教材第六章 矩阵函数

第六章 矩阵函数

矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用．本章讨论矩阵函数——以方阵为“变量”、其“值”仍为方阵的函数．矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，因为最终是通过它来定义和计算一般矩阵函数的．当然可以用收敛的矩阵幂级数来定义和计算某些矩阵函数．

矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用，而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题．

§6.1 矩阵级数

定义1 设(){}k A 是m n C ⨯的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈，无穷和

(1)(2)(3)()k A A A A +++++

称为矩阵级数，记为()

1

k k A

∞

=∑．对正整数1k ≥，记()

()1

k

k i i S

A ==∑，称()k S 为矩阵

级数()1

k k A ∞

=∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞

=，

则称矩阵级数()

1

k k A

∞

=∑收敛，并称S 为矩阵级数()

1

k k A

∞

=∑的和，记为()1

k k A S ∞

==∑．不

收敛的矩阵级数称为发散的．

由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞

=∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数

()

1

(1,2,;1,2,,)k ij

k a

i m j n ∞

===∑ 都收敛．

由矩阵级数的收敛性定义易知

(1)若矩阵级数()1

k k A ∞

=∑收敛，则()lim 0;k k A →∞

=

(2)若矩阵级数()

11

k k A

s ∞

==∑，()21

k k B s ∞

==∑ ，,a b C ∈，则

()

()121

()k k k aA

bB as bs ∞

=+=+∑；

(3)设m m

P C

⨯∈，n n

Q C

⨯∈，若矩阵级数()

1

k k A

∞

=∑收敛，则()1

k k PA Q ∞

=∑收敛且

()

()1

1

()k k k k PA

Q P A Q ∞

∞

===∑∑．

定义2 设()1

k k A ∞

=∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈，如果mn 个数项

级数()

1

k ij

k a ∞

=∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1

k k A ∞

=∑绝对收

敛．

显然，若()1k k A ∞

=∑绝对收敛，则它必是收敛的，但反之未必．

定理1 矩阵级数()1

k k A ∞

=∑(其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈)绝对收敛的充分必要条

件是对任何一种矩阵范数.，数项级数()1

k k A ∞

=∑都收敛．

证 由各种矩阵范数的等价性，只须就某一种矩阵范数证明之，如考虑

,max ij i j

A a =．

必要性

()

1

k k A

∞

=∑绝对收敛，则()1

k ij k a ∞

=∑绝对收敛，该数项级数各项绝对值之

和上方有界．今对1,2,,;1,2,i m j n == 的所有mn 个数项级数取共同上界

M ，使对一切自然数N 及任意的,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤有

()

1

N

k ij

k a

M =<∑．

于是，对一切自然数N ，有

()

()

()

(),1

1

111

111

max N

N

N m n

m n N

k k k k ij

ij

ij i j

k k k i j i j k A

a

a a mnM =========≤=<∑

∑∑∑∑∑∑∑，

故此正项级数()1

k k A ∞

=∑收敛．

充分性 若()1

k k A ∞

=∑收敛，则对一切,i j 有

()()(),max ,

1,2,k k k ij ij i j

a a A k ≤==

根据正项级数的比较判别法知()1

k ij k a ∞

=∑收敛(1,2,,;1,2,,i m j n == )，所以

()

1

k k A

∞

=∑绝对收敛．定理得证．

对矩阵级数也有幂级数的概念． 定义3 设n n A C ⨯∈，形如

20120

k

k k k k c A

c E c A c A c A ∞

==+++++∑

的矩阵级数称为矩阵幂级数．

由定理1即得如下定理． 定理2 设n n

A C

⨯∈，如果数项级数0

k

k k c A ∞

=∑收敛，则矩阵幂级数0

k

k k c A ∞

=∑