第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用.

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用10.1平面上的单连通区域与区域的正向边界 10.1.1单连通区域的定义设D 为平面区域，如果D 内任意闭曲线所围部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域,否则称为平面复连通区域.注：①平面区域是道路联通的(平面区域上的任意两点，存在曲线连接两点，且曲线上任意一点都属于平面区域)，但不一定是封闭的.例：如图10.1为平面单连通区域，如图10.2为平面复连通区域.图10.1 图10.2 图10.3 10.1.2平面区域的正向边界的定义如图10.3，设D 平面区域，L 是D 的边界，L 的正向定义如下：当观察者沿着这个方向行进时，D 内在它附近的那一部分总在他的左边. 10.2多元函数积分学中的基本公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了对坐标的曲线积分与二重积分、对坐标的曲面积分与三重积分和对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分之间的联系.其中格林公式是斯托克斯公式的特殊情形. 10.2.1格林公式 (1)格林公式的定义设平面Oxy 上的有界闭区域D 是由分段光滑曲线L 围成，函数()y x P P ,=，()y x Q Q ,=在D 内有连续的一阶偏导数，则：⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Pdx Qdy d y P x Q σ,其中+L 是有界闭区域D 的正向边界曲线.(2)格林公式的证明首先分析任何一条平行于x 轴或y 轴的直线最多与边界分段光滑曲线有两个交点的特殊闭区域D .显然这种类型的闭区域D 有两种表现形式：如图10.4，()()(){}x y y x y b x a y x D 21,,≤≤≤≤=； 如图10.5，()()(){}d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=,,21.图10.4 图10.5 图10.6由()()(){}x y y x y b x a y x D 21,,≤≤≤≤=， ()()()()()()()()()，则： --- ,,,12212112⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==-==∂∂=∂∂L L L b a b a b a x y x y x y x y b a DPdx Pdx Pdx dx x y x P dx x y x P dx y x P dy y P dx d y P σ同理⎰⎰⎰+=∂∂L D Qdy d x Qσ， 那么，在这种特殊区域D 下⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Pdx Qdy d y P x Q σ得证.如图10.6，若区域D 不满足以上特殊区域条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合特殊区域条件，仍可证明格林公式成立.【例10.1】求()[]d y x a x y ax dx xa y I L22222ln 2++-++=⎰，其中L 是为由点()R A ,0到点()R B -,0以原点为圆心的左半圆周.分析：如果用关于L 的方程把I 直接化为一元函数积分求解会有些困难，所以可以试图建立一个封闭曲线，利用格林公式求解.解：构造辅助有向直线段BAL ：0=x (R y R ≤≤-),记有向直线段BAL 与有向曲线段L 围成的区域为D ,222xa y P +=，()22ln 2x a x y ax Q ++-=..212ln 20 22R a R a ady y ad Qdy d y P x Q Qdy Pdx Qdy Pdx I R R D L D L L B A B A ππσσ=⋅+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂++-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-则：10.2.2高斯公式 (1)高斯公式的定义设空间有界闭合区域Ω，其边界∑为分片光滑闭曲面，函数()z y x P P ,,=，()z y x Q Q ,,=，()z y x R R ,,=及其一阶偏导数在Ω上连续，则：⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂RdxdyQdzdx Pdydz dV z R y Q x P ， 其中边界∑指向区域Ω的外部. (2)高斯公式的证明首先分析任何一条平行于x 轴、y 轴和z 轴的直线最多与边界的分段光滑闭曲面有两个交点的特殊闭区域Ω.显然这种类型的闭区域Ω有三种表现形式：如图10.7，()()()(){}xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21，类似的，()()()(){}zx D z x z x y y z x y z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21， 类似的，()()()(){}yz D z y z y x x z y x z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21. 由()()()(){}xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21，()()()()()()[]()()，则： ,,,, ,,,,,,122112,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ω+=-=∂∂=∂∂dxdy z y x R dxdy z y x R dxdyy x z y x R y x z y x R dz z R dxdy dV z Rxyxy D y x z y x z D又因为：()0,,3=⎰⎰∑dxdy z y x R ，其中3∑是以闭区域xyD的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面上的一部分.所以有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dV z R， 同理：⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Pdydz dV x P ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Qdzdx dV y Q , 那么，在特殊闭区域Ω下⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dV z R y Q x P 得证.若区域Ω不满足以上特殊区域条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点超过两点时，可在区域内引进一个或几个辅助曲面把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合特殊区域条件，仍可证明高斯公式成立. 【例10.2】求()⎰⎰++++=Sz y xzdxdyydzdx xdydz I 2/3222，其中S 是由椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧.分析：通过曲面S 的表达式化为二重积分计算有些困难，若把积分记为⎰⎰++=SRdxdy Qdzdx Pdydz I ，显然有：0=∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P (()0,,≠∀z y x ),所以用高斯公式会简单些.若椭球面S 围成的区域记为Ω，它包含()0,0,0，而P ，Q ，R 在()0,0,0处无定义，因而不能再Ω上直接引用高斯公式.所以需要建立一个以原点为圆心，ε为半径方向向外的辅助球面εS （位于S 内）,在利用高斯公式求解. 解：设εS 所围成的区域记为εΩ,S 和εS 所围成的区域记为1Ω，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ΩεS S Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz dV z R y Q x P 1由于在区域1Ω内，0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ， ().4311332/3222πεεεεεε==++=++++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩdV zdxdy ydzdx xdydz zy xzdxdyydzdx xdydz RdxdyQdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz I S S S S所以10.2.3斯托克斯公式 (1)斯托克斯公式的定义如图10.8，设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的方向侧符合右手规格，函数()z y x P P ,,=，()z y x Q Q ,,=，()z y x R R ,,=在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则： ⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂RdzQdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R (2)斯托克斯公式的证明首先分析平行于z 轴的直线与分片光滑的有向曲面∑相交不多于一点的特殊情形.设()y x f z ,=∑：，方向取上侧，分片光滑的有向曲面∑在Oxy 上的投影为xy D ，边界曲线记为C ，方向为正向. 根据()y x f z ,=∑：和方向侧为上侧，∴曲面∑在任意点()z y x ,,处的单位法向量为：()()()()1,,11cos ,cos ,cos 22yxy x f f f f n '-'-'+'+==γβα，其中α、β和γ分别为法向量与x 轴正向、y 轴正向和z 轴正向的夹角.，cos cos cos ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛'∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂∴dxdy f z P y P dS f z P y P dS y Pz P dxdy y P dzdx z P y y γγβ()()y f zPy P y y x f y x P '∂∂+∂∂=∂∂,,,，()()()()().,, ,,,,,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ∑=∂∂-=∂∂-∂∂∴dx z y x P dx y x f y x P dxdy y y x f y x P dxdy y P dzdx z P CD xy 根据格林公式同理()⎰⎰⎰Γ∑=∂∂-∂∂dy z y x Q dydz z Q dxdy x Q ,,，()⎰⎰⎰Γ∑=∂∂-∂∂dz z y x R dzdx x Rdydz y R ,,， 那么，在特殊情形下有：⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R . 若有向曲面∑不满足以上特殊情形，即平行于z 轴的直线与分片光滑的有向曲面∑相交多于一点时，可在有向曲面∑上引一组或几组辅助线和面把它分划成几个部分曲面，使得每个部分曲面适合特殊情形，仍可证明斯托克斯公式成立. 【例9.3】计算⎰Γ++=ydz xdy zdx I ，其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截出的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手法则.解：如图10.9，根据斯托克斯公式得：⎰⎰⎰∑Γ++=++=dzdx dydz dxdy ydz xdy zdx I ，其中∑是由Γ所围成的平面.如图10.10，21⎰⎰⎰⎰==∑xyD d dxdy σ， 同理21⎰⎰∑=dydz ，21⎰⎰∑=dzdx ，则23=++=⎰Γydz xdy zdx I . 10.3平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题 10.3.1平面上曲线积分与路径无关的定义设D 是平面上的一个区域，函数()y x P P ,=和()y x Q Q ,=在D 内连续.若对D 内任意两点A ，B 及D 内从A 点到B 点的任意两条分段光滑曲线1L ,2L ,等式⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 恒成立，称曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关，只有起点有关.10.3.2平面上曲线积分与路径无关的等价条件 (1)等价条件设D 是平面上的一个区域，函数()y x P P ,=和()y x Q Q ,=在D 内连续： ①若对D 内任意两点A ，B 及D 内从A 点到B 点的任意两条分段光滑曲线1L ,2L ,等式⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 恒成立.②在D 内存在函数()y x u ,，使得()Qdy Pdx y x du +=,.③若函数()y x P P ,=和()y x Q Q ,=在包含D 的单连通区域内有一阶连续偏导数，使得xQy P ∂∂=∂∂. ④对D 内任意分段光滑闭曲线C ,0=+⎰CQdy Pdx .(2)等价条件的证明下面由条件①证明得到条件②：设()00,y x A 为D 某一定点，()y x B ,为D 内任意动点，函数()⎰+=ABQdy Pdx y x u ,，则B 点由()y x B ,0到()y x x B ,1∆+，函数()y x u ,偏增量为：()()⎰⎰+-+=-∆+=∆01,,AB AB x Qdy Pdx Qdy Pdx y x u y x x u u ，因为在D 曲线积分与路径无关，所以⎰⎰⎰+++=+1001B B AB AB Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx ,又因为直线段10B B 平行与x 轴，所以0=dy ，()()x y x x P t d y t P u xx xx ∆∆+==∆⎰∆+,,θ则：，其中10≤≤θ.根据()y x P P ,=在D 内连续，于是有：()()y x P y x x P x u x ux x x ,,lim lim 00=∆+=∆∆=∂∂→∆→∆θ， 同理()y x Q yu,=∂∂， 所以()Qdy Pdx y x du +=,. 再由条件②证明得到条件③：因为()Qdy Pdx y x du +=,，且函数()y x P P ,=和()y x Q Q ,=在包含D 的单连通区域内有一阶连续偏导数，所以xQ y P ∂∂=∂∂. 再由条件③证明得到条件④：设任意曲线L 围成的闭区域为L D ,根据格林公式有：0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰L D L d y P x Q Qdy Pdx σ.再由条件④证明得到条件①：如图10.11，设任意曲线L 经过两固定点A 和B ,则：0=+-+=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰-+++A BA BB AA BL L L L LQdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx ,所以⎰⎰-++=+A BA BL L Qdy Pdx Qdy Pdx (等同于条件①).综上，根据①→②→③→④→①的循环证明，以上四个条件等价. 【例9.4】证明积分⎰+++L y x ydyxdx 1ln222与曲线路径无关，其中曲线L 在区域022>+y x D ：上.解：设1ln 222++=y x xP ,1ln 222++=y x yQ ，因为区域D 为平面复连通区域，且P 和Q 在()0,0处无定义， 所以必须求出一个原函数()y x u u ,=，使得Qdy Pdx du +=，()1ln 1ln 211ln 222222222222+=++++=+++r rdr r y x y x y x d y x ydy xdx ， 因为1ln 2+r r 为连续函数，所以一定存在原函数()t f ,使()1ln 2+=r rdtt df ， 即一定存在原函数()y x u u ,=，使得Qdy Pdx du +=. 【例9.5】设()()dy xe dx x e x Qdy Pdx yy2221112+++-=+，求()y x u ,，使Q dy Pdx du +=. 解：方法1：根据全微分方程的一般求解法由21x e y u y +=∂∂，两边对y 进行积分得：()x C xe u y++=21, 所以()()()()222211212x e x x C x xe x u yy+-='++-=∂∂，得：()()2212x xx C +='，两边对x 积分又得：()()C x x C ++=2211-(C 为任意常数),因此全体原函数()C x e y x u y ++-=211,. 方法2：特殊路径法由于()xQx xe y P y∂∂=+-=∂∂2212(()2,R y x ∈∀),其中2R 表示实数区域，所以在全平面积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关.设()()()⎰+=y x Qdy Pdx y x u ,0.0,，如图10.12，取特殊路径OAM 为积分路径,其中()00，O ,()0,x A ,()y x M ,，()()()()()()()，所以 1110 ,0,,220,0.0,0.0xe dy x e dx dyy x P dx x P Qdy Pdx Qdy Pdx y x u y y y xyx y x x x +-=++=+=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰则全体原函数()C xe y x u y ++-=211,.。