导数定义及公式

=
=
12.
=
13.
=
=
=
.
，则 y=f （ g（x））；
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## 导数：一般地，函数 y=f （x）在 x= 处的瞬时变化率是
=
,称函数 y=f （x）在 x= 处的导数，记作：
（ x ）或
。即 （ ）=
=
。
## 函数 y=f （x）在点 处的导数的 几何意义，就是曲线 y=f （x）
３.函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为０的点讨论，其是极大值还是极小值， 只需将导数为０的点的函数和端点函数值时行比较。
在解决实际生活中优化问题注意事项： 1 必须考虑是否符合实际意义２只 有一个点使 （ x） 的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能 知道是最大（小）值。３不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来， 而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。
注意：Ａ . 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个 这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。
.
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Ｂ. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数 的定义域。
二、函数的极值：
１ .定义， 设函数 f（x）在点
附近有定义，如果对
附近的所有点，都有 f（x） 是函数 f （x）的一个极大值；如果对
w=
.
，则称 附近的所有点，都有 f
（ x）
，则称
是函数 f（x）的一个极小
值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。
２ .判断
是极大值或极小值的方法：
第一步，确定函数的定义域，求导数
（x）；
第二步，求方程
（x）
的根；
第三步，检查 的值的符号；
（ x）在
（x）
的根左右两侧
１ .如果“左 正右 负”，那么 f（x）在这个根处取到极大值；
在点 P（
P（ 方程为：
）处的切线斜率，也就是说曲线 y=f （x）在点 ）处的切线斜率 （ ）。相应地，过 p 点的切线
y-f （
）=
（
）（ x-
）
## 导函数：如果函数 y=f （x）在开区间（ a，b）内每一点都可 导，就说函数 f（x）在开区间（ a，b）内可导。若函数 f（x）在开 区间（ a，b）内可导，则 f（x）在（ a，b）内每一点的导数构成一 个新函数，把这一新函数叫做 f（x）在开区间（ a，b）内的导函数 （简称导数）记作 （x）或 或 。
。即Biblioteka Baidu
＝ 积函数， a 做积分下限， b 做积分上限。
其中 f（x）叫做被
定积分
不是一个表达式，是一个常数。
.
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定积分几何意义： 从几何上看 ，若函数 y=f （x）在区间 [a ，b]
上连续且恒有 f（x） ０，那么定积分
表示直
线 x=a,x=b （a b）， y=0 和曲线 y=f （x）所围成的曲边梯
（ x）
（x）在（ a，b）内是常数。
，那么 f
３.
（ x）
是 f（x）在此区间上为增函数的充
分而不必要条件。
求函数单调区间的步骤：
１.确定 y=f （x）的定义域；
２.求导数 （x），求出 （x） 的根；
３.函数的无定义点和 （x） 间，列表考查这若干区间内 调区间。
的根将 f（x）的定义域分成若干区 （x）的符号，进而确定 f（x）的单
点，如函数 f （x ）＝
，点 x ＝０就不是极值点，但
（０）
；
※函数的极大值不一定大于极小值；
※在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也 可能不存在极值点。
三函数的最值：
设函数 y=f （x）是定义在区间 [a ，b] 上的函数， y=f （x）在
区间（ a，b）内有导数，求 y=f （x）在 [a ，b] 上的最大值与最小 值，其步骤为：
※提示：
.
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１.若函数 y=f （x）在区间 [a ，b] 上单调递增，则 f （a）为最小值， f（b） 为最大值；若若函数 y=f （ x）在区间 [a ，b] 上单调递减，则 f（ a）为最大值， f （ b）为最小值。
２.图象连续不断的函数在开区间（ a，b）上不一定有最大（小）值，如果 图象连续不断的函数在开区间（ a， b）上只有一个极值，则该极值就是最值。
２ .如果“左负右正”，那么 f（x）在这个根处取到极小值；
３. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 个根处无极值。
f （x）在这
.
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在此步聚中，最好利用方程
（x）
的根，顺次将
函数的定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结
论。
※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值
导数：
1.若 f(x)=c, 则 （x）=
2. 若 f(x)= （n
则 （x）=
3. 若 f(x)= ,则 （x）=
4.若 f(x)=
,则 （x）=
5. 若 f(x)= , 则 （x）=
6. 若 f(x)= , 则 （x）=
7. 若 f(x)= 8. 若 f(x)=
,则 （x）= ,则 （x）=
=
10.
即 （x）= =
=
.
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一、函数的单调性
一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间 (a ，b)
内，如果
（x）
调递增；如果
（ x）
，那么函数 y=f （x）在这个区间内单
１ . 如果
（ x）
（ x）
，则 f （x）严格增函数；如果 ，则 f （x）严格减函数。
２ . 如果在（ a，b）内恒有
形的面积；
定积分性质：
=k
(k 为常数 )
= = 以上是线性性质，下面是对区间可加性
＝
+
（a
）
微积分基本定理－－牛顿－莱布尼兹公式
一般地，如果 f（x）在区间 [a ，b] 上的连续函数，并且
（ x），那么
＝Ｆ（ b）－Ｆ（ a）。
（x）＝ f
定积分的简单应用： 一、 求平面图形面积的应用 １ . 定 积分与平面图形面积的关系
四．定积分及应用
定积分定义： 若函数 y=f （x）在区间 [a ，b] 上连续用分点
a
=b, 将区间 [a ，b] 等分成 n
个小区间，在每个小区间 [
， ] 上任取一点 （i=1 ，
2， 3 ， 当n
），作和式
=
，
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫 函数
y=f （x）在区间 [a ，b] 上定积分，记作
２ . 利 用定积分求平面图形面积的步骤
（１） 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 像；
（２） 借助图形确定被积分函数，求出交点坐标，确定积分 上、下限；
（３） 将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
（４） 计算并求出结果
二、 定积分在物理学中的应用
１. 求变速直线运动的路程
s=
２. 求变力 F 所做的功
先求函数 y=f （x）在（ a，b）内的极值；再将函数 y=f （x）的 各极值与端点的函数值 f（a）、 f（b ）比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。
如果 在区间 [a ，b] 上，函数 y=f （x）的图象是一条连续不 断的曲线，则函数在 [a ，b] 上一定能够取得最大值和最小值， 并且函数的最值必在极值点或端点处取得。
通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也 可为０ . （１） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴上方，定积分值取正值，且
等于曲边梯形的面积；
.
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（２） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴下方，定积分值取负值，且 等于曲边梯形面积的相反数；
（３） 当位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积等于位于Ｘ轴下方的 曲边梯形的面积时，定积分的值为０，且等于位于Ｘ轴 上方的曲边梯形的面积减去位于Ｘ轴下方的曲边梯形的 面积。