经典的数学建模例子1
数学建模案例精选
数学建模案例精选数学建模是指利用数学方法和技术解决实际问题的过程，它在工程、经济、管理、自然科学等领域都有着广泛的应用。
在数学建模中，数学模型是解决问题的核心，通过建立合适的数学模型，可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
下面我们将介绍几个数学建模案例，来看看数学在实际问题中是如何发挥作用的。
案例一，交通拥堵问题。
在城市交通管理中，交通拥堵一直是一个严重的问题。
如何合理规划道路和交通流量，是一个复杂的问题。
数学建模可以通过建立交通流模型，分析不同道路的交通流量，预测交通拥堵的可能发生区域和时间，从而指导交通管理部门制定相应的交通疏导措施。
案例二，股票价格预测。
股票市场的波动一直是投资者关注的焦点，而股票价格的预测是投资决策的重要依据。
数学建模可以通过分析历史股票价格数据，建立股票价格预测模型，利用数学统计方法和时间序列分析方法，预测股票价格的未来走势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
案例三，物流配送优化。
在物流配送领域，如何合理规划配送路线和减少配送成本是企业关注的重点。
数学建模可以通过建立物流配送网络模型，分析不同配送方案的成本和效率，优化配送路线，降低物流成本，提高配送效率，从而提升企业的竞争力。
案例四，环境污染监测。
环境污染是一个严重的问题，如何有效监测和治理环境污染成为了各国政府和环保部门的重要任务。
数学建模可以通过建立环境污染监测模型，分析环境污染源的分布和扩散规律，预测污染物的扩散范围和影响，为环境污染治理提供科学依据。
通过以上几个案例的介绍，我们可以看到数学建模在实际问题中的重要作用。
数学建模不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，还可以推动科学技术的发展，促进社会经济的进步。
因此，加强数学建模的研究和应用，对于推动科学技术创新和社会发展具有重要意义。
希望通过今后更多的实际案例和研究，能够进一步挖掘数学建模的潜力，为解决更多实际问题提供更加有效的方法和工具。
数学建模实例
数学建模实例
数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过对模型进行分析和求解来解决问题的一种方法。
以下是数学建模的一些实例：
1. 客流热力学模型：在城市轨道交通拥挤情况下，建立客流热力学模型，分析出客流分布的状况，有效提高轨道交通系统的运行性能。
2. 互联网广告投放模型：针对互联网广告投放的问题，建立数学模型，分析各种广告投放策略的影响，提出最佳的广告投放策略。
3. 股票价格预测模型：针对股票市场，建立数学模型，通过对历史数据的分析和预测，预测未来股票价格的走势，为投资决策提供科学依据。
4. 生态系统模型：建立生态系统稳定性数学模型，探究物种间相互作用的影响，预测生态系统发展趋势，为环境保护提供科学依据。
5. 智能交通路网模型：建立智能交通路网数学模型，分析路网拥堵状况，提出最优路径，实现交通系统的智能化管理。
6. 供应链管理模型：建立供应链管理数学模型，分析供应链各环节的影响，优化供应链各环节的质量和效率，提升企业综合效益。
7. 机器学习模型：应用机器学习算法，通过对大量历史数据的分析和学习，预测未来数据的走势，为商业决策提供科学依据。
数学建模与应用案例
数学建模与应用案例数学建模是一种将数学方法和技巧应用于实际问题求解的过程。
它通过建立数学模型，对问题进行抽象和描述，然后利用数学工具进行分析和求解，最终得出问题的解决方案。
数学建模在各个领域都有广泛的应用，本文将介绍几个数学建模与应用的案例。
案例一：交通流量预测交通流量预测是城市交通规划和管理中的重要问题。
通过对交通流量进行预测，可以合理安排交通资源，提高交通效率。
数学建模可以通过分析历史交通数据，建立交通流量预测模型。
以某城市的交通流量预测为例，可以采用时间序列分析方法，通过对历史交通数据的分析，建立交通流量与时间的关系模型。
然后利用该模型对未来的交通流量进行预测，从而为交通规划和管理提供科学依据。
案例二：股票价格预测股票价格预测是金融领域的重要问题。
通过对股票价格进行预测，可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
数学建模可以通过分析历史股票数据，建立股票价格预测模型。
以某股票的价格预测为例，可以采用时间序列分析方法，通过对历史股票数据的分析，建立股票价格与时间的关系模型。
然后利用该模型对未来的股票价格进行预测，从而为投资者提供参考。
案例三：疾病传播模型疾病传播是公共卫生领域的重要问题。
通过建立疾病传播模型，可以预测疾病的传播趋势，制定有效的防控策略。
数学建模可以通过分析疾病传播的规律，建立疾病传播模型。
以某传染病的传播为例，可以采用传染病动力学模型，通过对疾病传播的机理进行建模，预测疾病的传播速度和范围。
然后利用该模型对疾病传播进行预测，从而为公共卫生部门提供决策支持。
案例四：物流配送优化物流配送是供应链管理中的重要问题。
通过优化物流配送方案，可以降低物流成本，提高物流效率。
数学建模可以通过分析物流配送的需求和约束条件，建立物流配送优化模型。
以某物流公司的配送问题为例，可以采用线性规划方法，通过对物流配送的需求和约束进行建模，优化配送方案。
然后利用该模型对物流配送进行优化，从而为物流公司提供最佳配送方案。
数学建模获奖作品范例
数学建模获奖作品范例近年来，数学建模竞赛在高中和大学生中越来越受欢迎。
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通过建立数学模型，对问题进行分析和预测，得出有关结论和解决方案。
下面将介绍一些数学建模获奖作品的范例，以展示数学建模的应用和价值。
第一个范例是关于城市交通流量的建模。
城市交通流量是一个复杂的问题，涉及到车辆的流动、道路的拥堵、信号灯的控制等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集城市交通数据和实地观察，建立了一个交通流量模型。
他们使用了微分方程和概率统计等数学工具，对车辆的速度、密度和流量进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些优化交通流量的方法，如调整信号灯的时长、增加道路的容量等。
他们的建模方法和解决方案得到了专家的肯定，并在数学建模竞赛中获得了一等奖。
第二个范例是关于物种扩散的建模。
物种扩散是生态学中的一个重要问题，研究物种的扩散过程对于了解生态系统的稳定性和保护生物多样性具有重要意义。
一支参赛团队通过数学建模的方法，结合实地调查和数据分析，建立了一个物种扩散模型。
他们使用了偏微分方程和随机过程等数学工具，对物种的扩散速度和扩散范围进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们揭示了物种扩散的规律和影响因素，并提出了一些保护生物多样性的建议。
他们的建模方法和研究成果在数学建模竞赛中获得了特等奖。
第三个范例是关于金融风险管理的建模。
金融风险管理是一个重要的经济问题，涉及到金融市场的波动、投资组合的风险等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集金融数据和分析市场趋势，建立了一个金融风险管理模型。
他们使用了时间序列分析、随机过程和蒙特卡洛模拟等数学工具，对金融资产的风险价值进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些风险管理的策略，如分散投资、对冲交易等。
他们的建模方法和风险管理方案在数学建模竞赛中获得了一等奖。
以上是关于数学建模获奖作品的三个范例。
这些范例展示了数学建模在不同领域中的应用和价值。
初二数学学习中的数学建模案例
初二数学学习中的数学建模案例在初二的数学学习过程中，数学建模是一种非常有趣和实践性强的学习方法。
通过数学建模，学生可以将所学的数学知识应用到实际问题中，培养创新思维和解决问题的能力。
本文将介绍几个初二数学学习中的数学建模案例，展示数学建模的魅力和实际运用。
案例一：田地分割问题小明的爷爷有一块草地，想要将这块草地分成不同的区域，来种植不同的农作物。
小明想利用数学建模的方法来解决这个问题。
他首先通过测量草地的形状和大小，将其转化为数学模型。
然后，他分析了不同农作物种植的要求，例如对土壤肥力、阳光照射等因素的要求。
最后，他利用数学方法计算出最佳的田地分割方案，使得每个区域都能最大程度地满足农作物的种植需求。
通过这个案例，小明不仅学到了数学知识，还培养了观察、分析和解决问题的能力。
他还意识到数学建模在实际生活中的应用，可以帮助他解决许多实际问题。
案例二：购物优惠问题小红喜欢购物，她经常通过比较不同商家的价格来选择购买商品。
一天，她发现不同商家对同一件商品的优惠方式不同，有的商家给出直接降价，有的商家提供满减活动，有的商家提供折扣等等。
小红想利用数学建模的方法来帮助她选择最优惠的购买方式。
她首先收集了不同商家对同一件商品的价格和优惠信息，并将其整理成数据表格。
然后，她利用数学方法计算出每种优惠方式下的实际价格，并比较它们的大小。
最后，她选择了最优惠的购买方式，并得到了实际节省的金额。
通过这个案例，小红不仅提高了她的数学计算和数据分析能力，还学会了通过数学建模来解决实际问题，并且在购物时能够更加明智地做出选择。
案例三：交通规划问题小李所在的城市存在着交通拥堵问题，他想通过数学建模来解决这个问题。
他首先收集了城市交通流量的数据，并将其整理成表格。
然后，他利用图表和图形的绘制，分析了城市的交通流量分布和瓶颈区域。
最后，他利用数学方法，提出了一种新的交通规划方案，旨在减少交通拥堵和提高整体交通效率。
通过这个案例，小李不仅学到了数学中的数据分析和图表绘制技巧，还培养了他的观察和解决问题的能力。
数学建模简单13个例子
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，
D
即T 至少应当达到 （L+D）/v。
L
返回
9、砖块延伸
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
I2 I1
1
方法二
A
在方法一中，两检测点与黑匣子
位于β一α a
直线上，这一点比较容易 点是结果对照度测
量的精C做度到要， 求主 较要 高缺 ，B
很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很
强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，
到B点再测方向 ，AB 距离为a ，∠BAC=α，
数学建模案例精编
数学建模案例精编
数学建模是将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法对问题进行求解和分析的过程。
在实际应用中，数学建模涉及多个学科领域，如数学、物理、经济、生物等，能够帮助我们理解和解决复杂的现实问题。
以下是一些经典的数学建模案例：
1. 旅行商问题：旅行商问题是指在给定一组城市和其之间的距离，如何找到一条最短路径，使得旅行商可以经过每个城市一次，然后回到起始城市。
这个问题可以通过图论中的最优路径算法来进行求解，如蚁群算法和遗传算法。
2. 股票价格预测：股票价格的预测一直是金融领域的一个关键问题。
利用数学建模可以通过分析历史数据和相关指标，如成交量、市盈率等，来预测未来的股票价格走势。
常用的模型有ARIMA模型、贝叶斯回归等。
3. 流量优化问题：在城市交通管理中，如何合理地安排红绿灯的时间以及调整车道的数量，以最大程度地提高交通流量效率是一个重要的问题。
数学建模可以通过建立交通流模型，优化控制策略，来达到最佳的交通流量。
4. 医学影像处理：医学影像处理是医学领域的重要研究内容之一。
数学建模可以通过对医学图像进行数字化处理、分析和重建，进而提取出感兴趣的特征，帮助医生进行疾病诊断和治疗。
5. 网络安全：网络安全是当今信息化社会中的重要问题。
数学建模可以通过建立网络攻击和防御的模型，分析网络攻击的方式和特征，从而设计出更加安全的网络防御策略。
通过数学建模，我们能够更好地理解和解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。
数学建模的发展也离不开人工智能、大数据等技术的支持，随着科技的进步，数学建模在各个领域的应用也会愈发广泛。
数学建模简单示例
否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 2 的平方成反比，即
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
初中数学建模的若干简要案例
初中数学建模的若干简要案例1.找出一个公园内最短游览路径的问题假设一个公园有多个景点，每个景点之间有不同的距离，我们希望找到一条最短的路径，使得可以在最短时间内游览完所有的景点。
我们可以将每个景点表示为节点，距离表示为边，然后利用图论中的最短路径算法（如迪杰斯特拉算法）来解决这个问题。
2.优化一家快递公司的邮件投递路径假设一个快递公司需要投递邮件到不同的区域，每个区域的邮件数不同，我们希望找到一条最优的路径，使得快递员可以在最短时间内投递完所有的邮件。
我们可以将每个区域表示为节点，不同区域之间的距离表示为边，然后利用图论中的最短路径算法或者启发式算法（如A*算法）来解决这个问题。
3.设计一个购物车的最佳装载方案假设一个网上购物平台需要将一些商品装载到购物车中，每个商品有不同的体积和重量，而购物车有一定的容量限制。
我们希望找到一个最佳的装载方案，使得购物车可以装载尽可能多的商品。
我们可以将每个商品表示为节点，商品之间的限制条件（如体积和重量限制）表示为约束条件，然后利用线性规划算法（如简单的背包问题）来解决这个问题。
4.优化一条生产线的生产效率假设一个工厂有多个生产环节，每个生产环节有不同的效率和成本，我们希望找到一个最优的生产线配置方案，使得生产效率最高，成本最低。
我们可以将每个生产环节表示为节点，不同生产环节之间的依赖关系和成本表示为边，然后利用图论中的最优路径算法（如最小生成树算法）来解决这个问题。
5.设计一个最优的课程表假设一个学校有多个班级和多个教师，每个班级需要上不同的课程，每个教师可以同时教授多个班级的课程，我们希望找到一个最优的课程表，使得教师的利用率最高，学生的课程安排最优。
我们可以将每个班级和教师表示为节点，教师的教学能力和班级的需求表示为边的权重，然后利用图论中的最大流算法或者启发式算法（如基因算法）来解决这个问题。
这些案例都是初中数学建模的常见问题，通过数学建模的方法，可以帮助我们解决这些实际问题，提高问题的解决效率和准确性。
数学建模有趣的例子
数学建模有趣的例子
1. 嘿，你知道吗？数学建模能帮我们规划最优的快递配送路线呢！就像给快递小哥设计一条超级捷径，让包裹能最快到达我们手中。
这是不是很有趣呀？
2. 哇塞，数学建模还可以用来模拟传染病的传播呢！就如同解开一个神秘疾病扩散的谜团，太奇妙了吧。
3. 哎呀，想想看，用数学建模来优化城市交通信号灯的时间安排，这不就像是给城市的交通脉络做了一次精心梳理嘛，多有意思啊！
4. 嘿，数学建模甚至能帮助农民伯伯确定最佳的种植布局呢！是不是感觉像给田地施了一次神奇的魔法呀。
5. 哇哦，通过数学建模来分析股票的走势，那不就像是在股海里找到正确的航向嘛，这可太引人入胜啦！
6. 天哪，数学建模可以帮助消防员确定最佳的救援路线，这简直就是给生命开辟快速通道啊，太厉害了吧！
7. 哈哈，数学建模能用来给超市设计最合理的货架摆放呢！这不就像是给商品们找到了最舒适的家嘛。
8. 你想想，利用数学建模来预测天气变化，岂不是像拥有了提前知晓大自然秘密的超能力，有趣极了呀！
我觉得数学建模真的是充满了无限可能和乐趣，它在各个领域都能发挥出神奇的作用，让我们的生活变得更加美好和高效。
数学建模简单13个例子_2022年学习资料
7、气象预报问题-在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以-40km/h的速度向东北方向移动；根 台风的强度，在距-其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象-台所在地区将遭受台风的影响？持续 间多长？-此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象-预报，现建立解析几何模型加以探-以气象台A为坐标 点建立-平而直角坐标系，设台风中心为B,-如图
某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路-返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中-至少存在一地，此人在 天中的同一时间到达该-假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一-人在同一天由B去A,问题就化为在什么条 下，两-人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：-只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，-两人 会在途中相遇。
1.皮的厚度一样2.汤圆（饺子）的形状-假设-R大皮的半径，r小皮的半-模型-S=ns-S=k R,V=k R3V=kS2-s=kr2,v=kr3 v=ks2-=n32v-应用-V=√nv≥vv是nv是√n倍-若1 0个汤圆（饺子包1公斤馅，-则50个汤圆（-问题杀羊方案-现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，-问各天分别杀几只？-分析：-1 这是一个有限问题，解决此类问题的一-类方法是枚举，你可以试试。-建模：-2.依题意，设第i天杀2k,+1k 自然数只，-则所提问题变为在自然数集上求解方程-之2k,+10=26-i=1-于是，我们有了该问题的数学语 表达—数学模型-求解：-用反证法容易证明本问题的解不存在。-返回
x+y=l-y+z=m-x+7=n-由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根-电线的电阻。-说明：此问题 难，点也是可贵之处是用方程-“观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实-际问题转到新剑设的情景中去。-返
简单数学建模实例
简单数学建模实例随着社会和科技的发展，数学建模已经越来越成为各个领域的重要手段。
而简单数学建模实例的模拟与实验，也成为了学生学习数学和拓展实际应用的重要方式。
在此，我们将为大家介绍一些简单的数学建模实例。
（一）瓶子里的气体假设一个恒定体积的瓶子装满的气体，其中含有 x % 的氮气，y % 的氧气和 z % 的二氧化碳。
现在在瓶子中加入一定量的氧气，使得瓶子中氮气的百分比降至 v %。
问原瓶子中氧气的百分比是多少？这个问题只需要列出守恒方程即可：氧气的质量与氮气和二氧化碳的质量之和等于瓶子中气体的总质量。
再加上一个初始状态的方程，就可以得到两个关于 y 和 z 的一元二次方程，解它们即可。
（二）小球的弹性碰撞两个小球，一个重量为 m1，在速度为 v1 的情况下运动；另一个球的重量为 m2，在速度为 v2 的情况下静止。
两个小球弹性碰撞后，速度分别为 u1 和 u2。
问 u1 和 u2 在什么情况下相等？这个问题需要利用动能守恒和动量守恒的规律，分别列出两个守恒方程，然后解方程即可。
其中，动能守恒方程是指碰撞前后的总动能是守恒的；动量守恒方程是指碰撞前后的总动量也是守恒的。
（三）植物生长的模拟植物的生长是与光、水、温度等因素有关的，而光照强度、水分充足和温度适宜是保证植物生长的基本条件。
因此，我们可以利用数学方法，建立植物生长与光照强度、水分和温度之间的关系模型。
具体地说，我们可以将光照强度、水分和温度三个因素定量化，例如化学计量法，然后建立该物种的生长速度与光照强度、水分和温度之间的函数关系。
最后，可以通过改变各个因素来预测植物的生长速度。
（四）自然灾害预测自然灾害如洪水、地震、气象灾害等都是由物理或化学规律导致的，因此可以利用数学方法，预测或模拟这些自然灾害。
例如，可以通过建立地震发生的概率模型，分析地震的分布规律和发生的时间等信息，从而预警或预测地震。
在预测洪水方面，我们可以通过搜集洪水历史数据、雨量和地下水位等信息，建立预警模型。
数学建模简单例题
数学建模简单例题
近年来，数学建模迅速发展，成为数学教育的重要组成部分。
不仅如此，数学建模也在实际应用中扮演着重要角色。
以下是举出的一些简单例题，介绍如何应用数学建模解决实际问题。
例1：汽车路线优化
假设有A、B、C三个城市，从A到B需要经历200公里，从B到C需要经历300公里。
同时，存在有限路段，要求尽可能明确最短路径。
此时，可以建立一个图，将A、B、C三个城市看作三个顶点，再建立若干边，表示每条路径的距离，再使用迪杰斯特拉算法，计算出最短路径。
例2：工厂设备调配
假想一家公司有3台生产设备，每台设备有不同的生产能力和每日最大生产量，要求给出每天各台设备的最优配置，以达到每日最大生产量。
给定三台设备的生产能力和每日最大生产量，建立这个问题的数学模型，可以采用最短路径算法的思想，建立一张图，把每台设备看成一个顶点，再建立若干边，表示每台设备的最大生产能力，最后根据路径的长度，计算出各台设备的最优配置。
以上是两个简单的数学建模例题，为了解决具体实际问题，数学建模不仅仅可以使用上述算法，还可以使用线性规划、最优化、反问题等方法来解决实际问题。
本文就介绍了数学建模的一些基础原理，
并举出了几个例子，希望能对读者有所帮助。
简单数学建模应用例子
5
建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
27
建模实例
阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
15
建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2024/5/10
14
建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
线性代数数学建模案例
【问题描述】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按 箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
400
500 1
x1
2 300
x2 100
3
200
x3 X4 4 300
图3 某城市单行线车流量示意图
现在需要解决的问题如下：
（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组. （2） 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? （3） 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
【模型分析】
• 若令1 = (2, 3, 1, 1)T, 2 = (1, 2, 1, 1)T, = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有 解”, 也等价于“能否由1, 2线性表示”。
• 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体 积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情 况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.
图5 日常膳食搭配
图6 几种常见的作料
【模型准备】：
一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这 两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种 原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两 种规格的佐料按一定比例配制而成?
一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。 网络中的 点称作联结点(或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指
定，并且流量(或流速)已知或者已标为变量。
x3
x1
60
x4
80
x2
(a)
x5 (b)
数学建模经典问题
数学建模经典问题
数学建模是一种将现实问题转化为数学问题，并通过数学方法求解的过程。
经典的数学建模问题有很多，以下列举几个典型的例子。
1. 集装箱装载问题：如何在给定的集装箱内，最大化货物的装
载量？这个问题可以转化为一个优化问题，通过线性规划等方法求解。
2. 旅行商问题：如何在给定的一组城市中，找到一条遍历所有
城市且总路程最短的路径？这个问题可以通过遗传算法等方法求解。
3. 贪心算法：贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它通常用
于优化问题。
比如，假设有一组活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，如何在不发生冲突的情况下，安排尽可能多的活动？这个问题可以通过贪心算法求解。
4. 马踏棋盘问题：如何让一匹马在棋盘上走遍所有格子，且每
个格子只走一次？这个问题可以通过回溯算法求解。
5. 神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元结构和功能的计
算模型。
它可以用于分类、回归、聚类等问题。
这些经典的数学建模问题都有着广泛的应用价值，它们不仅给我们提供了解决实际问题的方法，也为我们深入理解数学方法的应用提供了宝贵的经验和启示。
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数学建模例题及解析
例1差分方程——资金的时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。
先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。
现在我们来进行数学建模。
由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。
a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱，用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月。
b．建立变量之间的明确的数学关系。
若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为k=0，1，2，3，而一开始的借款为。
所以我们的数学模型可表述如下(1)c. (1)的求解。
由(2)这就是之间的显式关系。
d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。
N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。
即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。
然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得(3)A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0A。
例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出053946元。
如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自己去银行借款。
数学建模写作素材
数学建模写作素材《数学建模写作素材》素材一《超市购物中的数学建模》去超市购物的时候，那可处处都是数学建模的好素材。
就说上次我去买东西吧，我打算买些水果、饮料还有日用品。
一进超市，我就先奔向水果区。
那里的苹果有按斤称的，也有按袋卖的，每袋几个固定价格。
我就像一个小数学家开始盘算起来了。
假设我想要最划算地买到苹果，这就涉及到一个成本效益最大化的问题。
如果按斤称，单价是多少多少，但是可能会存在挑拣不好、秤有误差的情况；而按袋买呢，一袋固定价格看似省事，但是可能里面个别苹果不太好。
我开始在心里构建一个简单的数学模型。
设按斤称的单价为x元/斤，袋子里苹果总重量为y斤，袋价为z元。
我挑选了几袋苹果看了看，有一袋里面大概有5个苹果，称了称斤，单价3元/斤，那就是元，而这袋标价是5元。
我还拿了几个别的袋进行类似计算比较。
这就像数学建模里对比不同方案的优劣，根据不同情况得出最适合自己的购买方案。
从水果区出来，走向饮料区。
饮料各种不同的包装，罐装、瓶装，容量不同价格也不同。
这也是个数学关系，大容量的相对单位价格低，小容量的方便携带，这时候又要根据自身需求构建一个关于性价比的数学模型。
比如我要在露营时带饮料，既要考虑价格又要考虑能喝又好带，我就比较不同容量的饮料除以价格得到的单位容量性价比，找到最合适的。
这个超市购物过程充满了数学建模的影子，日常又实在。
素材二《公交车乘车中的排队问题》有次我在公交站等车，那队伍排得乱七八糟的。
这就产生了和数学建模相关的思考。
如果把公交站的人们看作一个群体，我们想要达到的目标是让大家有序、高效地乘车。
设公交站台等待区域长度为L米，每平方米能站的人数大概是n个人左右，当时排队没有任何秩序的时候，人们乱挤在站台周围。
我估算了一下，前面听闻到来一辆车能上x个人，车来的时候，排队乱的状况下上车耗费的时间是t1分钟。
后来有人开始组织大家排队，于是我们就整整齐齐地形成了类似长方形的队伍。
这时候再估算，因为有序了，上车能利用的空间更大了，上车时间缩短到了t2分钟。
数学建模案例精选
数学建模案例精选
1. 动物捕食模型：
假设有两种动物A和B，它们在一个共享的环境中捕食和被捕食。
设定一个数学模型来描述它们的相互作用，使用微分方程来描述A和B的数量如何随时间变化。
2. 水资源管理模型：
假设有一个山谷，它的水源受到当地人口的影响，以及当地的农业和工业活动。
设定一个数学模型来描述山谷水源的变化，并评估不同的管理策略，以确保水资源的可持续利用。
3. 城市交通模型：
假设有一个大城市，它的交通状况受到当地人口的影响，以及当地的交通基础设施。
设定一个数学模型来描述城市交通系统的变化，并评估不同的管理策略，以改善城市交通状况。
常用数学建模方法及实例
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
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经典的数学建模例子一、摘要SARSSARS就是传染性非典型肺炎,全称严重急性呼吸综合症(Severe Acute Respiratory Syndromes),简称SARS,是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状,严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭,是一种新的呼吸道传染病,传染性极强、病情进展快速。
当一种传染病流行的时候,会给人们的工作学习带来很大的不变,能有效地进行隔离、预防,会大大减少人员的得病率,当一种传染病开始流行时,在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线,如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期,及时的隔离预防。
那会给社会人力带来很大的方便,当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失,因此本论文就以SARS为例,来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。
1二、正文1、模型的背景问题描述SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
要求:(1)建立传染病传播的指数模型,评价其合理性和实用性。
(2)建立一个适合的模型,说明为什么优于问题1中的模型;特别要说明怎样才能3建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里?对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:提前或延后5天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计。
表中提供的数据供参考。
(3)说明建立传染病数学模型的重要性。
2、模型假设(一)答;从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋势5月20到6月1日增长缓慢,6月1日到6月12日总数几乎不变。
其形式与生物学中真菌繁殖总数相似。
从表格和准备中,作如下假设。
1、不考虑SARS在人体中的潜伏期,也就是说当人一旦传染就表现出来立即就具有传染性。
2、当健康者满足一地条件时,健康者才被传染。
3、整个发病期间为自然状态也就是无人为外界干扰,政府等其它形式进行隔离预防。
4、忽略特殊情况,如个别人体质弱或强的。
假定初始时刻得病例数为M0。
平均每位病人每天可传染N个人,可传染他人的时间为T 天。
则在T天内,病例数目的增长随着时间t(单位天)的关系是;M(t)=M0(1+N)t如果不考虑对传染期的限制则病例数将按照指数规律增长考虑,当传染期T的作用后,变化将显著偏离指数规律,增长速度会放慢。
把达到T天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉,为了方便,从开始到高峰期间,均采用同样的N值,(从拟合这一阶段的数据库定出),到达高峰之后在10天的范围内逐步调整N值,到比较小,然后保持不变,拟合后在控制阶段的全部数据。
评价及其合理性和实用性;本模型主要有三个参数M0、N、T,且都具有实际意义。
T可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限,在此期限后失去传染能力,可能原因是被隔离、病愈或死去等等。
N表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数(但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率)。
整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征:传染期T和传染率N,反映了SARS的传播过程。
使人很容易理解该模型。
模型灵活通过调整M0、N、T值,就可以描述不同地区,不同环境下SARS的初期传播规律预测准确通过模型对表格的调查结果进行了分析,得到的预测值与实际统计数据较接近。
可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。
预期模型的缺点:1、对于如何确定对于三个参数M0、N、T,未给出一般的原则或算法,只能通过对于已发病地区的数据进行拟合得出。
按照作者的表述,N值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率,虽然简化了运算,但是在现实情况下,不同地区的N 值是不同的。
在实际应用中,如果没有一定量的数据,是无法得出N值的。
在我们对该模型5进行拟合事发现,对于M0 、N 、 T 作者未给出调整的标准和相关理论,所以我们很难重复该求解过程。
2、当需要对某一地区进行疫情分析时,还需考虑到该地区相对于表格所给的人群这类人口密集,人员流动性大的城市之间的差异。
地域因素会造成不同地区的N 值不同(如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病,初期的N 值会比人口密度和人口流动小的城市大,等等),而很难找到地域因素几乎相同的两城市。
所以此作法可能导致预测结果相差较大。
综上所述,该模型能较好的反映SARS 传染的特征性,具有一定的实际意义。
但是,参数的取值包含有一定的主观因素,且需要大量的数据进行拟合,且未给出调整的标准和相关理论,在实际应用中实用价值不大。
(二)答:模型假设1、在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变,既不考虑生死,,也不考虑迁移。
人群分为易感染者和已感染者两类,时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记为s (t )和i (t )。
2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ,k 称为日接触率。
当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染为病人。
问题分析根据假设,可知,人群分为两类,一是健康者,二是病人,只要一类人群随时间的变化规律知道,这另一类人群也可马上求解。
由于传染病过程中通常取病人为研究对象,所以决定求解病人随时间的变化规律。
3、模型分析、建立对于t 时刻,病人的增加率为kNsi ,即diN kNsi dt= (1) 又因为S (t )+i (t )=1 (2) 再令初始时刻的病人比例为i0,这 (1),(0)0diki i i i dt=-= (3) 显然此为logistic 模型,它的解为 1()1(1/01)kti t i e -=+- (4)参数的确定通过对图表的累计病例数用spss 进行曲线拟合,结果如下可得拟合的函数关系式为11/25250.001(0.865)ty =+,y=N*i通过取一系列t 来估计出相应的k 值,结果如下时间 20 30 40 50 60 k 值大小 0.1919 0.1763 0.1685 0.16380.16077由图像可知,当t 较大时,曲线拟合的数据与实际测量值越接近,所以就取t=60时所对应的k 值,即0.1607。
此值可以近似看做当政府没有采取措施,即传染病的自然传染能力大小。
但同时根据附件1的求解方法,我们计算了4月20日到4月29日期间每日的k 值大小,再求平均,得k =0.169346。
对于k 和k 之间的差异,这是由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后k 值将改变,且k1>k2。
所以由于k 只考虑控制前,所以比k 要略大,我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时,取值为k =0.169346。
但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者,所以在模型1的基础上进行改进,建立了模型2。
模型2在模型1的假设条件下增加的条件为,1,每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p 。
病人治愈后由于获得了免疫能力,同时也由于心理作用,更加保护自己,所以可以假设治愈后再次感染的几率为0,且该种人群在总人群中所占有的比例为u (t )。
不难看出,考虑到假设3,模型1中的(1)式应修改为,(0)0diN kNsi pNi i i dt=-= (5)而且对于健康者,其增加率为,(0)0dsksi s s dt=-= (6) 对于移出者而言,其增加率为duN pNi dt= (7) 由于人群只由健康者,病人和移出者组成,所以S(t)+i(t)+u(t)=1 (8)4、模型求解查资料,得到2003年北京市市区总人口数目为698.8万人从而可以得到初始条件i0= 339/(698.8*10^(-4))=4.851*10^(-5 ) ,s0= 0.99995149(取4月20号为初始条件)同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计,求得每日的移出率p ,在求平均值得到p =0.05121。
在模型一中求得k =0.169346;将上述参数代入(5)式和(6))式,求得数值解和绘制的图像00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.050.10.150.20.250.30.3590501001502000.511.522.56时间能感染的病人数由图像可得i (t )随时间的推移先逐渐变大,之后变小,趋向于0,s(t)随时间的推移而逐渐减小,根据常识,一种传染病中的病人比例最终是为0,由此模型2还是比较符合客观事实的,但从图像中大致可以判断i (t )=0时大约要经过225多天。
这与实际过程中大约经过100多天北京的SARS 就平息存在较大误差,仔细分析,我们发现该模型忽略了SARS 的潜伏期,实际上健康人与SARS 患者接触后虽然被感染了,但还处于潜伏期,没有传染能力。
所以将模型2进行改进,得到模型3。
模型3 模型假设1,将人群分为四类,分别为健康人群,能感染的病人SARS ,SARS 潜伏者和移出者(包括SARS 的死亡者和治愈者),他们在人群中的比重分别为 s(t),i(t),w(t),u(t);其中已确诊病人和SARS 潜伏者统称为SARS 病毒携带者,记为x1(t ),表示其t 时刻的人数,人口总人数为N 。
2 ,每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ,k 称为日接触率。
当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染为病人。
3, SARS 潜伏者无传染能力,但最终会成为病人,具有传染能力。
问题分析该模型比起模型2更为复杂,在该模型中还必须将SARS 病毒携带者分为两类,显然增加了计算难度,在此中还应该考虑潜伏周期T 。
模型求解在t 时刻SARS 病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t) (9) SARS 病毒携带者的增长率为1()()()()dx t Ni t ks t Ni t p dt=- (10) 健康人的增长率为()()dsi t ks t dt=- (11) 移出者的增长率为duip dt= (12) 潜伏者的增长率为()()()()()dw t i t ks t i t T ks t T dt=--- (13) 确诊病人的增长率为()()()di t dw t T i t p dt dt-=- (14) 除此之外,还有一条公式,为S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1 (15) 由(9)到(16)式联立,可得到()()()()di t i t T ks t T i t p dt=--- (16) 将(14)和(17)式联立,可得()()()dw t T i t T ks t T dt-=-- (17) 将t-T 用t 代替,可得()()()dw t i t ks t dt= (18) 在对(16)式两边对t 进行求导,可得()()()()0d s t d i t d w t d u td t d t d t d t+++= (19) 结合(11),(12),(18)可求得()()di t i t p dt=- (20) 最终对(11),(18),(20)联立的方程组进行数值求解,可得图像如下数学建模11-0.200.20.40.60.811.200.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5SARS 疫情传播的数学模型与预测00.511.522.533.56时间能感染的病人数从图像中我们可以观察到在300多天时i (t )会接近于0,这比模型2还要久,,因此,我们还把政府的干预考虑进来,也就得到了模型4。