三角形四心的向量性质练习
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。
在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。
因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。
四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。
2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。
垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。
2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。
外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。
2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。
内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。
2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。
下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。
A。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。
专题：平面向量与三角形四心问题
专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。
三角形四心的向量性质及证明
三角形四心的向量性质及证明符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 求证P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{(AB*BC /|AB|＾2*sin2B)+AC*BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP*BC=入{|AB|*|BC|cos(180° -B) /(|AB|＾2*sin2B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{-|AB|*|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP*BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP*BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3. OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线 AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形四心的向量性质及应用(教师用标准答案版)
三角形四心的向量性质及应用(教师用答案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证明：延长AO 交BC 于D ，如图必有：||||OA OD S S S OAB OCA OBC =+∆∆∆，||||BC BD S S S OAB OCA OAB =+∆∆∆，||||BC CD S S S OAB OCA OCA =+∆∆∆； ---（*）由D O A ,,共线，得：0||||=+OD ODOA OA进而得：0||||=+⋅OD OA OA OD ----------------① 由C D B ,,共线，得：OC BC BD OB BC CD OD ⋅+⋅=|||||||| ----------② 由①②得：OA OA OD ⋅||||0||||||||=⋅+⋅+OC BC BD OB BC CD 代入（*）结论 得+⋅+∆∆∆OA S S S OAB OCA OBC +⋅+∆∆∆OB S S S OAB OCA OCA 0=⋅+∆∆∆OC S S S OABOCA OAB消去分母得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证毕.另证：作AC OG AB OH //,//，如图：AGOH 为平行四边形；由OC S OB S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆)()(AC OA S AB OA S OA S OAB OCA OBC +⋅++⋅+⋅=∆∆∆ AC S AB S OA S OAB OCA ABC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆)(AC S SAB S S OA S ABCOAB ABC OCA ABC ⋅+⋅+=∆∆∆∆∆ )(AC ACAHAB AB AG OA S ABC ⋅+⋅+=∆ )(AH AG OA S ABC ++=∆ 0)(=+=∆AO OA S ABC ．AB CODAB CODHFEG反方向思考：设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 必有：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS S S S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S S S S ∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ． 验证式思考：先证引理：若b a ,不共线，对p ，有0=⋅p a 且0=⋅p b ，必有.0=p证明：若.0≠p 必有p a ⊥且p b ⊥，得b a //，与题设矛盾，故必有.0=p 再证：设α=∠BOC ，β=∠COA ，则βαπ--=∠2AOB ； 由)(OC S OB S OA S OA OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆OC OA S OB OA S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆2ββαπβαπβαcos )2sin(21)2cos(sin 21sin 212⋅⋅⋅--⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=OC OA OB OA OB OA OA OC OA OC OB ]cos )sin()cos(sin [sin 212ββαβαβα+-++⋅⋅=OC OB OA )]}(sin[{sin 212βαβα+-+⋅⋅=OC OB OA 0)]sin([sin 212=-+⋅⋅=ααOC OB OA ； 有对称性知：0)(=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OB OAB OCA OBC ，又OA ，OB 不共线， 故：必有0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 成立． 一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)略证：1:1:1::=∆∆∆GAB GCA GBC S S S ，得：0=++GC GB GA ．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔=='A 'B 'C OABCABCO02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S OAB OCA OBC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S HAB HCA HBC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=． 又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a cb a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．ABDOHCE略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)cos cos (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，R ∈λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 4．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)sin sin (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，R ∈λ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足])21()1()1[(31OC OB OA OP λλλ++-+-=，*R ∈λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( ) A ．2 B ．23C ．3D ．6 10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S ∆∆=2λ，ABC PAB S S∆∆=3λ．BCA M N G定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 且21||||=⋅AC AC AB AB , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 4 ． 19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 20．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 22．在ABC ∆中，1,3,==⊥AD BD BC AB AD ，则=⋅AD AC3 ．三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB =u u u u v u u u v ，AN y AC =u u u v u u u v ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP从而得：3211)(||2121222121=⋅-+=-==OP OP OP OP P P P P 同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值． 解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521221|)(|21||22=++=+⋅+=+=b b a a b a AD221162025214421|)2(|21||22=+-=+⋅-=-=b b a a b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=⋅>=<BE AD BEAD BE AD'A 'B 'C OABCA BED C27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
第6章平面向量专题5 三角形四心问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)
三角形四心问题三角形四心的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则 (1) O 为△ABC 的外心⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a2sinA .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.(2) O 为△ABC 的垂心⇔OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.1、已知是的外心，，，则A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】.【解答】解：如图，是的外心，且，，则 ． 故选：．2、已知△ABC 和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则O ABC ∆||4AB =||2AC =()(AO AB AC +=)A O ABC ∆||4AB =||2AC =()AO AB AC AO AB AO AC +=+221111||||164102222AB AC =+=⨯+⨯=Am ＝__________.【答案】3【解析】由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.3、（多选）在给出的下列命题中，正确的是( )A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线B.若向量a b 和是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足则为等腰三角形D.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形【答案】ACD4．已知O 为ABC ∆的外心，1,,3cosA AO AB AC αβαβ==++若则的最大值为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【分析】如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭ABC △(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠．由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===．可得B ，C ，O 的坐标，设(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)利用向量相等AO AB AC αβ=+，可得())1m m m n n nαβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，又1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．可化为)111m n βααβαβ⎧-=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-，化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++，即可解出．【解答】解：如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠． 由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===． 1cos 3OD COD OC ∠==， 1.OD DC∴==．(B ∴-，C ，(0,1)O ，(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)AO AB AC αβ=+，(m ∴-，1)(,),)n m n m n αβ-=--+-，∴())1m m m n n n αβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．∴可化为11m n αβ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-， 化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++， 解得34αβ+或32αβ+． 又1αβ+<，故32αβ+应舍去． ∴34αβ+， 故αβ+的最大值为34．故选：D ．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．5．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( )A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．【点评】本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．6．ABC ∆中，||2AC =，||3BC =，3AC BC =，O 为该三角形的外心，则(BA AO = )A ．192B ．192-C ．72-D ．72【分析】设BA 的中点为D ，连接OD ，把所求转化为12- 2AB ；结合余弦定理即可得出结论．【解答】解：如图：设BA 的中点为D ，连接OD ，则OD AB ⊥；∴11()22BA AO BA AD DO BA AD BA DO BAAB =+=+==- 2AB ； ||2AC =，||3BC =，∴123cos 3cos 2AC BC C C =⨯⨯∠=⇒∠=， ∴2222cos 7AB AC BC AC BC C =+-∠=；∴72BA AO =-．故选：C ．【点评】本题考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查向量的三角形法则以及计算，考查计算能力，属于中档题目．7．已知O 是ABC ∆的外心，2AB =，3AC =，21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，则cos (BAC ∠= )A ．34B C ．14D 【分析】设出A ，C ，BAC α∠=，(2cos ,2sin )B αα，O 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32，利用21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，求出cos α，即可． 【解答】解：设(0,0)A ，(3,0)C ，BAC α∠=(2cos ,2sin )B ααO 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32， 因为若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，所以：23cos 32x y α=+ 因为21x y +=，所以33322x y +=，23cos 332x y x y α+=+32cos 2α=，即：3cos 4BAC ∠=． 故选：A ．【点评】本题考查三角形五心，向量的共线定理，考查计算能力，是中档题．8．在直角ABC ∆中，90A =︒，6AB =，8AC =，D 是ABC ∆的内心，则(BD = )A ．2134AB AC -+B ．2134AB AC - C ．2133AB AC -+D ．2133AB AC -【分析】如图所示，建立直角坐标系．10BC =．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，可得内切圆的半径681022r +-==．设BD mAB nAC =+，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．10BC ==．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，∴内切圆的半径681022r +-==． (2,2)D ∴，(6,0)B ，(0,8)C ．设BD mAB nAC =+，则(4-，2)(6m =，0)(0n +，8)．46m ∴-=，28n =，解得23m =-，14n =．∴2134BD AB AC =-+，故选：A ．【点评】本题考查了向量线性运算性质、直角三角形的内切圆的性质、平面向量基本定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知ABC ∆，角ABC 的三边分别为a 、b 、c ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ++=，则P 点为三角形( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE ，作AF AD AE =+，则AF 平分BAC ∠，用,,PA AB AC 表示出,PB PC 代入条件式，用,AB AC 表示出AP ，则可证明A ，F ，P 三点共线，即AP 平分BAC ∠．【解答】解在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c =，ACAE b=，则||||1AD AE ==． 以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则四边形ADFE 是菱形，且AB ACAF AD AE c b=+=+． AF ∴为BAC ∠的平分线．0a PA b PB c PC ++=()()0a PA b PA AB c PA AC ∴++++=，即()0a b c PA bAB cAC ++++=，∴()b c bc AB AC bc AP AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c=+=+=++++++++．A ∴，P ，F 三点共线，即P 在BAC ∠的平分线上．同理可得P 在其他两角的平分线上，P ∴是ABC ∆的内心．故选：B ．【点评】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题．10．O 是非等边ABC ∆的外心，P 是平面ABC 内的一点且OA OB OC OP ++=，则P 是ABC ∆的( )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心【分析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥．由题中向量的等式化简得2CP OA OB OD =+=，从而得到CP AB ⊥，即CP 在AB 边的高线上．同理可证出AP 在BC 边的高线上，故可得P 是三角形ABC 的垂心．【解答】解：在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，平面内点P 满足OA OB OC OP ++=，∴OA OB OP OC CP +=-=，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CP OD =，∴CP AB ⊥，可得CP 在AB 边的高线上．同理可证，AP 在BC 边的高线上，故P 是三角形ABC 两高线的交点，可得P 是三角形ABC 的垂心，故选：A ．【点评】本题给出三角形中的向量等式，判断点P 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．11．已知P 在ABC ∆所在平面内，且PA PB PB PC PC PA ==，则点P 是ABC ∆的( )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【分析】根据PA PB PB PC =，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到()0PB CA =，因此有PB CA ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，根据三角形五心的定义，即可求得结果【解答】解：PA PB PB PC =，∴()0PB CA =，PB CA ∴⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．【点评】本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题12．O 为ABC ∆平面内一定点，该平面内一动点P 满足{|(||sin ||sin )M P OP OA AB B AB AC C AC λ==++，0}λ>，则ABC ∆的( )一定属于集合M ．A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【分析】由题意画出图形，根据正弦定理得出||sin ||sin AB B AC C =，代入关系式由向量的减法化简，得出AP 与AD 共线，由此得出点P 的轨迹，从而得出答案．【解答】解：ABC ∆中，由正弦定理得，||||sin sin AC AB B C =， 即||sin ||sin AB B AC C =，设||sin t AB B =，代入OP ，则()OP OA t AB AC λ=++，D ∴是BC 的中点，∴2AB AC AD +=，∴2OP OA t AD λ=+，且λ、t 都是常数，∴2AP t AD λ=，∴点P 的轨迹是直线AD ，ABC ∴∆的重心一定属于集合M ．故选：A ．【点评】本题考查了向量在平面图形中的应用以及正弦定理、向量的减法和共线的应用问题，是综合性题目．13．已知()h x 为ABC ∆内一点，若分别满足①||||||OA OB OC ==，②OA OB OB OC OC OA ==，③0OA OB OC ++=，④()0,,,,aOA bOB cOC a b c ABC A B C ++=∆其中为中角所对的边，则O 依次是ABC ∆的( )A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算逐一检验即可得解．【解答】解：对于①因为①||||||OA OB OC ==，所以点O 到点A 、B 、C 的距离相等，即点O 为ABC ∆的外心，对于②因为OA OB OB OC =，所以()0OB OA OC -=，所以0OB CA =，即OB CA ⊥，同理OA BC ⊥，OC AB ⊥，即点O 为ABC ∆的垂心，对于③因为0OA OB OC ++=，所以()OA OB OC =-+，设D 为BC 的中点，则2OA OD =-，即点O 为ABC ∆的重心，对于④因为0aOA bOB cOC ++=，易得点O 为ABC ∆的内心，故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．14．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB ==，则点O 是ABC ∆的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 【分析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO AC AB AC =，可得()0||||AB AC AO AB AC -=，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =，可得：()0||||CA CB CO CA CB -=，所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ．【点评】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，点P 满足1(2)4OP OA OB OC =++，则PAB OAB S S ∆∆为( ) A ．32 B ．23 C ．2 D ．12【分析】作出图形：延长CO 交边AB 的中点于D ，根据O 是ABC ∆的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出14OP OC =，从而便可得到11,62OP CD DP CD ==，而13DO CD =，这样即可求出PAB OAB S S ∆∆的值． 【解答】解：如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是ABC ∆的重心，则：1111(2)(22)(2)4444OP OA OB OC OD OC OC OC OC =++=+=-+=； ∴11214436OP OC CD CD ===； ∴111362DP DO OP CD CD CD =+=+=，13DO CD =； ∴132123PAB OABCD S DP S DO CD ∆∆===． 故选：A ．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．16．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++，则点P一定为三角形ABC 的( ) A ．AB 边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，动点P满足111(2)322OP OA OB OC =++，∴1(2)3OP OE OC =+2OC EO=，∴11(4)333OP OE EO EO EO =+=⨯=，P∴在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，考查向量加法的平行四边形法则，考查故选向量的加减运算，是一个比较简单的综合题目，这种题目可以以选择或填空出现．17．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的 垂 心．【分析】由OA OB OB OC =得到()()0OB CA =，根据向量数量积为零可得OB AC ⊥，同理得到OA BC ⊥，所以点O 是ABC ∆的三条高的交点，从而根据垂心的定义可得结论．【解答】解：()()()()OA OB OB OC =，()()()()0OB OA OB OC -=，即()()())0OB OA OC -=，()()0OB CA =，∴()()OB CA ⊥．同理可得()()OA BC ⊥，()()OC AB ⊥．O ∴是三角形三条高线的交点．故答案为：垂【点评】本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求，属于基础题．18．如图，在ABC ∆中，若3AB =，BC =，2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC = 2 ．【分析】设外接圆半径为R ，则||||cos AO AC AO AC CAO =∠，故可将向量的数量积转化为【解答】解：设外接圆半径为R3,2AB BC AC ==，AO CO R ==2241cos 22R R OAC R R+-∠== 则1||||cos 22AO AC AO AC CAO R R=∠=⨯⨯= 故答案为：2【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题19．设O 是ABC ∆的外心，满足13()24CO tCA t CB =+-，t R ∈，若||3AB =，则ABC ∆面积的最大值为 9 ．【分析】用平面向量基本定理，把面积转化为三角函数，由此即可求出面积最大值．【解答】解：由13()24CO tCA t CB =+-，得到31()42CO t CA CB CB =-+． 所以13()24CO CB t CA CB -=-． 如图，取CB 中点D ，再取BD 中点E ，则DO tEA =因为DO BC ⊥，所以EA BC ⊥则3sin AE B =，3cos BE B =，12cos BC B =．118sin cos 9sin 292ABC S AE BC B B B ∆===． 当4B π=时，三角形ABC 面积取最大值9． 故答案是：9．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，O 点是内心，且12AO AB BC λλ=+，则12λλ+= 56． 【分析】设内切圆半径为r ，由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-=======，从而表示出向量AO ，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：设内切圆半径为r ， 由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-========， ∴1134AO AE AF AB AC =+=+ 11()34AB AB BC =++ 71124AB BC =+， ∴1712λ=，214λ=． 1256λλ∴+=． 故答案为：56．【点评】本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．21．已知H 是ABC ∆的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ． 【分析】先确定点H 的位置，再得到BC AC =，再向量的夹角公式，并运用了向量的坐标运算可求出．【解答】解：1142AH AB AC =+，令AE AC λ=，∴1142AH AB AE λ=+如图，点B ，H ，E 三点共线，则有，11142λ+=，∴23λ=． ∴1344AH AB AE =+，即3BH HE =．∴3()CH CB CE CH -=-，∴131()2444CH CB CE CB CA CF =+=+=（其中点F 为边AB 的中点），则有，边AB 上的中线与垂线重合，即CB CA =．3BH HE =且23AE AC =．由对称性可知，3AH HD =且23BD BC =．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，(0,0)D ，(2,0)B ，(1,0)C ，设(0,4)A t ，(0,)H t ∴，0t >．由BC CA =可得，212t =．2cos 16BA BCBAC BA BC ∠===．．【点评】本题运用了向量的坐标法来求解，运算量小了，过程更为清晰．22．在锐角ABC ∆中，H 为垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ． 【分析】利用H 为ABC ∆的垂心，可得0HA BC =⇒HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；再利用已知条件3450HA HB HC ++=，化为22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=与22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；即可求得答案．【解答】解：H 是ABC ∆的垂心，所以0HA BC =，即0()HA HC HB HA HC HA HB =-=-，所以HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；因为3450HA HB HC ++=，所以22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=；所以23HA HA HB =-，即2cos 3||||HA AHB HA HB ∠=-①；同理22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；22HB HA HB =-，即2cos 2||||HB AHB HA HB ∠=-②， 联立①②得：21cos 6AHB ∠=，于是cos||||HA HB AHB HA HB ∠==-=故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的应用，考查转化思想与运算能力，属于难题．23．锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边．点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为 4[5， ． 【分析】根据余弦定理求出2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+，根据三角形是锐角三角形求出：b a ∈，求出cos C 的范围即可． 【解答】解：如图示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，AG BG ⊥，1122DG AB c ∴==， 由重心的性质得3CD DG =，即3322CD AB c ==， 由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-∠，ADC BDC π∠+∠=，AD BD =，2222222225AC BC a b AD CD c ∴+=+=+=， 则2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+， ABC ∆是锐角三角形，222a b c ∴+>，222b c a +>，222a c b +>，将2225a b c +=代入得：b a ∈，∴4cos 5C <故答案为：4[5．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查三角形的重心以及直角三角形的性质，是一道中档题．24．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，求11x y+的值． 【分析】由G 为三角形的重心则1()3AG AB AC =+，结合,AM xAB AN y AC ==，我们根据M ，G ，N 三点共线，易得到x ，y 的关系式，整理后即可得到11x y+的值． 【解答】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+， 111()()333MG AG AM AB AC xAB x AB AC =-=+-=-+， GN AN AG y AC AG =-=-1()3yAC AB AC =-+ 11()33y AC AB =--， 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=， 即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--， 即113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=． 【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=，进而得到x ，y 的关系式，是解答本题的关键．。
三角形四“心”的向量风采2010.9.15
三角形四“心”的向量风采在近几年高考及各地模拟考试中，出现许多有关三角形四“心”的向量形式的优美考题．使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识．特在此分类解析，旨在探索题型规律，以提升同学们的数学思维能力．一、“重心”的向量风采例1已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++= ，则G 是ABC △的（ ）Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：由题意，得GA GB GC +=- ，以GA 、GB 为邻边作GAC B ' ，设GC '与AB 相交于点D ，则D 为AB 的中点．由GA GB GC '+= ，得G C G C '=- ，即C G D C '，，，四点共线，故G 为AB 边中线上的点．同理可得G 也为AC BC ，边的中线上的点，所以G 是ABC △的重心．故选（Ｃ）．例2 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++ ，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：由题意()AP AB AC λ=+ ，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+ 表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心．故选（Ｃ）．二、“垂心”的向量风采例3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：由0=⋅=⋅PC PB PB PA 得0)PC -PA (=⋅PB ，即0=⋅CA PB ，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．故选（Ｄ）． 例4 O 是ABC △所在平面上一点，222222||||||||||||AB OC CA OB BC OA +=+=+，O 是ABC △的垂心例5 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 解析：由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭，所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．故选（Ｄ）．三、“内心”的向量风采例6 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++= ，则I 是ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++= ，∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭ ．∵AB AB与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心．故选（Ｂ）．例7（2003江苏） 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．故选（Ｂ）．四、“外心”的向量风采例8 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：若222OA OB OC == ，则222OA OB OC == ，∴OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．故选（Ａ）．例9 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）．Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心解析：由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．故选（Ａ）．例10 (2005湖南)．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABCPAB S S ∆∆，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，61），则（ ）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合[解析]：由题f(p)=).,,(321λλλ若G 为)31,31,31()(=∆G f ，ABC 则的重心. 而)61,31,21()(=Q f 与之比较知。
18三角形四心问题的向量解法带答案
三角形四心问题的向量解法练习题1,O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()AB AC OP OA AB ACλ=++，[)0,λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心2,O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足()((0,))||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cλλ=++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心3，O 是平面上一定点，A ，B ，C 平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB AC OP OA AB ABC AC BCAλ=++∠∠，R λ∈，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 4，（2006黄岗练习）已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足()2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cλ+=++，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A 、重心 B 、外心 C 、垂心 D 、内心5，已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内一定点，P 是平面ABC 内一动点，若OA OP -λ=AB (21+)BC ()+∞∈,0λ，则点P 的轨迹必过ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心6，设O 是ABC ∆的外心，点M 满足OA +OB +OC =OM ，则M 是ABC ∆（ ）A 、内心B 、重心C 、垂心D 、ABC ∆的任意一点7，(2009年新课标全国卷9)已知,,O N P 在所在平面内,===++,且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点,,O N P 依次是的 ( )A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心8.(高考题)已知ABC ∆,点M 满足0MA MB MC ++=,若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m = ( )A.2B.3C.4D.59.(高考题)在中,M 是BC 的中点,1AM =,点P 在AM 上且满足2AP PM =,则等于 ( )A.B. C. D.10.(高考题)ABC ∆外接圆圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,)(m ++=,则实数m = 。
高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)
2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。
三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案
三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ） 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^（PA + PB + PC） OG为AABCtf｝重心.2）o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC（非直角三角形）的垂心，U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A：tan B：tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 ）0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI（或=而2 =疋2）若0是AABC的外心则S ABOC：S AAOC： S M（）B = slnZBOC:sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64）0是心AABC的充要条件是贰（亘-亘）=而（亘-匹）=显（亘-JL）=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量，使条件变鶴更简洁。
如果记入瓦说，不的单位向量为兀瓦恳，则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.（e[+e^） = OB.（e[ + e^） = OC.（e^ + e^） = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心，则S AB（）c：S AA<）c： Su（）B=a： b： c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心；向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线il AABC的心（是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线）；(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满竺+丝），几w[o,p ）则P 点的珈迷一定通11MBC 的（ KI（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A （e { +勺），由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI ）么在A4BC中，AP 平分Z3AC,则知选B.点评：2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么？没见过！想想，一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。
微专题8 平面向量与三角形的“四心”
+
| |
或＝＋
若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即为经
典的“奔驰定理”.若△ABC的三边为a，b，c，有a·＋b·＋c·＝0，则O
为△ABC的 （
）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析：B
∵＝＋，＝＋，∴a·＋b·＋c·＝a·
＝·，则点G可能通过△ABC的
（填：重心、内心、垂心或外
心）.
解析：由·＝·⇔·－·＝0⇔·（－）＝0，
【例4】 在△ABC中，设 2 － 2 ＝2·，那么动点M形成的图形必经过
△ABC的
A.垂心
（
）
B.内心
C.外心
D.重心
解析 如图所示，设线段BC的中点为D，则＋＝2，
∵ 2 － 2 ＝2·
，∴（＋）·
（－）＝
2·
，∴·
（＋－2）＝0，∴·
【例1】 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ（＋
）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的 （
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
）
解析 因为动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），所以＝λ（＋
），取BC中点D（图略），则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重
＋b（＋）＋c（＋）＝（a＋b＋c）·＋b·＋c·＝0，
∴＝
++
+
，∵ ， 分别是，方向上的单位向量，∴向
量 ＋ 平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，∴O为
三角形“四心”与向量练习题
1．已知A 、B 、C 是仄里上没有共线的三面，O 是三角形ABC 的沉心，动面P 谦脚之阳早格格创做 OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则面P 一定为三角形ABC 的（B ）A.AB 边中线的中面B.AB 边中线的三仄分面（非沉心）分解：与AB 边的中面M ，则OM OB OA 2=+，由OP=31 (21OA +OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=，∴MC MP 32=，即面P 为三角形中AB 边上的中线的一个三仄分面，且面P 没有过沉心，故选B.2．正在共一个仄里上有ABC ∆及一面Ｏ谦脚闭系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则Ｏ为ABC ∆的 （ D ）Ａ 中心 Ｂ 内心 C 沉心 D 垂心3．已知△ABC 的三个顶面A 、B 、C 及仄里内一面P 谦脚：0PA PB PC ++=， 则P 为ABC ∆的（ C ）Ａ 中心 Ｂ 内心 C 沉心 D 垂心4．已知O 是仄里上一 定面，A 、B 、C 是仄里上没有共线的三个面，动面P 谦脚：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ C ）Ａ 中心 Ｂ 内心 C 沉心 D 垂心5．已知△ABC ，P 为三角形地圆仄里上的动面，且动面P 谦脚： 0PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 面为三角形的（ D ）Ａ 中心 Ｂ 内心 C 沉心 D 垂心6．已知△ABC ，P 为三角形地圆仄里上的一面，且面P 谦脚：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P 面为三角形的（ B ）Ａ 中心 Ｂ 内心 C 沉心 D 垂心7．正在三角形ABC 中，动面P 谦脚：CP AB CB CA •-=222，则P 面轨迹一定通过△ABC 的： （ B ）Ａ 中心 Ｂ 内心 C 沉心 D 垂心AB →与AC →谦脚(AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0且AB →|AB →|·AC →|AC→|=12 , 则△ABC 为( ) 剖析：非整背量与谦脚(||||AB AC AB AC +)·=0，即角A 的仄分线笔曲于BC ，∴AB=AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12，∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ．9.ABC ∆的中接圆的圆心为O ，二条边上的下的接面为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则真数m =110.面O 是三角形ABC 地圆仄里内的一面，谦脚OA OB OB OC OC OA ==，则面O 是ABC ∆的（B ）（A ）三个内角的角仄分线的接面（B ）三条边的笔曲仄分线的接面（C ）三条中线的接面 （D ）三条下的接面 11．O 是仄里上的一定面，A,B,C 是仄里上没有共线的三个面，动面P谦脚AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 面的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ） 中心（B ）内心（C）沉心（D ）垂心剖析：果为是背量AB 的单位背量设AB 与AC 目标上的单位背量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则本式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基赋本量知AP 仄分BAC ∠，那么正在ABC ∆中，AP 仄分BAC ∠，则知选B.。
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下:一． 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++３)Ｏ是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==（或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++４)O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二． 范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A ，B,C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ )（Ａ）外心(B)内心(C)重心（D ）垂心 解析:因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)
1 1 1 1 1 定义 f ( P) = (λ , λ , λ ) ，若 f (G) = ( 1 , , ), f (Q) = ( , , ) 则( ) 3 3 3 2 3 6 A．点 Q 在 ∆ABG 内 B．点 Q 在 ∆BCG 内 C．点 Q 在 ∆CAG 内 D．以上皆不对 解析： G 为重心，画图得知 例 8． 如图，已知点 G 是 ∆ABC 的重心，过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点，
=
1 5
2 1 AB + AC ，用 O 拆开得： 2 ⋅ OA + 2⋅ OB + OC = 0 ， 法 2： AO = 5 5
由奔驰定理可得： S
∆BOC
: S ∆COA : S ∆AOB = 2 : 2 : 1
，则 S
∆ABC
: S ∆AOB = (2 + 2 + 1) : 1 = 5 .
A
2 1 4 1 AB + AC = AD + AC ， 法 3： AO = 5 （取 D 为 AB 边的中点） ， 5 5 5
∆ABC ∆ABC
∆AOC ∆ABC
⋅ AB +
S ∆AOB ⋅ AC S ∆ABC
A
O B C
两边乘以 S 整理可得： − S 移项整理为 (S − S − S 即得 S ⋅ OA + S ⋅ OB + S 注：若简记三个面积： S = S ， S
∆ABC ∆AOC ∆OBC ∆OCA ∆OBC A
A
=λ
，S S
∆AOB ∆ABC
=µ
，S S
三角形四心的向量性质练习
三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴图2而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 变式：已知DE F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GCCF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足图3⎪⎭⎫⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：由已知得()AP AB AC λ=+，设BC 的中点为D ，则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，故P 的轨迹过△ABC 的重心，选C.题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心 解：由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+，由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C =，∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+，设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .题7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点解：CP OP OC =-=1[(1)(1)2(1)]3OA OB OC λλλ-+---=1[()()]3OA OC OB OC λ--+-=1()3CA CB λ-+,由平行四边形法则知CA CB +必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：若OA OB OC ++= 0, 则OA OB OC +=-，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有1OA OB OC +=，得1OC OC =-，即C 、O 、D 、C 1四点共线，同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心. 选C .题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+-，∴33PO OP OA OB OC +=++，即OA OB OC ++= 0，由上题的结论知O 点是△ABC 的重心. 故选C .例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
三角形的“四心”与平面向量
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其
｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋
｜｜cos
｜｜cos
｜｜cos
＋
＋
，
｜｜cos
｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.
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三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以 ()GA GB GC =-+u u u ru u u ru u u r．以GB u u u r，GC u u u r 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+u u u ru u u ru u u r，所以GD GA =-u u u ru u u r．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =u u u r u u u r ，GE ED =u u u r u u u r ．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =u u u r a ，=u u u rOB b ，=u u u r OC c ，试用a b c ，，表示u u u rOG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a Θ GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴图2变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323Θ)(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA Θ AD BE CF ∴++=u u u ru u u ru u u r0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++u u u ru uu r u u u r u u u r u u u r ．证明：1()2PO PA PC =+u u u r u u u r u u u r Q ，1()2PO PB PD =+u u u r u u u r u u u r，1()4PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r0．例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足⎪⎭⎫⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心图3题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心解：由已知得()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r，设BC 的中点为D ，则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，故P 的轨迹过△ABC 的重心，选C.题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ， 由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C =u u u r u u u r ，∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+u u u r u u u r u u u r u u ur ， 设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .题7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++u u u r u u u r u u u r u u u r(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点解：CP OP OC =-u u u r u u u r u u u r =1[(1)(1)2(1)]3OA OB OC λλλ-+---u u u r u u u r u u u r=1[()()]3OA OC OB OC λ--+-u u ur u u u r u u u r u u u r =1()3CA CB λ-+u u u r u u u r ,由平行四边形法则知CA CB +u u u r u u u r必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心解：若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r = 0, 则OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r ，以OA uu u r 、OB uuu r为邻边作平行四边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有1OA OB OC +=u u u r u u u r u u u u r，得1OC OC =-u u u u r u u u r，即C 、O 、D 、C 1四点共线，同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心. 选C .题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心解：由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴33PO OP OA OB OC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0，由上题的结论知O 点是△ABC 的重心. 故选C .例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：设= b ，= a ，则=+= b +21a , +==∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b +21a )=λb +21λa , EG = μEB = μ(21b +a )=21μb +μa , ∵=+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa∴(μ21λ)a + (21μλ+21)b = 0 ∵a , b 不平行，C∴32313202121021=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。
例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过点（0，1），并与曲线交于P 、Q 两点，且满足0=OP ，求直线l 的方程。
解 （1）设C （x,y ），则G （3,3y x ），图5其中0,≠y x ， 由于GM ∥AB ， 故my m =， 外心M （0，3y ）， 为外心M Θ∴MC MA =，得222)3(1)3()0(yy y x +=-+-∴轨迹E 的方程是3322=+y x )0(≠xy题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC C λ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：设BC 的中点为D ，则2OB OC OD +=u u u r u u u ru u ur ，则由已知得()||cos ||cos AB ACDP AB B AC C λ=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB BC AC BCDP BC AB B AC Cλ⋅⋅⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC Cπλ⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r =(||||)BC BC λ-+u u u r u u u r = 0 . ∴DP ⊥BC ，P 点在BC 的垂直平分线上，故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心.选C .题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r =()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：由已知得： ()()OA OB OB OA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =()()OB OC OC OB +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =()()OC OA OA OC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r= 02222OB OA OC OB ⇔-=-u u u r u u u r u u u r u u u r =22OA OC -u u u r u u u r = 0||||||OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r. 所以O 点是△ABC 的外心. 选A .三、三角形的垂心的向量表示及应用命题三：已知G 是ABC △内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点G 为垂心。