传热学第三章非稳态导热

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传热学-第三章非稳态热传导

(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：

t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h

t

tf h
0
r

t
x

tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时导热体已达到热平衡状态
第三章非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：

传热学讲义——第三章

第三章非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。

根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化；如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。

（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。

分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。

第一节非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。

采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。

采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。

墙外表面与墙内表面热流密度变化过程采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。

采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。

上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。

（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。

非稳态传热_传热学.最全PPT

二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的三个不同阶段，而周期性非稳态导热不存在。
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析：存在两个传热环节：
0
x
1、流体与物体表面的对流换热
2、物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
0~ 内传给流
体的总热量：
Q
0
d
0
hA
hA0e vc d
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ=const a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
2、数学模型
t 2t
tx,0at0x2
导热微分方程
初始条件
t x
|x0
0
边界条件
t x
|x
ht
,
t
引入过余温度 t t
x,0ax202 t0 t
x
|x0
0
x
| x
h ,
3、求解（用分离变量法）
假设 x, x
a
2
x 2
x d
d
a
d 2
dx2

第三章非稳态导热传热学

基本思想：基本思想：当所研究的问题非常复杂，当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，起来，使之能表征一类物理现象，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，或物理过程的主要特征，并且没有量纲。并且没有量纲。因此，因此，这样的无量纲数又被称为特征数，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数。者准则数。
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律初始条件边界条件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化要积聚或消耗热量，要积聚或消耗热量，非稳态导热过程中在与热流方向相垂直的不同截面上热流量处处不等。面上热流量处处不等。
第3章非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量－－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ

传热学第3章-非稳态导热分析解法

第三章非稳态导热分析解法1、重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。

如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。

因此，应确定其内部的瞬时温度场。

钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。

首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。

如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。

由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。

11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热

度，最终达到热平衡。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙面温度
墙内各处温度最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为周期变化，但比室外空气温度变化滞后一个相位、振幅有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换；近似分析法：集中参数法、积分法；数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。

03传热学第三章非稳态热传导

cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2）时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30

传热学3-7章问答题及答案

第三章非稳态热传导一、名词解释非稳态导热：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。

数Bi ：Bi 数是物体内部导热热阻λδ与表面上换热热阻h 1之比的相对值，即：λδh Bi =o F 数：傅里叶准则数2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。

二、解答题和分析题1、数Bi 、o F 数、时间常数c τ的公式及物理意义。

答：数Bi ：λδh Bi =，表示固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比。

2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。

hA cVc ρτ=， c τ数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。

2、0→Bi 和∞→Bi 各代表什么样的换热条件？有人认为0→Bi 代表了绝热工况，是否正确，为什么？答：1）0→Bi 时，物体表面的换热热阻远大于物体内部导热热阻。

说明换热热阻主要在边界，物体内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻物体内部的温度分布趋于均匀，并随时间的推移整体地下降。

可以用集总参数法进行分析求解。

2）∞→Bi 时，物体表面的换热热阻远小于物体内部导热热阻。

在这种情况下，非稳态导热过程刚开始进行的一瞬间，物体的表面温度就等于周围介质的温度。

但是，因为物体内部导热热阻较大，所以物体内部各处的温度相差较大，随着时间的推移，物体内部各点的温度逐渐下降。

在这种情况下，物体的冷却或加热过程的强度只决定于物体的性质和几何尺寸。

3）认为0→Bi 代表绝热工况是不正确的，0→Bi 的工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。

3、厚度为δ2，导热系数为λ，初始温度均匀并为0t 的无限大平板，两侧突然暴露在温度为∞t ，表面换热系数为h 的流体中。

试从热阻的角度分析0→Bi 、∞→Bi 平板内部温度如何变化，并定性画出此时平板内部的温度随时间的变化示意曲线。

答：1）0→Bi 时，平板表面的换热热阻远大于其内部导热热阻。

第三章非稳态导热问题的分析解

（b）（c）
T = T0 τ = 0，
T − T0 ，则方程简化为 T f − T0
ρ C pV d θ +θ =1 αS dτ
这是一个一阶线性非齐次方程，其所对应的齐次方程为
（d）
ρ C pV d θ +θ = 0 αS dτ
方程（d）的一般解应为（e）的一般解和（d）的特解之和。（e）的一般解为
ρ C pV
初始条件为令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a）（b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c），求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
1
αS ρ C pV
∫
∫
r
S
∂ ( ρ C pT ) ∂τ
v
dv =
∫ λ gradT
s
r ⋅ n ds + ∫ q v dv
v
（1—22）
其含义是，物体内任意一个区域 v，它的封闭表面 s，单位时间通过封闭表面 S 传入的热量

传热学第三章

内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部能源与动力工程学院
传热学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞

微分方程分离变量，并积分：

0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部能源与动力工程学院
传热学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部能源与动力工程学院 6
传热学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传热学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl

1 h
l
内部面积导热热阻表面面积对流换热热阻
无量纲热阻无量纲时间
从边界上开始发生热扰动时刻起 a 到所计算时刻为止的时间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部，物体内各点的温度越接近周围介质的温度

传热学第三章-非稳态导热-3

等温层：当深度足够大时，温度波振幅的衰减可以忽略不计，这种深度下的地温可以认为常年不变，称为等温层。
2）温度波的延迟，用表示延迟时间
相位角角速度
x
aT
2
1x 2
T
a
T
3）周期性变化的热流波
热流能量：
qw,z
x
w,
代入式（13），并令 x=0，得
x
w,
Aw
cos 2 sin 2
热流影响的范围
12a 3.46 a
工程实际中，若物体本身的厚度 L ( ) ，则可认为
该物体为半无限大物体。
从式5 当x 0时因ierfc0 1
则有 0, 2qw a 1 2qw a
即
qw
t
x0 a
t0
tw t0
1.13 a
（6）
2）初始温度为t，而壁面温度保持tw （常壁温）条件下的非稳态导热情况
h 2 a 2
erf c
2
x
a
h
a
（12）
例2：地下埋管问题
泥土初始温度为20℃，60天内常表面温度为15℃，
为避免结冰，求最小埋没深度。设土壤物性300K ，
2050 Kg m3 , 0.52W m K ,
c 1.84 KJ Kg K , a 0.138106 m2 s
分析: 该情况相当于初始温度为t0，而壁面温度保持在tw的半无限大物体的非稳态导热情况，在表面温度改变60天后
r, x,t r, z
r, z
0
0 无限长柱
0 平壁
（2）
即，它的二维解可表示为厚度为 2 的平壁和半径为 r 的无限长圆柱体的一维解的乘积。于是，利用海斯

《传热学》第三章非稳态导热

令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解：假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果：因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法分无布限计长算圆步柱骤温度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析：随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较大时，收敛性更加明显。因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：

《传热学》第3章-非稳态导热

特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos

β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关，与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300

传热学(第四版)第三章：非稳态热传导

方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解）对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的

无限大平板
对半径为R 的无限长圆柱对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3

非稳态导热

rVc
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
从0到任意时刻积分
1 d hA
d
0
rVc 0
t t
hA
e rVc
0 t0 t
上式中右端的指数可作如下变化
hA rVc
h(V /
A)
a
(V / A)2
BiV FoV
式中BiV是特征尺度l用V/A表示的毕渥数。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
梁秀俊
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ;
0
m ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
无限大平板中心无量纲过余温度曲线
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ; (x, ) f (Bi, x )
0
m ( ) 0
m ( )
四、无限长圆柱过程类似图线类似
无限大平板无量纲过华北电力大学余温度曲线
梁秀俊
四、乘积解
高等传热学
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无限大平壁垂直相交而成；短方柱体（或称垂直六面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
z
d d
C1 exp( 2 )
再积分得：
C1
exp( 2 )d
0
C2
代入定解 C1 2w / 条件可得：C2 w

高等传热学Chap3

§3-1 集总参数系统
(2) 给定边界热流条件q
Φv=0，传热方程传热方程
积分之
ρcpVdt/dτ=Aq
θ=t−ti
τ ρc pV (t − ti ) = ρc pVθ = ∫0 Aqdτ
在整个加热时间D内，物体吸收总热量总热量Q0为
Q0 = ∫ Aqdτ
0 D
ρ c pV
Q0
∫ θ= ∫
ρ c pV
传热量变化规律
热路图
§3-1 集总参数系统
环境温度线性变化若物体与环境的初始温度都为常数物体与环境的初始温度都为常数ti，可设过余温度θ=t-ti 无内热源
t f = ti + bτ
τc
dθ + θ = bτ dτ
τ + b (τ − τ c ) τc
解得温度变化规律为
θ = bτ c exp −
4
(
)
εσ 0Ti3 V 辐射数: 辐射数: Mo = λ A
Φ v (V / A ) N =T + εσ 0Ti 4
4 w
由此可解得隐函数温度变化规律隐函数温度变化规律：隐函数温度变化规律
1 T + N 1 − N −1 N (T − 1) 3 ln = 2 MoN Fo + tg 2 2 T − N 1 + N T +N
消去t1，有
( D + K 2 ) t2 − K 2t 1 = 0 − K 3 t 2 + ( D + K 1 + K 3 ) t1 = K 1t f
[ D 2 + ( K 1 + K 2 + K 3 ) D + K 1 K 2 ]t 2 = K 1 K 2 t f

传热学-第三章非稳态导热问题分析解

单位时间 0, t t0
物体内能的减少(或增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型；物体内导热热阻忽略不计；物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时发生变化；把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热热阻，认为物体温度均匀一致。

传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文

是与物体几何形状有关的无量纲常数
对厚为2δ的无限大平板
M 1
对半径为R的无限长圆柱
M
1 2
对半径为R的球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义：固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲热阻
无量纲时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体，各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)

传热学-第三章

无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有量纲。因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度分布控制温度分布主要取决于边界条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球