leslie人口增长模型模型
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dx r ( x ) x , x ( 0) x 0 dt
（1）
对 r ( x) 的一个最简单的假定是，设 r ( x) 为 x 的线性函数，即
r ( x) r sx ( r 0 , s 0)
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 x m ，当 x x m 时人口不再增长，即 r 增长率 r ( x m ) 0 ，代入（2）式得 s ，于是（2）式为 xm
1
§1、问题重述
一、背景知识： 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发 展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加 速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的 增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂 局面，人口安全面临的风险依然存在 二、相关数据： 附件 1 《国家人口发展战略研究报告》 附件 2 人口数据（ 《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据 三、要解决的问题： 1、 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附件 2 中的相关数据 （也 可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人 口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 2、利用所建立模型的预测结果，参照附件 1 的相关叙述对反映中国人口增长特点 的一系列指标如人口老龄化、人口抚养比等进行分析预测。 3、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和 管理进行分析。
§2、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很 难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们分析了题目 以及附录 1 中所给的相关信息， 考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时 期建立多个模型分别加以讨论。 一、从附件 1 中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了 2010 年、2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿人，2033 年前后达到峰值 15 亿人左右的预测。因而， 我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较， 对于预测 所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型Ⅰ：阻滞增长模 型。 二、模型Ⅰ只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。但实际中在对人口进 行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。在人口总数一定时，不同年龄段的 人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论 不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们依据附件 2 建立了模型Ⅱ：按年龄分布 的 Leslie 模型。 三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结 果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测 值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标， 由此我们可以对模型的计算结果进行 进一步的分析。
2
§3、合理的假设
1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争 bi , si 不随时间而变化 2、超过 90 岁的妇女（老寿星）都按 90 岁年龄计算 3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变 4、不考虑移民对人口总数的影响
§4、名词解释与符号说明
一、名词解释 1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明 每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生 育水平最常用的指标之一。 2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她 们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出 的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。 3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常 用百分比表示。说明每 100 名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于 从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。根据劳动年龄人口的两种不同定义 （ 15-59 岁人口或 15-64 岁人口），计算总抚养有两种方式 4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。 促使人口老龄化的直接 原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中 65 岁及以上 老年人口比重超过 7%，或 60 岁及以上老年人口比重超过 10%，那么该人口就属于老年 型。 5、 出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值， 通常用女婴数量为 100 时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在 103～107 之间。 二、符号说明 序号 1： 2 3： 4： 5： 6： 7： 8： 9： 10： 11： 12： 13： 14： 符号
1、 将 1954 年看成初始时刻即 t 0 ， 则 1955 为 t 1 ， 以次类推， 以 2005 年为 t 51 作为终时刻。用函数（5）对表 1 中的数据进行非线性拟合，运用 Matlab 编程（程序见 附录 1）得到相关的参数 x m 180.9871 , r -0.0336 ，可以算出可决系数（可决系数是判 别曲线拟合效果的一个指标） ：
4
数据如表 1。
表1 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1990 114.333 1999 125.786 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1982 101.654 1991 115.823 2000 126.743 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1983 103.008 1992 117.171 2001 127.627 各年份全国总人口数（单位：千万） 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1984 104.357 1993 118.517 2002 128.453 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1985 105.851 1994 119.850 2003 129.227 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1995 121.121 2004 129.988 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1996 122.389 2005 130.756 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1988 111.026 1997 123.626 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1989 112.704 1998 124.761
R2 1
(y
i 1 5 i 1
5
i
ˆ i )2 y
i
(y
0.9959
y)
2
百度文库
由可决系数来看拟合的效果比较理想。 所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲 线：
180.9871 （6） 180.9871 0.0.0336 t 1 ( 1)e 60.2 根据曲线 （6） 我们可以对 2010 年 （ t 56 ） 、 2020 年 （ t 66 ） 、 及 2033 年 （ t 79 ） 进行预测得（单位：千万） ： x(56) 138.6161, x(66) 148.5400, x(79) 158.6028 结果分析： 从附录 1 所给信息可知从 1951 年至 1958 年为我国第一次出生人口高峰， 形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响 模型结果的准确性。1959、1960、1961 年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受 到很大影响，1962 年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说 1951-1962 年的人口增长的随机误差不是服从正态分布， 由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选 择 1963 年作为初始年份对表 1 中的数据进行拟合。 2、 将 1963 年看成初始时刻即 t 0 ，以 2005 年为 t 32 作为终时刻。运用 Matlab 编程（程序见附录 2）得到相关的参数 x m 151.4513 , r 0.0484 ，可以算出可决系数 x(t ) R 2 0.9994 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
人口增长预测模型
摘要
本文建立了我国人口增长的预测模型， 对各年份全国人口总量增长的中短期和长期 趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提 出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了 Logistic 人口阻滞增长模型，利用附件 2 中数据，结合网上查找 补充的数据，分别根据从 1954 年、1963 年、1980 年到 2005 年三组总人口数据建立模 型，进行预测，把预测结果与附件 1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进 行分析比较。得出运用 1980 年到 2005 年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线 的可决系数为 0.9987。运用 1980 年到 2005 年总人口数据预测得到 2010 年、2020 年、 2033 年我国的总人口数分别为 13.55357 亿、14.18440 亿、14.70172 亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型 （Leslie 模型） ： 以附件 2 中提供的 2001 年的有关数据，构造 Leslie 矩阵，建立相应 Leslie 模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率 1.8，构造 Leslie 矩阵，建立相 应的 Leslie 模型。 首先， 分别预测 2002 年到 2050 年我国总人口数、 劳动年龄人口数、 老年人口数 （见 附录 8） ， 然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、 劳动年龄人口数的发展情况进 行分析， 得出： 我国总人口在 2010 年达到 14.2609 亿人， 在 2020 年达到 14.9513 亿人， 在 2023 年达到峰值 14.985 亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构 方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本 世纪 40 年代中后期形成老龄人口高峰平台，60 岁以上老年人口达 4.45 亿人，比重达 33.277%；65 岁以上老年人口达 3.51 亿人，比重达 25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女 人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic 人口模型 Leslie 人口模型 人口增长预测 MATLAB 软件
t r x xm R2 ni (t ), i 1,2, m b （ i i 0,1, 2, ,90) d （ i i 0,1, 2, ,90) s i (i 0,1,2, ,90) L Z0 zs zz zx
意义 表示年份（选定初始年份的 t 0 ） 人口增长率 人口数量 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 可决系数 在时间段 t 第 i 年龄组的人口总数 第 i 年龄组的生育率 第 i 年龄组的死亡率 第 i 年龄组的存活率 Leslie 矩阵 2001 年全国人口总数 2001 年城市总人口 2001 年镇总人口 2001 年乡总人口
3
15： 16： 17： 18： 19: 20：
ni (0), i 1,2, m
vi (i 1,2,3)
L( j) ( j) k Ki ( j)
2001 年第 i 年龄段的人口总数 i 1,2,3 时分别表示市、镇、乡的女孩出生率 j 时段具有劳动能力的人口 社会的抚养比指数 总和生育率 j 时段 i 年龄组中女性所占的百分比
x ) xm
r ( x) r (1
（3）
将（3）代入方程（1）得：
x dx rx (1 ) xm dt x ( 0) x 0
（4）
解方程（4）可得：
x(t ) x 1 ( m 1)e rt x0 xm
（5）
二、模型的建立 为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库 （http://211.86.245.155/index.aspx） 上查到我国从 1954 年到 2005 年全国总人口的
§5、模型的建立与求解
模型Ⅰ：阻滞增长模型（Logistic 模型）[1] 一、模型的准备 阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增 长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口 增长率 r 的影响上，使得 r 随着人口数量 x 的增加而下降。若将 r 表示为 x 的函数 r ( x) 。 则它应是减函数。于是有：
（1）
对 r ( x) 的一个最简单的假定是，设 r ( x) 为 x 的线性函数，即
r ( x) r sx ( r 0 , s 0)
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 x m ，当 x x m 时人口不再增长，即 r 增长率 r ( x m ) 0 ，代入（2）式得 s ，于是（2）式为 xm
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§1、问题重述
一、背景知识： 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发 展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加 速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的 增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂 局面，人口安全面临的风险依然存在 二、相关数据： 附件 1 《国家人口发展战略研究报告》 附件 2 人口数据（ 《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据 三、要解决的问题： 1、 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附件 2 中的相关数据 （也 可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人 口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 2、利用所建立模型的预测结果，参照附件 1 的相关叙述对反映中国人口增长特点 的一系列指标如人口老龄化、人口抚养比等进行分析预测。 3、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和 管理进行分析。
§2、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很 难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们分析了题目 以及附录 1 中所给的相关信息， 考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时 期建立多个模型分别加以讨论。 一、从附件 1 中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了 2010 年、2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿人，2033 年前后达到峰值 15 亿人左右的预测。因而， 我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较， 对于预测 所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型Ⅰ：阻滞增长模 型。 二、模型Ⅰ只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。但实际中在对人口进 行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。在人口总数一定时，不同年龄段的 人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论 不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们依据附件 2 建立了模型Ⅱ：按年龄分布 的 Leslie 模型。 三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结 果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测 值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标， 由此我们可以对模型的计算结果进行 进一步的分析。
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§3、合理的假设
1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争 bi , si 不随时间而变化 2、超过 90 岁的妇女（老寿星）都按 90 岁年龄计算 3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变 4、不考虑移民对人口总数的影响
§4、名词解释与符号说明
一、名词解释 1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明 每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生 育水平最常用的指标之一。 2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她 们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出 的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。 3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常 用百分比表示。说明每 100 名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于 从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。根据劳动年龄人口的两种不同定义 （ 15-59 岁人口或 15-64 岁人口），计算总抚养有两种方式 4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。 促使人口老龄化的直接 原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中 65 岁及以上 老年人口比重超过 7%，或 60 岁及以上老年人口比重超过 10%，那么该人口就属于老年 型。 5、 出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值， 通常用女婴数量为 100 时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在 103～107 之间。 二、符号说明 序号 1： 2 3： 4： 5： 6： 7： 8： 9： 10： 11： 12： 13： 14： 符号
1、 将 1954 年看成初始时刻即 t 0 ， 则 1955 为 t 1 ， 以次类推， 以 2005 年为 t 51 作为终时刻。用函数（5）对表 1 中的数据进行非线性拟合，运用 Matlab 编程（程序见 附录 1）得到相关的参数 x m 180.9871 , r -0.0336 ，可以算出可决系数（可决系数是判 别曲线拟合效果的一个指标） ：
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数据如表 1。
表1 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1990 114.333 1999 125.786 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1982 101.654 1991 115.823 2000 126.743 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1983 103.008 1992 117.171 2001 127.627 各年份全国总人口数（单位：千万） 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1984 104.357 1993 118.517 2002 128.453 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1985 105.851 1994 119.850 2003 129.227 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1995 121.121 2004 129.988 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1996 122.389 2005 130.756 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1988 111.026 1997 123.626 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1989 112.704 1998 124.761
R2 1
(y
i 1 5 i 1
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i
ˆ i )2 y
i
(y
0.9959
y)
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百度文库
由可决系数来看拟合的效果比较理想。 所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲 线：
180.9871 （6） 180.9871 0.0.0336 t 1 ( 1)e 60.2 根据曲线 （6） 我们可以对 2010 年 （ t 56 ） 、 2020 年 （ t 66 ） 、 及 2033 年 （ t 79 ） 进行预测得（单位：千万） ： x(56) 138.6161, x(66) 148.5400, x(79) 158.6028 结果分析： 从附录 1 所给信息可知从 1951 年至 1958 年为我国第一次出生人口高峰， 形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响 模型结果的准确性。1959、1960、1961 年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受 到很大影响，1962 年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说 1951-1962 年的人口增长的随机误差不是服从正态分布， 由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选 择 1963 年作为初始年份对表 1 中的数据进行拟合。 2、 将 1963 年看成初始时刻即 t 0 ，以 2005 年为 t 32 作为终时刻。运用 Matlab 编程（程序见附录 2）得到相关的参数 x m 151.4513 , r 0.0484 ，可以算出可决系数 x(t ) R 2 0.9994 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
人口增长预测模型
摘要
本文建立了我国人口增长的预测模型， 对各年份全国人口总量增长的中短期和长期 趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提 出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了 Logistic 人口阻滞增长模型，利用附件 2 中数据，结合网上查找 补充的数据，分别根据从 1954 年、1963 年、1980 年到 2005 年三组总人口数据建立模 型，进行预测，把预测结果与附件 1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进 行分析比较。得出运用 1980 年到 2005 年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线 的可决系数为 0.9987。运用 1980 年到 2005 年总人口数据预测得到 2010 年、2020 年、 2033 年我国的总人口数分别为 13.55357 亿、14.18440 亿、14.70172 亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型 （Leslie 模型） ： 以附件 2 中提供的 2001 年的有关数据，构造 Leslie 矩阵，建立相应 Leslie 模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率 1.8，构造 Leslie 矩阵，建立相 应的 Leslie 模型。 首先， 分别预测 2002 年到 2050 年我国总人口数、 劳动年龄人口数、 老年人口数 （见 附录 8） ， 然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、 劳动年龄人口数的发展情况进 行分析， 得出： 我国总人口在 2010 年达到 14.2609 亿人， 在 2020 年达到 14.9513 亿人， 在 2023 年达到峰值 14.985 亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构 方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本 世纪 40 年代中后期形成老龄人口高峰平台，60 岁以上老年人口达 4.45 亿人，比重达 33.277%；65 岁以上老年人口达 3.51 亿人，比重达 25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女 人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic 人口模型 Leslie 人口模型 人口增长预测 MATLAB 软件
t r x xm R2 ni (t ), i 1,2, m b （ i i 0,1, 2, ,90) d （ i i 0,1, 2, ,90) s i (i 0,1,2, ,90) L Z0 zs zz zx
意义 表示年份（选定初始年份的 t 0 ） 人口增长率 人口数量 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 可决系数 在时间段 t 第 i 年龄组的人口总数 第 i 年龄组的生育率 第 i 年龄组的死亡率 第 i 年龄组的存活率 Leslie 矩阵 2001 年全国人口总数 2001 年城市总人口 2001 年镇总人口 2001 年乡总人口
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ni (0), i 1,2, m
vi (i 1,2,3)
L( j) ( j) k Ki ( j)
2001 年第 i 年龄段的人口总数 i 1,2,3 时分别表示市、镇、乡的女孩出生率 j 时段具有劳动能力的人口 社会的抚养比指数 总和生育率 j 时段 i 年龄组中女性所占的百分比
x ) xm
r ( x) r (1
（3）
将（3）代入方程（1）得：
x dx rx (1 ) xm dt x ( 0) x 0
（4）
解方程（4）可得：
x(t ) x 1 ( m 1)e rt x0 xm
（5）
二、模型的建立 为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库 （http://211.86.245.155/index.aspx） 上查到我国从 1954 年到 2005 年全国总人口的
§5、模型的建立与求解
模型Ⅰ：阻滞增长模型（Logistic 模型）[1] 一、模型的准备 阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增 长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口 增长率 r 的影响上，使得 r 随着人口数量 x 的增加而下降。若将 r 表示为 x 的函数 r ( x) 。 则它应是减函数。于是有：