哈工大理论力学考研《理论力学Ⅱ》考研2021考研真题库
理论力学考研试题合集及答案
理论力学考研试题合集及答案# 理论力学考研试题合集及答案一、选择题1. 一个物体在水平面上以匀速直线运动，其受力情况是（）。
A. 只受重力B. 只受支持力C. 水平方向上受力平衡D. 竖直方向上受力平衡答案： D2. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，与物体的质量成反比。
这一定律的数学表达式是（）。
A. \( F = ma \)B. \( F = \frac{m}{a} \)C. \( a = \frac{F}{m} \)D. \( a = \frac{m}{F} \)答案： C3. 一个质点做匀速圆周运动时，其向心力的来源是（）。
A. 质点自身的惯性力B. 外界提供的约束力C. 质点的重力D. 质点的离心力答案： B二、简答题1. 简述达朗贝尔原理及其在解决动力学问题中的应用。
答案：达朗贝尔原理，也称为动静法或虚位移原理，是分析力学中的一个基本原理。
它指出，一个处于平衡状态的物体，如果受到一个额外的力，那么物体就会发生一个虚拟的位移，而这个位移与力的方向相反。
在动力学问题中，达朗贝尔原理常用于求解约束力，特别是在复杂约束条件下的动力学分析中非常有用。
2. 什么是科里奥利力？它在哪些领域有应用？答案：科里奥利力是一种在旋转参考系中观察到的惯性力，它作用于运动物体，使其轨迹相对于旋转参考系发生偏移。
科里奥利力的方向垂直于物体的速度和旋转轴，其大小与物体的速度、物体与旋转轴的距离以及旋转的角速度成正比。
科里奥利力在气象学、海洋学、航空航天以及旋转机械等领域有广泛的应用，例如在解释地球上的风向和洋流模式时就非常重要。
三、计算题1. 一个质量为 \( m \) 的物体，从静止开始沿着一个倾角为\( \theta \) 的斜面下滑，假设斜面是光滑的，没有摩擦力。
求物体下滑的加速度。
答案：物体下滑的加速度可以通过自由体受力分析得到。
物体受到两个主要力的作用：重力 \( mg \) 和斜面的支持力 \( N \)。
理论力学复习题及答案(哈工大版)汇总
理论力学复习题及答案（哈工大版）汇总一、是非题1、力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（√）2、在理论力学中只研究力的外效应。
（√） 3、两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（× ） 4、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（√ ） 5、作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（× ） 6、三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（× ） 7、平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。
（√ ）8、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（× ） 9、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的（应是最大)夹角称为摩擦角。
（× ） 10、用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x，y轴一定要相互垂直。
（× ）11、一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。
（× ）12、静摩擦因数等于摩擦角的正切值。
（√ ） 13、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。
（× ） 14、已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。
（× ） 15、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。
于是可知如果质点系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。
（× ）16、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。
（× ）17、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。
（√ ）18、在自然坐标系中，如果速度υ = 常数，则加速度α = 0应是切线方向加速度为零。
（× ）19、设一质点的质量为m，其速度?与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mvx =mvcosa。
哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第16~17章)【圣才出
第16章非惯性系中的质点动力学16.1复习笔记一、基本方程1．非惯性系中的质点动力学基本方程（或称为质点相对运动动力学基本方程），其表达式为r Ie ICma F F F =++v v v v 式中，e Ie F ma =-v v ，表示牵连惯性力；C C I F ma =-v v ，表示科氏惯性力。
2．在动参考系内，把非惯性系质点动力学基本方程写成微分形式22Ie IC d d r m F F F t'=++v v v v 3．几种特殊情况（1）当动参考系相对于定参考系作平移时，则C 0a = ，0F =IC ，于是相对运动动力学基本方程为r Iema F F =+v v v （2）当动参考系相对于定参考系作匀速直线平移时，则C 0a = ，e 0a = ，Ie 0F F ==IC，于是相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，其表达式为r ma F= ①相对于惯性参考系做匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。
②发生在惯性参考系本身的任何力学现象，都无助于发现该参考系本身的运动状况，这称为经典力学的相对性原理。
（3）当质点相对于动参考系静止时，则r r 00a υ==v v ，，0F =IC ，所以质点相对静止的平衡方程为F F +=Ie 上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有r 0a =，质点相对平衡方程为0Ie IC F F F ++=v v v 上式称为质点相对平衡方程。
可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。
二、非惯性系中质点的动能定理1．质点相对运动动能定理的微分形式质点在非惯性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
即2r 1d()δδ2F mv W W ''=+Ie 2．质点相对运动动能定理的积分形式质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。
哈工大理论力学历年考研真题——静力学题经典题目
静力学考研真题2005年构架由AB、BC、CD三杆用铰B、C连接，其它支座及载荷如图所示，力P作用在杆的中点E。
已知：P=8kN, q=4kN/m,力偶矩M=10kN.m，a=1m各种杆的自重不计。
求固定端的约束力。
q2007年图示构架由直角弯杆CKD与直杆AB在点C铰接而成，杆上作用在三角形分布载荷，在点E用铰链连接已定滑轮。
现有一绳跨过滑轮，一端挂重为P的重物，一端呈水平与墙相连。
已知：P=500N,q=150N/m,R=0.5m。
其他尺寸如图。
求支座处A、D的约束力。
2002年 图示构架，A 为固定铰链，B 处为光滑平面，各杆件自重不计。
已知：P1=P2=100kN ，L=5m,试求A 、D 、E 、H 各铰链处的约束力。
00年如图所示，平面构架的各杆自重不计 ，已知：q=1kN/m,L=1m,a=0.6m,EH=0.3m;在DE 杆上作用已力偶，其矩M=kN.m 。
试求铰链B 、D 、H 、A 的约束力。
L1999 年构架如图所示，各杆自重不计。
皆为铰链。
已知：q=50kN/m,M=80kN.m,L=1m 。
试求固定端A 和支座B 的约束力。
1994年图示平面结构，尺寸如图所示，AC 、BC 及DF 三杆重量不计，A 、D 、C 、E 均为光滑铰链连接，B 为滚动支座。
C 处作用有已知水平力P ，F 处受力偶作用，力偶矩为M 。
试求水平杆DE 与D 、E 处所收的约束力。
图示平面结构，其中水平梁由AB 与BD 组成，图中各杆件的自重不计。
C 、BK 、E 、G 、H 均为光滑的铰链。
已知：集中载荷P=qaN 均布载荷qN/m ；力偶矩M=qa.a 。
AC=CB=BK=KD=GH=AE=CG=BH=am 。
求插入端A 的约束力1990年图示构架，各杆的自重不计，A 、B 、C 、D 、E 、F 处均为光滑铰链连接。
已知M=50kN.m ，P=,45,θ=各尺寸如图所示。
CD 、BF 杆水平，ABC 杆铅垂。
哈工大力学基础考研真题
哈工大力学基础考研真题哈尔滨工业大学力学基础考研真题一、引言力学基础是力学学科的基础和核心，对于力学学科的理论研究和工程应用都具有重要意义。
哈尔滨工业大学作为国内一流的工科院校，力学基础考研真题也一直备受关注。
本文将分享一道哈尔滨工业大学力学基础考研真题，并根据题目的要求来详细讨论解答方法。
二、力学基础考研真题**题目：**已知一质点在二维坐标系中运动，其位置由位矢r(t) = x(t) i + y(t) j 表示，其中i、j为单位基矢量。
(a) 求质点的速度v(t)；(b) 求质点的加速度a(t)；(c) 若质点的运动满足v(t) = t^2 i + 2t j，求质点的位矢r(t)。
三、解答方法(a) 求质点的速度v(t)根据速度的定义，速度v(t)是位矢r(t)对时间t的导数。
根据题目给出的位矢r(t)，可以得到质点的速度v(t)如下：v(t) = dr(t)/dt = (dx(t)/dt) i + (dy(t)/dt) j(b) 求质点的加速度a(t)加速度a(t)是速度v(t)对时间t的导数，即速度的导数。
根据题目给出的速度v(t)，可以得到质点的加速度a(t)如下：a(t) = dv(t)/dt = d^2x(t)/dt^2 i + d^2y(t)/dt^2 j(c) 求质点的位矢r(t)根据速度v(t)等于t^2 i + 2t j，可以进行速度的积分，得到位矢r(t)如下：r(t) = ∫v(t)dt = ∫(t^2 i + 2t j)dt = (t^3/3) i + (t^2) j + C四、解答过程(a) 求质点的速度v(t)根据速度的定义，速度v(t)是位矢r(t)对时间t的导数。
由题意得到位矢r(t) = x(t) i + y(t) j ，所以质点的速度v(t)可以表示为：v(t) = dr(t)/dt = (dx(t)/dt) i + (dy(t)/dt) j(b) 求质点的加速度a(t)加速度a(t)是速度v(t)对时间t的导数，即速度的导数。
哈工大理论力学考研《理论力学Ⅱ》考研2021考研真题库
哈工大理论力学考研《理论力学口》考研2021考研真题库第一部分名校考研真题1 .如图15-1所示，物块A的质量为mi, B轮的质量为m2,半径为R ,在水平面做无滑动滚动。
轮心用刚度为k长度为I的弹簧与物块A相连，物块A与水平面间为光滑接触。
试以Xi, X2为广义坐标，(1)写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；(2)写出系统的第二类拉格朗日方程；(3 )求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。
［中山大学2011研］—WWXWv\\\\\\\\\\图15-1解：(1)系统的动能为：r = -W, X +-w, X X2 1 4 . 2 ・系统势能为：展兴优十月2其中分为处于平衡位置弹簧的伸长量。
拉格朗日函数1 .L a .1 \L = T-V=-m lX +-^x--^+x)2(2)第二类拉格朗日方程代入上一步的表达式，得3 -Wj x+ — rn2x— M 认 +工）=0(3 )求其首次积分。
因拉格朗日函数中不显含时间t,故存在能量积分，系统机械］・ 3 ・ 1 、-m.x + 二阳、x 一一左（房+力’2 । 4 • 2 ' 二c C为常数2.质量为m的重物悬挂在刚度系数为k的弹壁上，且在光滑的铅垂滑道中运动°在重物的中心处钱接一个质量为M、长为21的匀质杆，杆在铅垂平面内运动，如图15-2所示。
(1)试确定系统的自由度并选择广义坐标；(2)写出系统的动能及势能及拉格朗日函数;(3)写出系统的第二类拉格朗日方程;(4 )求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。
［中山大学2010研］解：(1 )以整个系统为研究对象，物块和杆均做平面运动，该系统具有两个自由度。
故系统的拉格朗日函数为图 15-4选重物A 的中心的垂直坐标y 和杆的偏角隼为广义坐标，如下图所示。
因为作用在 系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力，所以可用拉格朗日方程式主动力有势 形式求解。
(2 )以A 的中心C 点为基点分析AB 杆质心D 的速度，如图15-3所示。
理论力学考研真题答案
理论力学考研真题答案1. (a) 根据题意，物体在重力场中做简谐振动，受到的驱动力是常数倍于受力恢复力的力。
设物体的质量为m，振幅为A，重力加速度为g，则物体受到的恢复力为F = -mgx，其中x为物体离开平衡位置的距离。
由动力学方程F = ma，将上式代入可得：ma = -mgxa = -gx物体的加速度与位移x成线性关系，所以物体在重力场中做简谐振动。
(b) 物体的周期T与物体的振动频率f满足以下关系：f = 1/T物体的周期T由以下公式给出：T = 2π√(m/k)其中m为物体的质量，k为恢复力常数。
将恢复力公式F = -mgx代入可得：k = mg代入周期公式可得：T = 2π√(m/mg)T = 2π√(1/g)所以，物体在重力场中的简谐振动周期只与重力加速度有关，与物体的质量无关。
2. (a) 根据波动方程的一般形式：∂^2Ψ/∂t^2 = v^2∂^2Ψ/∂x^2其中Ψ为波函数，t为时间，x为位置，v为波速。
将Ψ(x,t)拆解为X(x)T(t)的乘积形式：Ψ(x,t) = X(x)T(t)代入波动方程可得：X''(x)T(t) = (1/v^2)X(x)T''(t)T''(t)/T(t) = v^2X''(x)/X(x)等式两边为常数，分别记为-ω^2，即：T''(t)/T(t) = -ω^2X''(x)/X(x) = -ω^2求解T''(t)/T(t) = -ω^2，可得：T(t) = Acos(ωt+φ)求解X''(x)/X(x) = -ω^2，可得：X(x) = Asin(kx+φ)其中A、k和φ为常数，分别为振幅、波数和相位常数。
将Ψ(x,t) = X(x)T(t)代入Ψ(x,t) = Acos(ωt+φ)sin(kx+φ)可得：Ψ(x,t) = Acos(ωt+φ)sin(kx+φ)(b) 波函数Ψ(x,t) = Acos(ωt+φ)sin(kx+φ)表示横波的传播，振动方向垂直于传播方向。
(NEW)哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 静力学公理和物体的受力分析1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 名校考研真题详解
第2章 平面力系
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 名校考研真题详解
第3章 空间力系
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 名校考研真题详解
第4章 摩 擦
4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 名校考研真题详解第5章 点的运动学
5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 名校考研真题详解第6章 刚体的简单运动
6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 名校考研真题详解第7章 点的合成运动
7.1 复习笔记
7.2 课后习题详解
7.3 名校考研真题详解第8章 刚体的平面运动8.1 复习笔记
8.2 课后习题详解
8.3 名校考研真题详解
第9章 质点动力学的基本方程9.1 复习笔记
9.2 课后习题详解
9.3 名校考研真题详解
第10章 动量定理
10.1 复习笔记
10.2 课后习题详解
10.3 名校考研真题详解
第11章 动量矩定理
11.1 复习笔记
11.2 课后习题详解
11.3 名校考研真题详解
第12章 动能定理
12.1 复习笔记
12.2 课后习题详解
12.3 名校考研真题详解
第13章 达朗贝尔原理。
基础知识-理论力学(二)_真题(含答案与解析)-交互
基础知识-理论力学(二)(总分105, 做题时间90分钟)单项选择题(下列选项中，只有一项符合题意)1.将大小为100N的力，沿x、y方向分解(见图4-1-1)，若F在x轴上的投影为50N，而沿x方向的分力的大小为200N，则F在y轴上的投影为( )。
A．0 B．50N C．200N D．100NSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A[解析] 由力F在x轴上的投影为50N，沿x轴的分力为200N可得：力F作用方向与x轴夹角是60°，与y轴夹角是90°，从而可得：F在y轴上的投影为0。
2.如图4-1-2所示，三力矢F1、F2、F3的关系是( )。
A．F1+F2+F3=0 B．F3=F1+F2C．F2=F1+F3D．F1=F2+F3 SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 力的计算要满足矢量的运算法则。
3.如图4-1-3所示，等边三角板ABC，边长a，沿其边缘作用大小均为F的力，方向如图所示，则此力系简化为( )。
SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A[解析] 在此平面汇交力系中，各力在水平向和竖向的投影之代数和都等于0，故汇交力系平衡，FR=0。
因为过A、C点的力都经过A点，故只有过B点的力对A点有弯矩作用，力臂为a，故MA =Fa。
4.某平面任意力系向O点简化后，得到如图4-1-4所示的一个力R和一个力偶矩为M的力偶，则该力系的最后合成结果是( )。
A．作用在O点的一个合力B．合力偶C．作用在O的左边某点的一个合力D．作用在O点右边某点的一个合力SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 由平面任意力系简化原理判断。
5.三铰拱上作用有大小相等，转向相反的二力偶，其力偶矩大小为M，如图4-1-5所示。
略去自重，则支座A的约束力大小为( )。
SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 正对称结构在正对称力作用下，只有正对称的力，而C点是铰接，故只有轴向力，这样，取左边一半分析，根据力矩平衡以及在x，y方向受力平衡得6.简支梁受分布荷载作用如图4-1-6所示，支座A、B的约束为( )。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)名校考研真题(第8~14章)【圣才出品】
图 8-7
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解：速度分析，如图 8-8 所示。
OA 杆做定轴转动，做 OA 的延长线与过 B 点垂直于 OB 的延长线交与点 P，则 P 点是
杆 AB 的速度瞬心，则
vA
0L,AB
vA L
0 , vC
AB
圣才电子书室《理论力学Ⅰ》（第 7 版）名校考研真题
第 8 章 刚体的平面运动
1．在图 8-1 示平面四连杆机构中，已知：AB＝BC＝l，CD＝2l。在图示瞬时 A、B、 C 三点成一直线，杆 BC 与杆 CD 垂直，杆 AB 的角速度为ω，角加速度为零。试求该瞬时 杆 CD 的角速度和角加速度。[南京航空航天大学 2012 研]
AB
0.4 rad 0.2
/s
2rad
/s
vB AB KB 0.4m / s
动点：杆 AB 上的 E 点
动系：杆 CD
绝对运动为平面运动，相对运动为直线运动，牵连运动为定轴转动，由速度公式
va ve vr
①
由式①分别沿垂直于 CD 方向和 CD 方向投影得
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图 8-9
基点 A，研究 B。
加速度公式
aB aA aBt A aBnA
②
由式②沿竖直方向投影得
解得 AB 0
基点 A，研究 C。
0
2 2
( L02
L02
L
AB
)
加速度公式
aa aA aCt A aCnA
2021年江苏科技大学801理论力学考研精品资料之哈尔滨工业大学《理论力学》考研核心题库之。。。
图1 【答案】剪断细绳后瞬时，AB 杆受力如图 2 所示。
， 由刚体平面运动微分方程，有
其中
，由于杆水平方向丌受力，因此质心 C 水平方向加速度为零。由上两式得
由运动学知
由于细绳剪断瞬时杆的角速度为零，因此 影到铅直方向，有
，由于水平方向丌受力，因此 方向铅直。将上式投
得 方向向下。
图2 第 9 页 共 121 页
图2 计算力对过 C 点的三根正交轴乊矩，因为： 所以力对 C 点乊矩为： 根据力对点乊矩不力对轴乊矩的关系定理有： 13．均质杆 AB 在铅直面内绕 A 轰转动时，推动均质圆盘在水平面内做纯滚动。已知圆盘和杆的质量均为 m,圆盘半径为 R,杆长为 2R,丌计圆盘和杆间的摩擦。如图 1 所示位置，圆盘圆心 O 位于 A 的正下方，且
【答案】将弹簧 k 的下端位于路面中部(即 2 所示，
图1 )时，车体的静平衡位置取作车体的 y 坐标原点，如图
对车体应用质点运动微分方程有:
当汽车以速度
前迚时，
图2 ，那么上述运动微分方程是:
即坐标 y 实现了无阻尼的强迫振动，其振幅是:
车体的振动周期是: 为了丌发生共振，பைடு நூலகம்车的临界速度是:
5． 平面桁架及其受力如图 1 所示，求：青岛掌ㅠ心博阅┢┾电子书 (1)A、B 两处的支座反力的水平分量 ，铅垂分量 和 。 (2)杆 1 的内力 ，杆 2 的内力 。
由拉格朗日方程
和
，迚行数学运算可得系统的运动微分方程为
10．如图 1 所示曲柄连杆滑坑机构，均质杆 0A=L，AB=2L，质量分别为 m 和 2m，滑坑 B 的质量为 m。 图示位置 OA 铅直，AB 不水平线 OB 夹角为 ，OA 杆由该位置静止向右倒下，忽略摩擦。求当 AB 运 动到水平位置时 AB 杆的角速度和角加速度。
哈尔滨工业大学808理论力学历年考研真题(含部分答案)专业课考试试题
目 录
2014年哈尔滨工业大学808理论力学考研真题
2012年哈尔滨工业大学808理论力学考研真题
2009年哈尔滨工业大学808理论力学考研真题
2004年哈尔滨工业大学808理论力学考研真题
2002年哈尔滨工业大学416理论力学考研真题及答案
2001年哈尔滨工业大学理论力学考研真题及答案
2000年哈尔滨工业大学理论力学考研真题及答案
1999年哈尔滨工业大学理论力学考研真题及答案
1998年哈尔滨工业大学理论力学考研真题及答案
1997年哈尔滨工业大学理论力学考研真题及答案
1995年哈尔滨工业大学理论力学考研真题
2014年哈尔滨工业大学808理论力学考研真题。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅱ》(第7版)课后习题(机械振动基础)
由
可得 即两个质点振动频率相同，周期皆为
18-5 均质细杆长 l，质量为 m。问以哪一点为悬挂点作为复摆，其摆动频率最大；以 哪一点为悬挂点其摆动频率最小。
答：复摆固有频率为 若 O 不质心 C 距离为 a，则
则
由 得
当
时， 小于零，
所以当
时，叫有最大值，
当 a＝0 时，ω＝0 为最小值。
18-6 什么是临界阻尼？欠阻尼和过阻尼状态的自由振动有什么丌同？
答：对质量相同的两质点极成的系统，其弹簧中点将保持丌动，对每个质点相当于弹簧
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弹性数增大一倍，振动固有频率为 ，周期为
。
对质量为 m1 和 m2 的系统仍将发生自由振动，质心 C 丌动。
对于 m1 质点，
固有频率为
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答：
为临界阻尼；
为欠阻尼，系统沿平衡位置附近振动；
为过阻尼状态，系统直接趋于平衡位置，无振动性质。
18-7 证明在过阻尼振动状态下，物体以仸意的起始位置和起始速度运动，越过平衡 位置丌能超过一次。
答：过阻尼状态下， 则自由振动解为 平衡位置处 x＝0，即
18-3 假如地球引力增加一倍，下列几种振动系统的固有频率有变化？（1）单摆；（2） 复摆；（3）弹簧质量系统；（4）扭摆。
答：（1）固有频率增大 倍； （2）固有频率增大 倍； （3）丌变化； （4）丌变化。
18-4 在光滑水平面上，两个质量皆为 m 的质点由一刚度系数为 k 的无重弹簧相连。 若将二质点拉开一段距离再同时释放，二者将发生振动，求此振动的周期。如上述二质点的 质量分别为 m1 和 m2，问二者仍发生振动吗？振动周期为多大？
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅱ》(第7版)配套题库【课后习题】(第18~20章)【圣才出品】
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第 18 章 机械振动基础
一、思考题 18-1 图 18-1 所示装置，重物 M 可在螺杆上上下滑动，重物的上方和下方都装有弹 簧。问是否可以通过螺帽调节弹簧的压缩量来调节系统的固有频率？
图 18-1 答：弹簧被压紧并不改变其弹性系数，因而不能改变系统的固有频率。 18-2 图 18-2 所示的水平摆和铅垂摆都处于重力场中，杆重不计，摆长度 l、弹簧刚 度系数 A 以及摆锤质量 m 都是相同的。试问两个摆微幅摆动的固有频率是否相同？如果二 者都脱离了重力场，其固有频率是否相同？又，图中的弹簧方向都与摆杆垂直，如弹簧与摆 杆成 45°角连接，其固有频率有什么不同？
图 18-2
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答：摆杆水平与铅垂放置，其固有频率不相同，因为摆杆铅垂并沿横向摆动时，重力对 转轴有力矩，为恢复力之一；而摆杆水平并沿铅垂线微小摆动时，重力对转轴的力矩不变， 不构成恢复力。若无重力场，有质量而无重力作用，摆杆任意放置都不改变其固有频率。
18-4 在光滑水平面上，两个质量皆为 m 的质点由一刚度系数为 k 的无重弹簧相连。
若将二质点拉开一段距离再同时释放，二者将发生振动，求此振动的周期。如上述二质点的
质量分别为 m1 和 m2，问二者仍发生振动吗？振动周期为多大？ 答：对质量相同的两质点构成的系统，其弹簧中点将保持不动，对每个质点相当于弹簧
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答：过阻尼状态下，
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则自由振动解为
平衡位置处 x＝0，即
解得
对应于任意初始条件，即任意 c1，c2。上式有唯一解。
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哈工大理论力学考研《理论力学Ⅱ》考研
2021考研真题库
第一部分名校考研真题
1．如图15-1所示，物块A的质量为m1，B轮的质量为m2，半径为R，在水平面做无滑动滚动。
轮心用刚度为k长度为l的弹簧与物块A相连，物块A与水平面间为光滑接触。
试以X1，X2为广义坐标，
（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；
（2）写出系统的第二类拉格朗日方程；
（3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。
[中山大学2011研]
图15-1
解：（1）系统的动能为：
系统势能为：
其中为处于平衡位置弹簧的伸长量。
拉格朗日函数
（2）第二类拉格朗日方程
代入上一步的表达式，得
（3）求其首次积分。
因拉格朗日函数中不显含时间t，故存在能量积分，系统机械能守恒，即
＝C C为常数
2．质量为m的重物悬挂在刚度系数为k的弹簧上，且在光滑的铅垂滑道中运动。
在重物的中心处铰接一个质量为M、长为21的匀质杆，杆在铅垂平面内运动，如图15-２所示。
（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标；
（2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；
（3）写出系统的第二类拉格朗日方程；
（4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。
[中山大学2010研]
图15-2
解：（1）以整个系统为研究对象，物块和杆均做平面运动，该系统具有两个自由度。
选重物A的中心的垂直坐标y和杆的偏角为广义坐标，如下图所示。
因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力，所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解。
（2）以A的中心C点为基点分析AB杆质心D的速度，如图15-3所示。
图15-3
根据速度合成公式有
其中。
系统动能为
选O为零势能点，设弹簧的原长为l0,则系统的势能为
故系统的拉格朗日函数为
（3）求各偏导数
将以上各式代入第二类拉格朗日方程
（4）求其首次积分
因拉格朗日函数中不显含时间t，故存在能量积分，系统机械能守恒，即
３．如图15-4所示。
重为P的板搁在两个半径为r、重为W的磙子上，磙子可视为均质圆柱。
设接触面足够粗糙，磙子与板和水平面之间均无相对滑动。
在板上作用一水平拉力F，求板的加速度。
[北京邮电大学2010研]
图15-4
解：拉格朗日方程
该系统只有一个自由度，取板的水平位移x为广义坐标，列出每部分的动能
总动能为
代入拉格朗日方程
解得。