中考数学试卷分类汇编：代数几何综合

2013中考全国100份试卷分类汇编

代数几何综合

1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2

关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭

⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数

()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),

由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩

⎨⎧=++=+-5.1240

c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

又12=-

a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以2

3

212++-=x x y . （2）由（1）知2

3

212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,

令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23

,27k )，

令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2

k

)，

根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,

即：

,5

11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2

1

232122+--=++-=x x x y

所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为2

2

1x y -

=

假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 所以

1

1

11PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 则（1）式变为

N

M

N M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入2

2

1x y -

=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件，

故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.

考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.

点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

2、（绵阳市2013年）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点C 的坐标为（0，-2），交x 轴于A 、B 两点，其中A （-1，0），直线l ：x =m （m ＞1）与x 轴交于D 。 （1）求二次函数的解析式和B 的坐标；

（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BP Q 是以P 为直角顶点的等腰

直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不

存在，请说明理由。

解：（1）①二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点C 的坐

标为（0，-2），c = -2 , - b 2a = 0 , b=0 ,

点A(-1,0)、点B 是二次函数y=ax 2-2 的图象与x 轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x 2-2；

②点B 与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B 的坐标为（1，0）； （2）∠BOC=∠PDB=90º，点P 在直线x=m 上，

设点P 的坐标为（m,p ）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，

①当△BOC ∽△PDB 时，OB OC = DP DB ,12= |p|m-1 ,p= m-12 或p = 1- m

2

,

A B C D O

x y l

点P 的坐标为（m ，m-12 ）或（m ，1- m

2 ）；

②当△BOC ∽△BDP 时，

OB OC = DB DP ，12= m-1

|p|

，p=2m-2或p=2-2m, 点P 的坐标为（m ，2m-2）或（m ，2-2m ）；

综上所述点P 的坐标为（m ，m-12 ）、（m ，1- m

2 ）、（m ，2m-2）或（m ，2-2m ）；

（3）不存在满足条件的点Q 。

点Q 在第一象限内的抛物线y=2x 2-2上，

令点Q 的坐标为（x, 2x 2-2），x>1, 过点Q 作QE ⊥直线l , 垂足为E ，△BPQ 为等腰直角三角形，PB=PQ ，∠PEQ=∠PDB ， ∠EPQ=∠DBP ，△PEQ ≌△BDP ，QE=PD ，PE=BD ，

① 当P 的坐标为（m ，m-1

2 ）时，

m-x = m-1

2 ， m=0 m=1

2x 2-2- m-12 = m-1, x= 1

2 x=1

与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；

② 当P 的坐标为（m ，1- m

2

）时，

x-m= m-12 m=- 2

9 m=1

2x 2-2- 1- m 2 = m-1, x=- 56 x=1

与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；

③ 当P 的坐标为（m ，2m-2）时，

m-x =2m-2 m= 9

2 m=1

2x 2-2-(2m-2) = m-1, x=- 5

2 x=1

与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件； ④当P 的坐标为（m ，2-2m ）时，

x- m = 2m-2 m= 5

18 m=1

2x 2-2-(2-2m) = m-1 x=- 7

6 x=1

与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件； 综上所述，不存在满足条件的点Q 。