等比数列的性质及其应用

中项 a,A,b成等差,则2A=a＋b .
a,G,b成等比, 则G2=ab
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d. 猜想1：bn bmqnm.
性质２：若an-k,an,an+k
猜想2：
是{an}中的三项，
若bn-k,bn,bn+k
.
例3: 三个数成等比数列，它们的和等于21， 倒数的和等于 7 ，求这三个数.
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• 分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
• 由类比思想的应用可得:
若三个数成等比数列，则设这三个数
a 为,
a,
a q，再联立方程组.
q
.
三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于 7 ，求这三个数.
若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
等比数列的性质及其应用(1)
.
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列.
做等比数列.
数学 表达
an+1-an= d(常数)
an+1 an
来自百度文库
=
q(常数)
符号 表示
首项a1, 公差d
首项a1, 公比q(q≠0)
d与{an} q与{an}
d＞0 d＜0 d＝0
{an }递增 {an }递减 {an }为常数列
q＞0 q＜0 q＝1
{an }中各项同号 {an }中的项正负相间 {an }为非零常数列
通项 公式
an= a1+（n-1）d
an= a1·qn-1
.
-128
⒉在等比数列{an}中，且an＞0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 .
⒊在等比数列{an}中，若 a4a7a13 a1662， 5
则a10= 5 .
变 式 ： （ 1 ） 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 1 1 ,a 5 9 ,
则 a 33
, q 3 . .
b1 qn1
.
b
n
.
若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq.
证明: b nb m b 1q 1 n 1b 1q 1 m 1
b12 q1nm2， bpbqb1q1p 1b1q1q 1
nmp q b1， 2 qb1npbqm2， bpbq.
.
例1:
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8=
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解：设三个正数为
a , a, a q.
q
a aaq 21， a(1 1q) 21，
q
q
得
q1 1 7， a a aq 12
1(q11) 7 .
a
q 12
a2 36. a6,
.
q 2或1 . 2
变式：
已知数列an满足a1 1,an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
(2 )求 数 列 a n 的 通 项 公 式 .
.
当堂巩固：
.
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bmqnm
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+ an-k.
性质３： 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
.
若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项 则 bn2 bnk • bnk .
则2an=an+k+ an-k.
是{bn}中的三项， 则 bn2 bnk bnk .
性质３： 若n+m=p+q，
则am+an=ap+aq.
猜想3：若n+m=p+q，
则bn ·bm=bp ·bq.
.
bn bmqnm .
证明:
bmb1qm 1,bnb1qn1，
b m qn mb 1qm 1qn m