古典概型
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
古典概型-简单-讲义
古典概型知识讲解一、基本事件的两个特点1.任何两个基本事件是互斥的；2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的概念概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．三、古典概型的特征1.有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．注：判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．四、古典概型计算公式及步骤1. 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；2. 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=mn．3. 古典概型的计算步骤：(1) 阅读题目，收集信息，理解题意：(2) 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：(3) 计算基本事件的个数n和所求事件中包含的基本事件个数：(4) 计算所求事件的概率mPn．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2015?广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．2．（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．3．（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．4．（2018?宣城二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A．5．（2015?新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．二．填空题（共3小题）6．（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．7．（2016?江苏模拟）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．8．（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．三．解答题（共3小题）9．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机连续摸取3次，每次取1个球，求：（1）不放回抽样时，摸出2个白球，1个黑球的概率．（2）有放回时，摸出2个白球，一个黑球的概率．【解答】解：（1）不放回抽样时，从10个球中摸出3个，基本事件数是==120；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是?=?2=56；∴它的概率为P==；（2）有放回时，从10个球中摸出3个，基本事件数是10×10×10=1000；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是8×8×2=128；∴它的概率为P==．10．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第﹣组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1﹣0.03×5﹣0.05×5﹣0.06×5﹣0.04×5=0.1，又频率组距==0.02，补全频率分布直方图如图所示∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，0.40+0.06×5=0.70＞0.5，∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，则（x﹣85）×5+0.40=0.50，解得x=87；估算这300名学生数学成绩的中位数87；（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，第5组有学生300×0.02×5=30人；用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，第4组中至少有1人被抽取的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，故所求的概率为P==．11．某学校阅览室订有甲，乙两类杂志，据调查，该校学生中有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志．求学生中至少读其中一类杂志的概率？【解答】解：有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志，则学生中至少读其中一类杂志的读甲，乙两类杂志的有70%+45%﹣22%=93%，故学生中至少读其中一类杂志的概率0.93。
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有 种离开方式,有两人在某一层离开,有 种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式：4人在同一层离开共有 种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有 种可能;4个人都不在同一层离开,共有 种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件 发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间 、事件域 和概率 来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率 是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间 的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件 ：每一组有一名女生，及事件 ：3 名女生在同一组中的概率.
解：(1)9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有 种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有 种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此 的有利样本点共有 种.所以
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。
每个基本结果出现的可能性相等。
111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。
112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。
12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。
互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。
121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。
122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。
13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。
确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
代入公式计算 P(A) 。
132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。
确保对基本事件的界定清晰无误。
14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。
141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。
完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。
15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。
明确性：能够清晰地定义和区分。
151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。
152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。
16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。
抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。
摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。
161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。
古典概型
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示 恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练 习 巩 固
从含有两件正品a,b和一件次品 的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品 和一件次品 的三件产品中任取 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则 取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件 取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包 表示 能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品 例5,从含有两件正品 和一件次品 的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品 中每次任取1件 每次取出后不放回, 中每次任取 件,每次取出后不放回,连续取两 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取 两次, 两次,其基本事件是
小 结
古典概型满足的条件
古典概型满足的条件古典概型是概率论中的一个基本概念，它指的是在某种实验中，样本空间中的每个样本点具有相同的概率。
在古典概型中，满足以下条件：1. 有限性：样本空间中的样本点是有限个数的。
这意味着实验的结果是可以列举出来的，而不是无限多的。
2. 等可能性：每个样本点发生的概率是相等的。
也就是说，在没有其他信息的情况下，每个样本点发生的可能性是相同的。
古典概型的一个典型例子是掷硬币。
当我们掷一枚硬币时，其样本空间为{正面，反面}，而正面和反面出现的概率都是1/2。
因为硬币只有两面，而且在没有其他信息的情况下，每个面出现的可能性是相同的。
古典概型还可以用来解决排列组合的问题。
例如，在一副扑克牌中，从中随机抽取5张牌，问有多少种可能的抽法？我们可以使用古典概型来解决这个问题。
首先，我们需要确定样本空间，也就是所有可能的抽牌结果。
然后，我们需要确定每个样本点发生的概率，即每种抽牌结果发生的可能性。
在这个例子中，样本空间的大小是52张牌中抽取5张的组合数，而每个样本点发生的概率是相等的，即1/组合数。
通过计算，我们可以得到答案。
古典概型虽然简单，但在概率论的发展历程中起到了重要的作用。
它为我们提供了一种简单而直观的思维框架，帮助我们解决实际问题。
古典概型的条件简明清晰，使得我们能够准确地计算概率，从而做出合理的决策。
除了满足条件的古典概型，还存在其他类型的概型，如几何概型和条件概型。
几何概型适用于具有几何结构的问题，例如在平面上随机抛掷一个点落在某个区域内的概率。
条件概型则适用于已知某些条件下发生事件的概率。
这些概型在实际问题中也有广泛的应用。
古典概型是概率论中的一个重要概念，它具有简单清晰的条件，可以帮助我们计算概率并解决实际问题。
通过了解古典概型的条件和应用，我们可以更好地理解概率论的基本概念和方法，提高我们的数学思维能力和问题解决能力。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的概型，并利用概率论的知识进行计算和分析，从而做出合理的决策。
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
《古典概型》ppt课件
有限性
样本空间中包含的基本事件是有 限的。，每个基本
事件都有确定的概率。
这一性质使得古典概型在实际应 用中具有可操作性和实用性。
互斥性
两个或多个基本事件不能同时发 生。
在古典概型中，由于每个基本事 件发生的概率是相等的，因此它 们之间是互斥的，即不可能同时
在统计学中的应用
样本统计
在统计学中，样本统计量是用来描述数据特征的重要工具。 古典概型可用于计算样本统计量的概率分布，如样本均值、 样本方差等。
假设检验
古典概型在假设检验中也有应用，特别是在使用似然比检验 和贝叶斯统计时。通过比较不同假设下的概率，可以判断哪 个假设更合理。
在实际生活中的应用
决策制定
发生。
互斥性是古典概型中一个重要的 性质，它确保了概率计算的正确
性和合理性。
03
古典概型的应用
在概率论中的应用
概率计算
古典概型提供了一种计算概率的简单 方法，特别是对于离散随机事件。通 过列举所有可能的结果和满足条件的 结果，可以直接计算概率。
概率分布
在概率论中，古典概型常用于推导离 散随机变量的概率分布，如二项分布 、泊松分布等。这些分布在实际应用 中具有广泛的应用价值。
古典概型可以帮助人们在不确定的情况下做出决策。例如，在赌博游戏中，玩 家可以使用古典概型来计算获胜的概率。
风险评估
在风险评估中，古典概型可以用来计算风险事件发生的概率。例如，在保险行 业中，保险公司可以使用古典概型来评估不同风险事件的发生概率和损失程度。
04
古典概型与现代概率论的联系
古典概型在现代概率论中的地位
古典概型是现代概率论的基础
古典概型为概率论的发展提供了基本的概念和原理，为后续的概率模型和理论奠 定了基础。
1.3 古典概型
正整数解的组数为
C 1 5 1 C 1 4 9 1
2 3 1
特点：球相同，盒子不同. 球不相同，盒子不同.（此即为多组组合模式）
例1 在自然数1,2,…,120中任取一数，求此数能被3整除的概率. 解：
设A=“此数能被3整除”
{ 1 , 2 , 120 }
A { 3 , 6 , 120 }
n=120, nA=40.
P ( A)
由古典概型的计算公式：
40 120 1 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流
放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样条件下，
求下列事件的概率:
An
r
即为通常的排列公式.
例如：从数字1,2,3中有重复的取出3个，有重复的 组合数为10，从数字1,2,3，4，5中有取出3个的组合 数也是10. 对应关系如下： 可重复的组合
111 112 113 122 123 133 222 223 233 333
5个元素取出3的组合
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
§1.3
古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质 (1) 具有有限个样本点 1 , 2 , n (2) 每个样本点出现的机会均等 P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 则称此试验为古典概型。
n
2 概率计算：
P ( A) k A 中所含基本事件数 n 基本事件总数 A 中样本点数 样本点总数
P ( Am ) C k ( n 1)! n!
1
k n
等可能概型(古典概型)
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
第四讲 古典概型
第四讲古典概型概率的一般加法公式[新知初探]1．古典概型的概念(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.注意事项：基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．求解古典概型的概率“四步”法2．概率的一般加法公式(1)事件A与B的交(或积)：由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(2)概率的一般加法公式：设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[小试身手]1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k n .A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列试验是古典概型的是( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D．1解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( )A.12B.1536C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.典型例题[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件； ②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案] C(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[活学活用]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为P(B)＝8 15 .[活学活用]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝315＝15.[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位 由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. [活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎨⎧2a －b x ＝6－2b ，2a －by ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎨⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎨⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选D 由题意(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为336＝112，故选D. 2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 3．设a 是从集合{}1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合{}1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是5 12 .4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为3 16 .5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3. 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310. [层级二 应试能力达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有3种，其概率为327＝19；无红球的情况有8种，其概率为827，故选B.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B.1288 C.1360 D.1480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C. 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35 解析：选 C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－16＝56.答案：5 66．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1 10.答案：1 107．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a2＋b2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为5 9 .答案：5 98．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝1225＝0.48.9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3 10 .(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8 15 .。
古典概型
1 答：直线 l1∩l2＝∅的概率为12.
(2)设事件 B 为“直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限”， 由于直线 l1 与 l2 有交点，则 b≠2a. x＝ b＋2 ， ax－by＋1＝0， b－2a 联立方程组 解得 x－2y－1＝0. a＋1 y＝b－2a.
满足条件的实数对(a， b)有(1,3)、 (1,4)、 (1,5)、 (1,6)、 (2,5)、 (2,6)共六种．
•
6 1 所以 P(B)＝36＝6. 答：直线l 与l 的交点位于第一象限的概率为.
1 2
•
有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个 完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、 4. • (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另 一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数 字大谁就获胜(蔌数字相同则为平局)，求甲获 胜的概率； • (2)摸球方法与(1)同，若规定：两人摸到的球 上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则 乙获胜，这样规定公平吗？
• [解] (1)用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表 示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成 的基本事件，则基本事件有：(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、 设：甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有： (3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、 (2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共有6个；则P(A)＝ (4,3)、(4,4)，共16个；
1 3 2．(2011· 深圳一模)已知函数 f(x)＝ x －ax＋b，其中实数 3 a， 是常数． b 已知 a∈{0,1,2}， b∈{0,1,2}， 求事件 A“f(1)≥0” 发生的概率．
古典概型
n! 其组合总数为: 其组合总数为: = C (n m)!m! n n! 或: = m (n m)!m!
m n
P14例2 一袋中有六只球,4白2红.从中取球两次,分别在 例 一袋中有六只球, 白 红 从中取球两次, (a)放回抽样;(b)不放回抽样两种情况下求: 放回抽样; 不放回抽样两种情况下求 不放回抽样两种情况下求: 放回抽样 (1)取得的两只球都是白球的概率; 取得的两只球都是白球的概率; 取得的两只球都是白球的概率 (2)取得的两只球颜色相同的概率; 取得的两只球颜色相同的概率; 取得的两只球颜色相同的概率 (3)取得的两只球至少有一只白球的概率; 取得的两只球至少有一只白球的概率; 取得的两只球至少有一只白球的概率 取得的两只球都是白球" 解:令A="取得的两只球都是白球" 取得的两只球都是白球 B="取得的两只球都是红球 取得的两只球都是红球" 取得的两只球都是红球 C="取得的两只球至少有一只白球" 取得的两只球至少有一只白球" 取得的两只球至少有一只白球
… 种方式有n 第m种方式有 m种方法 种方式有 种方法, …
2, 乘法原理 , 第一个步骤有n 种方法, 设完成一件事有m个步骤 第一个步骤有 1种方法, 个步骤, 设完成一件事有 个步骤, 第二个步骤有n 种方法, 第二个步骤有 2种方法 必须通过每一步骤,才算完成这件事, 必须通过每一步骤 才算完成这件事, 才算完成这件事 则完成这件事总共有n 则完成这件事总共有 1 n2 … nm种方法 .
一,几何概型的定义
若随机试验满足下述两个条件: 若随机试验满足下述两个条件: (1)无限性: 它的样本空间有无限个样本点 且全体样本点 无限性: 无限性 它的样本空间有无限个样本点,且全体样本点 可用一个有度量的几何区域来表示; 可用一个有度量的几何区域来表示; (2) 等可能性:每个样本点出现的可能性相同 等可能性:每个样本点出现的可能性相同. 则称这种试验为几何概型
1-4古典概型
1 . 210
课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能 地分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概 率. 3
(答案 : 3! 3 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3 3 3 3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,
4 种 2
因此所求概率为
3!12! 15! 25 p1 . 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,
12! 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 种.
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种, 因此所求概率为
10 10 10 103 ,
A 所包含样本点的个数为
6 6 4 0.144. 故 P( A ) 3 10 课堂练习
6 6 4,
1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各 位数字互不相同的概率.
(答案 : p P
(答案 : p 3 6 )
7 10
10 )
7
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率. 3
设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}
样本点总数为
古典概型
3.2 古典概型一、知识方法1+11.基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件，基本事件有如下特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的和.如抛掷一枚骰子获取点数的试验中，基本事件共有6个，分别是出现1点，2点，……，6点.2.古典概型如果一个概率模型具有以下两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.则称这个概率模型为古典概率模型，简称古典概型.如扔硬币试验、摸球试验等.3.古典概型的概率对于古典概型，任何事件A的概率为()AP A 包含的基本事件个数基本事件的总数.4.古典概型解题步骤：⑴阅读题目，搜集信息；⑵用字母表示事件；⑶求出基本事件总数和事件A所包含的结果数；⑷利用古典概型的概率公式求出概率并下结论.5.产生随机数的方法有哪些？有何优点和缺点？在随机模拟中，往往需要大量的随机数．(1)由试验产生随机数：比如产生1～25之间的随机整数，可以将10个完全相同的小球分别标上1，2，…，25，放入袋中，充分搅拌后从中摸出一个球，这个球上的数就是随机数.优点：产生的数是真正的随机数，一般当需要的随机数不是很多时采用缺点：当需要的随机数的量很大时，速度太慢(2)用计算器(计算机)产生随机数：由计算器(计算机)根据确定的算法产生随机数优点：速度较快，适用于产生大量的随机数缺点：并不是真正的随机数，称为伪随机数二、经典例题1+1[例1]：一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？[解析]：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件．（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A ），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故所求的概率为310. ∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310； [感悟]：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．体现了古典概型中的基本事件只有有限个的特点；1．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的,D d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）．[例2] 在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ） A.31 B.61C.91 D.121[解析]：基本事件数为36，两数之和等于4的事件含有基本事件数为6.所以，所求的概率为61. 答案:B[感悟]：问题属古典概型. 可直接求出概率.．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为____________.[例3] 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数和是3的倍数的概率是多少？[解析]：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果.先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有6636⨯=种不同的结果；(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6212⨯=种不同的结果．(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为13. 答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；点数和是3的倍数的概率为13； 说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：[感悟]：用图表法，数形结合，直观，快捷，准确.3. 用不同的颜色给3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求 (1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．[例4] 分别利用计算器和计算机产生40个100～100之间的取整数值的随机数. [解析]： (1)利用计算器. 具体操作如下：键入反复按键操作40次即可得之.(2)利用计算机.以Excel 软件为例，具体操作如下：1.选定 A1格，键入“=RANDBETWEEN （1，100）”，按Enter 键，则在此格中的数是随机产生的1~100间的整数.2.选定A1格，按Ctrl+C 快捷键，然后选定要随机产生的格A2至A40，按Ctrl+V 快捷键，则在A2至A40的数均为随机产生的整数，这样我们便得到了40个1~100之间的取整数值的随机数.[感悟]：当需要的随机数个数不太多时，可以直接做试验,如果需要的随机数个数较多时，一般选择随机模拟方法（也叫蒙特卡罗方法），即利用计算器或者计算机进行随机模拟试验, 这样可大大节省时间.利用计算器产生10个1到20之间的取整数值的随机数.例5 某种心脏手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，试求： （1）恰好成功1例的概率； （2）恰好成功2例的概率.[解析] 手术的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型求概率的公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟手术的成功概率是0.6.利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3代表不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，这样可以体现成功的概率为0.6.因为做3例手术，所以每3个随机数作为一组.例如产生907，966，191，925，271，932，812，458，569，683 431，…，730，113，537，989共100组随机数.（1）数出0，1，2，3中出现2个的数组个数为N 1=28，则恰好成功1例的概率近似为1001N =28%. （2）数出0，1，2，3中出现1个数的数组个数为N 2=43，则恰好成功2例的概率近似为1002N =43%.. [感悟] 结果不等可能的事件不能用古典概型概率公式求解，一般用随机模拟方法解决.值得注意的是，随机摸拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，即答案不唯一，但非常接近.某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？ 三、探究创新１＋１[例1]设甲袋装有m 个白球，n 个黑球，乙袋装有m 个黑球，n 个白球，从甲、乙袋中各摸一球.设事件A ：“两球相同”，事件B ：“两球异色”，试比较P(A) 与P(B)的大小.解析：基本事件总数为(m+n)2，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，则“两球同色”的概率为P(A)=222)(2)()(n m mnn m mn n m mn +=+++，“两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”，则“两球异色” 的概率为P(B)=2222222)()()(n m n m n m n n m m ++=+++.∵P(B)-P(A)=22)()(n m n m +-≥0，∴P(A)≤P(B)，当且仅当“m=n ”时取等号.[感悟]：本题考查了对随机事件的概率事件的分析与实际应用, 以及对概率与不等式思想相交汇的综合考查.有利于认识可能发生的基本事件以及它们的内在联系与区别.有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t 无关，统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤∙=),4(0),31)(0()21()(n n P n P n那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率是___________.四、误区警示1+1[题1]掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．[解]掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111. [这样做对吗?]当然不对，错在未找准基本事件.[为什么错了？]以上11种基本事件出现的可能性不相等，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． [感悟]: 上例错误的原因忽略了古典概型的特点：在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的（等可能性）.1．将骰子先后抛掷2次，计算：出现“向上的数之和为5的倍数”其概率是多少？ 五、同步测试1+1（一）基础训练（满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题 （每小题3分，共30分）1.从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ） A.95B.94C.2111D.2110 2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X的概率为（ ） A ．61B ．365 C ．121 D ．213.下列说法中正确的是( )A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件4.甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A.256 B.2521 C.338 D.33255.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17B ．27 C ．37D ．476.从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A.12513 B.12516 C.12518 D.125197.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )A.21 B.32 C.53 D.52 8.甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 9.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为 （ ） A.75 B.107 C.3524 D.704710.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为（ ）A. 1954B. 3554C. 3854 D. 4160二．填空题（每小题3分，共18分）11.将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为 . 12.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率是 ．13.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为________.14.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.（结果用分数表示）15.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 .16.有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所得的三条线段不能拼成三角形的概率是 . 三.解答题（本大题共52分）17．(8分)猪八戒说：“我与孙悟空、沙和尚三人中恰有两人是同一天生的”，一年按365天计算，求这一事件的概率18. 随机模拟法（蒙特卡罗法）的具体步骤是什么？19．(8分) (07·湖北八校联考)箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为n 的卡片反面标的数字是21240nn -+．（卡片正反面用颜色区分） （1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率； （2）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．20．(8分) (06·盐城二模)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的个人，任何人的血都可以输给AB 型的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明需要输血，问：任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？21．(8分) 一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球， （1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球多少种不同的结果？ （3）摸出2个黑球的概率是多少？22.(10分) 甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白，三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，（1）求取出的两个球是不同颜色的概率.（2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同颜色的概率（写出模拟的步骤）.（二）能力激活（满分：60分 时间：70分钟） 一．选择题(每小题3分，共15分）1.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:则取到的号码为奇数的频率是（ ） A. 0.53B. 0.5C. 0.47D. 0.372.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g 范围内的概率是A.0.62B.0.38C.0.7D.0.683.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于A.72 B.83 C.73 D.2894.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A.51B.52C.103D.107 5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次4点向上的概率是（ ）A.2165 B.21625 C.21631 D.21691 二．填空题（每小题4分，共12分）6.在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________7. (07·北京四中)已知A 箱内有1个红球和5个白球，B 箱内有3个白球，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放入A 箱，共有___种不同的取法，又红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱的概率等于_____8.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）.三．解答题（本大题共33分）9．(8分)储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可以在0至9这10个数字中选出， （1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对着张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？10.(8分)同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.11.(8分)某人玩射击游戏，每次击中目标的概率都是0.8，他射击4次，求至少击中3次的概率.12.(9分) 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.答案提示和解析 二．经典例题1+1．解析：Dd 与Dd 的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd ，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.754=答：第二子代为高茎的概率为0.75．．解析：将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P=61.答案：1．解析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）基本事件共有27个；(1)记事件A ＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A 包含的基本事件有133⨯=个，故“3个矩形涂同一种颜色”的概率为31279=(2)记事件B ＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B 包含的基本事件有236⨯=个，故“3个矩形颜色都不同” 的概率为62279=答：3个矩形颜色都相同的概率为19；3个矩形颜色都不同的概率为29．．解析：具体操作如下键入反复按 键10次即可得到.5. 其投篮的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数.我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组. 例如：产生20组随机数：812，932，569，683，271，989，730，537，925，657, 907，113，966，191，431，257，393，027，556，889.这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为205=25%. 三、探究创新1+1158.解析：公用电话亭里一个人也没有的概率 P(0)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-… =1-21P(0)-41P(0)-81P(0)-0-0-…，解得P(0)=158.四．误区警示1+11．解析：由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，其中向上的数之和是5的倍数结果（记为事件A ）有4+3＝7种，因此，所求概率736五．同步测试1+1(一) 基础训练 一．选择题1.C 解析：基本事件总数为98784321⨯⨯=⨯⨯种，设抽取3个数,和为偶数为事件A ,则A 事件数包括两类：抽取3个数全为偶数,或抽取3数中2个奇数1个偶数,前者4种,后者10×4种.∴A 中基本事件数为4＋40＝44种. ∴符合要求的概率为4084= 2111. 2. C 解析:满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以所求概率313612=，故选C ． 3.D 解析：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件,应选D. 4.C 解析：甲、乙二人依次抽一题有1211⨯种方法, 而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有48⨯种. 所求概率488121133⨯=⨯. 5.C 解析: 解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得56个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得2456，故C.ABC DE F G H6.D 解析：从数字1、2、3、4、5中，允许重复地随机抽取3个数字，这三个数字和为9的情况为5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.∴概率为3366315++++=12519. 7.D;解析：根据题意，基本事件分别是第1、3、4、5、8路公共汽车到站，显然共有5个，而“乘客所需乘的汽车”包括4路和8路两个，故概率P =52. 8.B 解析：解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立.故选 B 9.D 解析: 从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有210种， 它可分为两类：4点共面与不共面． 如图1，4点共面的情形有三种：①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC 在面ACD 内），这样的取法有60种；②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH 与AC 、BD 平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC 与BD 、BC 与AD 、AB 与CD ）；③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG ），这样的取法共6种． 综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为()2106036141-++=种．故所求的概率为7047210141=，答案选D ． 10.B 解析：0到9这10个数字中任取3个数字能组成的所有三位数有998648⨯⨯=个.事件“不能被3整除”的对立事件为“能被3整除”.将0到9这10个数字分为以下三组.A 组: 0, 3,6,9(被3整除) ; B 组: 1, 4, 7 (被3整除余1) ; C 组: 2, 5, 8 (被3整除余2)能被三整除的数可分为四类: 第一类在A 组中取三个数组成三位数有18个; 第二类在B 中取三个数组成三位数均有33A =6个; 第三类在C 中取三个数组成三位数均有6个;第四类分别在ABC 中各取一个数组成三位数有36个(含0)+162个(不含0)=198个 , ∴这个数不能被3整除的概率186619835164854p +++=-=, 故应选B. 二．填空题11.14解析: 解：把“抽到红心”记为事件B ，那么事件B 相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K ”这13中情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52中情况的可能性是相等的.所以，当出现红心是“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K ”这13中情形之一时，事件B 就发生，于是所求概率为131524=； 12.49解析:两面漆有油漆的小正方体共有2761812---=个， 所以，所求概率为124279=． 13. 50%解析:P=90%-40%=50%.14.145解析：总的排法有87654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种. 最先和最后排试点学校的排法有54654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种. 概率为5465432187654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=145. 答案：14515. 1225解析:此为有放回的摸球, 摸两次球, 可得摸得球的所有方法为25种方法, 两次摸出的球颜色不同的可能情况共有223⨯⨯ , 其概率为222312525P ⨯⨯==. 16.107.解析：能拼成三角形的三条线段仅有3，5，7；5，7，9；3，7，9这三种可能，故所求概率为1－310=107三．解答题17.解析：三人的生日都有365种情况，∴共有3365种不同结果， 三人中恰有两人同一天生，共有3365364⨯⨯种不同结果， ∴记事件A =“三人中恰有两人同一天生”，于是所求概率为33365364365⨯⨯.18.解析： 用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； （2）统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ； （3）计算频率()n Mf A N=作为所求概率的近似值． 19．解析：（1）由不等式21240n n n >-+，得58n <<.由题意知6,7n=，即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为215． 答：所求的概率为215. （2）同时取出两张卡片的基本事件为105，设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m n ≠），则有2212401240m m n n -+=-+.即2212()n m nm -=-，由m n ≠得12m n +=.故符合条件的取法为1，11；2，10；3，9；4，8；5，7．故所求的概率为5110521=． 答：故所求的概率为121．20.解析：对于任一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型的事件分别记为////,,,D C B A ，它们是互斥的，由已知，有28.0)(/=AP ，29.0)(/=B P 08.0)(/=C P 35.0)(/=D P因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件//D B +根据互斥事件的加法公式，有//()P BD ==+35.029.064.0.所以任何一人,其血可以输给小明的概率64.021.解析：（1）从袋中摸出2个球，共有6种不同结果； （2）从3个黑球中摸出2个球，共有3种不同结果；（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，又因为在这6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，所以，从中摸出2个黑球的概率3162=． 22.解析：（1）设A ＝“取出的两球是相同颜色”，B ＝“取出的两球是不同颜色”. 则事件A 的概率为：692323⨯⨯⨯＋＝92.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为： P （B ）＝1－P （A ）＝1－92＝97（2）随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数.用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球.第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n. 第3步：计算N n 的值.则Nn 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. (二) 能力激活 一．选择题1.A 解析:号码为奇数的频率13561811100++++=0.53 .故应选A.2.B 解析：设一个羽毛球的质量为ξ g ，则P （ξ<4.8）+P （4.8≤ξ＜4.85）+P （ξ≥4.85）=1.∴P （4.8≤ξ＜4.85）=1－0.3－0.32=0.38. 答案：B3.A 解析:在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，至少摸到2个黑球有两种情况：2个黑球一个白球3515⨯=或3个黑球1种，至少摸到2个黑球的概率等于15156P +==27，选A. 4.B 解析: 基本事件数为10，可能发生的基本事件数为4，P =410=52. 5.D 解析：质地均匀的骰子先后抛掷3次,共有6×6×6种结果.3次均不出现4点向上的掷法有5×5×5种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现4点向上的概率为666555⨯⨯⨯⨯=216125,由对立事件概率公式,知3次至少出现一次4点向上的概率是1－216125= 21691.二．填空题 6.91解析：基本事件数为6×6＝36种，可能发生的基本事件数为（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）4种，故41369P ==7. 0.25解析：从A 箱中取出3个球有20种取法,再从B 箱中取出3个球有20种取法, 故共有2020400⨯=种不同的取法.红球由A 箱中取出的概率为101202=,再从B 箱中取回红球的概率为101202=.则红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱的概率等于10100.252020p ⨯==⨯.8.3314解析：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者的基本事件为1211662⨯=种，那么选到的两名都是女同学的基本事件为87282⨯=种概率是2866P ==3314. 三．解答题9.解析：（1）由分步计数原理，这种四位数字号码共410个，又由于随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可能性都相等，∴正好按对密码的概率是14110P =；（2）按最后一位数字，有10种按法，且按下每个数字的可能性相等，∴正好按对密码的概率是2110P =． 10. 解析:同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为P =3620＝95. 11.解析：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1代表没击中目标，用2，3，4，5，6，7，8，9代表击中目标，这样可以体现击中目标的概率是0.8.因为射击4次，所以每4个随机数作为一组.例如产生5727，0293，7144，9857，…，2646，7848，6372，1748共100组这样的随机数，数出没有0，1和只有一个0或1的数组数N ，则至少击中3次的概率为100N.（参考答案：0.82）。
古典概型的例子
古典概型的例子
- 投掷一个质地均匀、形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是1/2。
这是因为硬币的质地均匀，形状规范，所以每一面出现的概率都是相等的。
- 袋中有5个球，其中3个为白球，2个为黄球，设取到每一球的可能性相等。
从袋中随机取一球，取到白球的概率为3/5；从袋中不放回取两球，两个都是白球的概率为3/10。
- 足球场内23个人（双方队员11人加1名主裁），至少有两人生日相同的概率为多大。
总样本空间有365的23次方个样本个数，而任何两人生日不同的事件样本数位365×364×…×（365-22）。
这些例子都具有有限的可能性，并且每个基本结果发生的概率是相同的，这就是古典概型的特点。
古典概型(共24张PPT)
解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，它总共出现的 情况如下表所示：
2号骰子 1号骰子
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2） （1，3）（（1，1，44）） （1，5） （1，6）
2
（2，1） （2，2）（（22，，33）） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（（33，，22）） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,3),(2,4),(2,5),（3,4),
(3,5),(4,5). 因此，共有10个基本事件.
（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到
2只白球（记为事件A），
小结
满足以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型
1
2
试 验 2
1点
P（“1点”）
2点
3点
P（“2点”）
P（“5点”）
4点 5点 P（“3点”） P（“6点”）
6点
P（“4点”）
1 6
问题3：观察对比，找出试验1和试验2的共同特点：
基本事件
基本事件出现的可能性
试
“正面朝上”
验
“反面朝上”
1
试 “1点”、“2点” 验2 “3点”、“4点”
“5点”、“6点”
没有区别。
为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出 现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果将
没有区别。
这时，所有可能的结果将是：
2号骰子
因此，1号在骰子投掷两
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古典概型教学设计一、教材分析1、教材地位、作用本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型。
它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。
古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。
因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
2、学情分析学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。
他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。
二、教学目标1、知识与技能目标⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。
2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。
3、情感态度与价值观概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
三、重点、难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
四、教学过程采用如下流程：1、创设情境提出问题师：在考试中遇到不会做的选择题同学们会怎么办？在你不会做的前提下，蒙对单选题容易还是蒙对不定项选择题容易？这是为什么？【设计意图】通过这个同学们经常会遇到的问题，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。
随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，使课堂的有效思维增加。
2、抽象思维形成概念师：考察试验一“抛掷一枚质地均匀的骰子”，有几种不同的结果，结果分别有哪些？生：在试验中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”。
师：我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。
师：考察试验二“抛掷一枚质地均匀的硬币”有哪些基本事件？生：在试验中基本事件有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”。
师：那基本事件有什么特点呢？问题：（1）在“抛掷一枚质地均匀的骰子”试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？（2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？由如上问题，分别得到基本事件如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
（让学生交流讨论，教师再加以总结、概括）【设计意图】让学生归纳与总结，鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力例1 从字母中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？师：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果写出来，本小题我们可以按照字母排序的顺序，用列举法列出所有基本事件的结果。
解：所求的基本事件共有6个：，，，，，【设计意图】由于学生没有学习排列组合知识，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，解决了求古典概型中基本事件总数这一难点，同时渗透了数形结合及分类讨论的数学思想。
师：你能发现前面两个数学试验和例1有哪些共同特点吗？（先让学生交流讨论，然后教师抽学生回答，并在学生回答的基础上再进行补充）试验一中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；试验二中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；例1中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；经概括总结后得到：3、概念初步（请学生概括古典概型的两大特征）具备如下特征的试验称为古典概型（classical probability model）（1）有限性：即只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
对照探究二，明确两大特征，让学生正确理解概念，走出概念的认识误区，不发生歧义。
五、古典概型公式的形成由古典概型概念易得，某一基本事件的概率公式为如下结论1：在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率是。
而古典概型中，某随机事件出现的概率公式通过一个思考题引出。
思考题：先后投掷两个骰子，点数之和可能为2、3……12，问点数之和为4的概率为多少？【设计意图】该题目考查的问题很多，通过该题目必须使学生明确如下问题：（1）该试验是否为古典概型？学生在理解该问题时存在误区：混淆了随机事件和基本事件的区别。
简单地认为点数和为2、3……12这些事件出现的可能性是不同的，所以认为是非古典事件。
此时老师还需强调古典概型是对试验中的基本事件来判断是否等可能性的，而非随机事件。
此试验为古典概型，而“点数和为4”是一个随机事件，包含了（1，3）、（2，2）、（3，1）三个基本事件。
（2）在该古典概型问题中，随机事件“点数和为4”的概率应该如何求？有如下难点。
难点1：学生必须有能力求出该试验共含有36个基本事件，而事件“点数和为4”共含有3个基本事件。
此时建议渗透数形结合的方法，二维坐标轴分别表示两骰子出现的点数，36个基本事件分别对应二维坐标上的36个点，并且建议学生将数形结合的数学思想方法作为解决投掷骰子问题的常规性方法，避免出现“重”、“漏”现象。
难点2：在攻克难点1的基础上，很多同学能得到正确答案，但理由说不出或解释欠妥，含有太多的主观解释。
事实上，应该如下证明：事件A=“点数和为4”可分解成3个基本事件：事件B、事件C、事件D 事件B=“出现点数（1，3）”；事件C=“出现点数（2，2）；事件D=“出现点数（3，1）该试验为古典概型由概率的加法公式得相同的思路即可引领学生得出结论2：在基本事件总数为n的古典概型中，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率是①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
【设计意图】学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作，充分体现了数学的化归思想。
启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳问题的能力。
3、概念深化，加深理解试验“向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的”。
你认为这是古典概型吗?为什么？生：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。
试验“某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环’。
你认为这是古典概型吗？为什么？生：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。
【设计意图】这两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点，突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点，培养学生思维的深刻性与批判性。
六、应用与提高例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。
如果考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一正确的答案。
假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，从而由古典概型的概率计算公式得：探究：在标准化考试中既有单选题又有不定项选择题，不定项选择题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有15个：选择A、选择B、选择C、选择D，选择AB、选择AC、选择AD、选择BC、选择BD、选择CD、选择ABC、选择ABD、选择ACD、选择BCD、选择ABCD，从而由古典概型的概率计算公式得：P（“答对”）＝1/15【设计意图】解决了课前提出的思考题，让学生明确解决概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
例3 同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？（教师先让学生独立完成，再抽两位不同答案的学生回答）学生1：①所有可能的结果是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种。
②向上的点数之和为5的结果有2个，它们是（1，4）（2，3）。
③向上点数之和为5的结果（记为事件A）有2种，因此，由古典概型的概率计算公式可得学生2：①掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，我们可以用列表法得到（如图），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。
由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。
②在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有4种：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）。
③由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得师：上面同一个问题为什么会有两种不同的答案呢？（先让学生交流讨论，教师再抽学生回答）生：答案1是错的，原因是其中构造的21个基本事件不是等可能发生的，因此就不能用古典概型的概率公式求解。
师：我们今后用古典概型的概率公式求解时，特别要验证“每个基本事件出现是等可能的”这个条件，否则计算出的概率将是错误的。
【设计意图】本题通过学生的观察比较，发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐使学生养成自主探究能力。