圆锥曲线的几何性质

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圆锥曲线的几何性质

一、椭圆的几何性质（以22a x +22

b

y =1（a ﹥b ﹥0

1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义

12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪

⇒+++=⎬+=⎪⎭

即

2

ABF C

2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2

tan 2θ

•b

（2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 证明：（1）在

12AF F 中

∵ 22

2

1212

4cos 2PF PF c PF PF θ+-=

⋅

∴ ()

2

2

1212

122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-

∴ 2

1221cos b PF PF θ

⋅=+ ∴

122

12sin 21cos PF F b S b θθ=⨯⋅=+（2）（S ⊿PF1F2）max =max 122

c h bc ⨯⨯=

（3 ()()()

22

22

2

2

22

12002

22212

44cos 22PF PF c a ex a ex c PF PF a e x θ+-++--=

=

=⋅+当0x =0时 cos θ有最小值22

2

2a c a - 即∠F 1PF 2最大

3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ，

则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2

证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有

1PF FP =∴ 212OM FF ==()1212

PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2

切

证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为r ∵ OM =

()211111

2222

PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2

+y 2

=a 2

切

5、任一焦点⊿PF 1F 2的切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于R ，

x

x

x

x

证明：令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为12,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。

∵ ()21221222AF ed AF BF e d d BF ed =⎫⇒+=+⇒⎬=⎭

()()12121

22

AB R e d d R e d d ==+⇒=+ ∵

(121

2d d d =

+∵ 01e ∴ R d 7、A 为椭圆一定点，P 在椭圆上，则： （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣ 证明：连接11,,AP AF PF ∵ ()

21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-

∵

111

AF AP PF AF -≤-≤∴

122a AF AP PF -≤+∴ （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）8、A 为椭圆一定点，P 是椭圆上的动点，则 （∣PA ∣+

e

PF 2）min = A 到右准线的距离

证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有

PF e d d =⇒=∴（∣PA ∣+

e

PF 2）min =()

min

PA d

+ = A 到右准线的距离.

9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x=±a 上。 证明：令

☉I 与⊿PF 1F 2

三边所在的直线相切于M 、N 、A

∵ PM PN = 22F N F A =

∴

111221PF PN F M F F F N F A

+=+=

∵ 1

1FM F A =∴ 1122PF PN F F F N +=+ x

y

x

x

∵ 22F N F A =∴ 121222PF PN F N F F F N F A ++=++

∵ 22F N F A =∴ 2222a c F A =+∴ 2a c F A =+ 即为椭圆顶点。 ∴ 焦点⊿PF 1F 2

的旁心在直线 x=±a 上

10、P 是椭圆上任意一点，PF 2的延长线交右准线于

上另一任意点，连结PK 交椭圆于Q ，则KF 2平分∠证明：令P,Q 到准线的距离为12,d d

2122

21212222

2212PF e d PF QF PF d QF d d QF d PF e d QF d PK

d QK ⎫⎫

=⎪⎪⎪⎪⇒=⇒=⎬⎪⎪=⇒=⎬⎪⎭⎪⎪=⎪⎭

由三角形外角平分线性质定理有KF 2平分∠EF 2Q

11、)(2112定值b

a

BF AF =+

证明：令()()1122,,,A x y B x y

1:当AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为(y k =∵()

2222222222

2222

(2)0y k x c b x a k x k cx c k a b x y a

b =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+⎪⎩

2

2

2

2

2

2

2

22

22

()20b a k x a k cx a k c a b ⇒+-+-=

∴ 22122222a k c x x b a k +=+ 22222

12222a k c a b x x b a k

-=+

∴12121111AF a ex BF a ex AF BF a ex a ex =-⎫⎪⇒+=+⎬=---⎪⎭

()()1222

12122a e x x a ae x x e x x -+=-++ =22222222

22

22222222222222

222

2222222222

222

222222()a k c c a k c

a e a

b a k a b a k a k

c a k c a b a k c c a k c a b a ae e a ae b a k b a k b a k a b a k --⋅++=---+-+++++ 32222422222242222222a k ab ak c a k a b a k c c k b c +-=+-+- ()

222222422222222

2222ak a c ab ak a

k b a b b c k b a c -++==+-+- x