2平面体系的几何构造分析剖析
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第2章平面体系的几何组成分析小结
第二章平面体系的几何组成分析一、名词解释1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系称为几何不变体系。
体系的几何不变性应当满足：具有足够的、布置合理的约束(联系)。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系称为几何可变体系。
几何可变体系包括几何常变体系和几何瞬变体系。
几何常变体系是指缺少约束或约束布置不合理，体系没有确定的几何形状和空间位置，可发生持续的刚体位移。
几何瞬变体系是指具有足够数量的约束，但是约束布置不合理，在发生微小位移后，即成为几何不变体系。
瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生很大的内力。
3．刚片在平面体系中，不考虑材料应变的几何不变部分称为刚片。
如一根梁、一根链杆、一个铰结三角形等。
4．自由度自由度是指物体或体系运动时可以独立变化的几何参数的数目。
即确定物体或体系位置所需的独立坐标数。
平面上的一个点有两个自由度，平面上的一个刚片有三个自由度。
5．约束(联系)用于限制体系运动的装置称为约束(或联系)。
(1)等效链杆的概念链杆为两端为铰的刚性直杆或曲杆。
只用两个铰与外界相连的刚片称为等效链杆。
等效链杆的作用与链杆相同。
(2)单约束和复约束连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束。
连接两个以上刚片的铰称为复铰，连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；连接两个刚片的刚结点称为单刚结点，一个单刚节点相当于三个约束。
连接两个以上刚片的刚结点称为复刚结点，连接n个刚片的复刚结点相当于n—1个单刚结点。
(3)虚铰(瞬铰)虚铰也称为瞬铰，它是连接两个刚片的两链杆延长线的交点，与单铰具有相同的约束作用。
(4)必要约束和多余约束能够起到影响体系实际自由度数目的约束为必要约束。
必要约束具有布置合理的特点，用以组成几何不变体系的最少约束都是必要约束。
不改变体系实际自由度的约束称为多余约束。
6．体系的计算自由度用计算自由度公式方法求得的体系自由度，称为计算自由度W。
结构力学-平面体系的机构分析二
几何不变体系--平衡方程有解
无多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)=0
静定结构 3m=2h+r
有多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)<0
超静定结构 3m<2h+r
例2--2：
分析： W==2j-(b+r)=2*18-(33+3)=0
14ຫໍສະໝຸດ 3625
6
例2--2：
解：此体系的支座链杆只有三根，且不全平行也不交于一点， 若体系本身为一刚片，则 它与地基是按两刚片规则组成的，因 此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。对 于体 系本身(图2-19b)，分析时可从左右两边均按结点1、2、3、…的 顺序拆去二元体，最后剩 下刚片9—10，但当拆到结点6时，即 发现二元体的两杆在一直线上，故知此体系是瞬变的。当 然， 也可以把中间的9-10 杆当作基本刚片，而按结点8、7、…的顺 序增加二元体，当加到结 点6时同样可发现二元体的两杆在一 直线上，故知为瞬变体系。
例2—3 试分析图2-20所示桁架的几何构造。
A
B
C
1
2
分析：可将左半分，右半部分，地基视为三个刚片1，2，3。 则1，2之间——铰C；1，3之间——虚铰A； 2，3之间——虚 铰B。 根据三刚片规则，此体系几何不变。
例：2—4试对图示体系进行机动分析。
解：首先，可按式(2—2)求其计算自由度： w＝2j-(b+r)＝2×6一(8十4)＝0 这表明体系具有几何不变所必需的最少联系数目。
2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图2-18所示多跨静定梁的几何构造。
解：地基为一刚片。观察各段梁与地基的联结情况，首先可看出， AB段梁与地基是用三根链杆按“两刚片规则”相联的；为几何不变。 这样，就可以把地基与AB段梁一起看成是一个扩大了的刚片。再看 BC段梁，它与上述扩大了的刚片之间又是用一铰一杆按刚片规则相 联的，于是这个“大刚片”就更扩大到包含BC段梁。同样，CD段梁 与上述大刚片又是按两刚片规则相联的，DE段梁亦可作同样分析。 因此，可知整个体系为几何不变、且无多余联系。
无多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)=0
静定结构 3m=2h+r
有多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)<0
超静定结构 3m<2h+r
例2--2：
分析： W==2j-(b+r)=2*18-(33+3)=0
14ຫໍສະໝຸດ 3625
6
例2--2：
解：此体系的支座链杆只有三根，且不全平行也不交于一点， 若体系本身为一刚片，则 它与地基是按两刚片规则组成的，因 此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。对 于体 系本身(图2-19b)，分析时可从左右两边均按结点1、2、3、…的 顺序拆去二元体，最后剩 下刚片9—10，但当拆到结点6时，即 发现二元体的两杆在一直线上，故知此体系是瞬变的。当 然， 也可以把中间的9-10 杆当作基本刚片，而按结点8、7、…的顺 序增加二元体，当加到结 点6时同样可发现二元体的两杆在一 直线上，故知为瞬变体系。
例2—3 试分析图2-20所示桁架的几何构造。
A
B
C
1
2
分析：可将左半分，右半部分，地基视为三个刚片1，2，3。 则1，2之间——铰C；1，3之间——虚铰A； 2，3之间——虚 铰B。 根据三刚片规则，此体系几何不变。
例：2—4试对图示体系进行机动分析。
解：首先，可按式(2—2)求其计算自由度： w＝2j-(b+r)＝2×6一(8十4)＝0 这表明体系具有几何不变所必需的最少联系数目。
2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图2-18所示多跨静定梁的几何构造。
解：地基为一刚片。观察各段梁与地基的联结情况，首先可看出， AB段梁与地基是用三根链杆按“两刚片规则”相联的；为几何不变。 这样，就可以把地基与AB段梁一起看成是一个扩大了的刚片。再看 BC段梁，它与上述扩大了的刚片之间又是用一铰一杆按刚片规则相 联的，于是这个“大刚片”就更扩大到包含BC段梁。同样，CD段梁 与上述大刚片又是按两刚片规则相联的，DE段梁亦可作同样分析。 因此，可知整个体系为几何不变、且无多余联系。
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
结构力学第2章
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
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第2章 平面体系的几何构造分析 四、应注意的问题
返回
自测
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
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A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
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第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
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自测
E C A D B
1. 二元体
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第2章 平面体系的几何构造分析
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自测
例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
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(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
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A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
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第2章 平面体系的几何构造分析
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E C A D B
1. 二元体
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例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
第二章_平面体系的几何组成分析
三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
2 平面体系的几何构造分析
11
④定向支座(滑动支座)
限制刚片A点在竖直方向的移动和转动，减少 两个自由度，相当于两个约束。
A
MA
A
MA
Fy A
Fy A
12
（2）刚片间的连接约束 ①链杆 简单链杆——仅连接两个结点的杆件称为 简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度， 故一根简单链杆相当于一个约束。
y
x
φ
x
x,
链杆约束
13
I 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
B III
A
II
C
25
例2-3:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
刚片II,III——用铰B连接
刚片I, III——用铰A连接
该体系为几何不变,无多余约束。
26
例2-4:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
20
例2-1:求该体系的计算自由度数。
解: W=3m-(2n+r) =3×4-（2×4+6） =-2<0 体系有两个多余约束。
21
例2-2:求该体系的计算自由度数。 解:
W=3m-(2n+r) =3×10-（2×13+4） =0 W=2J-(b+r)
=2×7-（2×10+4）
=0
22
练习:求该体系的计算自由度数。 解: W=3m-(2n+r) =3×9-（2×12+3） =0 W=2J-(b+r)
III 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行， 则体系为瞬变。 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行且 三者等长，则体系为常变。
29
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
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2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
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2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
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2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
第2章平面体系几何组成分析结构力学
结构力学多媒体课件2 平面体系的几何组成分析Geometric construction analysis基本要求：明确几何组成分析的目的，领会几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。
掌握几何不变体系的简单组成规则，能灵活运用三个规则对平面体系进行组成分析。
重点：几何不变体系的简单组成规则难点：如何正确应用几何不变体系的简单组成规则对平面体系进行几何组成分析，二元体的概念。
教学内容：﹡几何不变体系、几何可变体系及几何组成分析的目的﹡刚片、自由度和约束的概念﹡平面体系的计算自由度﹡无多余约束几何不变体系的组成规则﹡几何组成分析举例﹡结构的几何组成和静定性的关系§2-1 概述结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。
结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。
问题：是不是若干杆件随意组合都能成为结构？1、几何不变体系和几何可变体系结构几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置保持不变的体系。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系机构意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置可以改变的体系。
显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。
因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系P ∆瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变体系。
这是几何可变体系的一种特殊情况。
ααA BCP F NCA FNCBCPαsin2PF NCA=因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧瞬变体系常变体系几何可变体系几何不变体系体系 （图1） P （图2） P P∆（图3）§2-1 概述2、几何组成分析几何组成分析（机动分析或构造分析）—判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几何不变体系的组成规律。
结构力学 第2章 平面体系的几何组成分析
2.1 几何不变体系和几何可变体系
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑 材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A
几何不变体系：刚体.swf
EI1=∞
B
B
一、几何不变体系和几何可变体系
2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。 (2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
m1 m4 m7 (3)h m2 m5 (1)h m6 (3)g
(1)h m3 (3)h
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内 部分别有1、2、3个多余约 a) 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。
b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
结构力学2平面体系几何组成分析-55页精选文档
P
M0 0
(1) 多余约束的存在
N3Pr0 (2) 很小的荷载引起很大的内
N1
N2
N3
N3
Pr
力；构件的微小变形引起体
系显著的位移。
六、瞬 铰
依据理论力学中关于瞬时转动中心的概念，将在 运动中改变位置的铰称为瞬铰，又称为虚铰。
O.
. O’
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
超静定结构
有多余 联系几何
不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
思考练习 加、减二元体 无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找虚铰 无多几何不变
找 刚Ⅰ 片 、 O23 找 虚 铰
无多几何不变 O12
y
A'
D y n=2
A Dx
0
x
y
A'
B' D
n=3
A B Dy
Dx
0
x
自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。
三、联系与约束 (Constraint)
联系（约束）--减少自由度的装置。
一根链杆 为一个联系
A
C
B
n=n3=2 平面刚体——刚片
五、瞬变体系(instantaneously unstable system)
一个几何可变体系在发生微小的机构
结构设计不仅 运动后成为几何不变体系，那么这个体系
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个铰不共线），则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
A 二元体：两根不共线链杆连接一个新结点
B AC
BB
刚片I
CC
刚片I
瞬变体系
规律1推论：二元体规则
在任意一个体系上增加或减少二元体都不会改变原有体系
的几何构造性质。
A
体系I 几何不变
B
C
体系I
几何不变 A
体系I 几何可变
B
C
体系I
几何可变
二元体和非二元体 二元体
杆能减少一个自由度，故一根单链杆相当于一个约束。
y
x
φ
x
x,
y
3 2 x 1
y x
x, y,1, 2,3
3.约束
1）链杆 复链杆：连接n>2个结点的链杆，相当于2n-3个单链杆。
n=3
(2n 3) 2 3 3 3
3.约束
2）铰
单铰：只与两个刚片连结的铰称为单铰，一个单铰能减
少体系两个自由度，故相当于两个约束。
OI,II
OI,II
I I
I
II II
II
III
OI,III OII,III
无多余约束的 几何不变体系
III
OI,III
瞬变体系
OII,III
OI,III III
OI,II
常变体系
OII,III
无穷远瞬铰讨论： 2对平行链杆
OI,II
OI,II
I I
II II
III
OI,III
OII,III
无多余约束的
称刚片。刚片可以等效替代。
2.自由度
确定物体位置时所需要的独立坐标的数目。 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
y
A
x y
x
点的自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
3.约束
体系中能减少自由度的装置就称为约束。 装置能减少多少个自由度，就相当于多少个约束。
3.约束
1）链杆 单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆，一根单链
结点，即3(n-1)个约束。
4.多余约束
多余约束：如果在体系中增加一个约束，而体系的自由度并 不因而减少，则此约束称为多余约束。
5.瞬变体系与常变体系
瞬变体系：本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的 体系称为瞬变体系。瞬变体系一定有多余约束。
常变体系：可以发生大位移的几何可变体系叫作常变体系。 瞬变体系和常变体系均不可作为结构使用。
两根平行链杆的交点在无穷远处，相当于无穷远处的瞬铰。
沿无穷远处铰的转动相当于平动。
相交在∞点
关于∞点的情况需强调几点： ——每一个方向有一个∞点; ——不同方向有不同∞点; ——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线; ——各有限点都不在∞线上。
§2-2 平面杆件体系的基本组成规律
脚手架
脚手架垮塌的原因
几何可变体系
几何不变体系
内部几何可变体系
内以决定是否可以作为结构。 （2）研究几何不变体系的组成规律。 （3）正确区分静定结构和超静定结构，为超静定结构内力 计算打下基础。
相关概念 1.刚片
在几何构造分析时，由于不考虑材料的应变，可以把一根 梁、一根链杆或体系中几何不变的部分看作一个平面刚体，简
规律2：两个刚片之间的连接（两刚片规则）
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连（也 可以说三个铰不共线），则组成几何不变的整体，且没有多余
约束。
推论：两个刚片用既不完全平行，也不相交于一点的三根链杆 相连接，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
刚片II 刚片II 刚片II
AA
BB
CC
刚片I
A
A
B
B B AC
刚片C II 刚片I 刚片I
C 刚片I
两刚片规则讨论
刚片II
O
II
刚片I 常变体系
刚片II
刚片I 瞬变体系
刚片II
刚片I 常变体系
刚片I 瞬变体系
两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆连接
△△△
L1
L2
L3
α1
α2
α3
1
L1
2
L2
3
L3
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行 了，也不交于一点，就变成了几何不变体系，因此为原体系 为瞬变体系。
规律3：三个刚片之间的连接（三刚片规则）
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则 组成几何不变的整体，且没有多余约束。
刚片III 刚片III
刚片II 刚片II
AA
BB
CC
刚片I
A 刚片IIB 刚片III
B AC
刚片刚I 片I C
思考：如果A、B、C三个铰中存在无穷远瞬铰？
无穷远瞬铰讨论：1对平行链杆
第2 章 平面杆件体系的几何构造分析
§2-1 基本概念 §2-2 平面杆件体系的基本组成规律 §2-3 几何构造分析示例 §2-4 平面杆件体系的计算自由度
§2-1 基本概念
平面杆件体系
多个杆件以某种方式互相连接构成杆件体系，若所有杆件 和连接以及外部作用均处于同一平面，则称为平面杆件体系。
几何构造分析（几何组成分析）
几何不变体系
I
III
OI,III
瞬变体系
OI,II II
OII,III
OI,III
III OII,III
几何可变体系 隐含的几何可变体系
判断一个杆件体系是否为几何不变体系
基本规律：铰接三角形规律
不共线的三个点用三根链杆两两相连，则所组成的铰接三 角形体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。
A
A
B
C
B
C
瞬变体系
规律1：一个点与一个刚片的连接（一刚片规则）
一个刚片与一个点用两根不共线的链杆相连（也可以说三
复铰：连接n>2个刚片的铰，相当于n-1个单铰，即2(n-1)
个约束。
y
II 21 I
x y
x
x, y,1, 2
y III
II
x 32 1 I
y 2(3-1)=4 x
x, y,1, 2,3
3.约束
3）刚结点 单刚结点：只与两个刚片连结刚结点称为单刚结点，一
个单刚结点能减少体系三个自由度，故相当于三个约束。 复刚结点：连接n>2个刚片的刚结点，相当于n-1个单刚
AB
C
B1
5.瞬变体系与常变体系
杆件体系
几何不变体系 （结构）
几何可变体系
静定结构 无多余约束 超静定结构 有多余约束
瞬变体系
常变体系
6.瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个单铰所起的约 束作用，故两根链杆可以看作在交点处有一个瞬铰（虚铰）。
O.
. O’
A
B
C D
7.无穷远处的瞬铰
根据几何学原理对体系发生运动的可能性进行分析。 如果体系几何形状可变，则无法作为结构。
几何构造分析的基本前提
杆件都视为刚体，即忽略杆件由于荷载作用产生的应变
杆件体系分类
（1）几何不变体系：不考虑材料应变的条件下，体系的位 置和形状不能改变的体系。
（2）几何可变体系：不考虑材料应变的条件下，体系的位 置和形状可以改变的体系。
A 二元体：两根不共线链杆连接一个新结点
B AC
BB
刚片I
CC
刚片I
瞬变体系
规律1推论：二元体规则
在任意一个体系上增加或减少二元体都不会改变原有体系
的几何构造性质。
A
体系I 几何不变
B
C
体系I
几何不变 A
体系I 几何可变
B
C
体系I
几何可变
二元体和非二元体 二元体
杆能减少一个自由度，故一根单链杆相当于一个约束。
y
x
φ
x
x,
y
3 2 x 1
y x
x, y,1, 2,3
3.约束
1）链杆 复链杆：连接n>2个结点的链杆，相当于2n-3个单链杆。
n=3
(2n 3) 2 3 3 3
3.约束
2）铰
单铰：只与两个刚片连结的铰称为单铰，一个单铰能减
少体系两个自由度，故相当于两个约束。
OI,II
OI,II
I I
I
II II
II
III
OI,III OII,III
无多余约束的 几何不变体系
III
OI,III
瞬变体系
OII,III
OI,III III
OI,II
常变体系
OII,III
无穷远瞬铰讨论： 2对平行链杆
OI,II
OI,II
I I
II II
III
OI,III
OII,III
无多余约束的
称刚片。刚片可以等效替代。
2.自由度
确定物体位置时所需要的独立坐标的数目。 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
y
A
x y
x
点的自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
3.约束
体系中能减少自由度的装置就称为约束。 装置能减少多少个自由度，就相当于多少个约束。
3.约束
1）链杆 单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆，一根单链
结点，即3(n-1)个约束。
4.多余约束
多余约束：如果在体系中增加一个约束，而体系的自由度并 不因而减少，则此约束称为多余约束。
5.瞬变体系与常变体系
瞬变体系：本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的 体系称为瞬变体系。瞬变体系一定有多余约束。
常变体系：可以发生大位移的几何可变体系叫作常变体系。 瞬变体系和常变体系均不可作为结构使用。
两根平行链杆的交点在无穷远处，相当于无穷远处的瞬铰。
沿无穷远处铰的转动相当于平动。
相交在∞点
关于∞点的情况需强调几点： ——每一个方向有一个∞点; ——不同方向有不同∞点; ——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线; ——各有限点都不在∞线上。
§2-2 平面杆件体系的基本组成规律
脚手架
脚手架垮塌的原因
几何可变体系
几何不变体系
内部几何可变体系
内以决定是否可以作为结构。 （2）研究几何不变体系的组成规律。 （3）正确区分静定结构和超静定结构，为超静定结构内力 计算打下基础。
相关概念 1.刚片
在几何构造分析时，由于不考虑材料的应变，可以把一根 梁、一根链杆或体系中几何不变的部分看作一个平面刚体，简
规律2：两个刚片之间的连接（两刚片规则）
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连（也 可以说三个铰不共线），则组成几何不变的整体，且没有多余
约束。
推论：两个刚片用既不完全平行，也不相交于一点的三根链杆 相连接，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
刚片II 刚片II 刚片II
AA
BB
CC
刚片I
A
A
B
B B AC
刚片C II 刚片I 刚片I
C 刚片I
两刚片规则讨论
刚片II
O
II
刚片I 常变体系
刚片II
刚片I 瞬变体系
刚片II
刚片I 常变体系
刚片I 瞬变体系
两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆连接
△△△
L1
L2
L3
α1
α2
α3
1
L1
2
L2
3
L3
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行 了，也不交于一点，就变成了几何不变体系，因此为原体系 为瞬变体系。
规律3：三个刚片之间的连接（三刚片规则）
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则 组成几何不变的整体，且没有多余约束。
刚片III 刚片III
刚片II 刚片II
AA
BB
CC
刚片I
A 刚片IIB 刚片III
B AC
刚片刚I 片I C
思考：如果A、B、C三个铰中存在无穷远瞬铰？
无穷远瞬铰讨论：1对平行链杆
第2 章 平面杆件体系的几何构造分析
§2-1 基本概念 §2-2 平面杆件体系的基本组成规律 §2-3 几何构造分析示例 §2-4 平面杆件体系的计算自由度
§2-1 基本概念
平面杆件体系
多个杆件以某种方式互相连接构成杆件体系，若所有杆件 和连接以及外部作用均处于同一平面，则称为平面杆件体系。
几何构造分析（几何组成分析）
几何不变体系
I
III
OI,III
瞬变体系
OI,II II
OII,III
OI,III
III OII,III
几何可变体系 隐含的几何可变体系
判断一个杆件体系是否为几何不变体系
基本规律：铰接三角形规律
不共线的三个点用三根链杆两两相连，则所组成的铰接三 角形体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。
A
A
B
C
B
C
瞬变体系
规律1：一个点与一个刚片的连接（一刚片规则）
一个刚片与一个点用两根不共线的链杆相连（也可以说三
复铰：连接n>2个刚片的铰，相当于n-1个单铰，即2(n-1)
个约束。
y
II 21 I
x y
x
x, y,1, 2
y III
II
x 32 1 I
y 2(3-1)=4 x
x, y,1, 2,3
3.约束
3）刚结点 单刚结点：只与两个刚片连结刚结点称为单刚结点，一
个单刚结点能减少体系三个自由度，故相当于三个约束。 复刚结点：连接n>2个刚片的刚结点，相当于n-1个单刚
AB
C
B1
5.瞬变体系与常变体系
杆件体系
几何不变体系 （结构）
几何可变体系
静定结构 无多余约束 超静定结构 有多余约束
瞬变体系
常变体系
6.瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个单铰所起的约 束作用，故两根链杆可以看作在交点处有一个瞬铰（虚铰）。
O.
. O’
A
B
C D
7.无穷远处的瞬铰
根据几何学原理对体系发生运动的可能性进行分析。 如果体系几何形状可变，则无法作为结构。
几何构造分析的基本前提
杆件都视为刚体，即忽略杆件由于荷载作用产生的应变
杆件体系分类
（1）几何不变体系：不考虑材料应变的条件下，体系的位 置和形状不能改变的体系。
（2）几何可变体系：不考虑材料应变的条件下，体系的位 置和形状可以改变的体系。