弹性力学中平衡微分方程推导方法的一点小改进
浅析弹性力学平面问题的基本解法
浅析弹性力学平面问题的基本解法作者：杨艳王章星来源：《中国房地产业·下旬》2020年第06期【摘要】本文简单介绍了弹性力学平面问题的两种基本解法以及各种解法的适用范围和优缺点。
【关键词】平面问题;应力;应变;位移;边界弹性力学通常也被称为弹性理论，主要是对应力、变力以及位移这三个基本的未知函数进行研究，这几个函数都是空间变量，在弹性力学中涉及到的平面问题是指当这三类基本未知函数与某一个坐标轴无关时对应的力学问题。
平面问题是二维的问题，它可以非常直观的对弹性力学中的基本理论进行阐述，并且当前在工程中对其计算结果的使用非常广泛，一般被当作弹性力学学习过程中的典型问题以及入门的教学内容来使用，因此弹性力学的基本内容中就包含了对平面问题的求解。
对弹性力学的平面问题进行求解，也就是对3个应力分量、3变力分量以及两个位移分量来进行求解，要求这8个未知函数必须能够满足该区域中的基本方程式，同时也要满足边界上面的位移与应力的边界条件。
为了能够更好的求解，一般会使用与代数方程中消元法相似的方式进行求解。
并且会以选取的基本未知函数的不同为依据，将求解方法分成位移解法与应力解法两种。
在很多实际的工程问题中，体力是常量，此时则可以采用应力函数法求解平面问题。
1、位移解法位移解法指的是按照位移来进行求解的方法，与结构力学中包含的位移法相近。
不管是平面应力问题还是应变问题，对平衡微分方程与几何方程的方法都是相同的，平面问题中涉及大的平衡微分方式如下：平面问题的几何方程为在平面应力问题中，物理方程为在平面应变问题中，物理方程为从上面我们能够看得出来，平面的应力问题与应变问题所涉及的物理方程是不同的，所以把平面应力问题中的E转换为; ; ; ;，v转换为; ; ，平面应变问题的物理方程就能够得出来。
接下来将使用平面的应力问题当作例子，应用位移解法来对平面问题求解。
首先选取基本未知函数为位移分量u和v。
因为几何方程本身就是使用位移分量来表示应变分量的表达式，所以我们可以只将物理方程中的应变分量为依据对应力分量进行表示，然后再把几何方程式代入其中，然后就能够得到使用位移分量来表示的应力分量表达式：在平面问题涉及到的平衡微分方程中把使用位移分量来表示的应力分量的表达式代入，可以得到一个使用位移分量来表示的平衡微分方程，也就是位移解法中的基本微分方程：在应力的边界条件中把使用位移分量来表示的应力分量表达式代入，从而求出平面问题的位移解法的应力边界条件为：除此之外，位移分量还需满足位移边界条件总结来说，使用位移解法来对平面应力问题进行求解，其实就是使得位移的分量u和v在指定的区域内可以满足该解法的基本微分方程，以及能够在边界上满足其应力的边界条件和位移的边界条件。
改进傅里叶方法在梁结构振动特性分析中的应用
改进傅里叶方法在梁结构振动特性分析中的应用肖伟;霍瑞东;李海超;高晟耀;庞福振【摘要】对一般边界条件下Euler-Bernoulli 梁的振动特性展开研究.首先基于改进傅里叶法建立了梁结构的位移函数表达式,其中位移函数被表示为傅里叶余弦级数展开式与辅助多项式函数的叠加,其后基于最小势能原理建立拉格朗日方程,并通过Rayleigh-Ritz 法进行求解,得到其固有模态及强迫振动响应.通过讨论旋转方向和横向弹簧刚度取值对计算结果收敛性的影响,验证了本方法的数值稳定性,得到用于模拟经典边界条件的弹簧刚度值.将计算结果与有限元法对比,验证了本方法的有效性.在此基础上对一般边界条件下梁结构受迫振动的响应特性进行研究,给出弹簧刚度值等参数对梁结构振动特性的影响规律.%The vibration characteristics of Euler-Bernoulli beam under general boundary conditions are studied. Firstly, the displacement function expression of the beam structure is established based on the modified Fourier method. The displacement function is expressed as a superposition of a Fourier cosine series expansion and an auxiliary polynomial function, and the Lagrange equation is established using the principle of minimum potential energy. Then, the equation is solved by Rayleigh-Ritz method, and the characteristic equation of the beam structure is obtained. The natural frequency and mode shape of the beam structure can be obtained by solving the characteristic equation. By discussing the influence of rotation and lateral spring stiffness on the convergence of the calculation results, the numerical stability of the method is verified, and the spring stiffness values used to simulate several classical boundary conditions are obtained.The computation results of this method are in good agreement with those of the finite element method. Thus the accuracy of the method is verified. On this basis, the response characteristics of the forced vibration of the beam structure under different boundary conditions are compared mutually. Finally, the influences between the effects of the rotation direction and the stiffness of the transverse spring on the vibration characteristics of the beam structure are discussed.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2019(039)001【总页数】6页(P10-15)【关键词】振动与波;改进傅里叶级数;梁结构;振动特性;弹簧刚度;受迫振动【作者】肖伟;霍瑞东;李海超;高晟耀;庞福振【作者单位】中国舰船研究设计中心, 武汉 430064;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001;中国人民解放军92578部队, 北京 100161;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】TB53梁结构在工程领域中应用广泛，开展典型梁结构振动特性研究具有重要的价值。
弹性力学平衡微分方程推导方法的改进
弹性力学平衡微分方程推导方法的改进弹性力学，是指小型固体体系在受到内部和外部力作用时，改变形状后再回到原始状态的研究。
它模拟了自然界中物体的变形行为，如心肌的收缩，而弹性力学平衡微分方程（EPD）是其中的基本方程式。
虽然它们有着广泛的应用，但这个数学模型仍有待改进。
首先，高维EPD模型存在公式复杂、运算量大的问题。
在一个单元体系上，就算只是求解一个四维动态系统，模型的非线性方程就已经变的复杂难以解。
如果模型要求更高的维度，更多的变量，那将更难求解。
因此，开发出可以有效求解高维EPD的新方法，将有助于使EPD的实际应用变得更为广泛，以满足当今社会对体系性能的高标准需求。
此外，许多研究表明，在模拟体系在不同负载和温度条件下的变形行为时，现有EPD方法存在许多不足和偏差。
另一方面，如果可以引入考虑多个变量的多自变量基础模型，就可以更好的模拟材料的复杂性能行为。
这就要求EPD的改进方法要有足够的灵活性，以满足对体系性能的不断改变。
最后，在计算技术方面，还需要改进弹性力学平衡微分方程（EPD）模型。
采集和处理数据需要耗费大量时间，受到硬件性能的限制。
实时处理和计算要求更好的模型，以及更快更准确的算法。
有效的算法实现有助于数据采集准确快速，从而减少误差，增强模型的准确性。
这有助于更好的模拟材料的性能，更精确的计算弹性力学属性，更有效的预测体系中的变形模态，以及更准确的模拟体系的变形表现。
综上所述，用于改进弹性力学平衡微分方程（EPD）模型的解决方案是非常重要的。
要有效率地解决高维体系的非线性方程，需要采用更有效的方法来计算模型；同时，需要引入考虑多个变量的多自变量基础模型，来解决负载和温度变化时体系性能变化的。
平衡微分方程
复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同
弹性力学的几个基本概念
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
z 0 z 0
注意，每一个截面都是对称平面
物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比：刚度
正应力与正应变成正比：杨氏模量 E
侧向变形，泊松效应 μ
虎 克 定 律 平面应变 平面应力
弹性力学的平衡微分方程
新课
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
u v , y 弹性体的变形: 正应变 x x y
UA VA VB
PA 的伸长量UA
UBPB 的伸长量VB Nhomakorabea弹性体的变形: 剪应变
v u x y
v u x y
UA
VA VB
PA 的转动量VA
金属塑性变形理论第26讲-力平衡微分方程
04
CATALOGUE
力平衡微分方程的扩展
非线性力平衡微分方程
非线性力平衡微分方程描述了非线性物 理系统中的力平衡关系，考虑了力的非 线性效应，如弹性变形、塑性变形和流 体动力学等。
该方程形式较为复杂，需要使用数值方法进 行求解，如有限元法和有限差分法等。
非线性力平衡微分方程在工程领域 中有着广泛的应用，如结构分析和 动力学分析等。
多物理场力平衡微分方程
01
多物理场力平衡微分方程描述了多个物理场之间的相互作 用和力平衡关系，如电磁场、流体场和弹性力学场等。
02
该方程组由多个偏微分方程组成，每个方程描述一个物理 场的运动规律。
03
多物理场力平衡微分方程的求解需要使用耦合求解方法，如有 限元法和谱方法等，同时需要考虑不同物理场之间的耦合效应
金属塑性变形理论 第26讲-力平衡微分 方程
contents
目录
• 力平衡微分方程的推导 • 力平衡微分方程的应用 • 力平衡微分方程的解法 • 力平衡微分方程的扩展 • 力平衡微分方程的物理意义与展望
01
CATALOGUE
力平衡微分方程的推导
力的定义与性质
力的定义
力是一个物体对另一个物体的作 用，是改变物体运动状态的原因
02
这种方法适用于无法直接求解的问题，但解的精度可能受到近
似条件的影响。
常用的近似解法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
03
数值解法
01
数值解法是通过计算机数值计算方法求解力平衡微 分方程。
02
这种方法适用于各种复杂的问题，且随着计算机技 术的发展，数值解法的精度和效率不断提高。
03
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和有限 体积法等。
弹塑性力学 4 平衡微分方程和边界条件汇总
平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
x
x
yx
y
zx
z
Fbx
0
xy
xLeabharlann yyzyz
Fby
0
z
x
yz
y
z
z
Fbz
0
切应力互等定理
ij ji
ij ,i Fbj 0
真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
S＝S＋Su
部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界S 不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件
边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界S
面力边界条件—— Fsj ijni
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。
数必须等于3个。
例：确定平面问题应力边界条件
q
O
x
α
α F
l
y
y=0边界面上
x 0
q
y
q l
x
O
x
xy 0
α
流体平衡微分方程推导过程
流体平衡微分方程推导过程《聊聊流体平衡微分方程推导过程》同学们，今天咱们来唠唠流体平衡微分方程的推导过程。
想象一下，你面前有一杯静止的水，它安安静静的，没有任何流动。
这就是我们说的流体平衡状态。
那怎么去搞清楚这里面的数学规律呢？咱就从一个小立方体的流体块开始研究。
假设这个小立方体在水里，各个面上都受到了压力。
比如说，前面受到的压力大一点，后面受到的压力小一点，那这个小立方体是不是就会向前移动啦？但现在它没动，说明前后的压力差正好抵消了。
同样的道理，上下左右的压力差也都相互抵消了。
我们把这些压力的关系用数学式子写出来，经过一番捣鼓和整理，就能得到流体平衡微分方程啦！这就好像解开一个神秘的谜题，是不是还挺有意思的？《跟你讲讲流体平衡微分方程推导过程》朋友们，今天我要和你们说一说流体平衡微分方程的推导过程。
咱们先假设在水里有那么一个小小的区域，就像一个小小的房间。
这个小区域里的水是安静的，处于平衡状态。
然后呢，我们来看看这个小区域的四周。
比如说左边的水给它一个压力，右边的水也给它一个压力。
如果这两个压力不一样大，那水是不是就得动起来了？可现在水没动，这就说明左边和右边的压力得是一样的。
再想想上面和下面的压力，也是同样的道理。
我们把这些压力之间的关系用数学的方式表达出来，一步一步地算，慢慢地就能得出流体平衡微分方程啦。
就好像我们在拼凑一个拼图，拼成了一幅完整的画面。
《流体平衡微分方程推导过程，其实不难！》大家好呀！今天咱们来把流体平衡微分方程的推导过程弄明白。
比如说，你想象一下游泳池里的水，平静得像一面镜子。
这时候，水里面的每一个小部分都是平衡的。
我们拿其中一小块水来研究。
这块水的前后左右上下都受到了周围水的压力。
如果前面的压力比后面的大，那这块水是不是就会往后跑？但它没跑，所以前后压力肯定是一样的。
同样，左右、上下的压力也都得相等。
我们根据这些相等的关系，用数学公式去表示，多算几步，就能推出流体平衡微分方程咯。
弹性力学弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件 位移表示的平衡微分方程应力解法 体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质逆解法和半逆解法 解的迭加原理 ,弹性力学基本求解方法 、内容介绍通过弹性力学课程学习， 我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用 公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结， 并且讨论具体地求 解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计 15 个，基本方程有 平衡微分方程、 几何方程和本构方程， 也是 15 个。
面对这样一个庞大的方程组， 直接求解显然是困难的， 必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求， 本章的主要 任务有三个：是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质， 确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、 应力解位移解法 位移边界条件 变形协调方程 混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15 个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程
空间问题的数学描述：
z
yx y yz
C
z zx zy x yz y
B
xz
P
弹性微元体体在外界力的作用 下，在x、y、z三个方向均会产 生应力、应变及位移。 15个未知函数 — 6个应力分量：
xy b xz yx a xy zx z
x zy
A
y
x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
yx
xy
x
y
除以dxdy，合并同类项 1 xy 1 yx xy dx yx dy
2 x 2 y
C
fx
x
xy
略去高阶微量，得出
fy
xy x
x dx x
dx
xy yx
y
y
yx
y dy
yx y
2.7 圣维南原理
2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题
2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
弹性力学分析问题严格遵循静力学、几何学、物理学三个方面 的条件，建立三套方程。 静力平衡的条件：是关于弹性体内一点（微分体）的应力 分量与体力分量直接平衡关系的平衡微分方程。
弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
➢ 当六个应变分量
2 z x2
2 x z2
2
2 x yz
x
2 xz
zx yz x
xz y
xy z
(3-7)
满足以上应变协 调方程(3-7)时，
2 2 y zx
y
yz x
xz y
xy z
2020/7/3
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-1 平衡微分方程的概念
3.1.2 平衡微分方程的建立
➢ 设一均质杆，悬挂在固定端受自重作用，应力状态是单向拉伸。
➢ 距底端为x截面，应力为，在x+dx截面，应力为 d dx，
dx
微元体的长度为dx，截面积为A，重量为Ax dx ，平衡方程：
2020/7/3
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
例题1 试确定以下各应变状态能否存在?
(1) x=k(x2+y2)，y=ky2，xy=2kxy，x=yz=zx (2) x=axy2，y=ax2y，z=axy， xy=0，yz=az3 +by2，zx= ax3 +by2
➢ 微分体径向平衡方程（注ຫໍສະໝຸດ ：为微量，sin ,cos 1 ）
22 2
r
r
r
d r(rd)rdrd
d drd2
drd2 r
r
d drrdrKrrd dr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
rr1 r rr 2K r0
2020/7/3
弹性力学11-极坐标中的平衡微分方程
注意微分体中：
j 面不平行，夹角为 dj ； 两 r 面面积不等，分别为rdj 和（r+dr）dj r 从原点出发为正， j 从 x 轴向 y 轴方向转动为正。
两
第四章 平面问题的极坐标解答 4.1 极坐标中的平衡微分方程
应力分量的定义：
r 方向的正应力称为径 向正应力，用 sr 表示；沿 j
同理，将微分体受力向过形心的切向轴投影，建立环 向（ j 向）微分体平衡公式： Fj 0,
1 s j t rj 2t rj + + + r j r r
f j 0
第四章 平面问题的极坐标解答 4.1 极坐标中的平衡微分方程
列平衡条件时：（1）应力和体力应分别乘以其作
用面积和体积，才能得到合力；（2）应用了两个基 本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的 条件；（3）平衡微分方程表示了平面区域内任一点 的平衡条件；（4）平面应力问题和平面应变问题的 平衡微分方程相同。 极坐标下的平衡微分方程含三个未知数：sr 、sj 、trj 。
由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择 无关。对于直角坐标系和极坐标系，因为它们都是正交坐 标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。
第四章 平面问题的极坐标解答
对于理想弹性体，将直角坐标系的物理方程中下标作相应的
替换，可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下：
4.2 极坐标中的几何方程和物理方程
r 坐标线为直线, j 坐标线为圆弧曲线; r的量纲为L, j 的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基
本方程的区别。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.1 极坐标中的平衡微分方程
研究对象微分体的选取：
选取夹角为 dj 的两条径向线 段和距离为 dr 的两条环向线段 所围成的微分体 PACB，厚度为 1。
河南理工弹性力学-平衡微分方程
第2讲平衡微分方程上一讲回顾（平面应力与平面应变问题）建立起了平面问题的8个基本未知量三个应力分量：三个应变分量：两个位移分量：,, x y xy ,,x y xy ,u v今后的课程将会围绕着如何求出8个未知变量（其实是8个关于x,y的未知函数）本讲的平衡微分方程实际是三个应力分量之间的微分关系xd xx x xxyd xyxy xxyd yy yyyxd yxyx yyO xy P d(.,d),,PPA x PB yx yx fy fC2.2 平衡微分方程1.微分体及各面上的应力分量表示AB Dd (.,d ),, P PA x PB y x y 0C M xy yx 1122102yx yx yx dy dy dy dx dx dy yd (.,d ),, P PA x PB y x y 0C M 220yx xy yx xy切应力互等xd xx x xxyd xy xyx xyd yy yyyxd yx yxy yOxyPABd (.,d ),, P PA x PB y x y xf yf C 0x F 0yx x x f x yxd xx x xxyd xy xyx xyd yy yyyxd yx yxy yOxyPABd (.,d ),, P PA x PB y x y xf yf C 0y F 0xy yy f x y0,0.yx xx x y y y f x yf x y平面问题中的平衡微分方程：两个微分方程，三个未知函数，因此微分体的平衡是超静定的（Hyperstatic or Statically indeterminate ），必须考虑几何学和物理学方面的条件，才能解决问题。
2.平衡微分方程表达式①推导平衡微分方程时，应用了连续性和小变形的基本假定；②请检查方程中各项的量纲，是否相同？3.几点说明0,0.yx xx x y y y f x yf x y1222,,,x y yx yx ML TML Tf f3.几点说明①推导平衡微分方程时，应用了连续性和小变形的基本假定；②请检查方程中各项的量纲，是否相同？③平衡微分方程表示区域内任一点的微分体的平衡条件，从而必然保证任一有限区域和整个区域的平衡，因此这样考虑的静力学条件是严格和精确的。
第四章-弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
dSx
dSx,
dexy
1 2G
d xy
d xy
dey
1 2G
dS y
dSy,
deyz
1 2G
d yz
d yz
dez
1 2G
dSz
dSz , dezx
1 2G
d
zx
d zx
d
1 K
d m
或简写形式：
dij
1 2G
dSij
d Sij
1 2
3E
d kkij
2021/6/9
11
第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法 基本方程——本构方程之Levy-Mises流动法则
dx dSx , d xy d xy
d y
dSy,
d yz
d
yz
dz
dSz ,
d zx
d zx
或简写形式：
dij dSij
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12
第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法 基本方程——本构方程之依留申本构方程
x
i i
[
x
1 2
(
y
z )],
xy
3i i
xy
y
i i
2021/6/9
16
第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹塑性力学问题的微分提法——三类偏微分边值问题
工程实践中，一个实际的弹塑性力学问题是如何提出的呢？ 这里给出一个具体的表述：
设在固体内给定体力Xi，在应力边界上给定面力Xi，在 位移边界上给定位移ui，要求确定固体内各点的应力、应变和 位移。按照上一节的讨论，这些未知量满足一组偏微分方程 和边界条件。因此，从数学的观点来看，一个实际的弹塑性 力学问题总是可以归结为一个偏微分方程组的边值问题。这 就是所谓的微分提法。
《弹性力学教学课件》2-2平衡微分方程
平衡微分方程描述了物体内部各点在受力平衡状态下的应力分布 规律。
反映变形与力的关系
通过平衡微分方程，可以反映物体内部的变形与力的关系，以及变 形与位移的关系。
预测物态变化
在一定条件下，平衡微分方程可以用于预测物体的稳定状态和失稳 条件，以及可能的物态变化。
03
平衡微分方程的应用
效应，如应变硬化或软化。
非线性屈服准则
02
与非线性平衡微分方程相结合，用于描述材料在达到屈服点后
的行为。
非线性边界条件
03
在某些情况下，需要考虑非线性边界条件，耦合的平衡微分方程
01
热-弹性平衡微分方程
将温度场与弹性场耦合，描述了热膨胀和热应力等现象。
02
流体-弹性耦合平衡微分方程
平衡微分方程的数学表达
80%
数学表达式
根据推导结果，平衡微分方程通 常表示为关于位移、应力和应变 等变量的偏微分方程。
100%
形式多样
根据具体问题，平衡微分方程可 以有不同的形式，如平面问题、 轴对称问题等。
80%
求解方法
平衡微分方程的求解方法包括解 析法和数值法，如有限元法、有 限差分法等。
平衡微分方程的物理意义
弹性力学主要研究物体的应力、应变和位移等物理 量，以及它们之间的相互关系和变化规律。
平衡微分方程在弹性力学中的重要性
平衡微分方程是解决弹性力学 问题的基础，通过求解该方程 可以获得物体的应力分布、应 变和位移等物理量。
平衡微分方程是弹性力学的基 本方程之一，它描述了弹性物 体在力的作用下保持平衡状态 的条件。
数值法求解平衡微分方程
数值法
通过离散化方法将连续的 平衡微分方程转化为离散 的数值形式，通过迭代或 直接求解得到近似解。
弹性力学平衡方程学习
弹性力学平衡方程学习声明：本文节选自“ 张伟伟,田锦邦.弹性力学的三段式教学方法[J]. 力学与实践, 2017,39(2):191-195.” 中的案例，本文只是把图的编号调整了一下。
建议本文与“弹性力学的理论体系与学习建议”（已设置链接，可以直角点击查看）一起阅读。
平衡微分方程是弹性理论的重要内容，是弹性力学的重要基础。
我们以平衡微分方程（徐芝纶《弹性力学》第5版）为例说明三段式教学法的实施过程，其分析和数理推导代表了典型的力学思维方式，学生对该部分内容的掌握和理解程度很大程度上会对后续内容产生影响，如果在这一部分教学中养成学生一定的力学思维方式，将在后续内容的学习中起到事半功倍的效果。
知识点三段式划分：弹性力学具有和材料力学相同的研究目标，即解决问题的强度、刚度、稳定性问题。
平衡方程建立结构内各点之间应力分量需要满足的方程关系，对其求解可确定出结构在变形过程中所承受的应力，可将列平衡方程的工程背景视为旨在解决强度问题。
其次，将应力分量视为未知数，利用函数和几何知识对应力分量进行合理描述；最后，利用力学平衡原理列出应力分量需要满足的平衡方程。
因此，将平衡微分方程知识点按照三段式划分，可分为：（1）工程背景，求解应力可解决工程中的强度问题，（2）数理基础，利用函数和几何知识描述微元体上的应力分量，（3）力学原理，依据平衡原理建立应力分量需要满足的微分方程。
教学实施过程：平衡微分方程的讲解可依据如下图1所示依次进行，在讲解中注意与已学过的材料力学、高等数学、理论力学的知识衔接。
第一阶段，包括图1中的①，介绍平衡方程的应用背景在于解决工程中的强度问题。
由于学生在学习弹性力学前学习了材料力学，因此工程中需要解决强度问题的概念相对容易建立，在讲解中点到即可。
第二阶段，包括图1中的②和③，④，利用函数和几何知识描述微元体上的应力分量，是本知识点的难点所在，需要深入讲解。
继续细分，该难点的理解包含两个关键点：一、微元体的概念与作用（图1中③）；二、微元体上的应力分量如何确定（图1中④）。
弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程
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以微 元 体 中心 点 为 具 体 展 开 点 ，应 用一 阶泰 勒 公 式 得 到 其 各 个 面上 的应 力分 量 ，从 而 推 导 得 到 了 弹性 力学 平面 问题 的平 衡 微 分方 程 ．解 决 了原 有 教 材 中泰 勒 公 式 展 开 点 （ 下转 ５ ６ 页）
５ ６｛ 南Ｉ
２ ０ １ ７ 年 ． 第６ 期
根 据 以上 分 析 ，虚 拟 样 机 技 术 应 用 于 课 堂 教 学 能够 较好 地
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Ｋ ｕ ｒ ｚ ｋ ｅ 博士开发的燃气轮机 （ 航空发动机和地面燃气轮机 ） 总
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图１ 微 小的正 平 行 六面 体
力的投影方程并忽略掉高阶微量而得出平衡微分方程。
量。
图 ２改 进 后 的 微 小 的 正 平 行 六 面 体
首 先 ，推导 切 应 力互 等 定理 ，将 所有 力对 单 元体 形 心 Ｅ 取矩
列 平衡 方程 ，得 ３ ｘ ） Ｏ ｒ ｄ：
（ ２）大 多数 教 材应 用 泰 勒 公式 对 应 力 分量 展 开 时没 有 说 明
８ ８
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单 性 学中平衡 微分方程 推 导
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◇安 徽理 工 大 学力 学与光 电 物理 学 院 卢 小雨
许多 《 弹性 力学 》教材在 应用泰 勒公 式推 导平衡 微分 方
程 的 过 程 中表 述 不 够 清 楚 ， 让 学 生感 到 困 惑 。 本 文 明 确 了泰 勒 公 式 展 开 点 ，对 平 衡 微 分 方 程 进 行 了重 新 推 导 。 平衡微分方程是 《 弹 性 力学 》的 三 大 基 本 方 程 之 一 。 《 弹 性 力学 》教 材 推 导 平 衡 微 分 方程 的过 程 都 是 ： （ 以直 角 坐 标 系
ｄ ｙ
化 简 ，得 ： ＝Ｔ ｙ 。 其 次 ，推导 平衡 微 分方 程 ，列 出ｘ 方 向 力的投 影 方程 ：
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是从 Ａ Ｂ 的 中点 展开 的 。
苏 少卿 等 也指出 《 弹性 力学 》教材 推 导平 衡 微 分方 程 的 过
ｘ ￣ ａ
：
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在 教 学过 程 中发 现 以下 两 个问 题难 以解 释 清楚 。 （ １ ）图 １ 中ＡＢ 面 上 的 应 力分 量 为 和 ，Ａ Ｄ 面 上 的应 力
分 量 为 和 … 它 们 到底 是 不 是 同 一个 点 的 应 力分 量 ？ 它 们 的 坐 标 显 然 是 不 同 的 ，因此 它 们 应 该 不 是 同一 个 点 的 应 力 ；既然 不 是 一 个 点 的 应 力 ，可 是 表 述 上 又 像 是 同 一 个 点 的 应 力 分
程在数学上不够严密 ，并利用多元 函数偏导数的定义和积分中
值 定 理 给 出了 逻 辑 严 密 的 推导 ，但 其 推 导 方 法 对 高 等 数 学 要 求 较 高 ，对 现 在 大 部 分 数 学 基础 薄 弱 的大 学 生 来 说 则 难 以消 化 理
解。 １改进 的推 导 方法
十 一 譬
警
具 体 针 对哪 个 点 进 行 泰勒 公 式 展 开 的 ，显 然 不 是 从Ａ点或 Ｅ 点 展
开 的 ；总 止 人感觉 Ｂ ｃ 面上 的 应 力分 量 ＋ ！ ｄ ｘ
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从Ａ Ｄ的 中点展 开得 到 的 ；而Ｃ Ｄ面上 的应 力 分量 总 让人 感 觉 ｄ ｖ ， ＋
下 的 平 面 问题 为例 ）取 图 １ 所 示
Ｂ Ｃ 面 上的 应 力 ：
Ｃ Ｄ面上 的 应 力 ：
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＾ ＋ ’ ｔ ¨ 鲁警 — 专
体 性 能 计 算 软 件 ，是 当前 全 世 界范 围 内最 好 的 燃气 轮机 性 能 分 析 商 业 软 件 ，可 实现 涡 喷 、涡 扇 、涡 桨 、涡 轴 和 冲压 发 动 机 ， 以及 地 面 燃 气 轮机 的整 机 热 力学 设 计 或 性 能 分 析 ，获得 各个 部 件 性 能 参 数 ，方 便 向学 生 演 示 发 动 机 热 力 学 性 能 计 算 、特 性 计
ａ ｆ —ｄ ｖ
Ａ Ｂ 面 上的 应 力 ：
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微 小 的 正 平行 六 面 体 ，它 在 ｘ方
向为 ｄ ｘ ，在 Ｙ 方 向的 尺寸 为 ｄ ｙ ， 为 汁算 简 便 ，取 其 厚 度 方 向 的 尺 寸 为单 位 长 度 ，由于 单 元体 是微
化 简 ，得 ： ＋
＝ 。
＋ ： ０
同理 ，在 ｙ 方 向 列出 力的投 影 方 程 ，可 得 ：
＋
塑 ＋，：０
ａ ｙ
与 教材 相 同 的是 仍 然取 在 ｘ方 向为 ｄ ｘ ，在 Ｙ方 向为 ｄ ｙ ，ｚ 方 向 为单 位 厚 度 的 微 小 正 平 行 六 面体 ，认 为它 的 各面 上 所 受 应 力 是 均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀 分 布 的 。假 设 微 元 体 中 心 Ｅ 点 （ ｘ ，Ｙ ）的 应 力 分量 为 ， ， ， 彳 ，则 微 元体 四个 面 上 的应 力则 可 以用 泰勒 公 式在 Ｅ 点 展开 而 得到 ：