匀速圆周运动的向心力和向心加速度

a r 2 F mr 2 2 v F ma v2 F m a r r
【说明】 ⑴匀速圆周运动的加速度是由向心力产生的，其方向必定
指向圆心，所以匀速圆周运动的加速度又称为向心加速度。
⑵向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 ⑶向心加速度是变量，其方向是不断变化的。
1. 绳 在光滑水平面内,依靠绳的拉力T提供 向心力. T = MV2/ R 在不光滑水平面内,除绳的拉力T外， 还要考虑摩擦力。
2. 杆
例: 如图所示的两段轻杆OA和AB长分别 为2L和L,在A和B两点分别固定有质量均为 M的光滑小球, 当整个装置绕O点以ω做圆周 运动时, 求OA和AB杆的张力各为多大?
L F L0
O
注意: 对于弹簧约束情况下的圆周运动, 一 定要找准真实的圆周运动的半径与向心力.
4. 摩擦力提供向心力
例: A、B、C三物体放在水平圆台上, 它们与平台的动摩擦因数相同,其质量 之比为3:2:1,它们与转轴之间的距离 之比为1:2:3,当平台以一定的角速度 旋转时,它们均无相对滑动,它们受到 静摩擦力分别为fA、fB、fC,则 ( ) A. fA<fB<fC B. fA>fB>fC C. fA=fB<fC D. fA=fC <fB
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第3节 圆周运动实例分析 ——水平面圆周运动
问题：“旋转秋千”中的缆绳跟中心轴的夹角与哪些因 素有关？体重不同的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心 轴的夹角相同吗？
“旋转秋千”的运动经过简化，可以看做如下的物 理模型：在一根长为l的细线下面系一根质量为m的小 球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角， 给小球一根初速度，使小球在水平面内做圆周运动， 悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫做圆锥摆。
v Rg tan
v Rg tan 外轨对外轮缘有弹力
v Rg tan内轨对内轮缘有弹力
α G
1、在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这 是为了( ACD ) A．减轻火车轮子挤压外轨 B．减轻火车轮子挤压内轨 C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供 转弯所需向心力 D．限制火车向外脱轨
解: (1). 轨道内侧对小球有支持力N,
N
mg
mg -N = mV2/R 所以 N = mg - mV2/R 根据题意, N>0, 代入上式, V< gR
(2).轨道外侧对小球有压力N,
解析:A、B、C三物体在转动过程中未发 生滑动，故转台对物体提供的静摩擦力 应等于它们作圆周运动需要的向心力， 即f提供=f需要=fn=Mω2R.三物体绕同一轴 转动，角速度相等，把质量和圆周运动 的半径关系代入上式，比较可知fA=fC<fB 选项D正确.
B
A C
扩展
例: A、B、C三物体放在水平圆台上, 它们与平台的动摩擦因数相同,其质量 之比为3:2:1,它们与转轴之间的距离 之比为1:2:3,当平台以一定的角速度 旋转时,它们均无相对滑动,它们受到 静摩擦力分别为fA、fB、fC,当平台旋转 的角速度不断增大时，哪个物体最先 相对平台滑动，哪个物体最后滑动
三. 绳（外轨）
解: 在最高点: 解得:
T+ mg = mV2/R
T = mV2/R- mg
依据此公式，你能找出T与V存在哪些关系？ 1).小球对绳的拉力随速度的增大而增大； 2). 当 v= 时，T＝0, gR 小球恰过最高点; T mg
当Ｖ＞ gR 时，T>0; 当Ｖ < gR时，小球不能到达顶点.
gR
N m g T m g
(2).杆对小球有拉力T, mg +N = mV2/R 所以 N = mV2/R - mg
根据题意, T>0,代入上式, V>
(3). 当
v= gR 时，N＝0,
gR
杆对小球无作用力.
问题: 质量为m的光滑小球,在半径 为R的圆管内滚动,请讨论小球的速 度在什么范围内,轨道内侧对小球 有支持力? 在什么范围内,轨道外侧 对小球有向下的压力?速度为何值 时,轨道与小球间无相互作用力?
四.杆（有内外轨）
问题: 质量为m的小球,套在长为L轻杆上 在竖直平面内转动,在最高点, 试讨论小 球的速度在什么范围内,杆对小球有支持 力? 在什么范围内,杆对小球有向下的拉 力?速度为何值时,杆对小球无作用力?
解: (1).杆对小球有支持力N, mg -N = 根据题意, N>0, mV2/R 所以 N = mg 代入上式, V< mV2/R
ma m r
2
m l sin g cos 2 l
2
g l cos
由此可见，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的 角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关，在绳长 一定的情况下，角速度越大则缆绳与中心轴的夹角也越 大。想一想，怎么样求出它的运动周期？
一、火车车轮的结构特点：
解: 据题意, B球的向心力来源于AB杆 对它的拉力TAB , 据牛顿第二定律: TAB = M ω23L ……(1 ) A球的向心力来源于OA杆与AB对它的 作用力的合力 , 据牛顿第三定律:
O
A
B
TAB = T`AB ……. .(2)
据牛顿第二定律:对A球有
TOA
A
T`AB
TOA - T`AB = M ω22L ….. (3)
解得: TOA = 5M ω2L
即:OA杆的张力为5M ω2L, AB杆的张力为3M ω2L .
TAB
B
3.弹簧
在光滑水平面内, 由弹簧的弹力F来 提供向心力. F = MV2/ R 例:劲度系数为K的弹簧,一端栓着质量为M 的光滑小球,一端固定在水平面内,以角速度 ω, 半径L做匀速圆周运动,求弹簧的原长. 解:设弹簧的原长为L0 , 则弹簧的形变量为L-L0 . 据胡克定律: 有 F=K(L-L0 ) 据牛顿第二定律: K(L-L0 ) = M 解得: L0 = L - M ω2 L/ K . ω2L
求汽车以速度v过半径为R的拱桥时对拱桥的压力？
【解】G和N的合力提供汽车做圆周运动的 向心力，由牛顿第二定律得： N
G （ 1 ）由牛顿第三定律可知汽车对桥的压力N´= N<G （２）汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小 （３）当汽车的速度增大到 v
v2 GN m r2 v N Gm r
式中m是运动物体的质量，r是运动物体转动的半径，ω 是转动的角速度。
v r
v2 F m r
式中v是物体圆周运动线速度的大小。 【讨论】
v2 从 F mr 看，好象F 跟r成正比，从 F m 看， r 好象F 跟r成反比。你如何认识这个问题？
2
理论推导
三、向心加速度
【匀速圆周运动的加速度】
（２）可见汽车的速度越大对桥的压力越大。
（ 1 ）由牛顿第三定律可知汽车对桥的压力N´= N>G
练习：一辆汽车匀速率通过半径为R的圆弧拱形路面， 关于汽车的受力情况，下列说法正确的是（ BD ） A．汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力 B．汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽 车所受重力 C．汽车的牵引力大小不发生变化 D．汽车的牵引力大小逐渐变小
F
v
v
【常见匀速圆周运动向心力的来源分析】
汽车在水平路面上转弯 汽车在倾斜路面上转弯
【说明】
向心力是按效果命名的力，它可以是几个力的合力。
【关于向心力的几点说明】 1.向心力是按效果命名的力，它可以是其他力的合力，也可以
是某个力，还可以是某个力的分力。在对物体进行受力分析
时，一定不要在物体实际所受力的基础上再加一个向心力。
例、小球做圆锥摆时细绳长l，与竖直方向成α角，求小 球做匀速圆周运动的角速度ω。 解：小球受力： 竖直向下的重力G 沿绳方向的拉力T
α
l T
小球的向心力：由T和G的合力提供
F合 mg tan
小球做圆周运动的半径 由牛顿第二定律： F 即： mg tan
合
O
rF
mg
r l sin
例题：“神州”五号飞船发射升空后，进入椭圆 轨道，然后实施变轨进入距地球表面约343km的圆 形轨道。已知飞船的质量为8000kg，飞船约90min 绕地球一圈，地球半径取6.37×103kg，试求飞船 在变轨成功后的向心加速度及其所受的向心力。
作业
一、课本作业：
练习与评价（1、2、3）
二、配套课时作业：
⑴在小球质量m和旋转半径r不变的条件下， 改变角速度ω，多次体验手的拉力； ⑵在小球质量m和角速度ω不变的条件下， 改变旋转半径r，多次体验手的拉力； ⑶在旋转半径r和角速度ω不变的条件下，改 变小球质量m，多次体验手的拉力； 【体验与交流】
⑴角速度ω越大，手的拉力越大；
⑵旋转半径r越大，手的拉力越大；
⑶小球质量m越大，手的拉力越大。
向心力演示仪 ——控制变量法
【实验现象】 ⑴角速度ω相同，半径r相同，质量m越大，向心力越大； ⑵角速度ω相同，质量m相同，半径r越大，向心力越大； ⑶质量m相同，半径r相同，角速度ω越大，向心力越大；
【可以证明】 匀速圆周运动所需的向心力的大小为：
F mr 2
一、什么是向心力
1.定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指 向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力。 2.特点：方向始终与v垂直，指向圆心。
方向时刻发生变化是变力
例
注意：
1、向心力通常由重力、弹力、摩擦力中 的某一个力，或者是某个力的分力，或 几个力的合力所提供。
v F
O F O
2、向心力是根据力的作用效果来 命名的，受力分析时不要把向心力 当作一个独立的力。
火车车轮有突出的轮缘