灵敏度分析 ppt课件
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南理工电力系统稳态分析课程ppt-潮流计算中灵敏度的分析及应用
04 轨迹灵敏度也有一阶灵敏度和二阶灵敏度。
8
2.3 灵敏度矩阵的定义
灵敏度矩阵并不是各个节点 灵敏度指标的简单组合，而是在 潮流方程的基础上推导得出的， 它实际是潮流雅可比矩阵的变形 和改进，通过判断该矩阵的性质 可以研究电力系统很多领域的问 题。
定义
9
3.1 常规的灵敏度计算方法
在相关的文献中，也叫做一阶灵敏度近似分析法。
6
2.1 静态灵敏度分析
静态灵敏度分析是在系统运行的一个静态工作点去考察自变量的变 化对因变量的影响，它是电力系统稳态分析中非常重要的方法。
自变量可以是网络参数和网络函数。因变量可以是系统 01 状态量和系数矩阵特征值。
电力系统模型中，系统系数矩阵隐含着系统的稳定信息，通过计算 系统系数矩阵的特征值，并对特征值和特征向量进行分析，可以得 02 出影响系统稳定的主导特征值和特征向量。根据特征值灵敏度指示， 调节系数矩阵的参数，改变特征值的分布，使系统稳定裕度提高。
当发电机无功功率变化ΔQG时，假定负荷母线无功功率不变， ΔQD=0，则有
RDG为ΔVD与ΔQG之间的灵敏度矩阵，RGG为ΔVG与ΔQG之间的灵敏度矩阵。
16
RGG实际上是发电机母线与地组成的多端口网络的等值阻抗矩阵，该灵 敏度关系反映了从发电机母线向网络看进去的网络的电气特性。
如果控制量只是部分发电机母线上的无功，其余发电机母线无功电源充 足，可以维持节点电压不变。这些发电机节点继续保持为PV节点，不需要 增广到L中。对于无功达界的发电机母线，作为PQ节点处理。上式中ΔQG 不包括无功边界的发电机母线的量，这些量将和PQ节点一起高斯消去。
17
3.3.3 ΔVD和Δt之间的灵敏度关系
Δt为变压器变比改变，当此时发电机母线电压及负荷母线无功注入 不变，则由灵敏度关系得到
第七章 网络的灵敏度分析
ˆ ˆ 取 U R RI R
原网络中电阻R在伴随网络中仍是电阻R
R
T ˆ I R I R R
R
ˆ ˆ ˆ U R I R I RU R I R I R R
灵敏度公式
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导
电导的VAR为 I G GU G 增量方程 I G GU G GU G
只讨论频域一阶微分灵敏度
相对灵敏度
广义网络函数的相对变化量与元件参数的 相对变化量的比值，即
x T T S T x T
T x
x ln T x ln x
• 相对灵敏度的其它表示法
x T (1) S 100 x
T x
x T x T T (2) S , Sx 100 x 180 x
ˆ ˆ (I DU D U D I D )
D
T
T xk k 1 xk
n
(1)Байду номын сангаас输出支路
Uo
Io
ˆ Uo
1A
输出为电压，则ΔI0＝0
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0 I 0
ˆ 取 I 0 1A
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0
D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
对于任一参数xk
A0 B0 xk T ( xk ) C0 D0 xk
B0 D( x) D0 N ( x) S 2 D ( x)
T xk
N ( x1 , x2 ,, xn ) N ( x) T ( x) 由 D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
原网络中电阻R在伴随网络中仍是电阻R
R
T ˆ I R I R R
R
ˆ ˆ ˆ U R I R I RU R I R I R R
灵敏度公式
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导
电导的VAR为 I G GU G 增量方程 I G GU G GU G
只讨论频域一阶微分灵敏度
相对灵敏度
广义网络函数的相对变化量与元件参数的 相对变化量的比值，即
x T T S T x T
T x
x ln T x ln x
• 相对灵敏度的其它表示法
x T (1) S 100 x
T x
x T x T T (2) S , Sx 100 x 180 x
ˆ ˆ (I DU D U D I D )
D
T
T xk k 1 xk
n
(1)Байду номын сангаас输出支路
Uo
Io
ˆ Uo
1A
输出为电压，则ΔI0＝0
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0 I 0
ˆ 取 I 0 1A
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0
D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
对于任一参数xk
A0 B0 xk T ( xk ) C0 D0 xk
B0 D( x) D0 N ( x) S 2 D ( x)
T xk
N ( x1 , x2 ,, xn ) N ( x) T ( x) 由 D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
结构优化的灵敏度分析课件
02
灵敏度分析概述
灵敏度分析的定义
定义
灵敏度分析是一种研究模型输出 变化对输入参数变化的敏感程度 的方法。
解释
在结构优化中，灵敏度分析用于 量化模型性能对设计参数的敏感 性，以识别关键设计参数并优化 结构。
灵敏度分析的目的
01
02
03
目的1
目的2
目的3
识别关键设计参数。通过灵敏度分析，可 以确定哪些参数对模型输出影响较大，从 而重点关注和优化这些参数。
3. 根据灵敏度分析结果，调整设计参数以改善车身结构的 碰撞性能。
关键点：在车身结构碰撞性能优化中，灵敏度分析有助 于在众多设计参数中筛选出关键参数，提高优化效率， 同时保证汽车的碰撞安全性。
06
结构优化灵敏度分析展望 与挑战
结构优化灵敏度分析的未来发展趋势
多学科交叉融合
未来的结构优化灵敏度分析将更加注重多学科交叉融合， 涉及力学、数学、计算机科学等多个领域，以更全面地研 究和解决实际问题。
指导优化算法的改进方向
灵敏度分析可以揭示设计变量与目标函数之间的关系，为优化算法的改进提供指 导。例如，针对灵敏度较高的设计变量，可以采用更精细的搜索策略，以提高优 化精度。
结构优化中的参数灵敏度分析
参数定义与分类
参数灵敏度分析关注结构优化问题中的参数变化对目标函数的影响。参数可分为设计参数（如材料属 性、截面尺寸等）和约束参数（如载荷、边界条件等）。通过参数灵敏度分析，可以识别出对目标函 数影响显著的参数。
有限差分法适用于目标函数和约束条件难以显式表达或无法直接求导的情况。它是一种通用性较强的方 法，但受限于数值近似的精度和步长的选择。
伴随变量法
原理
伴随变量法通过引入伴随变量， 构建伴随方程来求解灵敏度。它 基于最优控制理论和拉格朗日乘 子法，将灵敏度分析问题转化为 求解伴随方程的问题。
《灵敏度分析》课件1-优质公开课-人教B版选修4-9精品
所以，在0.7与0.3之间一定存在一点P，当适销状态 的概率等于P时，新建生产线方案与改造原生产线方案 的期望效益值相等。P称为转移概率 500P+(1-P)(-200)=300P+(1-P)(-100) P＝0.33 所以，当P>0.33时，新建生产线（B1）为最佳方案； 当P<0.33时，改造原生现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
第五讲《灵敏度分析》
数学人教B版高中选修4-9《风险与决策》
灵敏度分析
对于风险型决策问题，其各个方案的期望益损值是在 对状态概率预测的基础上求得的。由于状态概率的预测会 受到许多不可控因素的影响，因而基于状态概率预测结果 的期望益损值也不可能同实际完全一致，会产生一定的误 差。 这样，就必须对可能产生的数据变动是否会影响最佳 决策方案的选择进行分析，这就是灵敏度分析。
The End
市场销售状态 适销θ 1 滞销θ 0.7 500 300 0.3 -200 -100 期望效益值 E (B i ) 290 180
状态 状态概率 各方案的效益 新建生产线B 1 /万元 改造原生产线B 2
2
解:(1)以最大期望效益值为准则确定最佳方案。 E(A1)＝max{E(A1),E(A2)}=290万元， 所以，新建生产线（B1）为最佳方案。 (2)灵敏度分析。当考虑市场销售状态中适销的概率 由0.7变为0.3时，则两个方案的期望效益值的变化为 E(B1)＝1现有两种方案可供选择：一是新 建生产线；二是改造生产线。该企业管理者经过研究，运用期 望值决策法编制出决策分析表（表9.2.4）。由于市场情况极 其复杂，它受许多不可控因素的影响，因而销售状态的概率可 能会发生变化。试针对这种情况，进行灵敏度分析。
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
感谢您的观看
汇报人：
价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
控制系统灵敏度分析课件
模型建立的方法
动力学方程
根据系统动力学原理，建立系统 的动力学方程，包括质量、力、 阻尼等参数。
状态空间模型
将动力学方程转化为状态空间模型， 通过状态变量和输出变量描述系统 的动态行为。
传递函数
对于单输入单输出系统，传递函数 是一种常用的模型表示方法，通过 极坐标形式或复平面形式描述系统 的频率响应。
根据系统的数学模型，计算出系统的雅可 比矩阵，雅可比矩阵是描述系统对输入变 量变化的敏感程度的矩阵。
分析雅可比矩阵
实验验证
通过分析雅可比矩阵，可以了解系统对输 入变化的敏感程度，找出对输出影响较大 的输入变量。
通过实验验证雅可比矩阵的分析结果，确 认系统对输入变化的敏感程度和影响程度。
03
控制系统模型建立与仿真
控制系统的目标是使输出变量接 近或等于设定值，以实现系统的
稳定和可靠运行。
控制系统的基本组成
01
02
03
04
控制器
根据输入信号调整输出信号， 实现反馈控制。
执行器
将控制器的输出转换为实际动 作，以影响被控对象。
被控对象
受到执行器作用的对象，其输 出被传感器监测。
传感器
监测被控对象的输出，并将信 号传输给控制器。
控制系统的分类
开环控制系统
没有反馈环节，输入信号直接 作用于执行器。
闭环控制系统
具有反馈环节，控制器根据反 馈信号调整执行器的输出。
恒值控制系统
输出变量需要维持在设定值附 近的控制系统。
随动控制系统
输出变量需要跟踪设定值变化 的控制系统。
02
控制系统灵敏度分析
灵敏度的定 义
灵敏度
指系统输出变量的变化量与输入 变量的变化量的比值，用以衡量
第3章线性规划的灵敏度分析
第11页/共93页
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到：
从左边的不等式，我们得到
因此
第12页/共93页
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
第13页/共93页
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
（3-1）
第10页/共93页
现在让我们考虑目标函数直线斜率的一 般形式。用CS表示标准袋的利润，CD表示 高级袋的利润，P表示目标函数值。使用这 些标识，目标函数直线可以写成：
P＝CSS＋CDD 把上面方程写成斜截式，得到：
CDD＝﹣CSS＋P 以及
因此，我们得到目标函数的斜率为－CS／CD。 把－CS／CD代入式（3-1），我们看到只要满 足下列条件，极点③就仍然是最优解点：
第8页/共93页
D
直线B
S+ (2/3)D=708
600
10S+ 9D=7668
400
③
200
可行域
直线A (7/10)S+D=630
图3-1
o
200
400
600
800
S
第9页/共93页
在图3-1中，我们可以看到只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到：
从左边的不等式，我们得到
因此
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从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
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在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
（3-1）
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现在让我们考虑目标函数直线斜率的一 般形式。用CS表示标准袋的利润，CD表示 高级袋的利润，P表示目标函数值。使用这 些标识，目标函数直线可以写成：
P＝CSS＋CDD 把上面方程写成斜截式，得到：
CDD＝﹣CSS＋P 以及
因此，我们得到目标函数的斜率为－CS／CD。 把－CS／CD代入式（3-1），我们看到只要满 足下列条件，极点③就仍然是最优解点：
第8页/共93页
D
直线B
S+ (2/3)D=708
600
10S+ 9D=7668
400
③
200
可行域
直线A (7/10)S+D=630
图3-1
o
200
400
600
800
S
第9页/共93页
在图3-1中，我们可以看到只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线
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max Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN s.t. XB+B-1NXN=B-1b
XB,XN ≥0
是最优解的条件是：
X B = B -1b ≥ 0 CN - CBB -1N ≤ 0
在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到以下两条 性质：
（１）可行性：指标准型线性规划问题的基本解满足非 负性。
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变 （即最优解或最优解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法 求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
max Z = CX s.t. AX = b
X≥0
设 X B 为基本解， C B 是基对应的目标系数向量，B 1 是 基的逆矩阵，则原问题可表示为：
0
即
10c1 5
从而， 20c1 35
这说明只要 x 1 的系数在２０到３５变动时，最优解 不变化。
例2.2 已知线性规划问题
max η = 6x1 + 4x2
2x1 + 3x2 ≤ 100
s.t.
4
x
1
+
2x
2
≤
120
x1, x 2 ≥ 0
求（１）使原最优解不变的 c 2 的变化范围； （２）若 c 1 变为１２，求新的最优解。
s.t.
x
1
+
x
2
+
2x 3
≤
1000
2
x
1
+
x
2
+
x3
≤
2000
x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
x1
问当 的系数由３０降到２５时，最优解是否发生变化？
2
30
3 c1
0
4
25
2 c1
0
5
5
c1
0
解：设 c 1
发生 c 1 的变化，则可得到：
2
30
3 c1
0
4
25
2 c1
0
5
5
c1
课堂练习
P153(4)
1 已知线性规划问题：
max Z = 3x1 + 2x 2
x1 + 2x2 ≤ 40 s.t. 2x1 + x 2 ≤ 50
x1, x2 ≥ 0
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 c j 允许 变化的范围。
（2）每个约束条件的影子价格
1 ≤ c 1 ≤ 4
3 2
≤
c 2
6003b10
Z CBXB
例3.2 已知线性规划问题
max η = 6x1 + 4x2
2x1 + 3x2 ≤ 100
s.t.
4
x
1
+
2x
2
≤
120
x1, x 2 ≥ 0
求（１）使原最优解基不变的 b 1 的变化范围； （２）若 b 1 变为200，求新的最优解。
max Z = 3x1+2x2
（２）正则性：指标准型线性规划问题的非基变量所对 应的检验数向量满足非正性。
XB = B-1b ≥ 0
CN - CBB-1N ≤ 0
线性规划问题的任何参数变化，对解将产生以 下３种影响：
（１） B 1b 发生变化，即对解的可行性可能有影响，而 对解的正则性无影响。此时，若解的可行性仍满足 B1b， 0 则最优解不变
由单纯形表可知，B121//33 21//33,b1 20 0
为使最优基不发生变化，
102/3b1 0 201/3b1 0
101/3b2 0 202/3b2 0
X B B 1 b 2 1 //3 3 2 1 //3 3 6 4 0 0 8 2//0 3 0 3
2 2
第四章 灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据 中某一个或某几个发生变化时，对最优解会产生 什么影响。或者说，要使最优解保持不变，各个 数据可以有多大幅度的变动。这种研究线性规划 模型的原始数据变化对最优解产生的影响就叫做 线性规划的灵敏度分析。
灵敏度分析的内容
目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程i 的灵敏度分析
例3.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x2 + 35x3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2
x
1
+
x2
+
x3
≤
2000
x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
问当 b 1 的系数由８００降到７００时，最优基是否发生 变化？当 b 2 的系数由１０００增到１２００时，最优 基是否发生变化？
-10 3 ≤ Δc1 ≤ 2 求（１）使原最优解不变的 c 2 的变化范围；
-1≤ Δc2 ≤ 5
（２）若 c 1 变为１２，求新的最优解。
max η = 6x1 + 4x2
2x1 + 3x2 ≤ 100
（２）若C1变为１２，求新的最优解。 s.t.
4
x
1
+
2x
2
≤
120
x 1, x 2 ≥ 0
max η = 30x1 + 25x2 + 35x3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2
x
1
+
x2
+
x3
≤
2000
x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
问当x 2 的系数由２５提高到３５时，最优解是否发生变 化？
从最优单纯形表中我们可以看到 x 2 为非基变量，则 由上面分析结论可知只要 cj j 最优解不会发生变化，x 2 仍然为非基变量。
因为2 30 ，则 c j 30, ，即 c2c230, c255 时最优解不会发生变化。从而，当 x 2 的系数由２５提高 到３５时，最优解不会发生变化。
２、基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例2.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x2 + 35x3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
x1+2x2 40 s.t. 2x1+ x2 50
x1 , x2 0
课 堂 练 习（续）
P153(4)
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 b j 允许 变化的范围。（2）如第二个约束条件右端常数变为60，
确定新的最优目标函数值。
max Z = 3x1+2x2 x1+2x2 40
s.t. 2x1+ x2 50 x1 , x2 0
（２）检验数 CN CBB1N ，即 j Cj CBB1pj 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
（３） B 1 b 和 CNCBB1N同时发生变化
一、目标系数 c j 的灵敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例1.1 已知线性规划问题
XB,XN ≥0
是最优解的条件是：
X B = B -1b ≥ 0 CN - CBB -1N ≤ 0
在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到以下两条 性质：
（１）可行性：指标准型线性规划问题的基本解满足非 负性。
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变 （即最优解或最优解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法 求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
max Z = CX s.t. AX = b
X≥0
设 X B 为基本解， C B 是基对应的目标系数向量，B 1 是 基的逆矩阵，则原问题可表示为：
0
即
10c1 5
从而， 20c1 35
这说明只要 x 1 的系数在２０到３５变动时，最优解 不变化。
例2.2 已知线性规划问题
max η = 6x1 + 4x2
2x1 + 3x2 ≤ 100
s.t.
4
x
1
+
2x
2
≤
120
x1, x 2 ≥ 0
求（１）使原最优解不变的 c 2 的变化范围； （２）若 c 1 变为１２，求新的最优解。
s.t.
x
1
+
x
2
+
2x 3
≤
1000
2
x
1
+
x
2
+
x3
≤
2000
x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
x1
问当 的系数由３０降到２５时，最优解是否发生变化？
2
30
3 c1
0
4
25
2 c1
0
5
5
c1
0
解：设 c 1
发生 c 1 的变化，则可得到：
2
30
3 c1
0
4
25
2 c1
0
5
5
c1
课堂练习
P153(4)
1 已知线性规划问题：
max Z = 3x1 + 2x 2
x1 + 2x2 ≤ 40 s.t. 2x1 + x 2 ≤ 50
x1, x2 ≥ 0
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 c j 允许 变化的范围。
（2）每个约束条件的影子价格
1 ≤ c 1 ≤ 4
3 2
≤
c 2
6003b10
Z CBXB
例3.2 已知线性规划问题
max η = 6x1 + 4x2
2x1 + 3x2 ≤ 100
s.t.
4
x
1
+
2x
2
≤
120
x1, x 2 ≥ 0
求（１）使原最优解基不变的 b 1 的变化范围； （２）若 b 1 变为200，求新的最优解。
max Z = 3x1+2x2
（２）正则性：指标准型线性规划问题的非基变量所对 应的检验数向量满足非正性。
XB = B-1b ≥ 0
CN - CBB-1N ≤ 0
线性规划问题的任何参数变化，对解将产生以 下３种影响：
（１） B 1b 发生变化，即对解的可行性可能有影响，而 对解的正则性无影响。此时，若解的可行性仍满足 B1b， 0 则最优解不变
由单纯形表可知，B121//33 21//33,b1 20 0
为使最优基不发生变化，
102/3b1 0 201/3b1 0
101/3b2 0 202/3b2 0
X B B 1 b 2 1 //3 3 2 1 //3 3 6 4 0 0 8 2//0 3 0 3
2 2
第四章 灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据 中某一个或某几个发生变化时，对最优解会产生 什么影响。或者说，要使最优解保持不变，各个 数据可以有多大幅度的变动。这种研究线性规划 模型的原始数据变化对最优解产生的影响就叫做 线性规划的灵敏度分析。
灵敏度分析的内容
目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程i 的灵敏度分析
例3.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x2 + 35x3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2
x
1
+
x2
+
x3
≤
2000
x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
问当 b 1 的系数由８００降到７００时，最优基是否发生 变化？当 b 2 的系数由１０００增到１２００时，最优 基是否发生变化？
-10 3 ≤ Δc1 ≤ 2 求（１）使原最优解不变的 c 2 的变化范围；
-1≤ Δc2 ≤ 5
（２）若 c 1 变为１２，求新的最优解。
max η = 6x1 + 4x2
2x1 + 3x2 ≤ 100
（２）若C1变为１２，求新的最优解。 s.t.
4
x
1
+
2x
2
≤
120
x 1, x 2 ≥ 0
max η = 30x1 + 25x2 + 35x3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2
x
1
+
x2
+
x3
≤
2000
x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
问当x 2 的系数由２５提高到３５时，最优解是否发生变 化？
从最优单纯形表中我们可以看到 x 2 为非基变量，则 由上面分析结论可知只要 cj j 最优解不会发生变化，x 2 仍然为非基变量。
因为2 30 ，则 c j 30, ，即 c2c230, c255 时最优解不会发生变化。从而，当 x 2 的系数由２５提高 到３５时，最优解不会发生变化。
２、基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例2.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x2 + 35x3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
x1+2x2 40 s.t. 2x1+ x2 50
x1 , x2 0
课 堂 练 习（续）
P153(4)
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 b j 允许 变化的范围。（2）如第二个约束条件右端常数变为60，
确定新的最优目标函数值。
max Z = 3x1+2x2 x1+2x2 40
s.t. 2x1+ x2 50 x1 , x2 0
（２）检验数 CN CBB1N ，即 j Cj CBB1pj 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
（３） B 1 b 和 CNCBB1N同时发生变化
一、目标系数 c j 的灵敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例1.1 已知线性规划问题