教材第六章 矩阵函数

第六章 矩阵函数矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用．本章讨论矩阵函数——以方阵为“变量”、其“值”仍为方阵的函数．矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，因为最终是通过它来定义和计算一般矩阵函数的．当然可以用收敛的矩阵幂级数来定义和计算某些矩阵函数．矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用，而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题．§6.1 矩阵级数定义1 设(){}k A 是m n C ⨯的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈，无穷和(1)(2)(3)()k A A A A +++++称为矩阵级数，记为()1k k A∞=∑．对正整数1k ≥，记()()1kk i i SA ==∑，称()k S 为矩阵级数()1k k A ∞=∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞=，则称矩阵级数()1k k A∞=∑收敛，并称S 为矩阵级数()1k k A∞=∑的和，记为()1k k A S ∞==∑．不收敛的矩阵级数称为发散的．由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞=∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数()1(1,2,;1,2,,)k ijk ai m j n ∞===∑ 都收敛．由矩阵级数的收敛性定义易知(1)若矩阵级数()1k k A ∞=∑收敛，则()lim 0;k k A →∞=(2)若矩阵级数()11k k As ∞==∑，()21k k B s ∞==∑ ，,a b C ∈，则()()121()k k k aAbB as bs ∞=+=+∑；(3)设m mP C⨯∈，n nQ C⨯∈，若矩阵级数()1k k A∞=∑收敛，则()1k k PA Q ∞=∑收敛且()()11()k k k k PAQ P A Q ∞∞===∑∑．定义2 设()1k k A ∞=∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈，如果mn 个数项级数()1k ijk a ∞=∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1k k A ∞=∑绝对收敛．显然，若()1k k A ∞=∑绝对收敛，则它必是收敛的，但反之未必．定理1 矩阵级数()1k k A ∞=∑(其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈)绝对收敛的充分必要条件是对任何一种矩阵范数.，数项级数()1k k A ∞=∑都收敛．证 由各种矩阵范数的等价性，只须就某一种矩阵范数证明之，如考虑,max ij i jA a =．必要性()1k k A∞=∑绝对收敛，则()1k ij k a ∞=∑绝对收敛，该数项级数各项绝对值之和上方有界．今对1,2,,;1,2,i m j n == 的所有mn 个数项级数取共同上界M ，使对一切自然数N 及任意的,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤有()1Nk ijk aM =<∑．于是，对一切自然数N ，有()()()(),11111111max NNN m nm n Nk k k k ijijij i jk k k i j i j k Aaa a mnM =========≤=<∑∑∑∑∑∑∑∑，故此正项级数()1k k A ∞=∑收敛．充分性 若()1k k A ∞=∑收敛，则对一切,i j 有()()(),max ,1,2,k k k ij ij i ja a A k ≤==根据正项级数的比较判别法知()1k ij k a ∞=∑收敛(1,2,,;1,2,,i m j n == )，所以()1k k A∞=∑绝对收敛．定理得证．对矩阵级数也有幂级数的概念． 定义3 设n n A C ⨯∈，形如20120kk k k k c Ac E c A c A c A ∞==+++++∑的矩阵级数称为矩阵幂级数．由定理1即得如下定理． 定理2 设n nA C⨯∈，如果数项级数0kk k c A ∞=∑收敛，则矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑绝对收敛，其中⋅是n n C ⨯上的某种相容矩阵范数．推论1 设n n A C ⨯∈，如果n n C ⨯上的某种相容矩阵范数⋅使得A 在幂级数20120kk k k k c zc c z c z c z ∞==+++++∑的收敛圆内，则矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑绝对收敛．定理3 设n nA C⨯∈，并且幂级数0k k k c z ∞=∑的收敛半径为R ．如果()A R ρ<，则矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑绝对收敛；如果()A R ρ>，则矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑发散．证 设矩阵A 的Jordan 标准形为J ，即存在可逆矩阵P 使得112(,,,)s P AP J diag J J J -==成立，其中10101i iiii i i n n J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭． 则112(,,,)k k k kk s P A P J diag J J J -== ，因此lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞→∞→∞=⇔=⇔== ，而(1)11()()()()2!(1)!()()1()2!()()i n k i k i k i k i i k i k i ki k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪' ⎪ ⎪⎪= ⎪'' ⎪⎪' ⎪⎪⎝⎭，其中()k k f λλ=．所以1110000(,,)kk kk k k k k s k k k k c A P c J P Pdiag c J c J P ∞∞∞∞--====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑ ， 其中1111011110100i i i i in k n kk k i k k ik k i k k k n kk i k k k k i k k k i k n n c c C c C c J c C c λλλλλ∞∞∞--+-===-∞∞-==∞=⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑这里(1)(1),!0,i ki k k k k i C k i i C k i --+⎧=≥⎪⎨⎪=<⎩，则当()A R ρ<时，幂级数111,,k k k ik c C λ∞-=∑ 111(1,2,,)i i i n k n kk ik n c Ci s λ∞--+=-=∑ 绝对收敛，因此矩阵幂级数kk k c A∞=∑绝对收敛；当()A R ρ>时，则A 有某个特征值i R λ>，幂级数0kk i k c λ∞=∑发散，故矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑发散．推论2 如果幂级数0k k k c z ∞=∑在整个平面上都收敛，则对任意n n A C ⨯∈，矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑收敛．§6.2 矩阵函数的定义及性质受高等数学或复变函数的启发，我们可以利用矩阵幂级数来定义矩阵函数．定义4(矩阵函数的幂级数表示) 设n n A C ⨯∈，一元函数()f λ能够展开为λ的幂级数0()k k k f c λλ∞==∑，并且该幂级数的收敛半径为R ．当A 的谱半径()A R ρ<时，则将收敛矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑的和定义为矩阵函数，记为()f A ，即0()k k k f A c A ∞==∑．因为当z <+∞时，有21112!!z n e z z z n =+++++ ； 3521111sin (1)3!5!(21)!n n z z z z z n +=-+-+-++ ； 242111cos 1(1)2!4!(2)!n nz z z z n =-+-+-+ ； 则由推论2知，对任意n n A C ⨯∈，矩阵幂级数2112!!n E A A A n +++++ ；3521111(1)3!5!(21)!n n A A A A n +-+-+-++ ； 242111(1)2!4!(2)!n n E A A A n -+-+-+ 都是收敛的．它们的和分别记为A e ，sin A ，cos A ．通常称A e 为矩阵指数函数，sin A 和cos A 为矩阵三角函数，对方阵A 的这三种函数，容易验证下列性质．对任意,n n A B C ⨯∈，,k l C ∈，有 (1)()kA lA k l A e e e +=； (2)1()A A e e --=；(3)当AB BA =时，A B B A A B e e e e e +==；(4)()AtAt At d e Ae e A dt ==； (5)(sin )cos()cos()dAt A At At A dt ==⋅； (6)(cos )sin sin dAt A At At A dt=-=-⋅． 利用定理3和推论2定义矩阵函数，其实质就是先将函数()f z 展开成z 的收敛幂级数，再将z 代以矩阵A 来定义矩阵函数()f A ，但这个条件比较强，一般不易满足．下面我们拓宽矩阵函数的定义．对矩阵n n A C ⨯∈，假定存在n 阶可逆矩阵P 使得11(,,)s P AP J diag J J -== ， (1)其中i J 是前面定义的Jordan 块，则对任意多项式()g λ，有111()()((),,())s g A Pg J P Pdiag g J g J P --== ， (2)(1)11()()()1!(1!)()()1()1!()i i in i i i i i i i i n n g g g n g g J g g λλλλλλ-⨯⎡⎤'⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ．(2)式表明，()g A 与A 的Jordan 标准形结构以及()g λ在A 的特征值处的函数值与各阶导数值有关．定义5 设矩阵A 的最小多项式为()()()()t mt mm λλλλλλλϕ---= 2121，即说A 之所有不同特征根为t λλλ,,,21 ，它们作为最小多项式()λϕ的根，其重数依次为t m m m ,...,,21．我们把A 的所有不同特征根连同它们在最小多项式中根的重数称为A 的谱．记为()()(){}t t m m m ,,,,,,2211λλλ ．定义6 对任意函数()f λ，如果(1)(),(),,(),i m i i i f f f λλλ-' 1,2,i t =都存在，则称()f λ在A 的谱上有定义，并称(1)(),(),,(),i m i i i f f f λλλ-' (1,2,,i t = )为()f λ在A 的谱上的值．定义7 如果两个多项式()λf ，()λg 在A 的谱上有相同的值，即()i f λ=()i g λ，()i f λ'=()()()()()t i g f g i m i m i i i ,,2,1,,,11 =='--λλλ则说()λf 与()λg 在A 的谱上一致．例1 设A 的最小多项式为()()()423--=λλλϕ，则多项式()()()35423++--=λλλλf 与()()()35424++--=λλλλg在A 的谱上一致．[)2('')2(''),2(')2('),4()4(),2()2(g f g f g f g f ====]定理4 对于方阵A 及多项式()λf ，()λg ，()()f A g A =的充分必要条件是()λf 与()λg 在A 的谱上一致．证 设A 之最小多项式为()()()()t mt mm λλλλλλλϕ---= 2121，记 ()()()λλλg f h -=．必要性 ()()A g A f =即()0=A h ，则()λh 是A 的化零多项式，于是()()λλϕh |，即有多项式()λq 使()()()()()()()t mt mm q q h λλλλλλλλϕλλ---== 2121．由于()λh 中至少含有i λλ-的i m 次方幂，对()λh 逐次求导必有()()()()0,,0,01=='=-i m i i i h h h λλλ ， (3)即()()()()()()()()t i g f g f g f i m i m i i i i i i ,2,1,,,,11=='='=--λλλλλλ (4) 可见()λf 与()λg 在A 的谱上一致．充分性 若()λf 与()λg 在A 的谱上一致，则(4)式成立．由()λh 在i λλ=处的Taylor 展式()2()()()()'()()''()()2!!i i m m i i i i i i i i h h h h h m λλλλλλλλλλλ-=+-+++-+ ，前i m 项为0，可知i λλ-至少是()λh 的i m 重因式．注意t λλλ,,,21 互异，从而()λϕ必是()λh 的因式，即有多项式()λq 使()()()λλϕλq h =，又()0=A ϕ，因而()0=A h ，()()A g A f =．现在利用多项式给出矩阵函数的另一种定义． 定义8 设矩阵n n A C ⨯∈的最小多项式为()()()()tm t m m λλλλλλλϕ---= 2121，函数)(λf 在A 的谱上有定义．如果存在在A 的谱上与()f λ一致的多项式()g λ，即),()(i i g f λλ=)(')('i i g f λλ=)()(,,)1()1(i m i m i i g f λλ--= (1,2,,i t = )，则定义矩阵函数()f A 为()()f A g A ≡．§6.3 矩阵函数的计算方法矩阵函数的计算问题，是矩阵在应用中的关键问题．矩阵函数的计算是相当复杂的，例如，简单的矩阵函数101A 就要计算100次矩阵A 的乘积；若A 是5阶方阵，则要进行22500次加法和乘法运算．因此，研究如何方便地计算矩阵函数是非常有意义的．本节将讨论四种计算方法．一、递推公式计算法设()f E A λλ=-，根据Cayley-Hamilton 定理知，()0f A =，由此可得A 的递推关系式，从而计算给定的矩阵A 的函数．例1 设4阶方阵A 的特征值为,,0,0ππ-，求sin ,cos A A 解 设A 的特征多项式222422()()f λλλπλλπ=-=-． 由()0f A =，得4220A A π-=，即422A A π=．因此5423A A A A π==，752254A A A A A ππ===，9724563A A A A A ππ===，…………21(21)33223k k k A A A ππ++--==，…………从而357211111sin (1)3!5!7!(21)!k k A A A A A A k +=-+-++-+ 324221111((1))3!5!7!(21)!k k A A k πππ-=+-+-++-++ 335731111()3!5!7!A A ππππππ⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥⎣⎦ 331(sin )A A πππ=+-+ 321A A π=-．同理可得242111cos (1)2!4!(2)!k k A E A A A k =-+-+-+ 222E A π=-．二、利用Jordan 标准形的计算法由递推公式计算法知，若A 是有限阶方阵，则由矩阵幂级数定义的矩阵函数()f A 与矩阵A 的某一多项式相等．因此，对给定的有限阶方阵A ，计算()f A 的问题，就是计算矩阵多项式的问题，因而关键是计算m A 的问题，下面就A 为各种不同矩阵情况下的计算问题进行讨论．(1)A 为对角矩阵设12n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则12n m m m m a a A a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (2)A 为对角形分块矩阵设12k A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中12,,,kA A A 为A 的子方阵，由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似，故对上述分块矩阵A ，有12k m m m m A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (3)A 为一般矩阵由于对任意方阵，总有A 的Jordan 标准形J 及满秩方阵P ，使得1A PJP -=，因此1m m A PJ P -=．若12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (1) 其中111i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，1,2,,i s = ． (2) (1,2,,)i i s λ= 为A 的i n 重特征根，且12s n n n n +++= ，则1211s mmm m m J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．由上述讨论知，对一般的n 阶方阵A ，要计算m A ，实质上是计算A 的Jordan 块i J 的函数i m J ，并且通过上述(1)、(2)、(3)的讨论可知，A 的多项式及A 的幂级数的计算问题亦可化为计算A 的Jordan 块的函数．(4)计算Jordan 块i J 的函数()i f J设111i ii i k kJ λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，令010110i k k H ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则 i i i J E H λ=+，即 i i i H J E λ=-，又2001100i k kH ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，3000101000i k kH ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，… …0p i H =，()p k ≥．设函数()f λ在i λ处的Taylor 展开式为()0()()()!m m i i m f f m λλλλ∞==-∑，则2()()()()()()1!2!i i i i i i i i f f f J f E J E J E λλλλλ'''=+-+-+ ()()()!m m i i i f J E m λλ+-+(1)21()()()()01!2!(1)!i k k i i i i i i f f f f E H H H k λλλλ--'''=+++++-(1)()()()()2!(1)!()2!()()k i i i i i i i f f f f k f f f λλλλλλλ-''⎛⎫' ⎪- ⎪⎪ ⎪='' ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪⎝⎭．由上述讨论可知，对于给定的一般矩阵A 及函数()f λ，计算()f A 的步骤如下：第一步，经过相似变换将A 化成A 的Jordan 标准形J ，并求相似的变换矩阵P ，使得1A PJP -=，其中J 与i J 如(1)、(2)式；第二步，计算()f J12()()()()k f J f J f J f J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中(1)(2)()()()()2!(1)!()()0()()(2)!000()i i n i i i i i n i i i i i i f f f f n f f J f f n f λλλλλλλλ--⎡''⎤'⎢⎥-⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；第三步，计算()f A1()()f A Pf J P -=．例2 设n n A C ⨯∈，它的Jordan 标准形为12s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中 111i ii ii i n n J λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1,2,,i s = ， 且1A PJP -=，试写At e ．解 此时()t f e λλ=，()t f te λλ'=， …………(1)1()i i n n t f t e λλ--=，1211k J tJ tAt Jt J t e e e Pe P P P e --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中122112!(1)!10(1,2,,).(2)!00i i i i i i i i i i i i itt t n t i ttn t J ti t n n e te t e t e n e te t e e i s n e λλλλλλλλ--⨯⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=221111122A ，求At e ，sin At ．解 令()t e f λλ=，()sin g t λλ=．求得A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111121J J J ． 再求相似的变换矩阵P ．设1123(,,),,,P P AP J AP PJ ηηη-===使则即()()123123110,,,,010001A ηηηηηη⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123,,ηηη应满足1121233A A A ηηηηηηη=⎧⎪=+⎨⎪=⎩即13,ηη是()0A E x -=两个线性无关的解．解1211210121x -⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭，同解方程组12320x x x +-=，令23,x x 分别取(1,1),(0,1)，得得13111,011ηη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，便有101100111P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算出1010121110P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭．于是()()()()1112At f J e f A Pf J P P P f J --⎛⎫===⎪⎝⎭ 1)1()1()1()1(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=P f f f f P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111210100000111001101t t t te e te e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----+=t t t t t t t t t e t 122121． 1sin ()()At g A Pg J P -==101sin cos 0010cos sin 2cos cos 1000sin 0121cos sin 2cos cos 11100sin 110cos 2cos cos sin t t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=--=---⋅ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、拉格朗日——西尔维斯特(Lagrange-Sylvester)插值多项式表示法给定方阵A 及在A 的谱上有定义的函数()λf 时，按照定义，对任一在A 的谱上与()λf 一致的多项式()λg ，都可由()g A 给出()A f ．而这样的()λg 有无穷多个，拉格朗日—西尔维斯特插值多项式()p λ就是其中一个，它的次数比A 的最小多项式次数还低．设n 阶矩阵A 的最小多项式为()()()()tm t m m λλλλλλλϕ---= 2121 (3)n m m m m t ≤=+++ 21．为找到一个次数比()λϕ低的多项式()p λ在A 的谱上与()λf 一致，我们设想将真分式()()λϕλp 展开为部分分式()()()()()∑=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-+-=tk k m k m k k m k k k k k a a a p 11,110λλλλλλλϕλ ． (4)为求出待定系数,,,,1,10-k m k k k a a a 以()k mk λλ-乘(4)式两端并按()k λλ-的升幂排列加以整理有()()()()()()k k k mk m k m k k k k k q a a a p λλλλλλλλϕλ-+-++-+=--11,10 (5)其中()()()km k k λλλϕλϕ-=()()()()111111k ktmm m mk k t λλλλλλλλ-+-+=----()()()(),10111l l l tl m l l m m l l l l l k a a a q λλλλλλλ--=≠⎡⎤=+++⎢⎥---⎢⎥⎣⎦∑ ()λq 是λ的一个有理函数，在k λλ=处有定义且多次可导．今对式(5)两端逐次求导()()()()()21,2112----++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k m k m k k k k k k a m a a p d d λλλλλϕλλ ()()[]k mk q d d λλλλ-+， ()()22k p d d λλϕλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()()323,12!3!12k k m k k k k k k m k a a m m a λλλλ--+-++--- ()()[]k mk q d d λλλλ-+22，……………()()()()()[]kk k k k k m k m m m k k k m m q d d a m p d d λλλλλϕλλ-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----111,11!1． 上述各等式之左端出现的无非是()()λλϕp k ,及它们的各阶导数，各式右端最后一项都有()k λλ-的正整数方幂作为因式．今在上述各式及(5)式中令k λλ=，并注意()()()()()0,1,2,,1l l k k k p f l m λλ==- ，则有()()()(),k kiiii k k p f d d d d λλλλλλλϕλλϕλ==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 从而得 ()()k k k k f a λϕλ=0，()()kk k f d d a λλλϕλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1， ()()k k k f d d a λλλϕλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222!21， ……()()()t k f d d m a kk k k k m m k m k ,,2,1,!11111, =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==---λλλϕλλ． (6)将上述系数代入(4)即可得()()()()(),10111k k k tk m k k m m k k k k a a a p λϕλλλλλλλ--=⎡⎤=+++⎢⎥---⎢⎥⎣⎦∑ ， 或()()()()101,11k k tm k k k k m k k k p a a a λλλλλϕλ--=⎡⎤=+-++-⎣⎦∑ ．这就是所求的拉格朗日——西尔维斯特插值多项式(简记为L-S 多项式)，它与()λf 在A 的谱上一致且其次数显然少于()λϕ(至少要少一次)．于是()()()()()101,11k k tm k k k k m k k k f A p A a E a A E a A E A λλϕ--=⎡⎤==+-++-⎣⎦∑ ． (7)例4 用拉格朗日－西尔维斯特插值多项式表示方法求例3中的At e ． 解 设()t e f λλ=，由A 的若当标准形知A 的最小多项式为()()21-=λλϕ，()λf 在A 的谱上有定义，特征根11=λ，并且()11=λϕ．拉格朗日－西尔维斯特插值多项式应为()()[]()λϕλλ111101-+=a a p ，按(6)式有()()t t t te e d d a e f a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡====1)(,11111110λλϕλϕλ，故()()1t t p e te λλ=+-．于是()()()At t t e f A p A e E te A E ===+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121121121tt tt te e e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----+=t t t t tt t t t e t 122121． 例5 已知4156142153A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求ln A ．解 2415610014201015300(1)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．故1111J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的Jordan 标准形，且A 最小多项式为2(1)λ-．设()ln f λλ=，则()f λ在A 的谱上有定义．特征根11λ=，并且1()1ϕλ=．设L-S 多项式[]10111()(1)()p a a λλϕλ=+-101111(1)0(1)[ln ]1f a da d λϕλλ=====故()1p λλ=-．所以3156ln ()()152152A f A p A A E -⎛⎫⎪===-=- ⎪ ⎪-⎝⎭．例6 已知1000112000002021A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵函数A ． 解 求得A 的最小多项式2()(1)ϕλλλ=-．令()f λλ=，则()f λ在A 的谱上有定义．L-S 多项式为10120212()()[(1)]()p a a a λϕλλϕλ=++-，其中21()(1)ϕλλ=- ，2()ϕλλ=；102100()0()(1)f a λλλλϕλλ=====-，20211()1()f a λλλλϕλλ===== ，23211111122d a d λλλλλ-==⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦ ．于是 11()1(1)(3)22p λλλλλ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦．便有2000124011()()(3)0000222042A f A p A E A A ⎛⎫⎪⎪===-=⎪⎪⎝⎭． 四、待定系数法按矩阵函数的定义8只需求出多项式g ()λ，使得()()i i f g λλ= ，(1)(1)()(),,()(),i i m m i i i i f g f g λλλλ--''== (8)1,2,,i t = ，设A 的最小多项式为(3)式，由于()f λ在A 的谱上给定，从而确定了m 个条件，因此，可用这m 个条件确定()g λ的系数．即令210121()m m g a a a a λλλλ--=++++ (m 为A 的最小多项式的系数)，则由条件(8)列出方程组，解出011,,,m a a a - 从而求出()g λ，进而计算()()f A g A =．例7 使用待定系数法求例5中的ln A ．解 由例5知A 的最小多项式为2()(1)ϕλλ=- ，特征值11λ=是2重根， 令01()g a a λλ=+ ，由于()ln f λλ= ，且11()()f g λλ=，11()()f g λλ''= ， 故011ln101a a a =+=⎧⎨=⎩ 于是解得01a =-，11a =，从而3156()ln ()152152f A A g A E A -⎡⎤⎢⎥===-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦．例8 使用待定系数法求例6中的A ．解 A 的最小多项式为2()(1)ϕλλλ=- ．特征值 10λ=是单根，21λ=是二重根．令2012()g a a a λλλ=++ ．由于()f λλ=，且11()()f g λλ= ，22()()f g λλ= ，22()()f g λλ''=故00121201122a a a a a a=⎧⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎩，于是解得0120,3,21.2a a a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩ 从而 231()()22f A A g A A A ===-200012401000022042⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．*§6.4 矩阵函数应用举例运用矩阵函数与矩阵微积分理论可以求得某些微分方程组，也可以求解某些矩阵的微分方程．考虑一阶线性微分方程组1111122112211222221122(),(),()n n n n n n n nn n n dx a x a x a x f t dt dx a x a x a x f t dtdx a x a x a x f t dt⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩ (1)其中t 为自变量，()ij ij a a t =(,1,2,,)i j n = ，()i f t (1,2,,)i n = 都是t 的已知函数，()(1,2,,)i i x x t i n == 是t 的未知函数．若记()()12,,,,()[()]Tn ij n n x t x x x A t a t ⨯== ，则方程组(1)可改写为如下的微分方程()()()()dx t A t x t f t dt=+ (2) 如设微分方程组(1)的初始条件为1010202000(),(),...,()n n x t x x t x x t x ===， (3)可以表示成0010200()(,,,)T n x t x x x x == ， (4) 则成为一般的初值问题．定理5 设A 是n 阶常数矩阵，则一阶线性常系数微分方程组的初值问题00()(),().dx t Ax t dtx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (5) 有且仅有唯一解0()0A t t x e x -=． (6)证 将0()(1,2,,)i x t i n t t == 在处展开成幂级数2000001()()()()()(),2i i i i x t x t x t t t x t t t '''=+-+-+ ！从而有2000001()()()()()().2x t x t x t t t x t t t '''=+-+-+ ！因为002200002()(),()()(),t t t t t t dx d x dx t A x t x t Ax A x t dt dt dt ==='''===== ，于是[]02()00001()()()()()2!A t t x t E A t t A t t x t e x t -⎧⎫=+-+-+=⎨⎬⎩⎭，这说明初值问题(5)的解必有0()0()A t t x t e x -=的形式．另一方面，由于000()()()000[]()()A t t A t t A t t dx d d e x e x Ae x Ax t dt dt dt---====． 因此，初值问题(5)的唯一解为(6)．定义9 设A 是n 阶常数矩阵，如果对任意的0t 和0x ，初值问题(5)的解()x t 都满足lim ()0,t x t →∞=则称微分方程组()dxAx t dt=的解是渐近稳定的． 微分方程组()dxAx t dt=解的渐近稳定性是系统与控制理论的基本问题，对此有如下结果．定理6 对任意的0t 和0x ，初值问题(5)的解()x t 渐近稳定的充分必要条件是矩阵A 的特征值都有负实部．证 必要性 采用反证法．假若矩阵A 有一个特征值111i λαβ=+满足10α≥，设i x 是对应于特征值1λ的特征向量，则111Ax x λ=由定理5知，初值问题1()(0)dxAx t dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 的解为1111111()(cos sin )t t At x t e x e x e t i t x λαββ===+．因为10,α≥则lim ()0t x t →+∞≠，这与必要性的假设矛盾．因此A 的特征值都有负实部．充分性 对任意的0t 和0x ，初值问题(5)的解为0()0()A t t x t e x -=．如果矩阵A 的特征值都有负实部，则0()lim 0A t t t e -→+∞=，故lim ()0t x t →+∞=，即初值问题(5)的解()x t 渐近稳定．定义10 设A 是n 阶矩阵，如果A 的特征值都有负实部，则称A 为稳定矩阵．由定理6和定义10知，初值问题(5)的解()x t 渐近稳定的充分必要条件是矩阵A 为稳定矩阵．例1 求微分方程组1221,.dx x dtdx x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (7) 满足初始条件12(0)1,(0)1x x ==- (8)的解．解 (7)、(8)即0(0)dxAx dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，其中001,(1,1)10TA x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．A 之特征方程2()1f λλ=+，由Cayley-Hamilton 定理知()0f A =，即2A E =-．进而便有3456,,,,A A A E A A A E =-===- ，故()∑∞=--++--+==065432!6!5!4!3!2!k kAtE t A t E t A t E t tA E k At eA t t t E t t t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= !5!3!6!4!2153642()c o s s i nc o s (s i n )s i n c o stt t E t A t t ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭． 由定理5可知原问题的解为()0cos sin sin cos At t t x t e x t t -⎛⎫== ⎪--⎝⎭．定理7 设A 是n 阶常数矩阵，则微分方程组初值问题()()()()00dx t Ax t f t dt x t x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(9) 的解为()()()000A t t At A tx t e x e e f d t τττ--=+⎰，或写成()()()()000A t t A t t x t ex e f d t τττ--=+⎰． (10)证 首先有()[]()()()dtt dx e t x A e t x e dt d At At At ---+-= ()()()t f e t Ax dt t dx e At At --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=将上式在],[0t t 上积分，得()()00A A t t d e x d e f d t t d τττττττ--⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，即 ()()()000At At A te x t e x t ef d t τττ----=⎰．于是()()000[]At At A t x t e e x e f d t τττ--=+⎰()()000A t tAt A t e x e e f d t τττ--=+⎰．例2 已知()2022110031,0,02130t t e A f t x te ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在()∞+∞-上解初值问题()()()()00x t Ax t f t x '=+⎧⎪⎨=⎪⎩． 解 其解为()()()()()00ttt At A tAx t e x ef d e f d ττττττ--=+=⎰⎰，A 的最小多项式为()()422--λλ，故设()t e λϕλ=，2012()g a a a λλλ=++．由t e λ与()g λ在A的谱{}(2,2),(4,1)上一致，由待定系数法可定出220221222(4),(13),1(12).4t t t t t t a e e t a e e t a e e t ⎧=-⎪⎪=-++⎨⎪=--⎪⎩ 所以222221(4)(13)(12)4tA t t t t e e e t E e t A e t A ⎡⎤=-+-+++--⎢⎥⎣⎦．()2()2()22()211()[(4())0()13())0t A t t t t e f e e t e e t e A ττττττττττ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222()1(12())0]4t e A e t ττττ-⎛⎫⎪+--- ⎪ ⎪⎝⎭22222222222244133004433t t t t t t e e t e e t e e A e e t e e t τττττττττττττ----⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-++-⎝⎭⎝⎭22222221220422t tt e e t e A e e t τττττττ--⎛⎫--+ ⎪+ ⎪ ⎪--+⎝⎭． 积分得22()20231222()()0124423t tt A tt e t x t e f d e e t t τττ-⎛⎫-- ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎰222222222322313122222004114422244222t t t tt t e t e t t t e e A A e t t t e t t t ⎛⎫⎛⎫-+++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，264628610410A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭代入并化简得2212222322331388443333()884433338844t t t t e t t x x t x e e t t x e t t ⎛⎫-+- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--+ ⎪⎝⎭．习 题 六1、讨论下列矩阵幂级数的敛散性．1)kk k∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1231711； 2)kk k k∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--012816． 2、设nn CA ⨯∈，证明：Neumann 级数∑∞=0k kA收敛的充要条件是1)(<A ρ，且其和为1)(--A E ．3、设A 为3阶方阵，可逆矩阵P 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3211λλλAP P ， 求A e Acos ,及A sin ．4、已知多项式43()21p λλλλ=-+-与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311111002A ，计算(),Ap A e ．5、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5113A 求A 及Ae ．6、已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12121210201A ， 求At e ．7、知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100014πA ，求A sin ． 8、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，求Ate ． 9、已知矩阵210100212A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭试求矩阵函数)(A f 的Lagrange-Sylvester 内插值多项式表示，并用其计算矩阵函数A e tA πsin ,．10、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121)(,101024012te t b A ．1)求Ate ．2)用矩阵函数方法求微分方程()()()dx t Ax t b t dt=+满足初始条件T x )1,1,1()0(-=的解．。