二次函数综合题型.doc

条件：如图，A、B是直线/同旁的两个定点. 二次函数综合题型

题型一利用对称性解决距离和最小值问题-涉及动点

关键：找到对称关系，将其中某个线段通过对称转化，最后归结到两点之间线段最短，从

而找到取得最小值时动点的位置。

涉及几何模型:

“两点之间的连线中，线段最短”。一般求“变动的两线段之和的最小值”时，一般都应

用

这一模型。

问题：在直线/上确定一点P，使PA+PB的值最小.

方法：作点A关于直线/的对称点连结A'B交/于点P, 则PA^PB

= A'B的值最小与此模型类似的: 应用“三角形两边之差小于第三边”，一般求“变动的

两线段之差的最大值”时，一般都应用这一模型。

例1：如图，巳知抛物线y=ax2+bx+c (a^O)的对称轴为x=l,且抛物线经过A ( —1, 0)、

C (0, —3)两点，与x轴交于另一点B.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;

(2)在抛物线的对称轴x=l上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小, 并求此时点M的坐标;

(3)设点P为抛物线的对称轴x=l上的一动点，求使匕PCB = 90。的点P的坐标.

(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标. 1 .

例2：如图，抛物线y = --x2 -x + 2的顶点为A,与y轴交于点B.

4

⑴求点A、点B的坐标；

(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBWAB；

练习:

交x轴于A、B两点，交

1、如图，抛物线y^ax^+bx + c的顶点P的坐标为

y 轴于点C(0,-V3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)把AABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.判断四边形ADBC的形状, 并说明理由.

(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得AFBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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让我们一起为了孩子的进步而努力! 2、如图，己知二次函数y=ax 2-4x+c 的图象与坐标轴交于点A （-1, 0）和点C （0,

・5).

（1） 求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标.

（2） 在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P （2, -2）,连接0P,找出x 轴 上所有点

M 的坐标，使得AOPM 是等腰三角形.

（3）己知该函数图象的对称轴上存在一点Q,使得△ACQ 的周长最小.请求出点Q 的坐标.

3 1 2

3、如图，抛物线y = -x 2 - —x + 3和y 轴的交点为为0人的中点，若有一动点P, 自M

点处出发，沿直线运动到工轴上的某点（设为点E ）,再沿直线运动到该抛物线对称 轴上的某点（设为点F ）,最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E,

点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

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题型二与多边形综合-如因动点产生等腰三角形、梯形、三角形面积、三角形相似问题等

例3：涉及等腰梯形、三角形相似

如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4, 08=2,抛物线过A、B、C三点、,与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点。从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC向点C运动, 与点P同时停止.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时■间t为何值时",

四边形POQE是等腰梯形？

(3)当，为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、3、。为顶点的三角形相

似？

B

例4：涉及等腰三角形、三角形面积

如图，已知抛物线与x轴交于A (-1, 0)、B (4, 0)两点，与y轴交于点C (0, 3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，且APAB的面积等于AABC的面积，求点P 的坐标；

(3)点Q是直线BC ±的一个动点，若左QOB为等腰三角形，请写出此时点Q 的坐标.

例5：涉及三角形相似、周长最小问题

(2013・张家界)如图，抛物线y=ax2+bx+c (a^O)的图象过点C (0, 1),顶点

为Q(2, 3),点D在x轴正半轴上，且OD=OC.

(1)求直线CD的解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45。所得直线与抛物线相交于另一点E, 求证：

△CEQs/^CDO；

(4)在(3)的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，APCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这

例6：涉及三角形周长最小、面积最大问题

如图，抛物线y = -x2 +Z?x + c与x轴交与A(1,O),B(- 3, 0)两点,

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△QgC的面积最大？，若存

在，求出点P的坐标及△质的面积最大值.若没有，请说明理由. 一

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I 、如图，己知抛物线与x 轴交于A (-1, 0)、 B (3, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 3)。

练习:

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得APDC 是等 腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

2、如图，已知抛物线y = ^x 2

+bx + c 与工轴交于A (-4, 0)和8(1, 0)两点，与y 轴交于 C 点.

(1) 求此抛物线的解析式；

(2) 设E 是线段仙上的动点，作EF//AC 交BC 于F,连接CE,当的面积是

面积的2倍时，求E 点的坐标；

(3) 若P

为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q,当P 点

运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时户点的坐标.