.,当最小时,在x轴上找一点Q,使最小,最小值为（）A .B . 10C .D .12. （2分）(2017·上高模拟) 已知函数f（x）=x2+m与函数的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D . [2﹣ln2，2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·仙游期末) 命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为________．14. （1分）设向量 =（4，m）， =（1，﹣2），且⊥ ，则| +2 |=________．15. （1分）正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为________16. （1分）在等式=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2015高三上·承德期末) 已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，且13a2=3S3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1﹣Sn+1），若 + +…+ = ，求n．18. （10分）(2020·龙岩模拟) 交强险是车主必须为机动车购买的险种，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.每年交强险最终保险费计算方法是：交强险最终保险费，其中a为交强险基础保险费，A为与道路交通事故相联系的浮动比率，同时满足多个浮动因素的，按照向上浮动或者向下浮动比率的高者计算.按照我国《机动车交通事故责任强制保险基础费率表》的规定：普通6座以下私家车的交强险基础保险费a为950元，交强险费率浮动因素及比率如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表类型浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故-10%上两个年度未发生有责任道路交通事故-20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故-30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及以上有责任道路交通事故10%上一个年度发生有责任道路交通死亡事故30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计结果如下表：类型数量251010252010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题.（1）记X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望（数学期望值保留到个位数字）；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将经销商购车后下一年的交强险最终保险费高于交强险基础保险费a的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损3000元，购进一辆非事故车盈利5000元.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有一辆是事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望.19. （10分））如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20. （10分） (2019高三上·浙江月考) 过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，直线交椭圆于，两点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，分别在直线的两侧，，求的面积.21. （10分）已知函数和函数 .（1）求函数的单调区间；（2）若，，且函数有三个零点、、，求的取值范围.22. （10分）已知直线l的参数方程是为参数），曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A、B零点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的参数方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，角l于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. （10分）解下列不等式：（1）；（2）参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学试题(理)(解析版)
湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2『答案』D『解析』因为z ＝（1+2i ）（1+a i ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. 『﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0』D. （﹣1，0）『答案』C『解析』因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512『答案』A『解析』共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ）A. 2B. 4C.12D. 8『答案』B『解析』4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B .5.执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ）A.53B.85C.138D.2113『答案』C『解析』第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22s i ==， 第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==， 此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A.B. 1C.D. 2『答案』D『解析』如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14C.D.2『答案』A『解析』已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2『答案』B『解析』()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =. 故选：B .9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a『答案』D『解析』5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215『答案』A『解析』所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A.12B.C.D.『答案』C『解析』设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C .12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l ，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. （-∞，1-e 』 B. （-∞，-3』C. （-∞，-2』D. （-∞，2-e 2』 『答案』B『解析』根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===.设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.『答案』221123y x -=『解析』双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 取值范围为___．『答案』a ≥﹣1． 『解析』因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a x f x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ， 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-.的故答案为：1a ≥-15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 『答案』9.14h.『解析』建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t 2﹣t +175＝0∴t 5=或5，14159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA SB 三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 『答案』12-『解析』球的表面积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，2r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，1r ==设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，113DO CD ==2122DO SA ==.1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值； （2）求△ABC 面积的最大值． 解：（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos2A =，故sin A =，1sin 2S bc A =≤△ABC 面积的最大值为18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离．（1）证明：如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）解：取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离. 故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.2112224PNLS NL NP a a ∆=⋅=⋅=，P ANLA PNL V V --=，即321324a d ⋅=，故d a =.19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．解：（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p，0），满足FP =（2，P 的坐标为（22p+，），P 在抛物线上， 所以（）2＝2p （22p +），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+（x +3），因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）．20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101i i x =∑= 380.0（1）求第10年的年收入x 10；（2）收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . （i ）10年的销售额y 10；（ii ）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆybx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑解：（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 21.（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<解：（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x <故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =， 即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数； 当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x 由()f x 在0,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减， 故()20212sin 202222e f x f eππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．『选修4-4:坐标系与参数方程』22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 解：（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0）， 所以：PO ===， 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2． 『选修4-5:不等式选讲』23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．解：（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，（i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集『5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集（∞，13 -』，综上可得，不等式的解集『5，+∞）∪（∞，13 -』，（2）（i）当a﹣112a=即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，（ii）当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数取得最小值f（12a）112a=-，若f（x）22a≥在R上恒成立，则211122a a-≥，此时a不存在，（iii）当a﹣112a＜即a＜2时，f（x）3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，若f（x）22a≥在R上恒成立，则121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围『﹣2，1』，综上可得，a的范围围『﹣2，1』．。
2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷(理科)
2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-2．已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+…，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．5124．在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = )A ．2B ．4C ．12D ．85．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21136．已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u r g 的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．27．已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 28．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2n B ．2n C ．2n + D ．32n - 9．已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为()A ．25B ．35C ．15D ．21511．已知点P 在椭圆2222:1(0)x ya b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B ．2C D 12．已知关于x 的不等式31xe x alnx x--…对于任意(,)x l ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ．14．若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA =，SB =此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入/亿元()x32.031.033.036.037.038.039.043.045.010x商品销售额/万元()y25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.010y且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01) 附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增； （2）证明函数()2sin x ef x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2|||f x x a x a l =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（6）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解． 【解析】：(12)(1)(12)(2)z i ai a a i R =++=-++∈Q ， 20a ∴+=，即2a =-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+„，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-【思路分析】化简集合N ，再求交集即可． 【解析】：{|(3)0}[3N x x x =+=-„，0]， 集合{|12}M x x =-<<， 则(1M N =-I ，0]， 故选：C ．【总结与归纳】考查集合的运算，同时考查了不等式的解法，基础题．3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．512【思路分析】基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出向上的点数之和小于5的概率． 【解析】：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，∴向上的点数之和小于5的概率为61366p ==．故选：B ．【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = )A ．2B ．4C ．12D ．8【思路分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解析】：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，5115a a -=Q ，426a a -=，41(1)15a q ∴-=，31()6a q q -=， 解得：2q =，11a =． 则34a =． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．2113【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：0i =，1s =，第一次执行循环体后，1i =，2s =，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，2i =，32s =，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，3i =，53s =，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，4i =，85s =，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，5i =，138s =，满足退出循环的条件；故输出S 值为138，故选：C ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 6．已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最大值是( )A 2B ．1C 3D ．2【思路分析】设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ；并设PO u u u r 与OE u u u r的夹角为θ；结合条件得O 在AE 上且21OA OE ==；且()1cos PA PB PC θ+=-u u u r u u u r u u u rg 即可求出结论 【解析】：设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ；并设PO u u u r 与OE u u u r的夹角为θ如图：因为等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=， 所以O 在AE 上且21OA OE ==；∴2222211()22()()2[()]2[()2]2[11cos 2()]1cos 22PA PB PC PA PE PO OA PO OE PO PO OA OE OA OE PO PO OE OE θθ+==++=+++=+--=-⨯⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g ；∴当cos 1θ=-即点P 在AE 的延长线与圆的交点时；()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 取最大值，此时最大值为1(1)2--=；故选：D ．【总结与归纳】本题考查向量的数量积的应用以及三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．7．已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2【思路分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【解析】：函数222222135331()sin sin ()sin (sin )sin cos 2sin(2)1324426f x x x x x x x x x x ππ=++=+=+=-+，当sin(2)16x π-=-时，函数11()122min f x =-=．故选：A ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【思路分析】依题意可得数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案． 【解析】：11a =Q ，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a a ++∴+-=g∴11n n a a +=11a ，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1(1)1n a n n =+-⨯=，2n a n ∴=．故选：B ．1是关键，考查等差数列的判定与其通项公式的应用，考查观察能力与运算能力，属于中档题． 9．已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【思路分析】根据题意，将a 、b 、c 变形为根式，进而结合根式的性质分析可得答案．【解析】：根据题意，20.4540.8()5a ===，40.8520.4()5b ====，842log 483lg c lg =====又由16321662524325<<， 故有b c a <<； 故选：D ．【总结与归纳】本题考查对数、指数的大小比较，注意对数、指数的运算性质，属于基础题． 10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为() A ．25B ．35C ．15D ．215【思路分析】基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=g ，恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个安徽2212531220m C C C A ==，由此能求出恰好有2名大学生分配去甲学校的概率．【解析】：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=g ， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个安徽2212531220m C C C A ==， ∴恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为20215015m P n ===．故选：D ．【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B ．2C D【思路分析】设P 的坐标，由题意可得A ，Q ，的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出AD ，PA 的斜率，B 在直线AD 上，设B 坐标，P ，B 在椭圆上，将P ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得22PB ABb k k a=-g ，进而求出PB 的斜率，再由PA PB ⊥可得a ，b 的关系，进而求出离心率．【解析】：设0(P x ，0)y 由题意可得0(A x -，0)y -，0(Q x ，0)y -，由34PD PQ =u u u r u u u r可得0(D x ，0)2y -，所以00PA y k x =，00000024AD y y y k x x x -+==+设(,)B x y ， 则2200022000PB ABy y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-g g ， 因为P ，B 在椭圆上，所以222222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得22202220y y b x x a -=--， 所以可得22PB AB b k k a=-g所以22202220411BP AB AD x b b b k a k a k a y =-=-=-g g g ，因为PA PB ⊥，则1AP PBk k =-g ，即2002004()1y x b x a y -=-g g ，整理可得：224a b =，所以离心率222213114c c b e a a a ===-=-=，故选：C ．【总结与归纳】考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中难题12．已知关于x 的不等式31xe x alnx x--…对于任意(,)x l ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -【思路分析】分离参数，构造函数，对33x x lnx x e e --=变形以及1x e x -…，即可求得a 的取值范围．【解析】：由题意可知，分离参数31x x e x a lnx ---„，令31()x x e x f x lnx ---=，由题意可知，()min a f x „，由31()x lnx e xf x lnx---=，又1x e x -…，所以313()3x lnx e x x lnx x f x lnx lnx-----==-…，所以3a -„，故选：B ．【总结与归纳】本题考查利用导数的综合应用，考查分离参数方法的应用，考查1x e x -…恒等式的应用，在选择及填空题可以直接应用，在解答题中，需要构造函数证明，然后再利用，考查转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123x y -= ． 【思路分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的定点的坐标求出参数，化简为双曲线的标准形式．【解析】：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224x y λ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123x y -=；故答案为：221123x y -=．【总结与归纳】考查双曲线的性质，属于基础题．14．若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 1a -… ．【思路分析】求导，参数分离，根据右边函数的单调性求最值，得出结论． 【解析】：22(cos )cos ()0sin x x a xf x sin x--+'=„，即22sin cos cos 1cos 0x x a x a x ---=--„，cos 1a x -…，(0,)2x π∈，1cos a x -…，由于1cos y x =-在(0,)2x π∈递减，最大值为(0)1y =-， 所以1a -…，故答案为：1a -…．【总结与归纳】考查导数法判断函数的单调性，参数分离解不等式，中档题．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．【思路分析】设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ．若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =，求出t ，即可得出结论．【解析】：设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ．若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =， 即22450OC BC +=，即22(600cos45)(600sin4530)450t ︒+︒-=； 式两边平方并化简、整理得22021750t t -+= 1025t ∴=-或1025+10259.14-≈，1025(1025)15210+--==9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h ． 故答案为：9.14．【总结与归纳】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力． 16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，3SA =，23SB =此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 12- ．【思路分析】由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角，根据题意，求出求的半径得到OB ，利用几何法求出120MDC ∠=︒，得出结论．【解析】：由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O '，则32333CO '=gg 3DO '=， 球心为过M 的平面ABS 的垂线与过O '的平面ABC 的垂线的交点，三棱锥外接球的表面积为2214OB ππ=，2214OB =，3MB 32OM =，由132MD SA =，所以tan 3ODM ∠=60ODM ∠=︒， 同理60ODO '∠=︒，得到120MDC ∠=︒，由1cos 2MDC ∠=-，故答案为：12-【总结与归纳】本题考查了几何体的外接球，二面角的平面角，中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．【思路分析】（1）结合同角基本关系及和差角公式进行化简可求cos A ，（2）结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解析】：（1）Q tan tan tan tan A B c bA B c--=+． 所以sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos A BC B A B A B C A B--=+， 即sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin A B B A C B A B B A C--=+， 所以sin cos sin cos sin()sin sin sin A B B A A B B C C-+-=， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-，所以1cos 2A =，（2）由（1）可知60A =︒，由余弦定理可得，2211622b c bc +-=所以22162b c bc bc +=+…， 故16bc „，当且仅当4b c ==时取等号，此时ABC ∆面积取得最大值1sin 60432bc ︒=．【总结与归纳】本题主要考查了同角基本关系及正弦定理和余弦定理在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式及基本不等式在求解最值中的应用．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．【思路分析】（1）利用勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理即可得出．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PQL 的法向量为：(n x =r，y ，)z ，则0n PQ n PL ==u u u r u u u r r r g g ，可得：n r，利用点A 到平面PQL 的距离||||n AL d n =u u u r rg r 即可得出．【解答】（1）证明：2222222112()()2222PQ QL a a a a PL +=⨯+⨯+==Q ，PQ QL ∴⊥． 11////AC AC PQ Q ，AC QL ∴⊥．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(A a ，0，0)， 1(2P a ，0，)a ，1(2L a ，a ，0)，(0Q ，12a ，)a ， 1(2PQ a =-u u u r ，12a ，0)，(0PL =u u u r ，a ，)a -，1(2AL a =-u u u r ，a ，0)，设平面PQL 的法向量为：(n x =r ，y ，)z ，则0n PQ n PL ==u u u r u u u r r r g g ，可得：11022ax ay -+=，0ay az -=，可得：(1n =r，1，1)，∴点A 到平面PQL 的距离1||32||3an AL d a n ===u u u r r g r ．【总结与归纳】本题考查了空间线线平行、垂直的判定与性质定理、空间距离计算公式、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【思路分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，再由(2FP =u u u r，求出P 的坐标，P 又在抛物线上，代入抛物线的方程可得p 的值，即可求出抛物线的方程；（2）设M ，N ，L 的坐标求出直线NM 的斜率，进而由题意求出直线MN 的方程，同理可得直线ML 的方程，将A ，B 的坐标分别代入两个方程N ，L 的坐标关系，求出NL 的斜率，进而求出直线NL 的方程，可得恒过定点．【解析】：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，满足(2FP =u u u r，的P 的坐标为(22p+，，P 在抛物线上，所以22(2)2pp =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =；（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2224y x =， 直线MN 的斜率10102210101044MN y y y y k y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：200104()4y y y x y y -=-+，即01014x y y y y y +=+①， 同理可得直线ML 的方程整理可得02024x y y y y y +=+②，将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消0y 可得1212y y =，易知直线124NL k y y =+，则直线NL 的方程为：211124()4y y y x y y -=-+， 即1212124y y y x y y y y =+++，故1212412y x y y y y =+++， 所以124(3)y x y y =++，因此直线NL 恒过定点(3,0)-．【总结与归纳】考查排污池的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01) 附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．【思路分析】（1）根据101380.0i i x ==∑即可求得10x ；（2）()I 先求出1034038,10y x y +==，再将其代入363ˆˆ254y x a =+和1221ˆni i i nii x yn xyb xnx==-=-∑∑，可以解得1051y =；（Ⅱ）由前所述，可表示出线性回归方程为363ˆ15.207254yx =-，再将40x =代入即可得解． 【解析】：（1）因为101380.0i i x ==∑，所以10323133363738394345380x +++++++++=，所以1046x =； （2）()I 由题意可知，101380381010ii xx ====∑，10102530343739414244483401010y y y ++++++++++==， 因为363ˆˆ254y x a =+且1221ˆni i i ni i x y n xy b x nx ==-=-∑∑，所以10103401287546103836310254254y y ++-⨯⨯=，解得1051y =，所以第10年的销售额1051y =；（Ⅱ）因为1051y =，所以3405139.110y +==，因为ˆˆa y bx =-，所以363ˆ39.13812.507254a =-⨯=-， 所以线性回归方程为363ˆ15.207254y x =-，由题可知，40x =，将其代入线性回归方程有363ˆ4015.20741.96254y=⨯-≈． 故估计这种商品的销售额是41.96万元．【总结与归纳】本题考查线性回归方程的运用，考查学生的运算能力，属于基础题． 21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin x ef x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．【思路分析】（1）对函数求导，判断即可； （2）求导，构造函数()g x ，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，根据题意，判断零点0x 对应值0()f x 的取值范围，得出结论．【解析】：（1）求导，2cos 2(cos sin )2sin 4cos x x y e x x x x e x x x '=---=+-，(,)2x ππ∈--，因为0x e >，2sin 0x x >，4cos 0x ->，故0y '>， 函数y 在定义区间递增；（2）由22(1)2cos ()x e x x xf x x --'=，令2()(1)2cos x g x e x x x =--，()(2sin 4cos )x g x x e x x x '=+-当(,)2x ππ∈--，由（1）得()0g x '<，()g x 递减，由2()(1)022g e πππ--=--<，()8(1)0g e πππ--=-+>，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，0()0g x =，当0(,)x x π∈-时，()0g x >，()f x 递增；当0(x x ∈，)2π-时，()0g x <，()f x 递减，当(2x π∈-，0)时，2(1)()2cos 0x e x f x x x -'=-<，所以()f x 递减，故()f x 在0(x ，0)为减函数，所以()f x 有唯一的极大值点0x ，由()f x 在0(x ，)2π-递减，得2021()()220222e f x f e πππππ->-=+=-+>-g ， 又000()2sin x o e f x x x =-，当0(,)2x ππ∈--时，0(1,0)o x e x ∈-，002sin 2x <-<， 故0()2f x <， 综上，命题成立．【总结与归纳】考查导数法判断函数的单调性，函数与零点存在性定理的结合，极值点问题，中档题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．【思路分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换的应用求出结果． （2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解析】：（1）曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为：2212516x y +=． 曲线22:4cos 30C ρρθ-+=．转换为直角坐标方程为22430x y x +-+=，整理得22(2)1x y -+=．（2）设点(5cos ,4sin )P θθ在曲线1C 上，圆心(2,0)O ，所以：||PO = 当cos 1θ=时，||3min PO =， 所以||PQ 的最小值312-=．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2|||f x x a x a l =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【思路分析】（1）把4a =代入后结合绝对值不等式的求法即可求解；（2）由已知不等式的恒成立可转化为2()2min a f x …，结合函数的单调性求出函数的最小值即可求解．【解析】：（1）当4a =时，()|24||3|f x x x =-+-，()i 当3x …时，原不等式可化为378x -…，解可得5x …， 此时不等式的解集[5，)+∞；()ii 当23x <<时，原不等式可化为2438x x -+-…，解可得59x … 此时不等式的解集∅；()iii 当2x „时，原不等式可化为378x -+…，解可得13x -„， 此时不等式的解集(∞，1]3-，综上可得，不等式的解集[5，)(+∞∞⋃，1]3-，（2）()i 当112a a -=即2a =时，2()3|1|22a f x x =-=…显然不成立，()ii 当112a a ->即2a >时，1321,21()1,12321,1x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=-<<-⎨⎪-+-⎪⎪⎩„…，结合函数的单调性可知，当12x a =时，函数取得最小值11()122f a a =-，若2()2a f x …在R 上恒成立，则211122a a -…，此时a 不存在，()iii 当112a a -<即2a <时，321,11()1,121321,2x a x a f x x a x a x a x a ⎧⎪-+--⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-+⎪⎩„…若2()2a f x …在R 上恒成立，则211122a a -…，解可得21a -剟，此时a 的范围[2-，1]，综上可得，a 的范围围[2-，1]．【总结与归纳】本题主要考查了含有参数的绝对值不等式的求解及不等式恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。
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一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D
C
A
B
C
D
A
B
D
A
C
B
二、填空题
13． x2 − y2 = 1 12 3
三、解答题
14． [−1，+ ∞)
15． 9.14
16． − 1 2
17．（1）由已知条件 tan A − tan B = c − b 得： 2 tan B = b ，
cos B
cos A cos B
整理得： 2sin C ⋅ cos A = sin A⋅ cos B + cos A⋅sin B ，……3 分
即 2sin C ⋅ cos A = sin( A + B) ，……4 分
即 2 sin C ⋅ cos A = sin C ，由 sin C ≠ 0 ，故 cos A = 1 ……6 分 2
故若该城市居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是 41.96 万元．
……12 分
21．（1） y′ = ex − 2 cos x − 2(cos x − x sin x) = ex + 2x sin x − 4 cos x ，……2 分
（2）（Ⅰ）由居民收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程 yˆ = 363 x + a 知
254
10
∑∑ b =
363 ，即 b = 254
xi yi −10x y
i =1
10 xi2 −10x2
=
363 ， 254
i =1
即
12875
+
46
y10
−10
⋅
38
⋅
340 + 10
y10
=
363 ，
254
254
解之得： y10 = 51 ．……8 分
（Ⅱ）易得 x = 38 ， y = 39.1，代入 yˆ = 363x + a 得： 39.1 = 363 × 38 + a ，
254
254
解得 a ≈ −15.21 ，所以 yˆ = 363x −15.21，……10 分 254
当 x = 40 时， y = 363 × 40 −15.21 ≈ 41.96 254
由（1）知
A
=
π 3
，则
S ΔABC
=
1 2
bc sin
A
=
3 bc ， 4
由余弦定理得： a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ，而 a = 4 ，则 b2 + c2 − bc = 16
由 b2 + c2 ≥ 2bc 得 2bc − bc ≤ 16 ，即 bc ≤ 16 ，……9 分
所以
1 a2 ， 8
S ΔPML
=
1 2
⋅
ML
⋅
PM
= 1⋅ 2
2 a⋅ 2
(a)2 + a2 + (a)2 =
2
2
3 a2， 4
由等体积法可知： VP − AML
= VA−PML
，即
1 3
⋅
1 8
a2
⋅a
=
1⋅ 3
3 a2 ⋅h ， 4
解之得 h = 3 a ，故点 A 到平面 PQL 的距离为 3 a ．
则 QH ⊥ CD ，从而 QH ⊥ 面 ABCD ，所以 QH ⊥ AC ，
……2 分
在正方形 ABCD 中，H 、L 分别为 CD 、BC 的中点，
所以 BD // HL ，而 AC ⊥ BD ，
则 HL ⊥ AC ,
……4 分
又 QH I HL = H ，所以 AC ⊥ 面 QHL ，
所以 AC ⊥ QL ．……6 分
2
⎪− 6
= =
12 + y0 y1 y0 + y1
12 + y0 y2
，
⎪⎩
y0 + y2
消去 y0 得 y1 y2 = 12 ， ……9 分
易知直线 kNL
=
4 y1 +
y2
，则直线 NL 的方程为
y−
y1
=
y1
4 +
y2
(x −
y12 ) ， 4
即 y = 4 x + y1 y2 ，故 y = 4 x + 12 ，所以 y = 4 (x + 3) ，
（2）连接 ML 、 MP ，由 AC ⊥ QL ， ML / / AC 知 ML ⊥ QL ，
则四边形 PQLM 为矩形，
则点 A 到平面 PQL 的距离即为点 A 到平面 PML 的距离，设其值为 h ，……8 分
在四面体 P − AML 中， SΔAML
=
1 2
AM
⋅
BL
=
1⋅a⋅…12 分
19．（1） y2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F ( p ,0) ，而 FP = (2,2 3) ，所以点 P( p + 2,2 3) ，
2
2
又点 P 在抛物线 y2 = 2 px 上，所以 (2 3)2 = 2 p( p + 2) ，即 p2 + 4 p −12 = 0 ， 2
tan A + tan B c
tan A + tan B c
由正弦定理得 b = sin B ，则 2 tan B = sin B ， c sin C tan A + tan B sin C
即 2sin B ⋅sin C = ( sin A + sin B ) ⋅sin B ，由 sin B ≠ 0 ，
=
4 y1 + y0
，
4
则 lMN ： y −
y0
=
4 y1 +
y0
(x −
y02 ) ，即 y 4
=
4x + y0 y1 y0 + y1
①；
同理 lML
：
y
=
4x + y0 y2 y0 + y2
②；
理科数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
将
A(3,−2)
、
B(3,−6)
分别代入①、②两式得：
⎪⎪⎧− ⎨
S ΔABC
=
1 2
bc sin
A
=
3 bc ≤ 4
3 ×16 = 4 4
3，
当 b = c 时取等号．……12 分
18．（1）取 DC 的中点 H ， AB 的中点 M ，连接 QH ， HL 、 BD ， 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， Q 为 C1D1 的中点，
理科数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
y1 + y2 y1 + y2
y1 + y2 y1 + y2
y1 + y2
因此直线 NL 恒过定点 (−3,0) ．……12 分
10
∑ 20．（1）依题意 xi = 380.0 ， i =1 则32 + 31+ 33 + 36 + 37 + 38 + 39 + 43 + 45 + x10 = 380 ，解得：x10 = 46 ．……3 分
而 p > 0 ，故 p = 2 ，则抛物线的方程为 y2 = 4x ．
……4 分
（2）设 M (x0 , y0 ) ， N (x1, y1) ， L(x2 , y2 ) ，则 y12 = 4x1 ， y22 = 4x2 ，
直线 MN 的斜率为 kMN
=
y1 − y0 x1 − x0
=
y1 − y0 y12 − y02