三角形四心的向量性质练习

三角形“四心”的向量

一、三角形的重心的向量表示及应用

命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若

GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r

．则G 是ABC △的重心．

证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r

，

所以 ()GA GB GC =-+u u u r

u u u r

u u u r

．

以GB u u u r

，GC u u u r 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+u u u r

u u u r

u u u r

，所以GD GA =-u u u r

u u u r

．

又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，

所以BE EC =u u u r u u u r ，GE ED =u u u r u u u r ．

所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．

点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =u u u r a ，=u u u r

OB b ，

=u u u r OC c ，试用a b c ，，表示u u u r

OG ．

解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a Θ GC GB GA OG c b a ++=-++∴

而03=-++∴OG c b a

3

c

b a OG ++=

∴

图2

变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则

AD BE CF ++=0u u u r u u u r u u u r

．

证明：如图的所示，

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

-=-=-=GC CF GB

BE GA AD 232323Θ

)(23

GC GB GA CF BE AD ++-=++∴

0=++GC GB GA Θ AD BE CF ∴++=u u u r

u u u r

u u u r

0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，

则1()4

PO PA PB PC PD =+++u u u r

u u

u r u u u r u u u r u u u r ．

证明：1()2PO PA PC =+u u u r u u u r u u u r Q ，1()2

PO PB PD =+u u u r u u u r u u u r

，

1()4

PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

．

点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P

与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r

0．

例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足

⎪⎭

⎫

⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

图3

题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r

, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

解：由已知得()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r

，设BC 的中点为D ，则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，故P 的轨迹过△ABC 的重心，选C.

题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P

满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过

△ABC 的( )

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

解：由已知得()||sin ||sin AB AC

AP AB B AC C

λ=+u u u r u u u r

u u u r u u u

r u u u r ， 由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C =u u u r u u u r ，∴()||sin AP AB AC AB B

λ

=+u u u r u u u r u u u r u u u

r ， 设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .

题7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足

1[(1)(1)(12)]3

OP OA OB OC λλλ=-+-++u u u r u u u r u u u r u u u r

(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定

通过△ABC 的( )

A. 内心

B. 垂心

C. 重心

D. AB 边的中点

解：CP OP OC =-u u u r u u u r u u u r =1

[(1)(1)2(1)]3

OA OB OC λλλ-+---u u u r u u u r u u u r

=

1[()()]3

OA OC OB OC λ--+-u u u

r u u u r u u u r u u u r =1()3CA CB λ-+u u u r u u u r ,由平行四边形法则知CA CB +u u u r u u u r

必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.