整式的除法一
整式的除法单项式除以单项式
负指数幂表示的是该数的倒数的正指数幂。因此，如果被除数或除数中的某个字母的指数 为负数，可以将其转化为倒数的正指数幂形式，再进行相除。
无法整除的情况
如果被除数无法被除数整除（即存在某个字母的指数在被除数中比在除数中小），则结果 将是一个带分数或无理数。此时，可以尝试将被除数和除数同时乘以某个适当的单项式， 使得被除数可以被除数整除。
法结果相乘。
02
理解不深入
对于某些复杂的问题，我的理解还不够深入，无法准确地把握问题的本
质和解题的关键。例如，在处理含有多个字母的单项式除法时，我有时
会感到困惑。
03
缺乏练习
我发现自己在单项式除以单项式的运算方面缺乏足够的练习，导致在考
试时无法迅速准确地完成题目。为了解决这个问题，我需要加强相关练
习，提高运算速度和准确性。
单项式与多项式区分
单项式
只包含一个项的整式，如$3x^2$， $5xy$等。
多项式
包含两个或两个以上项的整式，如 $x^2 + 2x + 1$，$3xy - 2y^2 + 5$ 等。
整式除法运算规则
01 除法运算定义
02 除法运算规则
03 按位相除
04 余数处理
05 结果表示
设$a(x)$和$b(x)$是两个多 项式，且$b(x) neq 0$，如 果存在一个多项式$q(x)$， 使得$a(x) = b(x) times q(x)$，则称$q(x)$为$a(x)$ 除以$b(x)$的商。
解析
本题涉及多个单项式的除法运算，需按照运算法则逐步进行。
解答
原式 = [(3a^2b^3c) / (2ab^2)] * [(4b) / (5abc)] = [(3/2) * (a^2/a) * (b^3/b^2) * c] * [(4/5) * b / (abc)] = [(3/2) * a * b * c] * [(4/5) * 1/(ac)] * 1/(ac) = (6/5) * b
整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法（基础）【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷；（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭ 21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 21432n xy z -=-． （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．举一反三：【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．2、金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）【答案与解析】解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．类型二、多项式除以单项式 3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； （2）()()32271833x x x x -+÷-.【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．【答案与解析】 解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 54325242323211224111124424482x x x x x x x x x x x x x⎛⎫=++÷ ⎪⎝⎭=÷+÷+÷=++ （2）()()32271833x x x x -+÷- ()()()32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷；（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22321533ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．举一反三：【变式1】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．【答案】解： （1）原式223239421922792x y x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．（2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． 【变式2】计算：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ． 解：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ，=（9a 2+6ab+b 2﹣b 2）÷3a ，=（9a 2+6ab ）÷3a ，=3a+2b。
七年级数学下册 1.7.2 整式的除法教案1 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中七年级下册数学教
课题：整式的除法教学目标：1．理解整式除法运算的算理，会进行简单的整式除法运算；2．掌握多项式除以单项式的运算法则，体会数学在生活中的广泛应用；3．经历探索整式除法运算法则的过程，发展有条理的思考及表达能力.教学重、难点：重点：多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用．难点：探索多项式除以单项式的运算法则的过程．教法及学法指导：在教学过程中,注重体现教师的导向作用和学生的主体地位,本节是新课内容的学习,教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者,把教师的点拨和学生解决问题结合起来,为学生创设情境,从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣,使学生轻松愉快地学习不断克服学生学习中的被动情况,使其在教学过程中、在掌握知识同时、发展智力、受到教育.课前准备：制作课件教学过程：一、情境引入，复习回顾活动内容1：（多媒体出示图片）同学们，我这儿有一道题，看看你能不能利用现有的知识解决呢？X大爷家有一块长方形的田地，它的面积是6a2+2a,宽为2a，聪明的你能帮X大爷求出田地的长吗？处理方式：学生看图读题后回答并说明理由：长方形的面积=长×宽，从而得出已知面积和宽，则田地的长=(6a2+2a)÷（2a）.教师板书：(6a2+2a)÷（2a）然后教师手指算式追问：这是何种类型的运算？我们以前学过吗？学生通过观察、思考，容易得出“多项式除以单项式”，教师顺势板书课题：（板书：整式的除法---多项式除以单项式）【设计意图】从学生熟悉的生活情景出发，找准新知识的起点，提出疑问，激发学生的学习兴趣和求知欲，不仅使学生快速的进入学习状态，同时又让学生觉得数学源于生活又应用于生活，使学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣．活动内容2：多项式如何除以单项式是我们这节课要探索的内容，在探究它之前，让我们先来解决下面的问题.计算下列题目.(1)x 11÷x 6= ； (2) 12a 3b 2÷（3ab 2）= ；处理方式：让学生独立思考，教师巡视，帮助鼓励困难学生完成任务.学生完成后，找学生口头回答，（1）x 5(2) 4a 2 c ;并采取追问方式，学生口答理由，教师根据学生的回答利用多媒体出示理由依据.（1）x 11÷x6 =x11-6(同底数幂相除，底数不变，指数相减.) =x 5(2) 12a 3b 2c ÷（3ab 2）=(12÷3)( a 3÷a)(b 2÷ b 2)c (单项式除法法则)=4a 2 c【设计意图】：同底数幂的除法与单项式除法是学习多项式除以单项式的基础，只有熟练掌握同底数幂的除法与单项式除法，才能正确的进行多项式除以单项式的运算，为学习新知识打基础.二、探究新知，合作交流活动内容：多项式除以单项式的法则的探究问题1：你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由.(1)(ad +bd )÷d=(2)(a 2b +3ab )÷a=(3)(xy 3-2xy )÷（xy ）=处理方式：让学生自己先试着做一做，教师巡视，寻找正确的答案准备展示交流.对于第（1）题学生容易得出结果.教师及时追问：“你是如何得到的？”:即由（a +b ）·d = ad +bd 得到(ad +bd )÷d= a +b ; 方法 2. 类比有理数的除法法则进行计算: （ad +bd ）÷d =(ad +bd ) ·d1=a +b.然后学生根据第（1）题的经验容易解决第（2）(3)题： 方法1. (2) ∵ （ab +3b ）·a =a 2b +3ab ∴ (a 2b +3ab )÷a =ab +3b ; (3) ∵ （y 2-2）·xy =xy 3-2xy ∴ (xy 3-2xy )÷（xy ）=y 2-2方法 2.(2)(a 2b +3ab )÷a =(a 2b +3ab )a1=ab +3b ; (3)(xy 3-2xy ) ÷（xy ）=(xy 3-2xy ) ·xy1=y 2-2.学生回答时教师只把最后结果及时板书在黑板上.【设计意图】通过从学生已有的认知角度出发，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验，要充分发散学生的思维，敢于质疑，培养良好的学习习惯.问题2：观察等式：（1）(ad +bd )÷d= a +b（2）(a 2b +3ab )÷a =ab +3b（3）(xy 3-2xy )÷（xy ）=y 2-2你发现了什么？处理方式：1.学生观察思考并举手回答. 学生间互相补充能够解决.如果有困难，教师可适当点拨：被除式中的每一项与商中的每一项有什么对应关系？学生再观察思考，就得出规律.学生回答时，教师注意学生语言表达的规X 性.2.教师总结并出示多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.然后追问“用字母如何表示这个法则”学生思考回答并互相补充得出：(a +b+c )÷m = a ÷m + b ÷m + c ÷m【设计意图】通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力. 发展学生的逻辑推理能力.三、典例分析，应用新知活动内容1：运用多项式除以单项式法则解决问题（例题分析）例2：计算：(1)(6ab +8b )÷2b (2)(27a 3-15a 2+6a )÷3a(3)(9x 2y -6xy 2)÷（3xy ）(4)(3x 2y-xy 2+21xy )÷(-21xy ) 处理方式：先给学生1分钟时间观察思考，要求学生说出解决的方法及依据，师生先合作完成第（1）题：学生口述，教师板书，并及时强调过程的规X 性，其余3题学生在练习本上独立完成，然后共同评价.最后教师追问:“ 结合本例题，你认为在计算时，把多项式除以单项式转化成哪个已学知识点？”学生通过观察计算过程，互相补充，共同解决教师的追问.学生回答时，教师及时利用多媒体出示：2.教师总结强调：（多媒体出示）在计算中为保证计算的正确性应该注意：（1）不要漏项，（2）注意符号，（3）注意运算顺序，（4）用互逆运算进行检查. 下附答案解：（1）(6ab +8b )÷(2b )=（6ab ）÷(2b )+ (8b )÷(2b ) =3a +4(2)(27a 3-15a 2+6a )÷(3a )=(27a 3)÷(3a )+(-15a 2)÷(3a )+(6a )÷(3a )=9a 2-5a +2(3)(9x 2y -6xy 2)÷（3xy ）=(9x 2y )÷（3xy ）-(6xy 2)÷（3xy ）=3x -2y(4)(3x 2y-xy 2+21xy )÷(-21xy ) =(3x 2y)÷(-21xy )-(xy 2)÷(-21xy )+(21xy )÷(-21xy )= -6x +2y -1 巩固训练：大家法则掌握的很好，我希望我们小组内的每一个成员都能做的更好，现在我们有几道小题检验大家的掌握情况，我希望大家能独立完成：1．想一想，下列计算正确吗？(1)（3x 2y -6xy ）÷(-6xyx ( )(2)(5a 3b -10a 2b 2-15ab 3) ÷(-5ab )=a 2+2ab +3b 2 ( )(3)(2x 2y -4xy 2+6y 3) ÷( -21y )= -x 2+2xy -3y 2 ( ) 2. 计算（课本31页随堂练习）(1)（3xy +y ）÷y (2)(ma +mb +mc ) ÷m(3)(6c 2d -c 3d 3) ÷(-2c 2d ) (4)(4x 2y +3xy 2) ÷(7xy )处理方式：学生独立思考，再开展小组交流，在练习本上计算,第1题由学生口答，并能说出题目错误的原因，其中常见的错误教师应在点评中给学生指出，避免以后出现类似的错误. 如易错点：1．(1)中丢项，被除式有二项，商式只有一项，丢了最后一项1；正确答案为：x +1；因此，计算不可丢项，分清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉”对乘除而言，不减项；“消掉”对加减法而言，减项．1．(2)中是符号上错误，两数相除的符号是“同号得正，异号得负”，商式第一项的符号为“-” 正确答案为：-a 2+2ab +3b 2；1．(3)中是系数上的错误，当除数是分数时，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此，正确答案为： -4x 2+8xy -12y 2第2题由做的好的小组找4名学生演板，其他学生在练习本上完成．做完后小组之间开展互评，正误怎样？教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助投影仪展示学生出现的问题进行矫正．第1题教师和学生共同矫正，第2题找同学纠正，并板演正确过程．对于第3、4题教师请男女两个同学比赛进行演板，师给与评价.解：(1)（3xy +y ）÷y = 3xy ÷y + y ÷y =3x +1(2)(ma +mb +mc ) ÷m = ma ÷m +mb ÷m +mc ÷m = a +b +c(3)(6c 2d -c 3d 3)÷(-2c 2d ) = 6c 2d ÷(-2c 2d ) -c 3d 3÷(-2c 2d ) = -3+21cd 2 (4)(4x 2y +3xy 2) ÷(7xy ) = 4x 2y ÷(7xy )+3xy 2÷(7xy ) =74x +73y 【设计意图】：(1)通过学习例2和巩固训练第2题，主要巩固多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力，进一步熟悉法则.(2)通过做巩固训练第1题判断并能说出题目错误的原因，让学生知道易错点，避免以后出现类似的错误， 强化本节课的重点，突破难点．四﹒学以致用，巩固提高活动内容：多项式除以单项式的法则的应用师：大家刚才的表现很好，我们刚才计算是很基础的，现在我们再看上课前那道题目，你会了吗？看哪个小组完成的最快、正确.1. X 大爷家有一块长方形的田地，它的面积是6a 2+2a ,宽为2a ，聪明的你能帮X 大爷求出田地的长吗？处理方式：小组交流后在练习本上写出过程，表现最好的小组展示过程，并说出理由.解： (6a 2+2a )÷(2a)=6a 2÷(2a)+2a ÷(2a)=3a+1所以长方形的长为（3a+1）.巩固训练：1.小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v ，所用时间为t 1；第二阶段的平均速度为21v ，所用时间为t 2.下山时，小明的平均速度保持为4 v ．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？处理方式：学生读题，此题是行程问题，速度路程时间 ，根据公式，上山路程=下山路程= vt 1+21v t 2，然后求下山的时间=（vt 1+21v t 2）÷(4v )= vt 1 ÷( 4v )+ 21v t 2÷( 4v )=41t 1+81t 2= 8212t t +，最后由小组交流后在练习本上写出过程，表现最好的小组展示过程. 【设计意图】：通过完成两题，进一步巩固落实多项式除以单项式运算法则，只有熟练掌握同底数幂的除法与单项式除法，才能正确的进行多项式除以单项式的运算.同时，情景问题的处理，一方面解决学生上课初始的疑问，另一方面，利用多项式除以单项式解决生活中的应用问题，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.五﹒回顾反思，提炼升华这节课我们都学习了哪些内容?学生畅谈自己的收获！多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.2.多项式除以单项式的运算思路是什么?先将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；然后又转化为同底数幂相除.3.计算时需注意：（1）不要漏项，（2）注意符号，（3）注意运算顺序，（4）用互逆运算进行检查.【设计意图】：师生交流、归纳小结的目的是让学生表述自己的收获，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，明确学习的方向.六﹒达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1、填空:(1) (35a 3+28a 2+7a )÷(7a )= ；(2) 若kab a +23除以a 等于b a 43+，则k =.2、选择：〔(a 2)4+a 3a -(ab )2〕÷a = （ ) A .a 9+a 5-a 3b 2B .a 7+a 3-ab 2C .a 9+a 4-a 2b 2D .a 9+a 2-a 2b 23、计算:(1)(3x 3y -18x 2y 2+x 2y )÷(-6x 2y )； (2)〔(xy +2)(xy -2)-2x 2y 2+4〕÷(xy ). B 组：1.已知一个三角形的面积是（4a 3b -6a 2b 2+12ab 3）,一边长为4ab ,求该边上的高.处理方式：在练习本上自主完成，教师认真巡查.对于必做题学生完成后教师出示答案，学生互换批改，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根据答案进行纠错．附答案：A 组：1.（1）5a 2+4a +1 （2）4 2.B B 组：1.2a 2-3ab+6b 2 【设计意图】：要求学生在5分钟内完成，规定时间和内容，可以了解学生对本节课所学习内容的掌握情况，及时发现个别学生存在的不足，以便督促学生及时纠正错误，端正学习态度，提高数学公式的应用能力.促进对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据.七﹒布置作业，巩固提高A 组：课本31页 习题4知识技能1和本节助学内容.B 组：（选做题）已知一个多项式除以-2a ，小雪误当成了乘法计算，结果得到4a 3-12a 2，则正确的结果应该是多少？【设计意图】：落实本节课所学习的知识内容，提高学生的计算能力和利用数学知识解决问题的能力.结束语：数学与我们的生活有着密切的联系，希望同学们能留心身边的数学问题，做生活的有心人.这节课上，很多同学都展示了自己在数学方面的才华，我相信，明日的陈景润、华罗庚就会在我们班诞生，同学们努力吧！八﹒板书设计()()xy y x --+-2613211:3。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
THANK YOU
感谢聆听
练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
整式的除法说课稿
《整式除法1》说课稿永康中学吴平我的说课内容是北师大版七年级数学下册第一章第7节整式除法部分的内容，下面我就教材、教法与学法指导、教学设计和教学反思等几个方面来向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。
一、说教材1、教材的地位与作用整式的除法包括单项式除以单项式和多项式除以单项式，是在学生学习了整式的加减、同底数幂的除法、整式的乘法基础上，对整式的除法运算进行探索和研究的一个重要课题，是学生完整、全面掌握整式运算的必备环节。
不论是在知识的衔接上，还是在学习方法与能力的迁移上，本节课的教学都起重要的奠基作用。
2、教学目标【知识目标】①理解和掌握单项式的除法法则；②会运用法则正确、熟练地进行整式除法的运算；【能力目标】①经历探索整式除法运算法则的过程，增强学生的学习体验；②通过法则的总结，培养和发展学生有条理的思考及表达能力；【情感目标】①激发学生的求知欲，培养学生积极思考的学习习惯；②关注学生的学习体验和认知程度，让学生感知并享受自己的成功，增强学习兴趣和自信心。
3、教学重、难点①重点：单项式的除法法则。
②难点：单项式的除法法则的熟练运用。
（在计算过程中，既要对系数进行计算，又要对相同字母进行指数计算，同时对只在一个单项式中出现的幂加以注意。
这对于刚接触整式除法的初一学生来讲，难免会出现计算错误或漏算等照看不全的情况。
）二、说教法设计数学教学是数学活动的教学，是师生交流、互动、共同发展的过程。
学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者。
本节课的教学，我选择师生互动式的教学方式，从学生的学习经验和已有的知识背景、思维方式出发，向他们提供充实的数学活动，通过自主探索、观察类比、合作交流、总结概括等教学活动，使学生获得深刻的体验和经验，深化学生的认知程度，真正理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，逐步提高熟练程度，夯实基础知识，提高运算能力。
针对本节课的内容特点和初一学生的思维特征，本节课的总体教法设计思路为：1、注重引导，激发思维，加深体验；2、师生共同概括总结，形成认知；3、加强针对性练习，巩固和强化认知；三、说教学设计：本节课设计了八个教学环节：：复习回顾、情境引入、探究新知、对比学习、例题讲解、课堂练习、知识小结、布置作业.1、复习回顾同底数幂的除法是学习整式除法的理论基础，只有熟练掌握同底数幂的除法，才能更好的进行整式除法的学习.此外，复习单项式乘以单项式法则，是为了对比学习单项式除以单项式法则，比较其相似与不同，并能将前后知识融为一体，使之形成一定的知识体系.2、情境引入本题在介绍生活常识的同时，提出一个极具趣味性的问题，学生可能通过以前学习的知识得到答案，但并不能利用新知识解决问题，从而激发学生强烈的求知欲和好奇心，引入新课的学习.从中也使学生进一步体会，数学来源于生活并作用于生活.3、探究新知通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力.4、对比学习：通过对比学习的方式比较单项式乘以单项式法则与单项式除以单项法则，观察其相似与不同，便于学生更好地掌握整式除法运算，并将本章的前后知识有机的联系起来，使之形成一个完整的知识框架。
12.4 整式的除法(第1课时)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(华东师大版)
八年级 上册
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
学习目标
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、
准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
(1)a a a
8.8×105
讲授新课
知识点一 单项式除以单项式
试 一 试
计算：
12a5c2÷3a2
把12a5c2和3a2分别看成是一个整体，相当于
(12a5c2)÷(3a2)
(4a3c2) ×3a2=12a5c2
12a5c2÷3a2=4a3c2
怎样计பைடு நூலகம்出来
的呢？
讲授新课
知识要点
单项式除以单项式的法则
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除
=(24÷3)a2-1b3-1
=3a；
=8ab2；
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
讲授新课
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
2
1
2
2
4 ÷ 2 = 8，则D选项正确，
2
故选：D．
）
× 8 = 42 2 ，所以
当堂检测
8．若x2m+nyn÷()2 = 5 ，则m，n的值分别为( )
A．3，2
B．2，2
整式的除法(一)
作业
1.基础作业：习题1.13知识技能 1，2，5 2.拓展作业：在一次水灾中，大约有 2.5×105个人无家可归。假若一顶帐篷占 地100 m2 ，可以安置40个床位，为了安置 所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这 些帐篷大约占多大地方？估计你学校的操 场中可以安置多少人？要安置这些人，大 约要多少个这样的操场？
约分时，先约系数，再约同底数幂，分子中单 独存在的字母及其指数直接作为商的因式。
知识要点
单项式与单项式相除的法则 单项式相除，把系数，同底数幂分别相 除后，作为商的因式；对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数一起作 为商的因式。
对比学习
单项式相乘 第一步
系数相乘 同底数幂相乘
单项式相除
系数相除 同底数幂相除
第二步
第三步
只在被除式里含有 其余字母不变连同其 的字母连同其指数 指数作为积的因式 一起作为商的因式
试一试
例1 计算：
3 2 3 2 (1) x y 3x y 5 4 3 2 3 ( 2) 10a b c 5a bc (3) ( 2 x y ) ( 7 xy ) 14 x y
2 2 2
8m 2 n 2 2m 2 n 4n 1 2 2 4 2 (3) 3a b a bc a b c, 3 1 2 4 2 2 a b c 3a b a bc 3
探究方法小结
方法2：利用类似分数约分的方法 5 x y 5 2 3 （ 1 ） x yx 2 x y x 2 2 8 m n 2 2 2 ( 2) 8m n 2m n 4n 2 2m n 4 2 a bc 1 2 4 2 2 (3) a b c 3a b a bc 2 3a b 3
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
整式的除法课件人教版数学八年级上册(完整版)
作业布置 【知识技能类作业】必做题：
1.计算：
(1)6a3÷2a2
(2)24a2b3÷3ab
(1) 6a3÷2a2 ＝(6÷2)(a3÷a2) =3a.
(2)24a2b3÷3ab =(24÷3)a2-1b3-1 =8ab2.
(3)-21a2b3c÷3ab
(3)-21a2b3c÷3ab =(-21÷3)a2-1b3-1c = -7ab2c.
作业布置 【知识技能类作业】选做题：
2.如果m(xayb)3÷(2x3y2)2= x3y2，求m，a，b的值．
作业布置 【综合拓展类作业】
3.若3x=5，3y=4，9z=2，求32x+y-4z的值.
解：∵9z=2，∴（32）z=2,即32z=2. 又3x=5，3y=4， ∴32x+y-4z=32x·3y÷34z =（3x）2·3y÷（32z）2 =52×4÷22 =25．
祝你学业有成
2024年5月3日星期五10时58分39秒
14.1.4.4 整式的除法
人教版八年级上册
教学目标
1.理解单项式除以单项式法则并能运用； 2.掌握多项式除以单项式法则； 3.会进行简单的乘除混合运算
新知导入
问题：一颗人造地球卫星的速度约为3×107米/小时，一架喷气式飞机的速 度约为2×106米/小时，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度 的多少倍？
验证：因为am-n ·an=am-n+n=am, 所以am ÷an=am-n.
归纳总结 同底数幂的除法
运算法则：
am÷an = am - n (a≠0，m，n 都是正整数，并且 m ＞ n ).
文字说明： 同底数幂相除，底数_不__变__，指数_相__减__.
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，主要内容包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及多项式除以多项式的运算方法。
这一节内容在数学学习中占据重要地位，是学生进一步学习函数、不等式等数学知识的基础。
通过本节内容的学习，学生能够掌握整式除法的基本运算方法，提高运算能力，并为后续学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法等基本运算，具备一定的数学基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易出错，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过具体例子引导学生理解整式除法的运算规律，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式除法的基本运算方法，能够熟练地进行整式除法运算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学学习的成就感。
四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本运算方法。
2.难点：理解整式除法的运算规律，能够灵活运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用“引导探究法”和“合作交流法”，教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，发现整式除法的运算规律，培养学生的问题解决能力。
同时，鼓励学生进行合作交流，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需熟练掌握整式除法的运算方法，了解学生的学习情况，准备相关教学素材。
2.学生准备：学生需预习整式除法相关内容，了解基本概念，准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的加减、乘法运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示整式除法的例子，引导学生观察、分析，发现整式除法的运算规律。
学生通过自主探究，总结整式除法的基本方法。
整式的除法技巧总结
整式的除法技巧总结整式的除法技巧是数学中非常基本的技巧，也是应用广泛的技巧。
在中学数学中，我们学习了分类的整式、多项式和代数式，以及如何对它们进行加、减、乘、除、化简等基本运算。
其中，整式的除法有很多技巧，这些技巧对于我们解题非常有帮助。
下面就对整式的除法技巧进行总结。
1、长除法求商式长除法是比较基本的一种整式除法方法，它可以用来求出一个多项式除以另一个多项式的商和余数。
具体步骤如下：例如：求 (2x3 +3x2 -18)/ (x-3)首先将除式进行因式分解：(x-3) = (x-3)。
将被除式的各项系数写在除号左侧，用长横线将它们与商式的系数隔开。
然后将除数的首项(即x)乘以商式的最高项(即2x2)，将积写在横线上。
将横线上的积减去被除式的下一项(-18和(x)*(-18)，其差为18x)，然后将末项系数(即0)依然写在横线上。
最后，商式为2x2+9x+27，余数为18x。
将被除式中相邻两项的系数相加得到一组新数列，然后将新数列写在长方形的上端，如下图所示。
将除数(x-1)的系数写在左边，与新数列的首项相乘得到一组小的积，将积写在长方形内部距上边一行下移一格的位置。
此时，将积分别加到相邻的上方新数列中，如图所示。
依次重复上述步骤，直到最后一项算完为止。
最终，长方形最右边的一列即为商式，余数为算完的最后一项。
3、二项式整除的性质如果被除式的各项系数都是常数倍的等差数列，那么它们可以因式分解成二项式的形式，如下所示：ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+mx=p(x)q(x)其中，p(x)q(x)为两个整数的乘积，即p,q为被除式的某一项系数的因式。
此时，商式的系数也是等差数列，例如：则商式的系数为{(d-a)x^(n-2)+e-b}/(d-a)，其中d-a为等差数列的公差。
4、辗转相除法辗转相除法是求两个整数的最大公约数的基本方法，但也可以用来求多项式的最大公约数。
它的具体步骤如下：对于两个多项式f(x)和g(x)，设f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，其中q1(x)和r1(x)为商式和余式。
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第11讲 整式的除法(1)
本节课学习的内容包括三部分：同底数幂的除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式．掌握同底数幂的除法和单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，重点能够进行准确地计算，理解与整式乘法的逆运算关系．难点是结合之前所学过的加减法与乘法，可以灵活地进行混合运算．1、 同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减．m n m na a a -÷=（m 、n 是正整数，且m n >，0a ≠）注：底数a 可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、任何不等于零的数的零次幂都等于1 01a =(0)a ≠3、同底数数幂的乘除运算顺序先算积的乘方、幂的乘方、再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．整式除法内容分析知识结构模块一：同底数幂的除法知识精讲2 / 14【例1】若()011x -=，则（）． A ．1x =B ．1x ≠C ．1x >D ．1x <【例2】计算：（1）82______a a ÷=；（2）7522______33⎛⎫⎛⎫÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()126______ab ab ÷=．【例3】计算()8pm n a a a ⋅÷的结果是（）． A ．8mnp a - B ．()8m n p a ++C ．8mp np a +-D ．8mn p a +-【例4】计算：（1）()()62_____y y -÷-=； （2）()()151233_____-÷-=；（3）7511______55⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()222______nn a a --÷-=．【例5】计算：（1）()()()1894_____a a a -÷-÷-=； （2）()()322______x x x -⋅-÷-=； （3）()()4352______aa -÷-=；（4）()()()()333223452______aa a a ⎡⎤÷÷⋅=⎢⎥⎣⎦． 【例6】计算：（1）()()63_______a b b a -÷-=： （2）()()73222________a ab b a b -+÷-=；（3）()()()()222______mmmx y x y x y x y +÷+⋅+÷=+．【例7】计算：（1）1232525125÷⨯；（2）()()()3222793-⨯-÷-．【例8】（1）已知3a x =，5b x =，则32_____a b x -=；（2）36m =，92n =，则2413______m n -+=．例题解析【例9】已知2552m m ⨯=⨯，求m 的值．【例10】若()021x -无意义，求代数式()2015241x -的值．【例11】已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．【例12】如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．【例13】已知()231x x +-=，求整数x ．4 / 141、单项式除以单项式法则两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤（1）把系数相除，所得的结果作为商的因式；（2）把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； （3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算．【例14】32m n x y x y x ÷=，则（）． A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =【例15】计算：（1）2312111_______a bc abc ÷=； （2）2264_______16m n mn ÷=；（3）()()2334252________a b a b -÷-=；（4）()()83610 1.510________⨯÷-⨯=（用科学记数法表示）； （5）若()22324262n x y mx y x y ÷=-，则____m =，____n =．模块二：单项式除以单项式知识精讲例题解析【例16】计算：（1）232()()xy x y -÷-；（2）()2886511863a b a b ab ⎛⎫÷-⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()2223423xy x y x y -⋅÷-；（4）()453428(2)7()(2)x y x y x y x y ⎡⎤+-÷-+-⎣⎦．【例17】若()22113210234a b c ⎛⎫++-++= ⎪⎝⎭，求()3222423944ac a c c b ⎛⎫⎛⎫-÷⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【例18】先化简，再求值：()()()()()()34222222x y x y x x y y x x x xy -÷-⋅---++-， 其中1x =-，2y =-．【例19】有一道题“先化简，再求值：()221(1)x x x ⎡⎤+--÷⎣⎦，其中2007x =．”小强做题时把“2007x =”抄成了“2070x =”，但计算结果也是正确的，请解释这是怎么回事？6 / 14【例20】已知()()()()23232213232m m n n n x y x y x y y x y -÷=÷，求m n +的值．【例21】化简：()()()23222111mmma a a a a a -+⋅--÷--（m 是正整数）．1、 多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：()am bm c n am n bm n c n ++÷=÷+÷+÷． 2、注意事项（1）多项式除以单项式的结果仍是多项式，项数与原多项式相同．（2）商的次数不高于多项式的次数，商的次数=多项式的次数-单项式的次数． （3）被除式=商式⨯除式+余式．【例22】如果()224343a b ab M a b -÷=-+，那么单项式M 等于（）．A ．abB ．ab -C ．aD ．b -模块三：多项式除以单项式知识精讲例题解析【例23】计算：（1）()32325___________x x x x -+÷=；（2）()()433222236946_________a b a b a b a b -+÷-=． 【例24】计算：（1）()213124*********__________m m m m m m m m a b a b a b a b +++++++-+÷=；（2）若()()23425425533m n m a b a b a b -++-÷=-，则______m n ÷=．【例25】若20a b -=，则代数式()()2222()4a b a b b a b b ⎡⎤+--+-÷⎣⎦的值为__________．【例26】下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷鸣”，这是由于光速比声速快的原因，已知光 在空气中传播的速度约为83.010/m s ⨯，它是声音在空气中传播速度的58.8210⨯倍，则声音在空气中的传播速度是___________．（用科学记数法表示，保留两位小数）【例27】已知除式2()31g x x x =-+，商式2()31Q x x x =++，余式()24R x x =-，求被除 式()f x ．【例28】计算：（1）()623523360.90.645x y x y x y xy ⎛⎫+-÷- ⎪⎝⎭；（2）()()22(4)2x y y y x x ⎡⎤+-+÷-⎣⎦；（3）()()21123201482n n n n n n a b a b a b a b --+--+÷-；8 / 14（4）247263211393a b a b ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）()()4322213756423x x x x x x x ⎛⎫-+÷---÷ ⎪⎝⎭；（6）()24225225(4)(2)()2a a a a a ⎡⎤-+-÷-÷-⎣⎦．【例29】设梯形的面积为223525m n mn -，高线长为5mn ，下底长为4m ，求上底长（m n >）．【例30】化简求值：()()32232322()4a x a x a x ax ⎡⎤⎡⎤---÷-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，其中12a =，4x =-．【例31】阅读下列材料： ()()2326x x x x +-=+-，()()2623x x x x ∴+-÷-=+．这说明26x x +-能被()2x -整除，同时也说明多项式26x x +-有一个因式()2x -； 另外，当2x =时，多项式26x x +-的值为零． 回答下列问题：（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式()2x -、多项式能被()2x -整除，这之间存在着一种什么样的联系？（2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x 的多项式M ，当x k =时，M 的值为0，那么M 与代数式()x k -之间有何种关系？ （3）应用：利用上面的结果求解：已知()2x -能被214x kx +-，求k 的值．【习题1】（1）()2323_______a a -÷=；（2）()21113________3n n n a a a ++-⎛⎫+÷-= ⎪⎝⎭；【习题2】若()233222412124xy m x y x y x y ⋅=-+，则多项式_____________m =． 【习题3】已知被除式是3232x x +-，商式是x ，余式是2-，则除式是__________． 【习题4】若()()23252mnx y x y x y ÷=，则_____m =，_____n =．【习题5】计算：()5______m n a a -÷=．随堂检测10 / 14【习题6】若42x y -=，则33162_______x y ÷=． 【习题7】计算： （1）()()632ab ab ab ÷⋅；（2）()()()5221n n n x x x x -+-⋅-÷⋅；（3）()23532513463a x ax a x a x ⎛⎫÷⋅-÷ ⎪⎝⎭；（4）()()242322321363x yx y x y ⎛⎫÷--- ⎪⎝⎭．【习题8】计算： （1）2265423222433x y xy y y ⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()644114214244a a a a a ⎛⎫⎛⎫-++-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）222121212121211111263224n n n n n n n n x y x y x y x y xy +++---⎛⎫⎛⎫⋅-++÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【习题9】已知23m =，48n =，求：3232m n -+的值．【习题10】先化简，再求值：()22231342ab ab b ÷÷，其中1a =-，2b =．【习题11】将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +， 余式为0，求_______a b c --=．【习题12】若2243()6153f x x x m x x =--+-能被1x +整除，求m 的值．【习题13】观察下列各式：()()()()()()232432*********xx x xx x x x x x x x -÷-=+-÷-=++-÷-=+++（1）写出()()11n x x -÷-的结果是______________________；（2）利用上题得到的规律，试计算：2122++++322．12 / 14【作业1】若()011a -=，下列结论正确的是（ ）．A ．0a ≠B ．1a ≠C ．1a ≠-D ．1a ≠±【作业2】计算()263x x x ⎡⎤÷÷-⎣⎦的结果是__________． 【作业3】若n 为正整数，且23n a =，则()()224327n n a a ÷的值为__________． 【作业4】计算：（1）1152793n n n +-⨯÷； （2）()201272201313112525⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭．【作业5】计算：（1）222(4)8x y y ÷； （2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷；（3） 8293(2)[(2)](2)(2)a a a a -÷--÷-；（4）()()32121866x x x x -+÷-；（5）()()()2325253232(34)3a a a a a a ⎡⎤-÷-+-÷-⎢⎥⎣⎦；课后作业（6）()()()()()223221232x x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤+++--+÷-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【作业6】利用因式分解进行除法运算：（1）()()26273____________x x x --÷+=；（2）()()()2226969____________x x x x +-÷++=．【作业7】若()322m n m n x x x -÷÷与32x 是同类项，且513m n +=，求225m n -的值．【作业8】先化简，再求值：2473826331114293a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12a =，4b =-．【作业9】已知()211x x +-=，求整数x 的解．【作业10】已知四个三项式：24xy-，3xy．请你用加、减、乘、除四种2x y，2-，322x y运算中的一种或几种，使它们的结果为2x，请写出你的算式．14/ 14。
北师大版七年级下册数学说课稿：1.7.1《整式的除法》
北师大版七年级下册数学说课稿：1.7.1《整式的除法》一. 教材分析《整式的除法》是北师大版七年级下册数学的一节重要内容。
本节课主要介绍了整式除法的基本概念和运算方法。
通过本节课的学习，学生能够理解整式除法的意义，掌握整式除法的运算规则，并能够运用整式除法解决实际问题。
在教材中，整式除法被安排在代数运算的章节中，与整式的加减乘法相互联系。
在学习本节课之前，学生已经掌握了整式的加减法和乘法运算，这为学习整式除法提供了基础。
整式除法不仅是代数运算的重要组成部分，也是后续学习更复杂代数运算的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的加减法和乘法运算有一定的了解。
然而，学生在学习整式除法时可能会面临一些困难。
首先，整式除法与整式加减乘法的运算规则有所不同，学生需要理解和适应新的运算规则。
其次，整式除法涉及到了除数和商的运算，学生需要理解除数和商之间的关系。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，并给予学生足够的练习机会。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解整式除法的意义，掌握整式除法的运算规则，并能够运用整式除法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作和探究活动，学生能够培养运算能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养坚持不懈的学习精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握整式除法的运算规则，并能够运用整式除法解决实际问题。
2.教学难点：学生能够理解除数和商之间的关系，并能够正确进行整式除法的运算。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
首先，我会通过提问的方式引导学生思考整式除法的意义和运算规则。
然后，我会学生进行小组合作和探究活动，让学生通过讨论和实践来解决问题。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来进行教学展示和解释。
整式的除法(第1课时)(课件)七年级数学下册(北师大版)
3 n 2
3 n 2
12 9
解：因为 (-3 x y ) ( x y ) ( 27 x y ) ( x y )
2
2
4
3 3
＝18x12－ny7，
所以18x12－ny7＝mx8y7.因此m＝18，12－n＝8.
所以n＝4，所以n－m＝4－18＝－14.
(2) (8m2n2) ÷(2m2n) ;
(3) (a4b2c)÷(3a2b) .
可以用类似于
分数约分的方法
来计算.
探究新知
解：(1) (x5y)÷x2
5
= 2
∙∙∙∙∙
=
∙
= x·x·x·y
=x3y
把除法式子写成分数形式
把幂写成乘积形式
约分
探究新知
被除式
除式
(x5y) ÷ x2
探究新知
例3：月球距离地球大约 3.84×105千米, 一架飞机的速度约为
8×102 千米/时. 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要多
少时间 ?
解：3.84×105 ÷( 8×102 )
= 0.48×103
=480(小时) =20(天) .
答：如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要20天时间.
5
(2) 10a 4 b 3 c 2 5a 3 bc
(3) (2 x y ) ( 7 xy ) 14 x y
2
3
2
4
3
(4) (2a b)4 (2a b)2
分析：（1）（2）直接运用单项式除法的运算法则；
（3）要注意运算顺序：先乘方，再乘除；
（4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行
《整式的除法》教学设计
《整式的除法》教学设计
【教学内容分析】
本节课学习单项式除以单项式法则和多项式除以单项式法则，即是对整式乘法和同底数幂相除法则的复习，又有新知识的学习。
【教学目标】
1、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式）。
2、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力。
【教学重点、难点】
重点是会利用单项式除以单项式法则和多项式除以单项式法则，进行简单的整式除法运算。
难点是全面、准确地理解二个法则。
【教学准备】
展示课件。
【教学过程】
【设计说明】
本节课所要掌握的内容更多，包括单项式相除和多项式除以单项式二个法则，故本节设计采用二段论式，将有利于学生对知识的掌握，通过复习旧知，合作学习，类比迁移而得到二个法则，在设计中和授课时最大可能地让学生参与到自主学习、合作学习与探究学习中。
《整式的除法》整式的运算
与方程式的解法的综合应用
代数方程的解法
利用整可以找到方程的根 。
方程的根的性质
通过整式除法，可以进一步研究方程的根的性质，例如根的乘积、根的加法、根的减法等。
与因式分解的综合应用
因式分解与整除
整式除法中的整除与因式分解有着密切 的联系，通过整除可以将一个多项式分 解为若干个一次因式的乘积。
逆用公式
在解决复杂的整式除法问 题时，可以逆用一些基本 公式，简化计算过程。
借助工具
使用一些数学工具，如因 式分解、三角函数等，来 解决复杂的整式除法问题 。
如何进行一题多解的整式除法练习
尝试不同的解法
01
对于同一道整式除法题目，尝试使用不同的解法来解决，开拓
思路。
总结各种解法的优缺点
02
在尝试不同的解法之后，总结各种解法的优缺点，找出最优解
整式除法的应用举例
多项式除以单项式
将一个多项式除以一个单项式，得到商和余数。
多项式除以多项式
将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
整式的约分
通过约分简化整式的计算。
整式的通分
通过通分将不同的分母变为相同的分母，便于计算。
03
整式除法的计算技巧
提公因式法
总结词
提公因式法是一种通过提取多项式中的公因式来简化计算的 方法。
分组分解法
总结词
分组分解法是一种通过分组来分解多项式的方法。
详细描述
分组分解法基于多项式的结构特点，将多项式分成若干组，然后分别对每组进行因式分解。在整式除法中，分组 分解法可以用于分解被除式和除式，从而得到商和余数。使用分组分解法需要熟练掌握因式分解的方法和技巧， 以及对多项式结构的识别能力。
《整式的除法》教学反思
《整式的除法》教学反思《整式的除法》教学反思1整式的除法只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式。
重点是单项式除以单项式，而多除以单项式则通过转化为单项式除以单项式来计算。
1、单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意（1）数字系数：相除（2）相同字母：同底数幂相除（3）只在被除式里出现的幂：不变2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
即：（a＋b＋c）÷m=a÷m＋b÷m＋c÷m（m≠0）3、尽量让学生到黑板上板演，从中找到他们在解题过程中暴露的问题，及时得到纠正。
本节综合性较强，内容看似简单，其实学生存在的问题很多。
《整式的除法》教学反思2教学不应仅仅传授课本上的知识内容，而应该在传授知识内容的同时，注意对学生综合能力的培养。
在本节课中，教师并没有直接将运算法则告诉学生，而是由学生利用已有知识探究得到。
在探究过程中，学生的数学思想得到了进一步的拓展，学生的综合能力得到了进一步的提高。
当然一节课的提高并不显著，但只要坚持这种方式方法，最终会有一个美好的结果。
在教学中，有意识、有计划的设计教学活动，引导学生体会单项式乘法与单项式除法之间的联系与区别，感受数学的整体性，不断丰富学生的解题策略，提高解决问题的能力。
在课堂教学中应当把更多时间交给学生。
本节课中计算法则的探究，例题的讲解，习题的完成，知识的总结尽可能的全部由学生完成，教师所起的作用是点拨，评价和指导。
这样做，可以更好的体现以学生为中心的教学思想，能更好的提高学生的综合能力。
《整式的除法》教学反思3这个学期，我就《整式的除法》上了一节公开课，教材选自人教版八年级上§15.3的教学内容。
完成教学后，结合多次的实施情况和老师们的研讨，我萌发了一点思考。
《整式的除法》课件
包括整式的次数、系数、项等基 本概念及其性质。
除法运算规则简介
多项式除以单项式
将多项式的每一项分别除以单项式， 并将结果按降幂排列。
单项式除以多项式
单项式除以多项式时，可将单项式拆 分为多个多项式之和或差，再分别进 行除法运算。
常见问题与误区提示
01
02
03
忽视运算顺序
在进行整式除法时，需遵 循先乘除后加减的原则， 注意运算顺序。
《整式的除法》课件
汇报人： 2023-11-26
contents
目录
• 整式除法基本概念 • 单项式除以单项式方法论述 • 多项式除以单项式技巧总结 • 多项式之间相除算法剖析 • 整式除法在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
整式除法的基本概念
整式除法的定义
研究整式之间相除的运算规则和方法。
经济学领域中整式除法应用案例分享
平均成本计算
在生产过程中，企业需要计算产品的平均成 本，以便制定合理的定价策略。整式除法可 以帮助企业计算出单位产品的成本，从而确 定产品的售价和利润空间。
投资收益率计算
在投资决策中，投资者需要计算投资收益率 来评估投资项目的可行性。整式除法可以帮 助投资者计算出投资项目的收益率，从而做
解析
首先进行系数的除法运算，$6 \div 3 = 2$；然后比较 $x$ 的 指数，$3-1=2$；最后比较 $y$ 的指数，$2-1=1$。因此，原式
的结果为 $2x^2y$。
01
03
02 04
例题2
求解 $ (8a^5b^3c^2) \div (4a^2b^2c) $ 的值。
解析
首先进行系数的除法运算，$8 \div 4 = 2$；然后比较 $a$ 的 指数，$5-2=3$；接着比较 $b$ 的指数，$3-2=1$；最后比较 $c$ 的指数，$2-1=1$。因此， 原式的结果为 $2a^3bc$。
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讨论结果展示：
可以从两方面考虑：
1．从乘法与除法互为逆运算的角度．
1 / 4
2421．根据单项式与单项式相乘的运算法则：10）=1.901）我们可以想象5.98×10×·（（单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不，所以所求单项式系等于1.90变作为积的因式，可以继续联想：所求单项式的系数乘以5.98?32421×，由此可知即100.318，?所求单项式的幂值部分应包含105.98÷10数为1.90÷5.98≈3242121324．=0.38×105.98）÷（×1010·（0.318×1010）=1.90×10）．所以（1.90×3÷，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：）=8a82）可以想象2a·（（233322．÷）=8a2a=4a．所以2=4，a8a÷a=a即2a·（4a3y）=6x；同样的道理可以想象3xy·（
）2a+b =5（22（4a）+4ab+b =52
2+20ab+5b =20a222)÷2xy．①说说(3)(4xy+2xy再探新知计算下列各式：(1)(am+bm)÷m；(2)(a+ab)÷a；?
你是怎样计算的②还有什么发现吗在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立注：解决这些问题．教案中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑．归纳法则．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加?你能把这句话写成公式的形式吗这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进注：行运算，不必要求学生背诵法则．用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．解决问题计算页例3教科书第19223-6a(1)(12a+3a)÷3a；2224332；y+7x)y÷()(2)(21xy-7-35xyx28x]÷2x-y(2x+y)-(3)[(x+y)幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成注：一定的计算能力．Ⅲ．随堂练习3．、21 a．课本P189练习Ⅳ．课时小结．．单项式的除法法则是1_________________ 2．应用单项式除法法则应注意：①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某
请大家考虑运算结果与原式的联系．师] [观察上述几个式子的运算，它们有下列共同特征：生甲] [）都是单项式除以单项式．（1
对于只在被除式里含有?2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；（的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．（3
其实单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幂相除，只在被除式里含有的字母] [生乙三部分运算．能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则，而且能同学们总结得很好．? [师]抓住法则的实质所在，这是数学能力的提高与体现，老师为你们骄傲．下面我们应用单项式?进一步体会运算法则的实质所在．与单项式相除的运算法则解决一些计算问题，．例：计算1342y y7x（1）28x÷435b
333232．（3）你能根据（2）x÷3ab?说说单项式除以单项式的运算8a；÷2a5x÷y3xy；12ab法则吗？
Ⅱ．导入新课
[师]观察讨论（2）中的三个式子是什么样的运算．
[生]这三个式子都是单项式除以单项式的运算．
[师]前一节我们学过同底数幂的除法运算，?同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解决“讨论”中的问题呢？
c）（2-5a÷b15a
3 4232y·（-7xy14x）÷（3）（2xy）2
4）2a+b）2a+b÷（（（4）5?3）要注意运算顺序：先乘方，）、（2）直接运用单项式除法的运算法则；（分析：（1）视为一个整体来进行单项式除以单项式的2a+b再乘除，再加减；（4）鼓励学生悟出：将（运算．324y
）28x7xy÷解：（12-1 4-3yx·7 =（28÷）·．=4xy435b
-5a2（）bc÷15a
2 / 4
3-15-4c 15）ab =（-5÷12c．ab =-33
2423y）÷y）14x·（-7xy3（）（2x3
4632y =8xy）÷·（-7xy14x346+13+2y]·x÷y14x =[8×（-7）5-3 7-4y·x（-56÷14）·=23y =-4x．2
4）÷（5（2a+b）2a+b（4）4-2））（2a+b（5÷1 =2
教具准备
多媒体课件．
施教时间
2007年月日
教案过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
2421吨．?你知道木星的质量吨．地球的质量约是5.08×问题：木星的质量约是1．90×1010约为地球质量的多少倍吗？
2421）倍．5.98×10]这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（1.90×10）÷（[生继续播放：
2421）．说说你计算的根据是什么？×101.90×10÷（5.98讨论：（1）计算（（2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？
223233223÷，3=4，abx÷÷x=xa=a，y÷y=1 3ab·（）=12a；b12x÷，考虑到6÷3=2，32232233332232x；=12a3xy=2xbx12ab．所以=1．?所以得3xy·（2x）=6x6xy；3abb·（4ayx÷）322÷3abx=4a．．还可以从除法的意义去考虑．22424101.90?101.90g?3242110×=0．318（1）÷（5.98×1010．）=）（1.90×212110105.985.98?33a8a8g?32a=8a÷（2）=4a．aa2233yx66xygg?323xy=y 6x÷=2x．y3xxy323323b12ab12xagg?3233232．x 12a=4abxx÷3ab·=22ba3ab3上述两种算法有理有据，所以结果正确．
1．从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获得成功的体验，?积累研究数学问题的经验．
2．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力．
重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用
难点
探索单项式与单项式相除的运算法则的过程
教ห้องสมุดไป่ตู้方法
自主探索法．有同底数幂的除法的研究基础，学生可以用已有的知识与数学经验，自主探索得出单项式与单项式相除的运算法则，并能用息的语言有条理地表达及应用．
北城中学教师备课导学案
课题
§15．4．2．1整式的除法
第2课时
共2课时
备课人
张涛武
使用人
教学标目
（一）教案知识点
1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
2．单项式除以单项式的运算算理．
（二）能力训练要求
1．经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，?会进行单项式与单项式的除法运算．
2．理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力．（三）情感与价值观要求