2017-2018学年高一南师附中期中数学试卷及解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=． （Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。
2017-2018学年江西南大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江西南大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合A={x|lgx＜0}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（4分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）3．（4分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．f（x）=x0与g（x）=1 B．C．D．4．（4分）已知a=2log52，b=21.1，c=，则a、b、c的大小关系是（）A．.a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．（4分）函数y=的定义域为（）A．[2kπ+，2kπ+]，k∈Z B．[+2kπ，+2kπ]，k∈ZC．[+2kπ，+2kπ]，k∈Z D．[+2kπ，+2kπ]，k∈Z6．（4分）设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则（﹣3）b+3=（）A．B．C．10 D．D、不能确定7．（4分）函数f（x）与g（x）=2x互为反函数，则f（4x﹣x2）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2]B．（0，2） C．[2，4） D．[2，+∞）8．（4分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣（x﹣1）在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．9．（4分）已知，若，则f（α）的值等于（）A．B．C．D．﹣10．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（2﹣x）+4f（2），若函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（1）=3，则f（2019）=（）A．﹣3 B．6 C．0 D．311．（4分）函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）∪（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）12．（4分）已知函数f（x）=ax2﹣x+1（a≠0），若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．[2，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡相应的位置上．13．（4分）已知幂函数y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1在（0，+∞）上为减函数，则实数m=．14．（4分）在平面直角坐标系中，已知函数y=log a（x﹣3）+3（a＞0，且a≠1）过定点P，且角α的终边过点P，始边是x轴正半轴，则的值为．15．（4分）已知函数则f（log32）的值为．16．（4分）把下列命题中所有正确的命题的序号填在空格里．（1）已知函数f（2x）的定义域为[2，4]．则f（log2x）的定义域为[2，4]．（2）已知2a=3b=k（k≠1）且，则实数k=18．（3）已知函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（1，+∞）．（4）函数f（α）=2sin（2α）的值域为[﹣2，2]．（α为任意角）三、解答题：本大题共6小题，共56分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设全集为R，A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，C={x|a﹣1＜x＜2a}．（1）求A∩B及∁R（A∩B）；（2）若（A∩B）∩C=∅，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的定义域和值域；（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的最大整数．19．已知函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且a＞0．（1）用定义证明：函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，（2）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．20．已知函数（a，b为常数），且，f（0）=0．（1）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；（2）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立，求实数m的取值范围．21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．22．已知函数f（x）为对数函数，并且它的图象经过点（2），函数g（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3在区间[]上的最小值为h（b），其中b∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=g（x）的最小值h（b）的表达式；（3）是否存在实数m、n同时满足以下条件：①m＞n＞4；②当h（b）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年江西南大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合A={x|lgx＜0}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【分析】分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|lgx＜0}={x|0＜x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B=∅．A∪B={x|x＜0或0＜x＜1}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．3．（4分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．f（x）=x0与g（x）=1 B．C．D．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=x0=1（x≠0），与g（x）=1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）==x+1（x≠1），与g（t）=t+1（t≠1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，f（x）==x（x≥0），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x≠0）的定义域不同，不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．4．（4分）已知a=2log52，b=21.1，c=，则a、b、c的大小关系是（）A．.a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a【分析】转化为同底数：a=2log52=log＜1，b=21.1，c==2，根据函数y=2x单调性判断答案．【解答】解：∵a=2log52，b=21.1，c=，∴a=2log52=log54＜1，b=21.1＞2，c==2＜2，1＜c＜2根据函数y=2x单调性判断：b＞c＞a，故选：A．【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于容易题．5．（4分）函数y=的定义域为（）A．[2kπ+，2kπ+]，k∈Z B．[+2kπ，+2kπ]，k∈ZC．[+2kπ，+2kπ]，k∈Z D．[+2kπ，+2kπ]，k∈Z【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解三角不等式得答案．【解答】解：由，得sinx，∴2kπ≤x≤2kπ，k∈Z．∴数y=的定义域为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题．6．（4分）设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则（﹣3）b+3=（）A．B．C．10 D．D、不能确定【分析】由偶函数先求出a，b，由此能求出（﹣3）b+3的值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，∴，即，∴（﹣3）b+3=（﹣3）0+=1+=．故选：A．【点评】本题考查代数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．（4分）函数f（x）与g（x）=2x互为反函数，则f（4x﹣x2）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2]B．（0，2） C．[2，4） D．[2，+∞）【分析】先求出反函数f（x），通过换元求出f（4x﹣x2）=log2（4x﹣x2），确定此函数的定义域，然后在定义域的前提条件下根据4x﹣x2的单调性以及复合函数的单调性可求出所求．【解答】解：∵函数f（x）与g（x）=2x互为反函数，∴f（x）=log2 x，∴f（4x﹣x2）=log2（4x﹣x2），由4x﹣x2＞0得0＜x＜4，即定义域为（0，4），x∈（0，2），4x﹣x2单调递增，此时f（4x﹣x2）=log2（4x﹣x2）单调递减；x∈[2，4）时，4x﹣x2单调递减此时f（4x﹣x2）=log2（4x﹣x2）单调递增．∴f（4x﹣x2）的单调递增区间为（0，2）故选：B．【点评】本题主要考查反函数的求法，以及复合函数的单调性，体现了整体的数学思想，定义域是单调区间的前提，属于基础题．8．（4分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣（x﹣1）在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用两个函数的单调性以及经过的特殊点图象经过即可．【解答】解：函数f（x）=1+log2x是增函数，过（1，1）点，g（x）=2﹣（x﹣1）=是减函数，过（0，1）点，可知两个函数的图象只有C满足题意．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查基本函数的单调性以及特殊点的判断，是基础题．9．（4分）已知，若，则f（α）的值等于（）A．B．C．D．﹣【分析】利用三角函数的诱导公式化简f（α），然后把代入计算．【解答】解：==﹣cosα，∵，∴f（α）=f（﹣）=﹣cos（）=﹣cos（10）=﹣cos．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础的计算题．10．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（2﹣x）+4f（2），若函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（1）=3，则f（2019）=（）A．﹣3 B．6 C．0 D．3【分析】由函数f（x+1）的图象关于（﹣1，0）对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于原点对称即函数y=f（x）为奇函数，求出f（2）的值，结合函数的周期，利用所求周期即可求解．【解答】解：∵函数f（x+1）的图象关于（﹣1，0）对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（1）=3，∵f（x+2）=f（2﹣x）+4f（2）=﹣f（x﹣2）+4f（2），∴f（x+4）=﹣f（x）+4f（2），f（x+8）=﹣f（x+4）+4f（2）=f（x），∴函数的周期为8，∴f（2019）=f（252×8+3）=f（3），而f（2）=f（2）+4f（2），故f（2）=0，故f（3）=f（1）+4f（2）=f（1）=3，故选：D．【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性对称性、图象变换、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）∪（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【分析】作函数f（x）的图象，从而可化条件为方程x2+ax+b=0有两个根，且x1=，0＜x2＜；从而求a的取值范围．【解答】解：由题意，作函数f（x）的图象如下，由图象可得，0≤f（x）≤f（2）=；∵关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，∴方程x2+ax+b=0有两个根，不妨设为x1，x2；且x1=，0＜x2＜；又∵﹣a=x1+x2，∴a∈（﹣，﹣）；故选：B．【点评】本题考查了函数的图象的作法与数形结合的思想应用，同时考查了二次方程的根与系数的关系应用，属于中档题．12．（4分）已知函数f（x）=ax2﹣x+1（a≠0），若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．[2，+∞）D．（0，+∞）【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：f′（x）=2ax﹣1，x≥1，a≤0时，f′（x）＜0，不合题意，a＞0时，只需2ax﹣1≥1，即a≥在[1，+∞）恒成立，故a≥（）max=1，故a的范围是[1，+∞），故选：A．【点评】本题考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡相应的位置上．13．（4分）已知幂函数y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1在（0，+∞）上为减函数，则实数m=﹣1．【分析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性．【解答】解：∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数故答案为：m=﹣1【点评】本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关．14．（4分）在平面直角坐标系中，已知函数y=log a（x﹣3）+3（a＞0，且a≠1）过定点P，且角α的终边过点P，始边是x轴正半轴，则的值为20．【分析】利用对数函数的图象的特殊点求得点P的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα的值，然后代入计算得答案．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+3（a＞0且a≠1）的图象过定点P（4，3），角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，∴sinα=，cosα=，则==．故答案为：20．【点评】本题主要考查对数函数的图象的特殊点，任意角的三角函数的定义，属于基础题．15．（4分）已知函数则f（log32）的值为．【分析】根据对数的定义判断出0＜log32＜1，再结合函数的对应法则，可得f（log32）=f（log32+2），将其代入解析式再用对数的运算性质进行化简，可求出它的值．【解答】解：∵1＜2＜3，∴log31＜log32＜log33，即0＜log32＜1因此log32＜1≤2且log32+1≤2∴f（log32）=f（log32+1）=f（log32+2）而log32+2∈（2，3]，所以f（log32+2）==×3﹣2=×=×=故答案为：【点评】本题给出函数表达式，求log32对应的函数值，着重考查了函数的对应法则和对数的运算性质等知识，属于基础题．16．（4分）把下列命题中所有正确的命题的序号填在空格里（2）（4）．（1）已知函数f（2x）的定义域为[2，4]．则f（log2x）的定义域为[2，4]．（2）已知2a=3b=k（k≠1）且，则实数k=18．（3）已知函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（1，+∞）．（4）函数f（α）=2sin（2α）的值域为[﹣2，2]．（α为任意角）【分析】（1）由复合函数的定义域计算发放判定；（2）可得a=log2k，b=log3k，又，可得2log k3+log k2=1则实数k=18；（3）a＞0⇒2﹣ax在[0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．（4）由正弦函数的值域判定．【解答】解：（1）∵函数f（2x）的定义域为[2，4]．∴log2x∈[22，24]．则f（log2x）的定义域为[24，216]．故错；（2）∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，又，可得2log k3+log k2=1则实数k=18．故正确；（3）∵a＞0，∴2﹣ax在[0，1]上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在[0，1]上应恒大于零．∴a＞1，2﹣a＞0，则a的取值范围是（1，2），故错．（4）函数f（α）=2sin（2α）的值域为[﹣2，2]．（α为任意角），正确．故答案为：（2）（4）【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到函数的基础知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共56分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设全集为R，A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，C={x|a﹣1＜x＜2a}．（1）求A∩B及∁R（A∩B）；（2）若（A∩B）∩C=∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）由A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，能求出A∩B及C R（A∩B）．（2）由A∩B={x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C=∅，当C=∅时，a﹣1≥2a，当C≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，所以A∩B={x|3＜x≤5}，C R（A∩B）={x|x≤3或x＞5}．（2）因为A∩B={x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C=∅，当C=∅时，a﹣1≥2a，解得a≤﹣1；当C≠∅时，或，解得﹣1＜a≤或a≥6．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[6，+∞）．【点评】本题考查交集、并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的定义域和值域；（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的最大整数．【分析】（1）利用对数函数的性质能求出函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域；推导出f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），由此得到f（x）是偶函数，由﹣2＜x＜2，得f（x）=lg（4﹣x2），从而函数g（x）=﹣x2+3x+4，由此能求出函数g（x）的值域．（2）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），∴，解得﹣2＜x＜2．∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2），故g（x）的定义域是（﹣2，2）；∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．∵g（x）=10f（x）+3x，∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．（2）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4∴f（x）的最大值为lg4，∴实数m的最大整数为：m=0．【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查对数函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．已知函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且a＞0．（1）用定义证明：函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，（2）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．【分析】（1）由函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，求出b=0，从而，利用定义法能证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（2）推导出f（2t﹣1）＜f（1﹣t），由函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围．【解答】解：（1）∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）==0，∴b=0，∴…（2分）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵a＞0，﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，1+＞0，1+＞0，∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．…（6分）（2）∵f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1），∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且a＞0．∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t），∵函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴，解得0＜t＜．故实数t的范围是（0，）．…（10分）【点评】本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数（a，b为常数），且，f（0）=0．（1）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；（2）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）代入求出a，b值，根据定义判断即可；（2）构造函数g（x），把恒成立问题转化为最值问题解决即可．【解答】解析：（1）由已知可得，，解得a=1，b=﹣1…（2分）所以；函数f（x）为奇函数．证明如下：f（x）的定义域为R，∵∴函数f（x）为奇函数；…（5分）（2）∵，∴2x﹣1＜m•4x∴，故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立等价于m＞g（x）max 令，当t=时，y max=，故m＞．即m的取值范围为．…（10分）【点评】本题考查了奇偶性的判断，最值问题的应用，属于基础题型，应熟练掌握．21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．22．已知函数f（x）为对数函数，并且它的图象经过点（2），函数g（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3在区间[]上的最小值为h（b），其中b∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=g（x）的最小值h（b）的表达式；（3）是否存在实数m、n同时满足以下条件：①m＞n＞4；②当h（b）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）代入点的坐标，求出a的值，从而求出f（x）的解析式；（2）设t=f（x）=log2x，通过讨论b的范围，求出函数的最小值即可；（3）根据对数函数的性质求出m+n=8，得到矛盾，从而判断结论．【解答】解：（1）∵f（x）的图象经过点，∴，即∴，即a=2∴f（x）=log2x（x＞0）…（3分）（2）设t=f（x）=log2x，∵，∴∴，即则y=g（t）=t2﹣2bt+3=（t﹣b）2+3﹣b2，，对称轴为t=b①当时，y=g（t）在上是增函数，②当时，y=g（t）在上是减函数，在（b，4]上是增函数，③当b＞4时，y=g（t）在上是减函数，y min=h（4）=19﹣8b综上所述，…（7分）（3）∵m＞n＞4，b∈[n，m]，∴h（b）=19﹣8b．∵h（b）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h（b）为减函数，∴两式相减得8（m﹣n）=（m﹣n）（m+n），∵m＞n，∴m﹣n≠0，得m+n=8，但这与“m＞n＞4”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在…（10分）【点评】本题考查了求对数函数的解析式，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
江苏省南京市2017-2018学年高一数学下学期期中试题.pdf
3n 1
．
2
…………… 1 4 分
18．（本题满分 16 分）
解：（ 1） f x sin x cosx 3 cos2 x
1 sin 2x 3 cos2x 3 sin 2 x
3
2
2
2
32
．．．．．．．．．．．．．．．． 4 分
由0 x
得，
2x
4
3
，
sin 2x
1 ．．．．．．．．．．．．． 6 分
2
由 b2
c2
a2
4
=
及
bc=20 、a=3，得
b2+c 2=41，②
2bc
5
…………… 12 分
由①、②及 b＜ c 解得 b=4， c=5．
…………… 14 分
16．（本题满分 14 分）
解：（ 1） a 1 时 log2 ( x2 4x 6) log2 3∴ x2 4 x 6 ≥ 3
∴ x2 4x 3≥ 0 ∴ x
，1 3，
∴不等式 f ( x) ≥ log 2 3 的解集为
，1 3， ；
（ 2） f ( x) 的定义域为 R 即 ax2 4ax 6 0 恒成立
①当 a 0 时，得 a 0 且 △ 16a2 24a 0 ∴ 0 a 3 2
②当 a 0 时 f ( x) log 2 6 ，显然 f ( x) 的定义域为 R 成立
截面面积为 2+ ，设半圆的半径 OC=x ，隧道横截面的周长（即矩形三边 2
长之和）为 f ( x) .
D
（ 1）求函数 f ( x) 的解析式，并求其定义域；
（ 2）问当 x 等于多少时， f (x) 有最小值？并求出最小值．
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分．1．（3分）已知集合A={2，m}，B={2m，2}．若A=B，则实数m=．2．（3分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），则实数a=．3．（3分）函数y=的定义域为．4．（3分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有个．5．（3分）若函数f（x）=x2﹣ax是偶函数，则a=．6．（3分）已知lg2=a，lg3=b，则log36=（用含a，b的代数式表示）．7．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x+1，则f（﹣2）=．8．（3分）已知函数f（x）=x2+2x﹣1，函数y=g（x）为一次函数，若g（f（x））=2x2+4x+3，则g（x）=．9．（3分）若函数f（x）=，则方程f（x）=2所有的实数根的和为．10．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c三者的大小关系是．（用“＜”连接）11．（3分）已知函数f（x）=xlog2x﹣3的零点为x0，若x0∈（n，n+1），n∈Z，则n=．12．（3分）已知函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在区间[﹣3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f（x）+f（﹣x）＞x的解集为．14．（3分）如图，过原点O的直线AB与函数y=log9x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线，与函数y=log3x的图象分别交于D、C两点，若BD 平行于x轴，则四边形ABCD的面积为．二．解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜3}，B={x|log2x≥1}．（1）求A∩B．（2）求（∁U A）∪（∁U B）．16．（8分）求值：（1）（）﹣2+（）﹣（﹣）0（2）log32×log49+2．17．（10分）已知函数f（x）=（a x﹣1）（a x+2a﹣1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=5．（1）求实数a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．18．（10分）某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x 的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为3：2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．19．（10分）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，a≠1 ）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜6的解集．（2）记f（x）在[0，a]上最大值为g（a），若g（a）＜2，求正实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分．1．（3分）已知集合A={2，m}，B={2m，2}．若A=B，则实数m=0．【分析】由集合相等的性质，有m=2m，由此能求出m的值．【解答】解：∵集合A={2，m}，B={2m，2}．A=B，∴由集合相等的性质，有m=2m，解得m=0．故答案为：0．【点评】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（3分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），则实数a=2．【分析】把点的坐标代入函数解析式进行求解即可．【解答】解：将点坐标代入f（x）=x a，得2a=4，∴a=2．故答案为：2【点评】本题主要考查幂函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．3．（3分）函数y=的定义域为[，+∞）．【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣1≥0，得x≥，即函数的定义域为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．4．（3分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有8个．【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【解答】解：集合含有3个元素，则子集的个数为23=8个，故答案为：8【点评】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n﹣1个．5．（3分）若函数f（x）=x2﹣ax是偶函数，则a=0．【分析】解法一是利用偶函数的定义f（﹣x）=f（x），求出a的值；解法二是求出二次函数的对称轴方程，再利用偶函数图象的对称轴为y轴，从而建立方程求出a的值．【解答】解法一：由于函数f（x）=x2﹣ax是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即（﹣x）2﹣a（﹣x）=x2﹣ax，化简得2ax=0，对任意的x∈R恒成立，则a=0，故答案为：0．解法二：二次函数f（x）=x2﹣ax的对称轴方程为，由于函数f（x）为偶函数，则该函数的对称轴为y轴，所以，，因此，a=0，故答案为：0．【点评】本题考查偶函数的定义，考查对定义的理解以及基本运算能力，属于基础题．6．（3分）已知lg2=a，lg3=b，则log36=（用含a，b的代数式表示）．【分析】由换底公式，可得log36=，由此能够准确地利用a，b表示log36．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，∴log36==．故答案：．【点评】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x+1，则f（﹣2）=﹣3．【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x+1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2+1）=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8．（3分）已知函数f（x）=x2+2x﹣1，函数y=g（x）为一次函数，若g（f（x））=2x2+4x+3，则g（x）=2x+5．【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．【解答】解：由题意，函数y=g（x）为一次函数，由待定系数法，设g（x）=kx+b，k≠0，g（f（x））=k（x2+2x﹣1）+b=2x2+4x+3，即kx2+2kx+b﹣k=2x2+4x+3由对应系数相等，得k=2，b=5．则g（x）=2x+5．故答案为：2x+5．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基本知识的考查．9．（3分）若函数f（x）=，则方程f（x）=2所有的实数根的和为．【分析】利用分段函数，求解方程的解即可．【解答】解：函数f（x）=，则方程f（x）=2，可得4x=2，解得x=，5﹣x=2，解得x=3，则方程f（x）=2所有的实数根的和为：3+=．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．10．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c三者的大小关系是c＜a＜b．（用“＜”连接）【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵1＜a=log37＜2，b=21.1＞21=2，c=0.81.1＜0.80=1，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（3分）已知函数f（x）=xlog2x﹣3的零点为x0，若x0∈（n，n+1），n∈Z，则n=2．【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间【解答】解：由零点定理，∵f（2）=2log22﹣3=﹣1＜0，f（3）=3log23﹣3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在的区间是（2，3），所以n=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【分析】当x≥﹣1时，f（x）是增函数；当x＜﹣1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在﹣1的右边，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|=，函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，当x≥﹣1时，f（x）是增函数；当x＜﹣1时，f（x）是减函数，∴区间[a，+∞）左端点a应该在﹣1的右边，即a≥﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在区间[﹣3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f（x）+f（﹣x）＞x的解集为{x|﹣3≤x≤} ．【分析】由函数f（x）过点（0，2），（3，0），y=﹣+2．作出函数f（x）在[﹣3，3]上的图象，当x∈[﹣3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得x=，由此能求出f（x）+f（﹣x）＞x的解集．【解答】解：由题意，函数f（x）过点（0，2），（3，0），∴y=﹣+2．又∵f（x）是偶函数，关于y轴对称，∴f（x）=f（﹣x），∴2f（x）＞x．又作出函数f（x）在[﹣3，3]上的图象，当x∈[﹣3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得x=，即当x∈[﹣3，）时，满足2f（x）＞x，故f（x）+f（﹣x）＞x的解集为{x|﹣3≤x≤}．故答案为：{x|﹣3≤x≤}．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．（3分）如图，过原点O的直线AB与函数y=log9x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线，与函数y=log3x的图象分别交于D、C两点，若BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为．【分析】点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有log3a=log9b．推出b=a2．又A，B在一条过原点的直线上，求出a，然后转化求解四边形的面积即可．【解答】解：因为点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有log3a=log9b．．∵，∴b=a2．又A（a，log9a），B（a2，）在一条过原点的直线上，∴==2，∴a2=2a，∴a=2．A（2，log92），B（4，），C（4，log34），D（2，log32），所以=．故答案为：．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．二．解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜3}，B={x|log2x≥1}．（1）求A∩B．（2）求（∁U A）∪（∁U B）．【分析】（1）根据题意，解log2x≥1可得集合B，由交集的定义可得集合A∩B，（2）根据题意，（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B），由（1）的结论，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，B={x|log2x≥1}={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x＜3}；（2）根据题意，由（1）的结论，A∩B={x|2≤x＜3}，则（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}．【点评】本题考查集合间的混合运算，关键是掌握集合交、并、补的定义，属于基础题．16．（8分）求值：（1）（）﹣2+（）﹣（﹣）0（2）log32×log49+2．【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：（1）（）﹣2+（）﹣（﹣）0=（2）﹣2+[（）3]﹣1==．（2）log32×log49+2=log32×log23+=1+4=5．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（10分）已知函数f（x）=（a x﹣1）（a x+2a﹣1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=5．（1）求实数a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．【分析】（1）根据f（1）=5建立方程关系进行求解即可．（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求函数的最值即可求函数的值域．【解答】解：（1）由f（1）=5，得（a﹣1）（a+2a﹣1）=5，即（a﹣1）（3a﹣1）=5，得3a2﹣4a﹣4=0即（a﹣2）（3a+2）=0，解得a=2或a=﹣又∵a＞0且a≠1，∴a=2．（2）由（1）知f（x）=（2x﹣1）（2x+3），设t=2x，x∈[﹣1，3]，∴t∈[，8]，则y=g（t）=（t﹣1）（t+3）=t2+2t﹣3=（t+1）2﹣4，易知g（t）在t∈[，8]内单调递增，故最小值为y=g（）=﹣，最大值为g（8）=77．故f（x）的值域为[﹣，77]．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．18．（10分）某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x 的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为3：2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．【分析】（1）分别求得x≤30时，x＞30时，函数的解析式，可得所求函数y的解析式；（2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，得到甲乙两用户用水超过30吨，设为3a，2a，代入函数式可得a的方程，解方程即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意知，当x≤30时，y=3x；当x＞30时，y=90+4（x﹣30），则y=；（2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为90+90+60=240＜260，∴甲乙两用户用水量都超过30吨．设甲用水3a吨，乙用水2a吨，则有90+4（3a﹣30）+90+4（2a﹣30）=260，解得a=16，故甲用水48吨，水费为162元；乙用水32吨，水费为98元．【点评】本题考查分段函数的解析式和应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，a≠1 ）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a ＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1．（1分）当a＞1时，x＞0；（2分）当0＜a＜1时，x＜0．（3分）所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．（4分）（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，（5分）则ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．（6分）因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）．（8分）故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．∵f（x）＜f（1）；∴a x﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1；（3）∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，∴g（x）min=﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23．【点评】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜6的解集．（2）记f（x）在[0，a]上最大值为g（a），若g（a）＜2，求正实数a的取值范围．【分析】（1）由题意知，f（x）=，分段解不等式即可．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．即可求解．【解答】解：（1）由题意知，f（x）=，①当x≥1时，令f（x）＜6，解得1≤x＜3．②当x＜1时，令f（x）＜6，解得x＜1．综上所述不等式f（x）＜6的解集（﹣∞，3）．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．故x∈[0，2）时，f（x）＜2，故正实数a的取值范围为（0，2）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。
南京市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案
(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减， 所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316， 所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解， 所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0， 所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数， 所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0； 当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)． 数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， 所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。
2017-2018年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷和答案
【解答】解：
故它的前 10 项的和为 （1﹣ + ﹣ +…+ 故答案为：
6． （3 分） 若不等式 x2+ax+b＜0 的解集为{x|﹣3＜x＜4}， 则 a+b 的值为 ﹣13 【解答】解：不等式 x2+ax+b＜0 的解集为{x|﹣3＜x＜4}， 则﹣3 和 4 是 x2+ax+b=0 的实数根， 由根与系数的关系知， ， 解得 a=﹣1，b=﹣12， ∴a+b=﹣13． 故答案为：﹣13． 7． （3 分） 设等比数列{an}满足 a1+a3=10， a2+a4=5， 则 a1a2…an 的最大值为 【解答】解：等比数列{an}满足 a1+a3=10，a2+a4=5， 可得 q（a1+a3）=5，解得 q= ． a1+q2a1=10，解得 a1=8． 则 a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n• 当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： = =26=64． = ， 64
12． （3 分）已知 x＜0，且 x﹣y=1，则
13． （3 分）已知数列{an}中，a1=1，a2=3，若 an+2+2an+1+an=0 对任意 n∈N*都成 立，则数列{an}的前 n 项和 Sn= ．
14． （3 分） 在△ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 3a2﹣b2+3abcosC=0， 则 c（ + ）的最小值为 ．
∴AC=
=
=
．
故答案为：
．
4． （3 分）已知公差不为 0 的等差数列的第 2，3，6 项依次构成一个等比数列， 则该等比数列的公比为 3 ．
2017-2018学年高一(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+110．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．201512．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=．14．（5分）求值：=．15．（5分）函数的单调增区间是．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】利用终边相同角的表示方法，化简即可判断角所在象限．【解答】解：由2015°=1800°+215°，并且180°＜215°＜270°，可知2015°是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查象限角与轴线角的应用，基本知识的考查．2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，求函数的值的方法，属于基础题．3．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）【分析】根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P 内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．【解答】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N），故选B．【点评】本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于基础题．4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．9．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，f（0）=20+b=0，解得：b=﹣1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．10．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【分析】利用函数是奇函数且在（0，+∞）内是增函数，得到函（﹣∞，0）上单调递增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，利用函数奇偶性的对称性，可解不等式的解集．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．2015【分析】可得函数f（x）是R上周期为6的周期函数，计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）可得结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），∴函数f（x）是R上周期为6的周期函数，∵当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=1+2+3+0﹣1+0=5，∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=335×5+1+2+3+0﹣1=1680故选：C．【点评】本题考查函数的周期性，涉及函数值的求解，属基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=0．【分析】令2x+1=t，可得x=，代入所给的条件求得f（t）=﹣（t﹣1），由此求得f（5）的值．【解答】解：∵已知f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=t，可得x=，∴f（t）=﹣（t﹣1），故f（5）=4﹣4=0，故答案为0．【点评】本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．14．（5分）求值：=102．【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=（lg2）2+（lg5）2+2lg2lg5+1+0.4﹣2×42=1+1+=2+100=102．故答案为：102．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．15．（5分）函数的单调增区间是．【分析】由复合函数单调性和二次函数的单调性结合定义域可得．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0可解得﹣2＜x＜3，对数函数y=log0.8t在（0，+∞）单调递减，二次函数t=﹣x2+x+6在（，+∞）单调递减，由复合函数单调性结合定义域可得原函数的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的单调性，涉及二次不等式的解法和复合函数单调性，属基础题．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是（2）（4）．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．【分析】（1）由P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果；（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanβ的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴sinα=﹣=﹣，cosα==，则原式=﹣+=；（2）∵tanβ=2，∴原式====．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，再求出A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，则B⊆A，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2≤x≤4}，a=1时，B={x|2＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜5}，A∩（C R B）={x|﹣2≤x≤2}…（6分）（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．B=∅时，2a≥a+4，∴a≥4；B≠∅时，，∴﹣1≤a≤0．综合：a≥4或﹣1≤a≤0…（6分）【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．【解答】解：（1）由已知可得，，解得，a=1，b=﹣1，所以，；（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．【分析】（1）由奇函数的定义和单调性的定义，将n换为﹣n，即可得到；（2）由题意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式组，解得即可；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．再由绝对值的含义，可得对a∈[1，3]恒成立，分别求得两边函数的最值，即可得到t的范围．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）为奇函数，则[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根据符号法则及单调性的定义可知：f（x）为增函数；（2）若，即为f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得，解得；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．即对a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]递增，可得a=3时，取得最大值；a+≥2=2，当且仅当a=取得最小值．即有．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷-教师用卷
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1.不等式(x+3)(x−2)<0的解集为______．【答案】(−3,2)【解析】解：不等式(x+3)(x−2)<0，令(x+3)(x−2)=0，解得方程的实数根为−3和2，所以不等式的解集为(−3,2)．故答案为：(−3,2)．求出不等式对应方程的两个实数根，即可写出不等式的解集．本题考查了解一元二次不等式的应用问题，是基础题．2.已知等差数列{a n}的公差为3，且a2=−2，则a6=______．【答案】10【解析】解：在等差数列{a n}中，∵公差为3，且a2=−2，∴a1+d=−2，即a1=−5．则a6=a1+5d=−5+5×3=10．故答案为：10．由已知条件求解得到a1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．3.在△ABC中，若A=60∘，B=45∘，BC=1，则AC=______．【答案】√63【解析】解：∵△ABC中，A=60∘，B=45∘，BC=1，∴BCsin60∘=ACsin45∘，∴AC=BC×sin45∘sin60∘=1×√22√32=√63．故答案为：√63．由正弦定理得BCsin60∘=ACsin45∘，由此能求出AC．本题考查三角形的线段长的求法，考查正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为______．【答案】3【解析】解：设等差数列的首项为a，公差为d(d不为0)，则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，则(a+2d)2=(a+d)(a+5d)，即d2+2ad=0，∵d≠0，∴在等式两边同时除以d得：d=−2a，∴等差数列的第2，3，6项分别为：−a，−3a，−9a，∴公比q=−3a−a=3．故答案为：3．设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值．此题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质.熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键．5.已知数列{a n}的通项公式为a n=1(2n−1)(2n+1)，则它的前10项的和为______．【答案】1021【解析】解：a n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，故它的前10项的和为12(1−13+13−15+⋯+119−121)=12(1−121)=1021，故答案为：1021由a n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，根据裂项求和即可求出．本题考查了裂项求和，考查了转化能力，属于基础题．6.若不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−3<x<4}，则a+b的值为______．【答案】−13【解析】解：不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−3<x<4}，则−3和4是x2+ax+b=0的实数根，由根与系数的关系知，{−3×4=b−3+4=−a，解得a=−1，b=−12，∴a+b=−13．故答案为：−13．根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a、b的值，再求和．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．7.设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值.本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力． 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5， 可得q(a 1+a 3)=5，解得q =12． a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8． 则a 1a 2…a n =a 1n ⋅q1+2+3+⋯+(n−1)=8n⋅(12)n(n−1)2=23n−n 2−n 2=27n−n 22，当n =3或4时，表达式取得最大值：2122=26=64． 故答案为64．8. 已知p >0，q >0，且p ≠q ，记A =(1+p)(1+q)，B =(1+p+q 2)2，C =2√p +pq ，则A 、B 、C 的大小关系为______.(用“<”．连接．．) 【答案】C <A <B【解析】解：∵p >0，q >0，且p ≠q ，∴A −C =1+p +q +pq −(2√p +pq)=(1−√p)2+q >0.∴A >C ． 又B −A =1+p +q +(p+q 2)2−(1+p +q +pq)=(p−q 2)2>0，∴B >A ．综上可得：C <A <B ． 故答案为：C <A <B ． 作差即可得出大小关系．本题考查了通过作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b =2acosB ，c =2，则△ABC 的面积等于______．【答案】√3【解析】解：A =π3，b =2acosB ，c =2， 由正弦定理可得sinB =2sinAcosB ， 可得tanB =sinBcosB =2sin π3=√3， 即有B =π3，即△ABC 为边长为2的等边三角形， 可得△ABC 的面积为√34×4=√3，故答案为：√3．由正弦定理可得B ，进而确定三角形为边长为2的等边三角形，即可得到所求面积． 本题考查三角形的正弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10. 已知a ，b ∈R +，若a +b =1，则1a +4b 的最小值为______． 【答案】9【解析】解：∵a+b=1，∴1a +4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当ba =4ab时取等号，由{ba =4aba+b=1解得a=13，b=23，∴1a +4b的最小值为9，故答案为：9．1 a +4b=(1a+4b)(a+b)，展开后使用基本不等式可求最小值．该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．11.函数f(x)=√mx2−2x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是______．【答案】m≥1【解析】解：∵函数f(x)的定义域为R，∴mx2−2x+1≥0恒成立．①若m=0，则不等式等价为−2x+1≥0，即x≤12，不满足条件．②若m≠0，要使不等式恒成立，则{△=4−4m≤0m>0，即{m≥1m>0，解得m≥1，综上m≥1，故答案为：m≥1函数的定义域为R，则等价mx2−2x+1≥0恒成立，然后解不等式即可．本题主要考查函数定义域的应用，利用函数定义域为R，得到mx2−2x+1≥0恒成立.是解决本题的关键，利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点．12.已知x<0，且x−y=1，则x+12y+1的最大值是______．【答案】12−√2【解析】解：x<0，且x−y=1，可得x=y+1(y<−1)，则x+12y+1=y+1+11+2y=y+12+12y+12+12=−[(−y−12)+12−y−12]+12≤−2√12+12=12−√2，当且仅当y =−1+√22时，上式取得最大值，则x +12y+1的最大值是12−√2， 故答案为：12−√2．由题意可得x =y +1(y <−1)，可得x +12y+1=y +1+11+2y =y +12+12y+12+12，运用基本不等式可得最大值．本题考查基本不等式的运用，注意最值取得的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，若a n+2+2a n+1+a n =0对任意n ∈N ∗都成立，则数列{a n }的前n 项和S n =______． 【答案】{3−2n,n 为奇数2n,n 为偶数【解析】解：a 1=1，a 2=3，a n+2+2a n+1+a n =0对任意n ∈N ∗都成立， 可得：a n+2+a n+1=−(a n+1+a n )，a 2+a 1=4． 则数列{a n+1+a n }是等比数列，首项为4，公比为−1． ∴a n+1+a n =4×(−1)n−1．①n =2k −1时，a 2k +a 2k−1=4×(−1)2k−2=4． S n =S 2k =4k =2n ．②n =2k 时，a 2k+1+a 2k =−4．S n =a 1+(a 2+a 3)+⋯…+(a 2k−2+a 2k−1) =1−4×(k −1)=5−4k =5−4×n+12=3−2n ．∴S n ={2n,n 为偶数3−2n,n 为奇数．故答案为：{2n,n 为偶数3−2n,n 为奇数．a 1=1，a 2=3，a n+2+2a n+1+a n =0对任意n ∈N ∗都成立，可得a n+2+a n+1=−(a n+1+a n )，a 2+a 1=4.利用等比数列的通项公式可得：a n+1+a n =4×(−1)n−1.分类讨论可得：①n =2k −1时，a 2k−1+a 2k =4×(−1)2k−2=4.可得S n =S 2k .②n =2k 时，a 2k +a 2k+1=−4.可得S n =a 1+(a 2+a 3)+⋯…+(a 2k−2+a 2k−1)即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2−b 2+3abcosC =0，则c(cosA a+cosB b)的最小值为______．【答案】2【解析】解：∵3a 2−b 2+3abcosC =0， ∴3a 2−b 2+3ab ⋅a 2+b 2−c 22ab=0，整理可得：c 2=3a 2+b 23，∴c(cosA a +cosB b )=c(b 2+c 2−a 22bca +a 2+c 2−b 22acb)=c 2ab=3a b+b 3a≥2√3a b⋅b 3a=2，当且仅当3a b =b3a 时等号成立．即c(cosAa+cosB b)的最小值为2．故答案为：2．利用余弦定理化简已知可得：c 2=3a 2+b 23，根据余弦定理化简所求可得c(cosA a+cosB b)=3a b+b3a ，利用基本不等式即可得解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共58.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a 2=b 2+c 2+bc ，a =√6b.(1)求sinA 的值； (2)求cosC 的值．【答案】解：(1)根据题意，a 2=b 2+c 2+bc ， 又由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 则∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12．又∵A ∈(0,π)，则sinA =√1−cos 2A =√32． (2)由正弦定理，得sinB =bsinA a =b⋅√32√6b =√24，由(1)cosA <0，∴A ∈(π2,π)，又A +B +C =π，∴B ∈(0,π2)． ∴cosB =√1−sin 2B =√144， ∴cosC =cos[π−(A +B)]=−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−(−12)⋅√144+√32⋅√24=√14+√68． 【解析】(1)根据题意，由余弦定理，可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，结合A 的范围，分析可得答案；(2)正弦定理，得sinB =bsinA a=b⋅√32√6b=√24，由同角三角函数的基本关系式计算可得cosB 的值，又由cosC =cos[π−(A +B)]=−cos(A +B)，由和角公式计算可得答案． 本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式．16. 解下列关于x 的不等式：(1)1−2x x+3≥1；(2)(|x|−2)(x +3)≥0． 【答案】解：(1)1−2x x+3−1≥0⇒−3x−2x+3≥0⇒3x+2x+3≤0⇒(3x +2)(x +3)≤0且x +3≠0，解可得：−3<x ≤−23，则原不等式的解集为(−3,−23]；(2)(|x|−2)(x +3)≥0⇔{x +3≥0|x|−2≥0或{x +3≤0|x|−2≤0， ①{x +3≥0|x|−2≥0，解得−3≤x ≤−2或x ≥2； ②{x +3≤0|x|−2≤0，x 无解；∴原不等式的解集为[−3,−2]∪[2,+∞)，【解析】(1)根据题意，原不等式等价于(3x +2)(x +3)≤0且x +3≠0，解可得x 的取值范围，即可得答案；(2)根据题意，原不等式等价于{x +3≥0|x|−2≥0或{x +3≤0|x|−2≤0，分别解出x 的范围，综合即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式等价转化．17. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =3n −1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n ． 【答案】解：(1)S n =3n −1． 当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2且n ∈N ∗时，a n =S n −S n−1=3n −3n−1=2⋅3n−1， 对n =1时也适合，∴a n =2⋅3n−1，n ∈N ∗． (2)na n =2n ⋅3n−1．T n =2⋅30+4⋅31+6⋅32+⋯+2n ⋅3n−1，①3T n =2⋅31+4⋅32+⋯+(2n −2)⋅3n−1+2n ⋅3n .②由①−②得：−2T n =2+2(31+32+⋯+3n−1)−2n ⋅3n =(1−2n)3n −1， 所以T n =(n −12)3n +12．【解析】(1)由数列的递推式：当n =1时，a 1=S 1，当n ≥2且n ∈N ∗时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项；(2)求得na n =2n ⋅3n−1.运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式可得所求和．本题考查数列的递推式，等比数列的求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. 如图，在海岸A 处，发现南偏东45∘方向距A 为(2√3−2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为2√2海里的C 处的缉私船立即奉命以10√3海里/时的速度追截走私船．(1)刚发现走私船时，求两船的距离；(2)若走私船正以10√2海里/时的速度从B 处向南偏东75∘方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：√2≈1.4，√6≈2.5)．【答案】解：(1)在△ABC中∵AB=(2√3−2)海里，AC=2√2海里，∠BAC=135∘，由余弦定理，得两船的距离BC=√(2√3−2)2+(2√2)2−2×2√2×(2√3−2)×(−√22)= 4(海里)；(2)根据正弦定理，可得sin∠ABC=ACsin135∘BC =12，∴∠ABC=30∘，易知∠ACB=15∘，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD=10√3t(海里)，BD=10√2t(海里)．而∠CBD=120∘，在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD=BDsin∠CBDCD =10√2t⋅sin120∘10√3t=√22，∴∠BCD=45∘，∠BDC=15∘，∴根据正弦定理，得4√6−√24=10√3t√32，解得t=√6+√25≈0.78小时≈47分钟．故缉私船沿南偏东60∘方向，需47分钟才能追上走私船．【解析】(1)在△ABC中，运用余弦定理，计算可得所求BC的长；(2)在△ABC中运用正弦定理求得∠ABC和∠ACB，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，在△BCD中运用正弦定理可得∠BCD=45∘，∠BDC=15∘，再由正弦定理解方程可得t．本题考查解三角形的实际应用问题，考查正弦定理和余弦定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．19.设关于x的不等式(ax−a2−9)(x−b)≥0的解集为A，其中a，b∈R．(1)当b=6时，①若A=(−∞,+∞)，求a的值；②记L=d−c为闭区间[c,d]的长度.当a<0时，求区间A的长度L的最小值；(2)当b=2a−8，且a<9时，求A．【答案】解：(1)①a=0时，不等式为−9(x−6)≥0，求得解集为A=(−∞,6]，不符题意舍去；当a≠0时，令{a>0a2+9a=6，解得a=3，此时不等式的解集为A=(−∞,+∞)；…………(3分)②a<0时，不等式化为(x−a2+9a)(x−6)≤0，解得不等式的解集为A=[a2+9a,6]，所以L=6−a 2+9a=6+[(−a)+9(−a)]≥6+6=12，当且仅当a=−3时，取等号，因此区间A 的长度L 的最小值为12； …………(3分) (2)①当a >0时，因为2a −8−a 2+9a=(a+1)(a−9)a，所以，当0<a <9时，不等式的解集为{x|x ≥a 2+9a或x ≤2a −8}；…………(2分)②当a =0时，不等式的解集为{x|x ≤0}； …………(1分) ③10当−1<a <0时，不等式的解集为{x|a 2+9a≤x ≤2a −8}；20当a =−1时，不等式的解集为{−10}； 30当a <−1时，不等式的解集为{x|2a −8≤x ≤a 2+9a}. …………(3分)【解析】(1)①讨论a =0和a ≠0时，求出不等式的解集为(−∞,+∞)时a 的值； ②求出a <0时不等式的解集，计算L 的最小值以及对应a 的值； (2)讨论a >0、a =0以及a <0时，求出对应不等式的解集．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是难题．20. 设数列{a n }满足a 1=12，a n =2a n−1+1a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)．(1)证明：数列{a n −1an +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n =(3n +1)a n ，证明：数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列． 【答案】解：(1)证明：由条件，a n −1=2a n−1+1a n−1+2−1=a n−1−1a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，①a n +1=2a n−1+1a n−1+2+1=3(a n−1+1)a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，②由a 1=12知a n >0，∴a n +1>0． ① ②得，a n −1a n+1=13⋅a n−1−1(a n−1+1)(n ≥2,n ∈N ∗)且a 1−1a1+1=12−112+1=−13≠0，∴{a n −1a n+1}是首项为−13，公比为13的等比数列．因此，a n −1an+1=−13⋅(13)n−1=−(13)n ，∴a n =3n−13n +1．(2)证明：由(1)得，c n =(3n +1)a n =3n −1，(反证法)假设存在正整数l ，m ，n 且1≤l <m <n ，使得c l ，c m ，c n 成等差数列． 则2(3m −1)=3l +3n −2，即2⋅3m =3l +3n ， 则有2⋅3m−l =1+3n−l ，即2⋅3m−l −3n−l =1，则有3m−l ⋅[2−3n−l−(m−l)]=1，即3m−l ⋅(2−3n−m )=1． ∵l ，m ，n ∈N ∗且1≤l <m <n ，∴3m−l ∈N ∗．∴{3m−l =12−3n−m =1，∴{m −l =0n−m=0，∴l =m =n 与l <m <n 矛盾， 故假设不成立，所以数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列． 【解析】(1)根据题意，由a n =2a n−1+1a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)构造a n +1=2a n−1+1a n−1+2+1=3(a n−1+1)a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，两式相除即可得a n −1a n+1=13⋅a n−1−1(a n−1+1)(n ≥2,n ∈N ∗)，由等比数列的定义分析可得答案；(2)用反证法分析：假设存在正整数l ，m ，n 且1≤l <m <n ，使得c l ，c m ，c n 成等差数列，由等差数列的定义可得2(3m−1)=3l+3n−2，即2⋅3m=3l+3n，变形可得3m−l⋅(2−3n−m)=1，分析可得矛盾，即可得证明．本题考查等比数列、等差数列的性质以及应用，涉及反证法的运用，(2)注意用反证法分析．。
江苏省南京师大附中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题+答案
1南京师大附中 2017～2018 学年度第二学期高一年级期中试卷数学试卷一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共计 42 分．把答案填在答．卷．纸．相．应．位．置．上．． 1．不等式(x +3)(x -2)<0 的解集为 ． 2．已知等差数列{a n }的公差为 3，且 a 2＝-2，则 a 6＝．3．在△ABC 中，若 A ＝60°，B ＝45°，BC =1，则 AC ＝．4. 已知公差不为零的等差数列的第 2，3，6 项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比等于 ．5. 已知数列{a n }的通项公式为a n = (2n -1)(2n +1)，则它的前 10 项的和为 ．6. 若不等式 x 2+ax +b <0 的解集为{x |－3< x <4}，则 a +b 的值为．7. 若等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1· a 2 ···· a n 的最大值为 ． 8．已知 p >0，q >0，且 p≠q ，记 A =(1+p )(1+q )，B p +q 2p+ pq ，则 A 、B 、C 的大小关系为．(用．“<．”连．接．) =(1+ 2 ) ，C=2π9. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 A = 3 ，b =2a cos B ，c =2，则△ABC 的面积等于．1 410. 已知 a ，b 为正实数，且 a ＋b ＝1，则 + 的最小值是．a b11. 若函数 y =的定义域为 R ，则实数 k 的取值范围是．12.已知 x <0，且 x -y =1，则 x + 12 y +1的最大值是．13. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，若 a n +2+2a n +1+a n =0 对任意n ∈ N * 都成立，则数列{a n }的前 n项和 S n = .14. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 3a 2-b 2+3ab cos C=0，则 c (cosA a cosB +)的最小值为 ．b二．解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字kx 2 - 2x +1说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 8 分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2=b2+c2+bc，a= 6b.（1）求 sin A 的值；（2）求 cos C 的值.16．（本小题满分 8 分）解下列关于x 的不等式：（1）1-2x≥1；（2）（| x|－2）（x+3）≥0. x + 317．（本小题满分 8 分）记数列{a }的前n 项和为S ，且S ＝3n－1.n n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n 项和T n.18．（本小题满分 10 分）如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为(2 3－2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为 2 2海里的C 处的缉私船立即奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以 10 2海里/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：2≈1.4，6≈2.5)．CAB45°75°{ n219．（本小题满分 12 分）设关于 x 的不等式(ax -a 2-9)(x -b )≥0 的解集为 A ，其中 a ，b ∈R .（1）当 b =6 时，①若 A =（-∞，+∞），求 a 的值；②记 L =d -c 为闭区间[c ，d ]的长度.当 a <0 时，求区间 A 的长度 L 的最小值；（2）当 b =2a-8，且 a <9 时，求 A .20．（本小题满分 12 分）设数列{a }满足 a = 1， a= 2a n -1 +1(n ≥ 2, n ∈ N * ) . n 1 na n -1 + 2a -1（1） 证明：数列} 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；a n +1（2） 设 c n =(3n+1)a n ，证明：数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列.==3 2 2南京师大附中 2017～2018 学年度第二学期高一年级数学期中试卷答案命题人：高一备课组审阅人：一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）：61. （-3,2）2. 103. 3104. 35.216. -137. 64 8. C<A<B 9. 31- 2 10. 9 11. [1, +∞) 12. 2⎧3 -2n, n为奇数⎨ 13. ⎩ 2n, n为偶数14. 2二．解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 8 分）解：（1）由余弦定理，得a2=b2+c2-2bc·cos A，∴cos A=-1 . 2又∵A∈(0, π)，∴ sin A = =3 分2b ⋅3b sin A （2）由正弦定理，得sin Ba=，………2分6b由（1）cos A<0，∴A∈(π,π)，又A +B +C =π，∴B∈2(0,π) .2∴cos B = =14 4∴cos C = cos[π-(A +B)] =-cos(A +B) =-cos A cos B +sin A sin B=-(-1) ⋅214+43⋅2=2 414 +86. …………3 分1- cos2 A1- sin2 B⎩⎩nn nnnn nn n n －116．（本小题满分 8 分）1- 2x- 3x - 23x + 2解：（1） x + 3 -1 ≥ 0 , ∴ x + 3≥ 0 ,∴ x + 3 ≤ 0 ∴ (3x + 2)(x + 3) ≤ 0 且x + 3 ≠ 0 , ∴ - 3 < x ≤ - 23∴原不等式的解集为(-3,- 2] 3⎧| x | -2 ≥ 0. …………..4 分（2）① ⎨x + 3 ≥ 0 ，解得- 3 ≤ x ≤ -2 或 x ≥ 2 ；⎧| x | -2 ≤ 0 ② ⎨x + 3 ≤ 0 ，x 无解；∴原不等式的解集为[-3,-2] [2,+∞) ........................ 4 分17．（本小题满分 8 分）解：（1）S ＝3n －1. 当 n ＝1 时，a 1＝S 1＝2；当 n ≥2 且 n ∈N*时，a ＝S －S ＝3n －3n －1＝2·3n －1，对 n ＝1 时也适合，∴a ＝2·3n －1，n ∈N*. ............................................. 4 分 （2）na ＝2n ·3n －1.T ＝2·30＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，① 3T ＝ 2·31＋4·32＋…＋(2n －2)·3n －1＋2n ·3n .②由①－②得：－2T ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －1)－2n ·3n ＝(1-2n )3n -1， 所以 T ＝ (n - 1)3n+1 ............................................... 4 分2218．（本小题满分 10 分）解：（1）在△ABC 中，∵AB ＝(2 3－2)海里，AC ＝2 2海里，∠BAC ＝135°， 由余弦定理，得BC ＝ 分＝4(海里)． (4)(2 3－2)2＋(2 2)2－2×2 2×(2 3－2)cos 135°22AC sin 135° 2（2）根据正弦定理，可得 sin∠ABC ＝BC ＝ 2 .∴∠ABC ＝45°，易知∠ACB ＝15°， ....................................... 2 分 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船， 则有 CD ＝10 3t (海里)，BD ＝10t (海里)．而∠CBD ＝120°，在△BCD 中，根据正弦定理，可得BD sin∠CBD sin∠BCD ＝ CD ＝ ，∴∠BCD ＝45°，∠BDC ＝15°， ..................... 2 分44 2解得t =5≈ 0.78小时≈ 47分钟． ....... 2 分 故缉私船沿南偏东 60°方向，需 47 分钟才能追上走私船．19．（本小题满分 12 分）解：（1）a =0 时，不等式的解集 A 为(-∞, 2] 不符题意舍去⎧a > 0 ⎪ 当 a ≠ 0 时， ⎨ a 2 + 9 =，解得 a =3 ...........3 分⎩⎪ a6 a 2 + 9（2）当 a <0 时，解得 A= [ , 6] ，aa 2 + 9= + - + 9≥ + = -3所以 L=6－a6 [( a )] 6 6 12 ，当且仅当 a = (-a )时，取等号，因此区间 A 的长度 L 的最小值为 12 ..............................3 分(3) ①当 a >0 时，因为 2a - 8 - a 2 + 9 = (a +1)(x - 9)a a6 + 2n n所以，当 0<a <9 时，不等式的解集为{x |x ≥ a 2 + 9a或 x ≤ 2a - 8 }… .....2 分②当 a =0 时，不等式的解集为{x |x ≤ 0 } .......................... 1 分 a 2 + 9 ③10 当- 1<a <0 时，不等式的解集为{x |a≤ x ≤ 2a - 8}20 当 a = - 1 时，不等式的解集为{ - 10}30当 a < - 1 时，不等式的解集为{x | 2a - 8 ≤ x ≤ a 2 + 9 a}.............. 3 分20．（本小题满分 12 分）解：（1）证明：由条件， a-1 =2a n -1 +1 -1 =a n -1 -1(n ≥ 2, n ∈ N * ) ，①a n -1 + 2a n -1 + 2a +1 =2a n -1 +1+1 = 3(a n -1 +1) (n ≥ 2, n ∈ N * ) ，②a n -1 + 2 1a n -1 + 2由 a 1= 2知 a n >0, ∴a n +1>0.①/②得， a n -1 = 1 ⋅ a n -1-1(n ≥ 2, n ∈ N * ) 且 a 1 - 1-1 1 = 2 = - 1 ≠ 0 ,{a n -1a n +1 3 (a n -1 +1) 1 1 a 1 +1 1 +1 3 2∴ } 是首项为- ，公比为 的等比数列 ............. 4 分a n +1a n -1= - 1 ⋅3 31 n -1 1 n3n -1因此， a n +1 ( ) = -( ) 3 3 3 ， ∴ a n = 3n +1.….2 分（2）证明：由（1）得，c =(3n +1)a =3n-1，（反证法）假设存在正整数 l ，m ，n 且 1≤l <m <n ，使得 c l ，c m ，c n 成等差数列. 则 2(3m -1)=3l +3n -2，即 2·3m =3l +3n ， 则有 2·3m-l =1+3n-l ，即 2·3m-l -3n-l =1， 则有 3m-l ·[2-3n-l-(m-l )]=1，即 3m-l ·(2-3n-m )=1. ∵l ，m ，n ∈N *且 1≤l <m <n ，∴3m-l∈N *.nn⎩⎧2 - 3n -m= 1 ⎧n - m = 0 ∴ ⎨ ⎩ 3m -l = 1，∴ ⎨ m - l = 0 ，∴l =m =n 与 l <m <n 矛盾，故假设不成立，所以数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列 ...... 6 分。
【南京师范大学附属中学】2017届期中考试数学试卷-答案
南京师范大学附属中学2017届期中考试数学试卷答 案1．{1,2,3}2．1i +3．24．235．136．5 7．1-8．539．2310．291811．5212．[-13．e 1(,1)(1,e 1]2-- 14．{2,8}- 15．（本小题满分14分）解:（1）因为2cos cos b c C a A-=(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理得： (2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，………………2分即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+=()sin A C +．………………4分因为πB A C --＝，所以()sin sin B A C =+，所以2sin cos sin B A B =．因为π()0,B ∈，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2A =，因为0πA <<，所以3A π=．………………7分（2）ABC △，且a =由22222131sin 2212cos 522bc S bc A a b c bc A b c bc ⎧==⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+-=+-⎩⎪⎩2222(b c)7417bc b c =⎧⇒+=+=⎨+=⎩． 所以b c +a b c ++=14分16．（本小题满分14分）证明:（1）因为PA ABCD ⊥平面，CD ABCD ⊥平面，所以PA CD ⊥，………………2分 又90ACD ︒∠＝，则CD AC ⊥，而PA AC A ＝，所以CD PAC ⊥平面，因为CD ACD ⊥平面，………………4分所以，平面PAC PCD ⊥平面．………………7分证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥PA ．因为EM ⊄平面PAB ，PA ⊂PAB 平面，所以EM PAB ∥平面．………………9分在Rt ACD △中，AM CM =，所以CAD ACM ∠=∠，又BAC CAD ∠∠＝，所以BAC ACM ∠∠＝，则MC AB ∥．因为MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以MC PAB ∥平面．………………12分而EM MC M ＝，所以平面EMC PAB ∥平面．由于EC ⊂平面EMC ，从而EC PAB ∥平面．………14分证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ．因为NAC DAC ∠∠＝，AC CD ⊥，所以C ND 为的中点．而E PD 为中点，所以EC PN ∥．因为EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，所以EC PAB ∥平面………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一：易得AB =(0,30)x ∈，故所求矩形ABCD 的面积为()2S x =3分=()22900x x ≤+-900=（2cm ）（当且仅当22900x x =-，x =（cm ）时等号成立）此时BC =；……6分 法二设COB θ∠=，0 θπ⎛⎫∈ ⎪2⎝⎭，；则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，………3分当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ）此时BC =；………6分（2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r ==π得，r =所以()231900V r x x x =π=-π，其中(0,30)x ∈，………9分由()2190030V x '=-=π得x =()31900V x x =-π在(上单调递增，在()上单调递减，故当x =3cm ，………13分答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为为时，圆柱体罐子的侧面积最大．（2）当截取的矩形铁皮的一边BC为为时，圆柱体罐子的体积最大．………14分 18．（本小题满分16分）解：（1）由已知，得2222101041,441,a b ab ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2220,5.a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆的标准方程为221205x y +=．………………4分 （2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为22(,)22m n --． 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而22m n =-．①又∵点C 在椭圆上，∴22420m n +=．②由①②，解得2n =（舍），1n =-，从而4m =-．所以点C 的坐标为(4,1)--．…8分 （3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．∵,,P B M 三点共线，∴011022222y y y x ++=++，整理，得001002()22x y y y x -=+-．………………10分 ∵,,P C N 三点共线，∴022011244y y y x ++=++，整理，得00200422x y y y x -=--．………………12分 ∵点C 在椭圆上，∴2200420x y +=，2200204x y =-． 从而2200000012220000002(45)2(205)55244416442x y x y x y y y x y x y x y +--===⨯=+---．…………………14分 所以122552OM ON y y ==．∴OM ON 为定值，定值为252．………………16分 19．（本小题满分16分） 解：（1）由题意123n a a a a＝n b ，326b b -＝，知3328a b b -＝＝.设数列{}n a 的公比为q ,又由 1a ＝2，得2314a q a ==，)22(q q -＝＝舍去，所以数列{}n a 的通项为(2)n a n n *∈N ＝．…3分 所以，123n a a a a ⋯＝(1)22n n +＝()1n n ＋． 故数列{}bn 的通项为1()()n b n n n *∈N ＝＋．…………6分 （2）（i ）由（1）知11111()21n n n n c n a b n n *⎛⎫---∈ ⎪+⎝⎭N ＝＝．所以1112()n S n n n*-∈+N ＝．…10分（ii ）因为12300040c c c c >>>＝,,,，当5n ≥时，1(1)1(1)2n n n c n n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而(1)(1)(2)(1)(2)022121n n n n n n n n n ++++--=>++， 得(1)5(51)1225n n n +⨯+≤<，所以，当5n ≥时，0n c <. 综上，若对任意n *∈N 恒有k n S S ≥，则4k ＝.…………16分20．（本小题满分16分）（1）2222()2a x a f x x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增，()f x 无极值…………2分当0a >时，x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增，所以()f x 有极小值ln f a a a =- 综上，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值ln f a a a =-，无极大值…………4分（2）2()2ln 2h x x a x ax =--，则22222'()22a x ax a h x x a x x --=--=因为0a >，令()0h x '=，得0x =，故()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，所以()h x 有极小值0()0h x =，20002ln 20x a x ax --=…………6分且2002220x ax a --=联立可得002ln 10x x +-=令()2ln 1m x x x =+-，得2()11m x x'=+>，故()m x 在(0,)+∞上递增又(1)0m =，所以01x =112a =⇒=…………10分 （3）不妨令1212x x ≤<≤，因为01a <<，则12()()g x g x <由（1）可知12()()f x f x <，因为1212()()()()f x f x g x g x ->-所以21212211()()()()()()()()f x f x g x g x f x g x f x g x ->-⇒->-所以2()()()2ln 2h x f x g x x a x ax =-=--在[1]2，上递增所以2()220ah x x ax'=--≥在[1]2，上恒成立，…………12分即21xax≤+在[1]2，上恒成立令1[2,3]t x=+∈，则211212xtx t=+-≥+，……14分所以1(0,]2a∈…………16分。
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一第一学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省南京师大附中高一第一学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合，.若，则实数__________.【答案】0【解析】【分析】由集合相等的性质，有m=2m，由此能求出m的值．【详解】∵集合A={2，m}，B={2m，2}．A=B，∴由集合相等的性质，有m=2m，解得m=0．故答案为：0．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．若幂函数的图像过点，则实数__________.【答案】2【解析】【分析】把点的坐标代入函数解析式进行求解即可．【详解】将点坐标代入，∵，∴.故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．3．函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题得，所以．故填4．若集合，则集合的子集个数为__________.【答案】8【解析】【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【详解】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为个.故答案为：8【点睛】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n-1个．5．若函数是偶函数，则__________．【答案】0【解析】由题得.故填0.6．已知，，则__________（用含，的代数式表示）.【答案】【解析】【分析】由换底公式，可得l，由此能够准确地利用a，b表示log36．【详解】由换底公式，.故答案为：本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则__________. 【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8．已知函数，函数为一次函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．【详解】由题意，函数为一次函数，由待定系数法，设（），，由对应系数相等，得，.即答案为.【点睛】本题考查函数的解析式的求法，是基本知识的考查．9．若函数，则方程所有的实数根的和为__________.【答案】【分析】利用分段函数，求解方程的解即可．【详解】由，得；又由，得，所以和为.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．10．设，，，则，，三者的大小关系是__________．（用“”连接）【答案】【解析】∵，，，∴．故填.11．已知函数的零点为，若，，则__________. 【答案】2【解析】【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x-7的零点所在的区间【详解】由零点定理，，，.根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=xlog2x-3的零点所在的区间是（2，3），所以n=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．12．已知函数在区间是增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，由此能求出实数a的取值范围．【详解】∵函数，函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，∴区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，即a≥-1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．故答案为：[-1，+∞）．【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）过点（0，2），（3，0），．作出函数f（x）在[-3，3]上的图象，当x∈[-3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得，由此能求出f（x）+f（-x）＞x的解集．【详解】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：.【点睛】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．如图，过原点的直线与函数的图像交于，两点，过，分别作轴的垂线，与函数的图像分别交于，两点．若平行于轴，则四边形的面积为__________．【答案】【解析】因为点和点的纵坐标相等，设点的横坐标为，点的横坐标为，则有．∵，∴．又，在一条过原点的直线上，∴，∴，∴．，，，，所以．故填.点睛：本题的难点在于找到a的值，本题是通过，在一条过原点的直线上，根据相似得到的.在找方程时，注意学会根据几何条件找方程.二、解答题15．已知全集，集合，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，解log2x≥1可得集合B，由交集的定义可得集合A∩B，（2）根据题意，（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B），由（1）的结论，计算可得答案．【详解】（1）由题意知，，故：.（2），，故：.【点睛】本题考查集合间的混合运算，关键是掌握集合交、并、补的定义，属于基础题．16．求值：（1）（2）【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（1）第一题，主要是利用分数指数幂和整数指数幂的运算性质解答.(2)第二题，主要利用对数的换底公式和对数恒等式解答.试题解析：（）原式．（）原式．17．已知函数，其中且，又.（1）求实数的值；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据f（1）=5建立方程关系进行求解即可．（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求函数的最值即可求函数的值域．【详解】本题考查函数的性质．（1）由，得：，解得：，又∵且，∴.（2）由（1）知：，设，，∴，则，易知，在内单调递增，故，，故：的值域为．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．18．某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过吨时，按每吨元收取；当该用户用水量超过吨时，超出部分按每吨元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为吨，所缴水费为元，写出关于的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为元，且甲、乙两用户用水量之比为，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）第一问，主要是分类讨论得到一个关于x的分段函数. (2)第二问，先要分析出甲、乙两用户的用水量是否超过了30吨，确定后，得到一个方程，即可得到他们搁置的用水量和水费.试题解析：（）由题意知，．（）假设乙用户用水量为吨，则甲用户水量为吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为，∴甲乙两用户用水量都超过吨．设甲用水吨，乙用水吨，则有，解得：，故：甲用水吨，水费为元；乙用水吨，水费为元．19．已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由a x-1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．已知函数，（1）求不等式的解集；（2）记在上最大值为，若，求正实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，，分段解不等式即可．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．即可求解．【详解】本题考查分段函数综合问题．（1）由题意知，，①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，综上所述，；（2）①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，故时，，故正实数的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．第 11 页共 11 页。
江西省南昌市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析.pdf
C． α+β=π
D． α＞ β
考点： 解三角形． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 从 A 看 B 的俯角为 α，从 B 看 A 的仰角为 β是内错角，可求俯角与仰角的基本关 系，即可判断． 解答： 解：从 A 看 B 的俯角为 α，从 B 看 A 的仰角为 β是内错角，两直线平行，内错角 相等可知， α=β， 故选： A ． 点评： 本题主要考查了仰角、俯角的概念及仰角俯角的基本关系，属于基础试题．
15．（ 5 分）在 △ ABC 中， A=60 °， b=1， c=2，求
=．
16．（ 5 分）数列
1，
1+2，
…1+2+2
23
+2 +
n
…+2
的前
n 项和
Sn=．
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（ 10 分）数列 {a n} 的通项公式为 an=n 2﹣ 5n+4，画出该数列在
1
是
2
a
与
b2 的等比中项，又是
与 的等差中项，则
的值是（）
A ．1 或
B． 1 或
C．1 或
D．1 或
6．（ 5 分）在 △ ABC 中，若（ a+b+c）（c+b﹣ a） =bc，则 A= （）
A ．A =150°
B． A=120 °
C． A =60°
D． A=30 °
7．（ 5 分）已知 a、 b 为非零实数，且 a＜ b，则下列不等式成立的是（）
第几项起，这个数列是递增的．
1≤n≤5 的图象，并判断从
18．（ 12 分）如图，在 △ ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠ BAC= AD=3 ，求 BD 的长．
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。
2017-2018学年度高一(上)期中测试 数学试题(必修一+部分必修四word版附答案)
2017-2018学年度高一(上)期中测试 数学试题考试范围：必修一+部分必修四一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分） 1. 设集合A={}14<<-x x ，B={}23<<-x x ，则B A ⋂等于（ ） A ．{}13<<-x x B ．{}21<<x x C ．{x | x>－3｝ D ．｛x | x<1｝ 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 22lg ,lg y x y x == B. ()()()01,1f x x g x =-=C. ()()21,11x f x g x x x -==+- D. ()()f x g t t ==3．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角4．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f ＝( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－145．已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,8+6．设0.3777,0.3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<7.2510a b ==则11a b+=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．58．函数f(x)=x 2-2ax+2在区间(-∞，1］上递减，则a 的取值范围是（ ） A ．［1,+∞)B ．(-∞,-1］C ．(-∞,1］D ．［-1,+∞)9．幂函数()()215m f x m m x +=--在()0,+∞上单调递减，则m 等于（ ）A.3B.-2C.-2或3D.-3 10．已知2tan =θ，则θθθθ22cos 2cos sin 2sin +⋅+的值为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．511．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x －1)>f(53)成立的x 的取值范围是( )A ．[－13，43)B ．[13，43)C ．(13，43)D ．(－13，43) 12．已知函数()()()()3512log 1a a x x f x a xx -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩对于任意21x x ≠都有()()02121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (]1,3 B. ()1,3 C. (]1,2 D. ()1,2二、填空题：（每小题5分，4个小题共20分）13. __________1470sin 0=14．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________15．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 16．给出下列几种说法：①若,1log log 3=⋅b a a 则3b =；②若13a a -+=，则1a a --=③()(lg f x x =+为奇函数；④()1f x x=为定义域内的减函数； ⑤若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且()21f =，则()12log f x x =，其中说法正确的序号为 .{}{}AC B A B A x x y x B x A R x ,,10)4(log ,162123⋃⋂-+-==<<=-求：已知集合三、解答题：（6个小题，共70分）17．计算下列各式的值：（10分）（1（2）()()2log 14839log 3log 3log 2log 22+++18. ．19.已知5sin 13α=,求cos ,tan αα的值.()1)a 0(),2(log 2log )(≠>--+=且已知函数a x x x f a a20.已知角α的终边任一点为P (k ，－3k ))0(≠k 求10sin α＋3cos α的值．21.已知函数f （x ）=110110+-x x（1）判断f （x ）的奇偶性； （2）讨论函数f （x ）的单调性.22.（1）求定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使的的解集．{(](](][)+∞⋃∞-==⋃=⋂=≤<>≥,73,3,10B A (4,7);B A 4,10B 10x 404-x 0x -10A C R 即得由参考答案选择题答案栏第II 卷（非选择题 ， 共 90 分）198(2)()()2log 14839log 3log 3log 2log 22+++()()2323223log 3log 3log 2log 21=+++ 233111log3log 3log 2log 21232⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23535log 3log 211624⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭9418.解：集合A={x|1<2x ﹣3＜16}={x|0≤x ﹣3＜4}={x|3<x ＜7}=(3，7），19解∵sin 0,sin 1αα>≠,∴α是第一或第二象限角,由22sin cos 1αα+=得2222512cos 1sin 11313αα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）如果α是第一象限角,那么cos 0α>,于是12cos 13α=,从而sin 5135tan cos 131212ααα==⨯= （2）如果α是第二象限角,那么cos 0α<,于是12cos 13α=-,从而sin 5135tan cos 131212ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭ 20解：设α终边上任一点为P (k ，－ 3k )，则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.21.解：（1）∵m x ＞0，m x +1≠0恒成立，∴函数的定义域为R .∵函数的定义域为R ，关于原点对称，又∵f （－x ）=110110+---x x =110101+---xx=－f （x ），∴函数f （x ）是奇函数. （2）任取x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=11011011+-x x －11011022+-x x =.()()110)110(101021221++-x x x x∵101x +1＞0，102x +1＞0，101x －102x ＜0，f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2） ∴函数f （x ）在R 上为增函数；.22. 解：（1）由题意得 ，即﹣2＜x ＜2．∴f （x ）的定义域为（﹣2，2）；（2）∵对任意的x ∈（﹣2，2），﹣x ∈（﹣2，2）f （﹣x ）=log a （2﹣x ）﹣log a （2+x ）=﹣f （x ），∴f （x ）=log a （2+x ）﹣log a （2﹣x ）是奇函数；（3）f （x ）=log a （2+x ）﹣log a （2﹣x ）＞0，即log 2（2+x ）＞log a （2﹣x ），∴当a ∈（0，1）时，可得2+x ＜2﹣x ，即﹣2＜x ＜0．当a ∈（1，+∞）时，可得2+x ＞2﹣x ，即x ∈（0，2）.。
2017-2018学年度高一第二学期江苏省南京师范大学附属中学高一学数学期中试卷与解析
2.
．
【答案】 10 ； 【解析】 a6 a2 4d 2 4 12 10 ． 在 △ABC 中，若 A 60 ， B 45 ， BC 1 ，则 AC
6 ； 3 6 BC AC ，则 AC ． 3 sin A sin B
3.
．
【答案】
【解析】由正弦定理
已知公差不为零的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比等 于 ．
5. 6. 7. 8.
已知数列 an 的通项公式为 an
2n 1 2n 1
1
，则它的前 10 项的和为 ．
．
若不等式 x2 ax b 0 的解集为 x | 3 x 4 ，则 a b 的值为 若等比数列 an 满足 a1 a3 10 ， a2 a4 5 ，则 a1a2
18. （本小题满分 10 分） 如图，在海岸 A 处，发现南偏东 45 方向距 A 为 2 3 2 海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处正北方 向，距 A 为 2 2 海里的 C 处的缉私船立即奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船． ⑴ 刚发现走私船时，求两船的距离； ⑵ 若走私船正以 10 2 海里/时的速度从 B 处向南偏东 75 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上 走私船？并求出所需要的时间（精确到分钟，参考数据： 2 1.4 ， 6 2.5 ） ．
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2017-2018 学年度第二学期期中试卷 南师附中 高一数学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分．请把答案写在答题卡相应位置 上． ．．．．．．． 1. 不等式 x 3 x 2 0 的解集为 ． 【答案】 3, 2 ； 【解析】 x 3 x 2 0 的解为 3, 2 ，结合二次函数图象可得不等式解集为 3, 2 ． 已知等差数列 an 的公差为 3 ，且 a2 2 ，则 a6
2017-2018学年高一南师附中期中数学试卷及解析(国大班)
本套试卷是附中高一上学期国科大菁英班所采用的数学期中试卷，整体难度大于菁英班试卷难度，其中第13题为菁英班试卷第14题，第17题为菁英班试卷第18题，第19题为玄武区期中试卷第20题的改编题目，整卷所考查的知识点均没有超纲内容，为应知应会的知识点，压轴题中，第14题考查了我们反复讲解的“和谐区间”类问题，第20题考查了对数函数的综合运用。
总体来说，这套试卷值得其他班及其他学校的孩子们一刷、二刷甚至三刷，反复琢磨思考。
南京师大附中2017-2018学年度高一年级国科大菁英班第一学期期中考试数学试卷感谢参与试卷解析的杨洋、宋扬、薛䶮老师！一．填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分.1.设a ∈R ，集合1{1,,1}{0,1,}a a a +=，则a 等于_______.2.计算：151lg2lg 2()22-+-=_______.3.若幂函数a y x =的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为_______.4.设函数3,10,()((5)),10,n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩其中,n ∈N 则(8)f 等于_______.5.函数2lg(4)y x x =-的单调递增区间是_______.6.设236,a b ==则11a b+=_______.7.设 1.1 1.13log 7,2,0.8,a b c ===则将a 、b 、c 按从小到大的顺序排列是_______.8.设,k ∈Z 若函数2()log 3f x x x =-的零点所在区间为(,1)k k +，则k 的值是_______.9.已知函数2283,1,(),1,x x ax x f x a a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为_______.10.设m 为实数，若函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4],4--则m 的取值范围为_______.11.已知函数()()y f x x =∈R 是奇函数，当0x ≥时，()31,x f x =-设()y f x =的反函数是(),y g x =那么(8)g -=_______.12.对,,a b ∈R 记,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x =+-∈R 的最小值是_______.13.如图，过原点O 的直线AB 与函数9log y x =的图像交于,A B 两点，过,A B 分别作x 轴的垂线，与函数3log y x =的图像分别交于,D C 两点.若BD 平行于x 轴，则四边形ABCD 的面积为______.14.对于函数()y f x =，若其定义域内存在两个实数,(),m n m n <似的[,]x m n ∈时，()f x的值域也是[,]m n ，则称函数()f x 为“和谐函数”.若函数()f x k =是“和谐函数”则实数k 的取值范围是_______.二．解答题：本大题共6小题，共计58分.15.已知全集,U =R 集合2{|3},{|log 3}.A x xB x x =<<（1）求A B ；（2）求()U UC A C B .16.设f 为定义在区间D 上的函数，若对D 上任意两点12,,x x 总有1212()()(22f x f x x x f ++≥则称f 为区间D 上的凸函数；若对D 上任意两点12,,x x 总有1212()()(22f x f x x x f ++≤则称f 为区间D 上的凹函数.试判断函数()lg f x x =是定义域上的凸函数还是凹函数，并给出证明.17.某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取.（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x 吨，所缴水费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式；（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费.18.设a 为实数，已知函数1()2(.,0)f x ax x xx =≠+∈R （1）当12a ≤时，试判断()f x 在区间(0,1]上的单调性定义证明你的结论；（2）若对任意的(0,1],x ∈总有()8f x ≥成立，求a 的取值范围。
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的时候，y 2 f (x) 的图像恒在 y x 的上方，当 x 0,3 的时候，令 2 f (x) x, x 12 ,
7
即当
x
3,
12 7
的时候，满足 2 f (x) x ，即 f (x) f (x) x
14. 如图，过原点 O 的直线 AB 与函数 y log9 x 的图像交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 x 轴的
【解析】：本题考查函数的性质。
（1）由
f
(1)
5 ，得：(a
1)(a
2a
1)
5 ，解得：a1
2, a2
2 3
又
a 0 且 a 1, a 2
（2）由（1）知： f (x) (2x 1)(2x 3) ，设 t 2x , x [1,3],t [1 ,8] ，则 2
19. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) loga (ax 1)(a 0, a 1)
（1） 当 a 1 时，求函数 f (x) 的定义域； 2
（2） 当 a 1 时，求关于 x 的不等式 f (x) f (1) 的解集；
（3） 当 a 2 时，若不等式 f (x) log2 (1 2x ) m 对任意实数 x [1,3] 恒成立，求实数
12. 已知函数 f (x) | x 1| 在区间[a, ) 是增函数，则实数 a 的取值范围是______. 13. 已知函数 y f (x) 是定义在区间[3,3] 上的偶函数，它在区间[0,3] 上的图像是如图所示
的一条线段，则不等式 f (x) f (x) x 的解集为______.
【答案】8
【解析】记 n 是集合中 元素的个数，集合 A 的子集个数为 2n 23 8 个
5. 若函数 f x x2 ax 是偶函数，则 a =______.
【答案】0
【解析】因为函数 f x x2 ax 是偶函数，所以 x 的一次项系数为 0 ，即 a 0
6. 已知 lg2 a,lg3 b ，则 log3 6 = ______(用含 a, b 的代数式表示).
已知全集U R ，集合 A {x | x 3}, B {x | log2 x 1}. （1）求 A B;
（2）求 (CU A) (CU B).
16. （本小题满分 8 分） 求值：
（1） (
2 )2
(
8
1
)3
(
1)0;
27
2
17. （本小题满分 10 分）
（2） log3 2 log4 9 2log 2 2
（1） (
2 )2
(
8
1
)3
(
1)0;
27
2
（2） log3 2 log4 9 2log 2 2
【答案】：（1） 1 6
（2） 5 【解析】：本题考查对数的运算。
（1）原式=
1
(22
)2
[(
2
)3
1
]3
1
1
2
1
1
3
23 6
log 1 2
（2）原式= log3 2 log22 32 2 22 1 22 5
垂线，与函数 y log3 x 的图像分别交于 D,C 两点. 若 BD 平行于 x 轴，则四边形 ABCD 的面积为______.
【答案】
3 2
log3
2
【解析】因为点 D 和点 B 的纵坐标相等，设点 D 的横坐标为 a ，点 B 的横坐标为 b ，则
有 log3 a log9 b, log3 a log9 a2,b a2 ，又 Aa, log9 a, B(a2, log9 a2 ) 在一条
15. （本小题满分 8 分）
已知全集U R ，集合 A {x | x 3}, B {x | log2 x 1}. （1）求 A B;
（2）求 (CU A) (CU ).
【答案】：（1） A B x 2 x 3
（2） (CU A) (CU B) x x 3或x 2
9.
若函数
f
(x)
4x ,
x
1,
，则方程 f (x) 2 所有的实数根的和为______.
5 x, x 1,
10. 设 a log3 7,b 21.1, c 0.81.1 ，则 a,b,c 三者的大小关系是______.(用” <”连接)
11. 已知函数 f (x) x log2 x 3 的零点为 x0 , 若 x0 (n, n 1), n Z, 则 n ______.
【答案】2
【解析】将点坐标代入 f x xa , 22 4, a 2
3. 函数 y 2x 1 的定义域为______.
【答案】
1 2
，+
【解析】 2x 1 0, x 1 2
4. 若集合 A 1, 2, 3 , 则集合 A 的子集个数为______.
12. 已知函数 f (x) | x 1| 在区间[a, ) 是增函数，则实数 a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由绝对值函数的图像可得，区间左端点应该在-1 的右边
13. 已知函数 y f (x) 是定义在区间[3,3] 上的偶函数，它在区间[0,3] 上的图像是如图所示 的一条线段，则不等式 f (x) f (x) x 的解集为______.
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 x 0 时， f x x 1 ，则 f 2 = ______.
8. 已知函数 f (x) x2 2x 1 ，函数 y g(x) 为一次函数，若 g( f (x)) 2x2 4x 3 ，则
g(x) ______.
南京师大附中 2017-2018 学年度第一学期
高一年级期中试卷数学试卷
解析老师：杨洋 沈沐 薛䶮 韩笑
一．填空题：本大题共 14 分，每小题 3 分，共 42 分.
1. 已知集合 A 2, m, B 2m, 2 . 若 A B ，则实数 m =______.
2. 若幂函数 f x xa 的图像过点 2, 4 ，则实数 a =______.
【答案】
3,
12 7
【解析】由题意，函数 f (x) 过点 (0, 2), (3, 0), y 2 x 2, 又因为 f (x) 是偶函数，关于 3
y 轴对称，所以 f (x) f (x), 即 2 f (x) x ，又作出函数在[3,3] 上的图像，当 x 3, 0
【解析】：本题考查集合的运算。
（1）由题意知， B x x 2 ，故： A B x 2 x 3
（2） CU A x x 3 ， CU B x x 2，故： (CU A) (CU B) x x 3或x 2
16. （本小题满分 8 分） 求值：
m 的取值范围.
20. （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) x | x 1|, x R （1） 求不等式 f (x) 6 的解集；
（2） 记 f (x) 在[0, a] 上最大值为 g(a), 若 g(a) 2, 求正实数 a 的取值范围.
南京师大附中 2017-2018 学年度第一学期
【答案】 a b b
【解析】由换底公式， log3
6
lg 6 lg 3
lg
2 lg 3 lg 3
a
b
b
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 x 0 时， f x x 1 ，则 f 2 = ______.
【答案】-3
【解析】 f (2) f (2) (2 1) 3
11. 已知函数 f (x) x log2 x 3 的零点为 x0 , 若 x0 (n, n 1), n Z, 则 n ______. 【答案】2 【解析】由零点定理， f (2) 2log2 2 3 1, f (3) 3log2 3 3, f (2) f (3) 0
2
(2)5 x 2, x 3
10. 设 a log3 7,b 21.1, c 0.81.1 ，则 a,b,c 三者的大小关系是______.(用” <”连接)
【答案】 c a b 【解析】 1 log3 7 2, 21.1 2, 0 0.81.1 1 ，c a b
3. 函数 y 2x 1 的定义域为______.
4. 若集合 A 1, 2, 3 , 则集合 A 的子集个数为______.
5. 若函数 f x x2 ax 是偶函数，则 a =______.
6. 已知 lg2 a,lg3 b ，则 log3 6 = ______(用含 a, b 的代数式表示).
14. 如图，过原点 O 的直线 AB 与函数 y log9 x 的图像交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 x 轴的 垂线，与函数 y log3 x 的图像分别交于 D,C 两点. 若 BD 平行于 x 轴，则四边形 ABCD 的面积为______.
二．解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分 15. （本小题满分 8 分）
8. 已知函数 f (x) x2 2x 1 ，函数 y g(x) 为一次函数，若 g( f (x)) 2x2 4x 3 ，则 g(x) ______.
【答案】 2x 5 【解析】由题意，函数 y g(x) 为一次函数，由待定系数法，设 g(x) kx b(k 0) ，