数学建模高斯扩散模型培训资料
数学建模(关于扩散问题的建模)
的近似表达式。
模型分析： 1 文中所建立的汞扩散模型不仅可以从局部进行分析，还可以从
整体上进行分析。 2.本模型还可以拓展到其他有关扩散问题的模型求解。 3.该模型主要运用了微分方程和概率统计的知识,在多维正态方
1.《土壤重金属污染评价方法》 2.《有关扩散问题的模型求解》 3.《数学模型（第三版）》
M3 [u(x, y, z,t t) u(x, y, z)]dxdydz
tt
udxdydzdt
t t
显然有： M3 M1 M 2 ，
也就是：
tt u
M3 t
t
dxdydzdt
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k
2u)dxdydzdt
由于 t, t, ，的任意性得：
1 a2
,
1 b2
,
ln M 2 ln(abc) k 2 2
Z (z z0)2 , 4
1 , c2
则有如下关系式：
W ln u(x, y, z,1) X Y Z
由于我们获得的观测取样值 ( xi , yi , z, mi ) 可以转化为相应的观测取
样值 ( Xi ,Yi , Zi ,Wi )，于是利用多元回归分析可以求出 , , ,
其中 M 为扩散源的质量，经求解，得如下关系：
u(x, y, z,t) M 8tabc
t
exp
(x x0 )2 4a2t
( y y0 )2 4b2t
(z z0)2 4c2t
数学建模(关于扩散问题的建模)
其中 M 为扩散源的质量，经求解，得如下关系：
u(x, y, z,t) M 8tabc
t
exp
(x x0 )2 4a2t
( y y0 )2 4b2t
(z z0)2 4c2t
k
2t
下面我们将利用观测所得的数据，对参数 a，b，c，k 进行估计，从
而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。
M3 [u(x, y, z,t t) u(x, y, z)]dxdydz
tt
udxdydzdt
t t
显然有： M3 M1 M 2 ，
也就是：
tt u
M3 t
t
dxdydzdt
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k
2u)dxdydzdt
由于 t, t, ，的任意性得：
面 S，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 t t 时刻这段时间
内，通过 S 流入 的质量为 M1
M1
t t t
S
(a2 u cos b2 u cos c2 u cos )dSdt
x
y
z
其中 a2 , b2 , c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。
由高斯公式 ：
M1
(z
z0 )2 4c2
k
2
其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有
ln u(x, y, z,1) ln
M 2
2
ln(abc)
(
x
x0 4a2
)2
( y y0 )2 4b2
(z
z0 )2 4c2
k
2
为便于求解，下面分别令：
使用公式说明扩散模型的训练过程
使用公式说明扩散模型的训练过程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高斯烟羽模型课件
温度和湿度影响大气稳定度和湍流强 度，进而影响污染物的扩散。这些数 据可以通过气象观测站获取。
排放参数的估算方法
源强
源强表示污染物的排放速率。根据工厂或设施的工艺流程、设备运行状况等因素进行估算。
排放高度
排放高度决定了烟羽在垂直方向上的扩散范围。根据工厂或设施的建筑高度、排放设备的位置等因素进行估算。
案例一：城市空气质量预测
总结词：动态模拟
详细描述：高斯烟羽模型能够模拟城市空气质量的动态变化过程，揭示不同气象条件和地形地貌对空气质量的影响。
案例一：城市空气质量预测
总结词
可视化展示
详细描述
通过可视化技术，高斯烟羽模型能够将预测结果以直观的方式呈现出来，便于分析和理 解。
案例二：工业区污染物扩散模拟
特点
高斯烟羽模型适用于污染物在大气中扩散的情况，特别是对 于低空污染物的扩散，如工厂排放、汽车尾气等。该模型能 够考虑气象条件、地形等因素对污染物扩散的影响，提供较 为准确的预测结果。
模型的应用领域
环境评估
高斯烟羽模型广泛应用于环境评 估领域，用于评估工厂、交通工 具等污染源对周围环境的影响， 为环境管理和污染控制提供依据。
z
垂直距离，表示烟 羽扩散的垂直方向 上的距离。
公式的应用场景
高斯烟羽模型适用于描述烟羽 在大气中的扩散情况，特别是
在稳定气象条件下。
该模型广泛应用于环境科学、 大气污染控制等领域，用于 预测烟羽的扩散范围、浓度 分布等。
通过高斯烟羽模型，可以评估 烟羽对周围环境和居民的影响，
为制定相应的污染控制措施提 供科学依据。
03
高斯烟羽模型的参数估算
扩散参数的估算方法
扩散系数
(完整)高斯扩散模型
大气污染扩散第一节大气结构与气象有效地防止大气污染的途径，除了采用除尘及废气净化装置等各种工程技术手段外，还需充分利用大气的湍流混合作用对污染物的扩散稀释能力，即大气的自净能力。
污染物从污染源排放到大气中的扩散过程及其危害程度，主要决定于气象因素，此外还与污染物的特征和排放特性，以及排放区的地形地貌状况有关。
下面简要介绍大气结构以及气象条件的一些基本概念。
一、大气的结构气象学中的大气是指地球引力作用下包围地球的空气层，其最外层的界限难以确定。
通常把自地面至1200 km左右范围内的空气层称做大气圈或大气层，而空气总质量的98．2％集中在距离地球表面30 km以下。
超过1200 km的范围，由于空气极其稀薄，一般视为宇宙空间。
自然状态的大气由多种气体的混合物、水蒸气和悬浮微粒组成。
其中，纯净干空气中的氧气、氮气和氩气三种主要成分的总和占空气体积的99.97％，它们之间的比例从地面直到90km高空基本不变，为大气的恒定的组分；二氧化碳由于燃料燃烧和动物的呼吸，陆地的含量比海上多，臭氧主要集中在55～60km高空，水蒸气含量在4％以下，在极地或沙漠区的体积分数接近于零，这些为大气的可变的组分；而来源于人类社会生产和火山爆发、森林火灾、海啸、地震等暂时性的灾害排放的煤烟、粉尘、氯化氢、硫化氢、硫氧化物、氮氧化物、碳氧化物为大气的不定的组分。
大气的结构是指垂直（即竖直）方向上大气的密度、温度及其组成的分布状况。
根据大气温度在垂直方向上的分布规律，可将大气划分为四层：对流层、平流层、中间层和暖层，如图5－1所示。
1. 对流层对流层是大气圈最靠近地面的一层，集中了大气质量的75％和几乎全部的水蒸气、微尘杂质。
受太阳辐射与大气环流的影响，对流层中空气的湍流运动和垂直方向混合比较强烈，主要的天气现象云雨风雪等都发生在这一层，有可能形成污染物易于扩散的气象条件，也可能生成对环境产生有危害的逆温气象条件。
因此，该层对大气污染物的扩散、输送和转化影响最大。
基于高斯模型的放射性物质扩散模型
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则•我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从D/E/F中选择一项填写）：____________________________ 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：______________________________ 所属学校（请填写完整的全名）：_________________________________参赛队员（打印并签名）：1. ____________________________________2. ____________________________________3. __________________________________指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： ___________________________日期：年月曰赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：放射性气体扩散浓度预估模型【摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核泄漏为背景，并以给出的数据为基础，研究某一假设核电站的核泄漏问题。
我们通过收集相关的资料，并结合题目给出的数据，建立了高斯模型、连续点源高斯扩散模型解决了题目提出的四个问题。
针对问题一：考虑到泄漏源是连续、均匀和稳定的，我们运用散度、梯度、流量等数学概念，通过“泄漏放射性物质质量守恒”、“气体泄漏连续性定理”、Guass公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再通过电源函数解出空间任意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模型一的前身。
(完整)高斯扩散模型及其适用条件
高斯扩散模型及其适用条件（1）一般表达式根据质量守恒原理和梯度输送理论，污染物在大气中一般运动规律为：（3分）cccc c c c Nu v w k x k y k z S p t x y z x x y y z z p 1C:污染物质平均浓度；X，y，z:三个方向坐标；u，v，w:三个方向速度分量；k x，k y，k z：三个方向扩散系数；t：为污染物扩散时间；3：污染物源、汇强度。
（2）高斯模型的适用条件：①大气流动稳定，表明污染物浓度不随时间改变，即［0 ；②有主导风向，表明u=常数，且v=w=0 ；③污染物在大气中只有物理运动，物化学和生物变化，且预测范围内无其他同类污染的源和汇。
表明S P=0（P=1,2,….n）此时三维的动态模型就可简化为三维的稳态模型，得：u~c k x 工k y，k z」（3 分）x x x y y z z④有主导风情况下，主导风对污染物输送应远远大于湍流运动引起污染物在主导风方向上扩散。
即U」（平流输送作用）远远大于x—k x—（湍流弥散作用）。
x x此时方程又可以简化为：c c Cu k y k z （2分）x y y z z（3）由于y和z方向上污染物浓度不发生变化，故规定k y与y无关，k z与z无关，即:2c k z 2z（4）由质量守恒原，理运用连续点源源强计算方式，按照单元体积（3）简化得到的方程进行积分ucdydz二Q ，结合边界条件x y z 0时，c=x, y, z 时，c=0对方程进行求解。
（2分）（5）设x=ut，令2=2k y t；；=2k z t。
化简求解得到高斯扩散模型的标准形式:c x, y,zQ 1 y2 2 zexp小222 U y z 2 y z（1分）ky y2（1 分）。
大气污染物扩散高斯模型模拟
9.2.2大气污染物扩散的高斯模型模拟：可视化模拟点源大气污染的扩散9.2.2 Gaussian Atmospheric Dispersion Model突发性大气污染事故时有发生，对大气污染扩散进行模拟和分析，有利于减小事故的危害，减轻人员伤亡和财产损失。
高斯扩散模型是国际原子能机构(IAEA)推荐使用于重气云扩散模拟的数学模型,该模型在非重气云扩散的应用日益广泛。
高斯扩散模型是描述大气对有害气体的输移、扩散和稀释作用的物理或数学模型,是进行灾害预测和救援指挥的有力手段之一。
9.2.2.1高斯扩散模型高斯模型又分为高斯烟团模型和高斯烟羽模型。
大气污染物泄漏分为瞬时泄漏和连续泄漏，瞬时泄漏是指污染物泄放的时间相对于污染物扩散的时间较短如突发泄漏等的情形，连续泄漏则是指污染物泄放的时间较长的情形。
瞬时泄漏采用高斯烟团模型模拟，而连续泄漏采用高斯模型烟羽模型模拟。
高斯模型适用于非重气云气体，包括轻气云和中性气云气体。
要求气体在扩散过程中，风速均匀稳定。
在高斯烟团模型中，选择风向建立坐标系统，即取泄漏源为坐标原点，x轴指向风向，y轴表示在水平面内与风向垂直的方向，z轴则指向与水平面垂直的方向，具体公式见式(9.1):(9.1)(mg/s); x、y、z轴上的扩散系数，需根据大气稳定度选择参数计算得到(m)；x、y、z表示x、y、z上的坐标值(m)；u表示平均风速(m/s)；t表示扩散时间(s)；H 表示泄漏源的高度(m)。
同理，高斯烟羽模型的表达式如：(9.2)9.2.2.2 技术方法若用高斯模型算出空间每一个点在一个时刻的污染浓度，这个计算量是很大的。
因此所设计的系统一般都是采用先进行图层网格化，由高斯模型计算出有限个网格点的上的污染物浓度，在进行空间内插得到面上每一个点的污染物浓度，并由此得到污染物浓度的等值线。
整个过程的示意图如图9.2.1所示图9.2.1 大气污染扩散的高斯模拟的步骤1) 图层网格化图层网格格式分为结构化网格、非结构化网格。
扩散模型原理及代码讲解
-
1 扩散模型简介 2 扩散模型原理 3 扩散模型代码讲解
1
扩散模型简介
扩散模型简介
扩散模型是一种深度学习模型， 主要用于图像生成
其基本原理是通过一系列的随 机过程，将一张随机的噪声图
像逐渐转换成目标图像
在模型训练过程中，模型需要 学习从噪声到目标图像的映射 关系，从而在推理时能够生成
3
扩散模型代码讲 解
扩散模型代码讲解
下面是一个简单的扩散模型代码示例，使用Python和PyTorch实现
-
汇报完毕 感谢聆听
高质量的目标图像
2
扩散模型原理
扩散模型原理
扩散模型的原理可以概 括为以下三个步骤
扩散模型原理
首先，模型将一张干净的目标图像添加高斯噪声，逐渐将其 转变为随机噪声图像。这个过程可以看作是从干净图像出发， 逐渐引入随机噪声的ห้องสมุดไป่ตู้程
然后，模型使用去噪生成对抗网络(DDGAN)等技术 噪声图像逐渐转换成目标图像。这个过程可以看作 噪声出发，逐渐学习并复原出目标图像的过程
diffusion model讲解
diffusion model讲解一、扩散模型简介1.概念与原理扩散模型（Diffusion Model）是一种基于概率论的深度学习模型，主要用于解决序列数据问题。
它的核心思想是将序列数据中的信息传播过程建模为一个随机过程，通过学习这个过程中的概率分布来捕捉序列的内在规律。
2.应用场景扩散模型在很多序列相关的任务中都取得了显著的成果，如自然语言处理、推荐系统、时间序列分析等。
在这些场景中，扩散模型能够有效地捕捉序列的长期依赖关系，并生成符合实际规律的预测结果。
二、扩散模型的核心技术1.基本架构扩散模型的基本架构包括输入层、隐藏层和输出层。
输入层接收序列数据，隐藏层用于建模数据间的依赖关系，输出层则根据隐藏层的表示生成预测结果。
2.训练方法扩散模型的训练方法主要包括以下几种：（1）生成对抗训练（GAN）：通过生成器和判别器的对抗过程，提高模型的生成能力。
（2）变分自编码器（VAE）：将原始数据编码为连续的隐向量，并在解码过程中恢复原始数据。
（3）自编码器（AE）：利用编码器和解码器学习输入数据的潜在表示，并重建原始数据。
3.优化策略为了提高扩散模型的性能，常用的优化策略包括：（1）权重初始化：使用正态分布或均匀分布初始化模型权重，以降低过拟合风险。
（2）学习率调整：通过动态调整学习率，使模型更容易找到一个好的局部最优解。
（3）批归一化：对每个批次的数据进行归一化处理，以缓解梯度消失和训练不稳定问题。
三、扩散模型在自然语言处理中的应用1.文本生成：扩散模型可以生成连贯、自然的文本，如文章、诗歌等。
2.机器翻译：扩散模型能够在不同语言之间进行自动翻译，提高翻译质量。
3.文本摘要：扩散模型可以根据文章内容生成简洁明了的摘要，帮助用户快速了解文章主旨。
四、扩散模型的优势与局限1.优势（1）强大的生成能力：扩散模型能够生成符合实际规律的序列数据。
（2）长期依赖关系捕捉：扩散模型能够捕捉序列数据中的长期依赖关系。
扩散模型从原理到实战
阅读感受
书中的附录部分提供了大量由扩散模型生成的高质量图像集以及Hugging Face社区的相关资源。这些资源为读者提供了丰富的学习和实践材料，能够让读 者更好地理解和应用扩散模型。
阅读感受
《扩散模型从原理到实战》这本书对于对扩散模型感兴趣的研究人员、相关 科研人员以及有绘图需求的从业人员来说是一本不可多得的参考书。通过深入浅 出的方式，将扩散模型的原理和实践内容讲解得深入浅出。实战案例的引入也使 得读者能够更好地理解和应用扩散模型。这本书为读者提供了大量的学习和实践 机会，我坚信它会成为扩散模型领域的重要参考书。
精彩摘录
这段话详细介绍了扩散模型的两大阶段，有助于读者更好地理解其工作原理。 “扩散模型具有强大的实用性。在图像生成、自然语言处理、音频生成等众 多领域，扩散模型都取得了令人瞩目的成果。通过扩散模型，我们可以生成高质 量的图像、逼真的语音、连贯的文本等。”
精彩摘录
这段话强调了扩散模型的实用性，展现了其在各个领域的广泛应用前景。 “在应用扩散模型时，我们需要一些关键点。我们需要选择合适的模型架构 和超参数，以确保模型能够有效地学习数据的内在结构和模式。我们需要对生成 的数据进行质量评估，以确保其质量和真实性。”
书中对扩散模型的退化、采样和DDIM反转等重要概念和方法的详解，使我对 其工作原理和实践技巧有了更加深入的了解。对于AI研究人员和相关科研人员来 说，这些章节无疑为他们提供了宝贵的参考资料，帮助他们更好地理解和应用扩 散模型。
阅读感受
书中还介绍了扩散模型的扩展应用，如Stable Diffusion、ControlNet和音 频扩散模型等。这些内容对于从事图像生成和音频处理等领域的从业人员来说具 有很大的参考价值。通过学习这些扩展应用，我进一步拓宽了对扩散模型的理解， 同时也能够在实际工作中更加灵活地运用扩散模型。
扩散模型
2 扩散模型2.1 高斯模型燃气泄漏后会在泄漏源附近形成气团，气团在大气中的扩散计算通常采用高斯模型。
高斯模型的基本形式是在如下的假设条件下推导出来的[1、9]：假定燃气在扩散的过程中没有沉降、化合、分解及地面吸收的发生；燃气连续均匀地排放；扩散空间的风速、大气稳定度都均匀、稳定；在水平和垂直方向上都服从正态分布。
泄漏燃气相对密度小于或接近1的连续泄漏采用高斯烟羽模型。
以泄漏点为原点，风向方向为x轴的空间坐标系中的某一点(x，y，z)处的质量浓度计算公式如下[9]：平均风速＞1m/s时：平均风速=0.5～1m/s时：平均风速＜0.5m/s时，假设气团围绕泄漏点浓度均匀分布，则距离泄漏点r处的燃气质量浓度为：式中ρd(x，y，z)——扩散燃气在点(x，y，z)处的质量浓度，kg/m3x、y、z——x、y、z方向上距泄漏点的距离，mua——平均风速，m/sδx 、δy、δz——x、y、z方向的扩散系数，mh——泄漏点高度，mρ(r)——距离泄漏点r处的燃气质量浓度，kg/m3dr——空间内任意一点到泄漏点的距离，ma、b——扩散系数，mt——静风持续时间，s，取3600的整数倍扩散系数可查HJ/T 2.2—93《环境影响评价技术导则大气环境》得到。
2.2 重气扩散模型液化石油气密度比空气密度大，属于重气。
该类气体泄漏时在重力的作用下会下沉，这时使用高斯模型计算的结果会使泄漏燃气扩散速度偏大，泄漏源附近的浓度偏小。
为了解决这个问题，可以引入最早由Van Ulden提出，并由M anju Mohan等发展的箱式模型[1]。
箱式模型分为两个阶段：泄漏后的重气扩散阶段和重气效应消失后的被动气体扩散阶段。
重气泄漏后首先是重气扩散阶段。
在这个阶段，重气云团由于重力作用逐渐下沉并不断卷吸周围的空气，在卷吸空气的同时，气云受热，最终当重气云团与空气的密度差＜0.001kg/m3时，可认为气云转变成中性状态。
随着重气的继续扩散，气云所受的重力不再是影响扩散的主要因素，而大气湍流扩散逐渐占主要地位，这时便是被动气体扩散阶段，可以应用高斯模型计算泄漏燃气的扩散。
高斯模型
高斯模型介绍高斯模式是一种应用较为广泛的气体扩散模型，适用于均一的大气条件，以及地面开阔平坦的地区、点源的扩散模式。
排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等，虽然其大小不一，但是只要不是讨论例如烟囱底部很近距离的污染问题，均可视其为点源。
本附录A 介绍高斯模型坐标系、模型假设及模型公式等内容。
F.1坐标系高斯模型的坐标系如图A-1所示，原点为排放点(若为高架源，原点为排放点在地面的投影)，x 轴正向为风速力一向，y 轴在水平面上垂直于x 轴，正向在x 轴左侧，z 轴垂直于水平面xoy ，向上为正向。
在此坐标下烟流中心线或烟流中心线在xoy 面的投影与x 轴重合。
图A-1 高斯模型坐标系F.2 模型假设高斯模型有如下假设条件：（1）污染物的浓度在y 、z 轴上的分布是高斯分布(正态分布)的；（2）污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布；（3）扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射；（4）泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程；（5）在水平方向，大气扩散系数呈各向同性；（6）取x 轴为平均风速方向，整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变，不随地点、时间变化而变化；（7）地面对泄漏气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用；（8）整个过程中，泄漏气体不发生沉降、分解，不发生任何化学反应等。
F.3 模型公式距地面一定高度连续点源烟羽扩散模式的高斯修正模型为：()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22222221exp 21exp 21exp 2,,,z z y z y H z H z y k x Q H z y x C σασσσσπ（A-1）式（A-1）中：C (x,y,z,H)——表示横向x、纵向y、地面上方z处气体浓度，kg/m3；Q(x)——表示源强(即源释放速率)，kg/s；k——表示平均风速，m/s；σy——表示水平扩散参数，m;σz——表示垂直扩散参数，m；H——表示泄漏源有效高度，m；y——表示横向距离，m；z——表示纵向距离，m。
空气污染学高斯扩散基本公式课件
05
高斯扩散模型与其他模型的 比较
与其它空气质量模型的比较
模型选择依据
高斯扩散模型在空气污染学中应用广泛，选择该模型主要基 于其简单易懂、易于计算的特点。与其它复杂的空气质量模 型相比，高斯扩散模型能够提供快速且准确的污染物浓度预测。
适用范围
高斯扩散模型适用于中低强度、平稳气象条件下的污染物扩 散。对于强风、湍流等复杂气象条件，可能需要更复杂的模型。
由于气象条件在空间和时间上都 是变化的，因此使用高斯扩散模 型计算出的结果与实际结果存在
误差。
湍流的影响
由于模型假设大气流动为层流，忽 略了湍流的影响，这也会导致计算 结果与实际结果存在误差。
障碍物的影响
由于模型中假设下风向没有障碍物， 而实际情况中下风向往往存在障碍 物，这也会导致计算结果与实际结 果存在误差。
公式的应用场景
01
02
03
点源污染
适用于单个污染源产生的 污染物扩散情况，如烟囱 排放。
线源污染
适用于较长线状污染源产 生的污染物扩散情况，如 道路交通排放。
面源污染
适用于较大面积的污染源 产生的污染物扩散情况， 如农田施肥。
03
高斯扩散模型的应用实例
实例一：城市空气质量预测
总结词
利用高斯扩散模型预测城市空气质量，需要考虑气象 条件、地形地貌、污染物排放等多种因素。
详细描述
在城市环境中，由于建筑物密集、气象条件复杂，污染 物在大气中的扩散受到多种因素的影响。高斯扩散模型 能够综合考虑这些因素，对城市空气质量进行较为准确 的预测。例如，在预测PM2.5浓度时，需要考虑风向、 风速、温度、湿度等气象条件，以及地形地貌特征，如 山脉、河流等对气流的影响。同时，还需要考虑城市中 不同功能区的污染物排放情况，如工业区、商业区、居 民区的排放差异。
简述高斯扩散模型成立的条件
简述高斯扩散模型成立的条件摘要：一、高斯扩散模型简介二、高斯扩散模型成立的条件1.扩散过程的稳定性2.扩散源的稳定性3.环境条件的影响4.观测时间的足够长正文：高斯扩散模型是描述气体或颗粒物在空气中扩散过程的数学模型，具有较强的可读性和实用性。
本文将简述高斯扩散模型成立的条件。
一、高斯扩散模型简介高斯扩散模型是基于物理学原理，采用统计方法建立的一种描述扩散过程的数学模型。
它假设污染物在扩散过程中，其浓度分布符合高斯分布，从而可以预测污染物在空间和时间上的分布规律。
高斯扩散模型在环境科学、气象学、生态学等领域具有广泛的应用。
二、高斯扩散模型成立的条件1.扩散过程的稳定性：高斯扩散模型假设污染物在扩散过程中，其浓度分布保持稳定，不随时间、空间和扩散机制的改变而改变。
在实际应用中，这意味着污染源和环境条件的变化对扩散过程的影响较小。
2.扩散源的稳定性：高斯扩散模型要求扩散源在扩散过程中保持稳定，即污染物的释放速率、释放位置和浓度分布不发生明显变化。
在实际应用中，这要求我们对扩散源进行合理简化，以便更好地反映实际情况。
3.环境条件的影响：高斯扩散模型认为环境条件（如风速、风向、气温、湿度等）对扩散过程具有重要影响。
在实际应用中，我们需要根据实测数据或数值模拟结果，确定环境条件对扩散过程的影响，从而使模型更加接近实际情况。
4.观测时间的足够长：高斯扩散模型基于统计方法，需要足够多的观测数据来确定污染物的扩散规律。
因此，在实际应用中，我们需要确保观测时间足够长，以获得较为准确的模型参数。
总之，高斯扩散模型是一种具有广泛应用的数学模型，但其成立条件较为严格。
高斯扩散模型PPT课件
1
（一） 高斯模式的坐标系
右手坐标系 （食指—x轴；中指—y轴；拇指—z轴），
原点：为无界点源或地面源的排放点，或 者高架源排放点在地面上的投影点；x为 主风向；y为横风向；z为垂直向
8
地面浓度模式：取z＝0代入上式，得
c
q
πu y
z
exp(
y2
2
2 y
) exp(
H2
2
2 z
)
分别将x=500m，y=50m，Q=90mg/s， u=5m/s，δy＝18.1m，δz＝35.3m， He=60m 代入公式，得到所求浓度为
4.643×10-5mg/m3.
)]
6
相当于无界源的2倍（镜像垂直于地面，源强加倍）
2020/1/1
7
例题：
1、设有某污染源由烟囱排入大气的SO2 源强为90mg/s，有效源高为60m，烟囱 出口处平均风速为5m/s，当时气象条件 下，正下风向500m 处的δy＝18.1m， δz＝35.3m，计算x=500m，y=50m 处 的SO2 浓度。
有界大气扩散：高架源须考虑到地面对扩散的影响。
按全反射原理，可用 “像源法”处理
4
（1）实源贡献：P点在以像源为原点的坐标系中的
实源的垂贡直献坐标为（z-H）
q
y2 (z H )2
c( x,
y, zC, H实)
2πu
y z
exp[(
2
2 y
2
2 y
)]
源的（贡c垂2(）x献直,虚坐y,源z标C,贡虚H为献)（：z2+PπH点u）q在y以z像ex源p[为(原2y点2y2的坐( z标2系Hz2中)2的)]
高斯扩散模型
高斯扩散模型
高斯扩散模型是一种常用的物理模型，用于描述物质在扩散过程中的传播行为。
它基于高斯分布的思想，假设扩散物质在空间中的浓度分布服从高斯分布。
在高斯扩散模型中，物质的扩散速率与物质浓度梯度成正比，表达式可以写为：
∂C/∂t = D * ∇²C
其中，∂C/∂t表示浓度变化率，D为扩散系数，∇²C为浓度的拉普拉斯算子。
这个偏微分方程描述了物质浓度随时间和空间的变化关系。
扩散系数D表示了物质扩散的速率，它与物质的性质和环境条件有关。
高斯扩散模型可以用来解决各种扩散相关问题，例如计算物质在空气中的浓度分布、预测污染物的扩散范围等。
该模型在环境科学、工程学等领域有着广泛的应用。
(完整版)扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u u M a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰， （2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-，其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8）2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11）()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)nf x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14）7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--= （16）[()] 1.x δ= （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （18）9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--== （19）11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （20） 从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---= 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-，由于2122214[]a xa eλ---=， 2110221240[]()i x e aa ex x λλ----=-， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t u x x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++，（26） 而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n =的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27）其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+- （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+- （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30）又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k ww t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得000t t t k v w w h+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z = (,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33）其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪-⎨⎪⎩，（36） （36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
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数学建模高斯扩散模型§4-2高斯扩散模式ū —平均风速；Q—源强是指污染物排放速率。
与空气中污染物质的浓度成正比，它是研究空气污染问题的基础数据。
通常：（ⅰ）瞬时点源的源强以一次释放的总量表示；（ⅱ）连续点源以单位时间的释放量表示；（ⅲ）连续线源以单位时间单位长度的排放量表示；（ⅳ）连续面源以单位时间单位面积的排放量表示。
δy—侧向扩散参数，污染物在y方向分布的标准偏差，是距离y的函数，m；δz—竖向扩散参数，污染物在z方向分布的标准偏差，是距离z的函数，m；未知量—浓度c、待定函数A(x)、待定系数a、b；式①、②、③、④组成一方程组，四个方程式有四个未知数，故方程式可解。
二、高斯扩散模式（一）连续点源的扩散连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。
排放口安置在地面的称为地面点源，处于高空位置的称为高架点源。
1. 大空间点源扩散高斯扩散公式的建立有如下假设：①风的平均流场稳定，风速均匀，风向平直；②污染物的浓度在y、z轴方向符合正态分布；③污染物在输送扩散中质量守恒；④污染源的源强均匀、连续。
图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。
有效源位于坐标原点o处，平均风向与x轴平行，并与x轴正向同向。
假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。
大气中的扩散是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布，当两坐标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。
由正态分布的假设条件②，参照正态分布函数的基本形式式（5－15），取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为：（5－16）式中 C—空间点（x，y，z）的污染物的浓度，mg/m3；A（x）—待定函数；σy、σz—分别为水平、垂直方向的标准差，即y、x方向的扩散参数，m。
由守恒和连续假设条件③和④，在任一垂直于x轴的烟流截面上有：（5－17）式中 q—源强，即单位时间内排放的污染物，μg/s；u—平均风速，m/s。
将式（5－16）代入式（5－17）, 由风速稳定假设条件①，A与y、z无关，考虑到③和④，积分可得待定函数A（x）：（5－18）将式（5－18）代入式（5－16），得大空间连续点源的高斯扩散模式（5－19）式中，扩散系数σy、σz与大气稳定度和水平距离x有关，并随x的增大而增加。
当y＝0，z＝0时，A（x）＝C（x，0,0），即A（x）为x轴上的浓度，也是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点C max。
当x→∞，σy及σz→∞，则C→0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。
2．高架点源扩散在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面障碍物的阻挡，因此应当考虑地面对扩散的影响。
处理的方法是，或者假定污染物在扩散过程中的质量不变，到达地面时不发生沉降或化学反应而全部反射；或者污染物在没有反射而被全部吸收，实际情况应在这两者之间。
（1）高架点源扩散模式。
点源在地面上的投影点o作为坐标原点，有效源位于z轴上某点， z＝H。
高架有效源的高度由两部分组成，即H ＝h＋Δh，其中h为排放口的有效高度，Δh是热烟流的浮升力和烟气以一定速度竖直离开排放口的冲力使烟流抬升的一个附加高度，如图5－10所示。
当污染物到达地面后被全部反射时，可以按照全反射原理，用“像源法”来求解空间某点k的浓度。
图5－10中k点的浓度显然比大空间点源扩散公式（5－19）计算值大，它是位于(0，0，H)的实源在k点扩散的浓度和反射回来的浓度的叠加。
反射浓度可视为由一与实源对称的位于(0，0，－H)的像源（假想源）扩散到k点的浓度。
由图可见，k点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z-H)，则实源在k点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z轴向下平移距离H：（5－20）k点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z＋H)，则像源在k点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z轴向上平移距离H：（5－21）由此，实源C s与像源C x之和即为k点的实际污染物浓度：（5－22）若污染物到达地面后被完全吸收，则C x＝0，污染物浓度C（x，y，z，H）＝C s，即式（5－20）。
（2）地面全部反射时的地面浓度。
实际中，高架点源扩散问题中最关心的是地面浓度的分布状况，尤其是地面最大浓度值和它离源头的距离。
在式（5－22）中，令z＝0，可得高架点源的地面浓度公式：（5－23）上式中进一步令y＝0则可得到沿x轴线上的浓度分布：（5－24）地面浓度分布如图图5－11所示。
y方向的浓度以x轴为对称轴按正态分布；沿x轴线上，在污染物排放源附近地面浓度接近于零，然后顺风向不断增大，在离源一定距离时的某处，地面轴线上的浓度达到最大值，以后又逐渐减小。
地面最大浓度值C max及其离源的距离x max可以由式（5－24）求导并取极值得到。
令，由于σy、σz均为x的未知函数，最简单的情况可假定σy/σz＝常数，则当（5－25）时，得地面浓度最大值（5－26）由式（5－25）可以看出，有效源H越高， x max处的σz值越大，而σz∝x max，则C max 出现的位置离污染源的距离越远。
式（5－26）表明，地面上最大浓度C max与有效源高度的平方及平均风速成反比，增加H可以有效地防止污染物在地面某一局部区域的聚积。
式（5－25）和式（5－26）是在估算大气污染时经常选用的计算公式。
由于它们是在σy/σz＝常数的假定下得到的，应用于小尺度湍流扩散更合适。
除了极稳定或极不稳定的大气条件，通常可设σy/σz＝2估算最大地面浓度，其估算值与孤立高架点源(如电厂烟囱)附近的环境监测数据比较一致。
通过理论或经验的方法可得σz＝f （x）的具体表达式，代入（5－25）可求出最大浓度点离源的距离x max，具体可查阅我国GB3840—91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》。
3. 地面点源扩散对于地面点源，则有效源高度H＝0。
当污染物到达地面后被全部反射时，可令式（5－22）中H＝0，即得出地面连续点源的高斯扩散公式:（5－27）其浓度是大空间连续点源扩散式（5－19）或地面无反射高架点源扩散式（5－20）在H ＝0时的两倍，说明烟流的下半部分完全对称反射到上部分，使得浓度加倍。
若取y与z等于零，则可得到沿x轴线上的浓度分布：（5－28）如果污染物到达地面后被完全吸收，其浓度即为地面无反射高架点源扩散式（5－20）在H＝0时的浓度，也即大空间连续点源扩散式（5－19）。
高斯扩散模式的一般适用条件是：①地面开阔平坦，性质均匀，下垫面以上大气湍流稳定；②扩散处于同一大气温度层结中，扩散范围小于10km；③扩散物质随空气一起运动，在扩散输送过程中不产生化学反应，地面也不吸收污染物而全反射；④平均风向和风速平直稳定，且u＞1～2m/s。
高斯扩散模式适应大气湍流的性质，物理概念明确，估算污染浓度的结果基本上能与实验资料相吻合，且只需利用常规气象资料即可进行简单的数学运算，因此使用最为普遍。
（二）连续线源的扩散当污染物沿一水平方向连续排放时，可将其视为一线源，如汽车行驶在平坦开阔的公路上。
线源在横风向排放的污染物浓度相等，这样，可将点源扩散的高斯模式对变量y积分，即可获得线源的高斯扩散模式。
但由于线源排放路径相对固定，具有方向性，若取平均风向为x轴，则线源与平均风向未必同向。
所以线源的情况较复杂，应当考虑线源与风向夹角以及线源的长度等问题。
如果风向和线源的夹角β＞45︒，无限长连续线源下风向地面浓度分布为：（5－29）当β＜45︒时，以上模式不能应用。
如果风向和线源的夹角垂直，即β＝90︒，可得：（5－30）对于有限长的线源，线源末端引起的“边缘效应”将对污染物的浓度分布有很大影响。
随着污染物接受点距线源的距离增加，“边源效应”将在横风向距离的更远处起作用。
因此在估算有限长污染源形成的浓度分布时，“边源效应”不能忽视。
对于横风向的有限长线源，应以污染物接受点的平均风向为x轴。
若线源的范围是从y1到y2，且y1＜y2，则有限长线源地面浓度分布为：（5－31）式中，s1＝y1/σy，s2＝y2/σy，积分值可从正态概率表中查出。
（三）连续面源的扩散当众多的污染源在一地区内排放时，如城市中家庭炉灶的排放，可将它们作为面源来处理。
因为这些污染源排放量很小但数量很大，若依点源来处理，将是非常繁杂的计算工作。
常用的面源扩散模式为虚拟点源法，即将城市按污染源的分布和高低不同划分为若干个正方形，每一正方形视为一个面源单元，边长一般在0.5～10km之间选取。
这种方法假设：①有一距离为x0的虚拟点源位于面源单元形心的上风处，如图5-12所示，它在面源单元中心线处产生的烟流宽度为2y0＝4.3σy0，等于面源单元宽度B；②面源单元向下风向扩散的浓度可用虚拟点源在下风向造成的同样的浓度所代替。
根据污染物在面源范围内的分布状况，可分为以下两种虚拟点源扩散模式：第一种扩散模式假定污染物排放量集中在各面源单元的形心上。
由假设①可得：（5－32）由确定的大气稳定度级别和上式求出的，应用P－G曲线图（见下节）可查取x o。
再由(x0＋x)分布查出σy和σz，则面源下风向任一处的地面浓度由下式确定：（5－33）上式即为点源扩散的高斯模式（5－24），式中H取面源的平均高度，m。
如果排放源相对较高，而且高度相差较大，也可假定z方向上有一虚拟点源，由源的最初垂直分布的标准差确定，再由求出，由求出σz，由(x0＋x) 求出σy，最后代入式（5－33）求出地面浓度。
第二种扩散模式假定污染物浓度均匀分布在面源的y方向，且扩散后的污染物全都均匀分布在长为π(x0＋x)／8的弧上，如图5-12所示。
因此，利用式（5－32）求σy后，由稳定度级别应用P－G曲线图查出x0，再由(x0＋x) 查出σz，则面源下风向任一点的地面浓度由下式确定：（5－34）三、扩散参数及烟流抬升高度的确定高斯扩散公式的应用效果依赖于公式中的各个参数的准确程度，尤其是扩散参数σσz及烟流抬升高度Δh的估算。
其中，平均风速u取多年观测的常规气象数据；源强y、q可以计算或测定，而σy、σz及Δh与气象条件和地面状况密切相关。
1. 扩散参数σy、σz的估算扩散参数σy、σz是表示扩散范围及速率大小的特征量，也即正态分布函数的标准差。
为了能较符合实际地确定这些扩散参数，许多研究工作致力于把浓度场和气象条件结合起来，提出了各种符合实验条件的扩散参数估计方法。
其中应用较多的由是帕斯奎尔(Pasquill) 和吉福特(Gifford)提出的扩散参数估算方法，也称为P－G扩散曲线，如图5－13和图5－14所示。
由图可见，只要利用当地常规气象观测资料，由表5－1查取帕斯奎尔大气稳定度等级，即可确定扩散参数。
扩散参数σ具有如下规律：①σ随着离源距离增加而增大；②不稳定大气状态时的σ值大于稳定大气状态，因此大气湍流运动愈强，σ值愈大；③以上两种条件相同时，粗糙地面上的σ值大于平坦地面。