第四章.中值定理与导数的应用
四章节中值定理与导数应用
9/26/2024
第四章 中值定理与导数应用
第20页
小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间旳关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F ( x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立旳条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式旳环节.
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欲证: ( x1 , x2 ), 使 f ( ) f ( ) 0 只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即 [ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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设
F (x ) f (x )sin x
验证 F (x ) 在 [ 0, π ] 上满足罗尔定理条件.
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第四章 中值定理与导数应用
第22页
3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f (x ) f (x ) 旳零点.
提醒: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,
x＋
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第四章 中值定理与导数应用
三、柯西(Cauchy)中值定理
第15页
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x) 满
足(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b)内可导,
(3) 对(a, b)内每一点均有F ' ( x) 不为零，那么在
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1)
高等数学 中值定理
F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件， 所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判 别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解： 显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。
这个法则的推导基于泰勒展开的思想。
我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。
假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。
我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。
第四章 中值定理及其应用
则F( x) f ( x) g( x) 0.
F( x) C, 即f ( x) g( x) C.
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例3、证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2
证：(arcsin x arccos x) 1 1 x2
由f ( x)、g( x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，
f ( ) f (b) f (a) (1)
ba
g( ) g(b) g(a) (2)
ba
(1) (2)得： f ( ) f (b) f (a) . 这样证可以吗？ g( ) g(b) g(a)
分析：条件中比罗尔 b a y
定理少了第三个条件.
C
y f (x)
M
B
由于直线AB对应的函数为
A
N
g(x)
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a).o
a
x
D
bx
且从图中可知 f ( x)与g( x)在x a及x b的值相等，
故G( x) f ( x) g( x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件.
证： f ( x)在[a,b]上连续, o a
bx
f ( x)在[a，b]上必取得最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m，则f ( x) C，所以在(a，b)内，有 f ( x) 0.
(a,b)，有f ( ) 0，故结论成立.
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3、罗尔定理：设f ( x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导
2
2
故 arcsin x arccos x (1 x 1).
微分中值定理与导数应用.ppt
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
大学微积分(上)第四章 中值定理
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
o
a
x1 x2
x4
x5 b
x
一、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
y 2 1
o
极大点与极小点统称为极值点 . 为极大点 , 为极小点 , 是极大值 是极小值
1 2
x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对可导函数, 极值可能出现在导数为 零的点
第四章 中值定理及导数的应用
在本章中, 要利用导数来研究函数的性质与形态.
如: 函数增量与自变增量之间的关系;
凹凸、最大，最小、图形等.
函数的单调、
中值定理是利用导数研究函数的理论基础.
第一节 中值定理
洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
解：∵ f (x)在[0, ]上连续，在(0, )上可导， 且 f(0) = f() ∴由洛尔定理知： 在(0, )内至少有一点，使 f ()=0，
即: cos =0, 故=/2。
例2
验证洛尔定理对函数 f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10 在 [1,2]上的正确性。 解：∵ f (x)在[－1, 2]上连续，在(－1, 2)上可导， 且 f(－1) = f(2) ∴由洛尔定理知：
第四章中值定理与导数的应用1
例14. 求 lim n ( n n 1). 0型
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
费马(Fermat)引理：
且
存在
(或 )
证：设
则
0 0
y O x0 x
y y f (x)
注意：
O a
bx
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如，
A
Oa
弦 AB 的方程： y f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
bx
利用罗尔中值定理 证明
注1：在[a, b]内的任意闭区间 [ x1, x上2 ],拉格朗日中值 定理均成立.
特别地, 若 x 与 x +Δx为区间(a, b)内的任意两点,则有
y f (x x) f (x) f (x x)x (0 1)
(化简)
lim
x0
2 cos3
x
2
连续使 用罗必 达法则
下面的介绍的是利用倒数法 或取对数法将其它的不定型 转化为可以运用罗必达法则 计算的例题 .
例8 求 lim x ln x . 0
x0
用另一种形式 颠倒行不行 ?
解
倒数法
lim
x0
x ln
x
lim
x0
ln x 1
x
行 , 但繁些 .
f (1) f (2 ) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d ) ,
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
第四章 微分中值定理与导数的应用
1 1, 所以arctan x 2 arctan x1 x 2 x1 . 2 1
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x 例5 证明不等式 ＜ln(1+x)＜x 对一切x＞0成立. 1 x
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导， 对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,得 f(x)-f(0)=f′( x)x, (0< <1 ), x 即 ln(1+x)= (0< <1)． 1 x x x 由于 ＜x, ＜
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 )
因为 f(x)≡0,所以 从而 f(x2)=f(x1) .
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( x1 x2 )
f()=0 .
例4 试证 arcsin x arccos x 证
2 令f ( x ) arcsin x arccos x , 则
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三、 柯西中值定理
定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点,使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
( x 1).
f '( x)
1 1 x2
1 1 x2
0, x ( 1,1)
得f ( x ) C , x ( 1,1) 又因f (0)
2
, 且f ( 1)
2
,
故 f ( x ) arcsin x arccos x
第四章 中值定理
第四章 中值定理，导数的应用基 本 要 求一、理解罗尔（Rolle ）定理、拉格郎日（Lagrange ）定理、柯西（ Cauchy ）定理的条件和结论，掌握这三个定理的简单应用。
二、会用洛必达（L ，Hospital ）法则求不定式的极限。
三、理解函数极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会用导数判断函数图形的凹向性，会求拐点，会求函数图形的渐近线（包括水平、垂直及斜渐近线）.会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
四、掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。
习题四5、（1）23 （2）21 （3）2 （4）51 （5）0 （6）∞ （7）1 （8）e 1- （9）e （10*）e 3. 6、略. 7、（1）),33)(33,(+∞--∞单调上升； )33,33(-单调下降（2）单调升单调降，),1()1,(+∞---∞ 8、略.9、（1）极大值274)31(=f ，极小值f(1)=0 （2）极大值353)35(ππ+=f ，极小值33)3(-=ππf （3）极大值e e f 224)(=，极小值f(1)=0 （4）极小值f(1)=210、（1）极小值ef e 2)(2-=- （2）极大值f(3)=108,极小值f(5)=011、（1）45)43(max =f ，min f(1)=1 （2）max f(2)=ln5 , min f(0)=0（3）min f(-3)=27,无最大值 （4）max )21(-f =21、21)1(=f min f(0)=0 12、底边长6米、高3米. 13、长18米、宽12米. 14、5批. 15、（1）（-∞，2）、（4，+∞）上凹，（2，4）下凹； 拐点：（2，62）,（4，206） （2）（-∞，1）、（1，+∞）下凹，（-1，1）上凹； 拐点：（-1，ln2）,(1,ln2) （3）（-∞，2）下凹，（2，+∞）上凹； 拐点：)2,2(2e（4）),(4242eek k πππππ+++下凹，),(42432eek k ππππ+-上凹；拐点：)22,(4242e ek k ππππ++± 16、（1）y = 0,x = -1 (2)2π±=x y17、略.18、（1）C （1000）=188.25 )1000(C =0.1928.0)1000(/=C（2）X=400 (3)min C (400)=0.15 19、（1）平均成本253125)(Q Q Q Q C ++= 边际平均成本Q Q Q C 2/125251)(-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）边际成本Q Q C Q 2523)(/+= 边际收入Q Q R -=30)(/ 边际利润)251(27)(/Q Q L -= 20、η（4）=5 当价格P=4时，价格上涨1%，需求量减少5% 21、（1）x = 20,边际产量36， x= 70,边际产量-24. （2）x=20时，产量的弹性为3724，x=70时，产量的弹性为4756-习 题 四1、验证下列函数在指定区间满足罗尔定理的条件，并找出所有满足罗尔定理结论的ξ： （1）x x x f -=3)( ，[-1，1] ；解：由题知)(x f 在]1,1[-上连续，在)1,1(-内可导，且0)1()1(==-f f∴)(x f 在]1,1[-上满足Roll 中值定理条件 ∴33013)(2'±=⇒=-=ξξξf （2）x x x f -=3)( ， [0，3].解：由题知)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且0)3()0(==f f ∴)(x f 在]3,0[上满足Roll 中值定理条件∴20)1(323)('=⇒=-⋅-+-=ξξξξξf2、验证下列函数在指定区间满足拉格朗日中值定理的条件，并找出所有满足结论的ξ：（1）21)(x x f -=， [0，3] ；解：∵由题知)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导∴)(x f 在]3,0[上满足Lagrange 中值定理条件 又∵x x f 2)('-= ∴23392)()()('=⇒-=-⇒--=ξξξa b a f b f f（2）f (x) = ln x , [1,2].解：∵由题知)(x f 在]2,1[上连续，在)2.1(内可导∴)(x f 在]2,1[上满足Lagrange 中值定理条件 又∵x x f 1)('=∴2ln 1121ln 2ln 1)()()('=⇒--=⇒--=ξξξa b a f b f f3、应用拉格朗日中值定理，证明下列不等式.（1）xx x x 1ln )1ln(11<-+<+(x>0)； 证明：令t t f ln )(=，它在]1,[+x x 上满足Lagrange 中值定理，∴存在]1,[+∈x x ξ使得ξξ11ln )1(ln )1ln()('=+=-+-+=x x x x x x f 成立∵xx 1111<<+ξ ∴x x x x 11ln 11<+<+ □ （2）221arctan arctan 1aab a b b a b +-<-<+-(a<b). 证明：令t t f arctan )(=，它在],[b a 上满足Lagrange 中值定理，∴存在],[b a ∈ξ使得2'11arctan arctan )(ξξ+=--=a b a b f 成立 ∴a b ab arctan arctan 12-=+-ξ ∵b a <<ξ ∴221arctan arctan 1a ab a b b a b +-<-<+- 又∵xx 1111<<+ξ ∴x x x x 11ln 11<+<+ □ 4、证明 )1,1(,2a r c c o s a r c s i n -∈=+x x x π。
《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第1节 中值定理
拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 法国数学家. 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献, 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 余年来 接地溯源于他的工作, 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 .
y
C M•
y = f ( x)
•
D
A•
•N
ξ1 x
o a
ξ2 b
x
分析: 证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b) .
f (b) − f (a ) ( x − a) . 弦 AB方程为 y = f (a ) + 方程为 b−a 曲线 f ( x )减去弦 AB ,
所得曲线 a , b 两端点的函数值相等 .
(1)
f ′(ξ ) = 0 .
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) .
在[−1 , 3]上连续 , 在( −1 , 3) 上可导 , 且 f ( −1) = f ( 3) = 0 , Q f ′( x ) = 2( x − 1) , 取 ξ = 1 (1 ∈ ( −1 , 3)) , f ′(ξ ) = 0 .
f (b) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )] . b−a F ( x ) 满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ ,
作辅助函数
使得 F ′(ξ ) = 0 . 即
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) − =0, b−a 拉格朗日中值公式 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) .
高等数学》课件4.微分中值定理与导数的应用
思考题
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x) “在 闭区间[a,b]上连续”换为“在开区(a,b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．
2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．
罗尔(Rolle)中值定理 若 f (x)满足如下 3 条: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) 在 区 间 [a,b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即
例1
求
lim
x1
x3 x3 x
3x 2
x
2
． 1
解
lim
x 1
x3 x3 x
3x 2
x
2
1
=
lim
x 1
3x2 3x2
3 2x
1
= lim 6x = 6 = 3 ．
x1 6x 2
4
2
例 2 求lim1 cos x ． xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0．
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) g(x) C （C 为常数）．
证 令F (x) f (x) g(x)，则F(x) 0，由推论 1 知 ， F(x) 在 (a,b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f (x) g(x) C, x (a,b)，证毕．
f (a) f (b),则在开区间(a,b) 内至少存在一点 ,使 得 f ( ) 0．
需回答的问题: (1) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与
高数(一)微积分第4章
第四章微分中值定理和导数的应用4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
例如,2、定理设（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；（3）存在（或为无穷大）；那么。
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理(2课时)要求:理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。
了解柯西中值定理。
重点：理解中值定理及简单的应用。
难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔（Rolle)定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件（1)在闭区间],[b a 上连续；(2）在开区间),(b a 内可导； (３))()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零,即0)(='ξf ．几何解释设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，AB 是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C,使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路,ξ应在函数取最值点处找.例１．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．)2(242)(-=-='xxxf且0)3()1(==ff函数)(xf在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得)2(2)(=-='ξξf,于是)3,1(2∈=ξ.故确实在区间)3,1(内至少存在一点2=ξ使得0)2(='f,结论成立．二、拉格朗日中值定理(微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数)(xf满足条件(１）在闭区间],[ba上连续;（２）在开区间),(ba内可导.则在区间),(ba内至少存在一点)(ba<<ξξ，使得等式))(()()(abfafbf-'=-ξ成立.推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零,那么函数)(xf在区间I 上是一个常数（它的逆命题也成立）．例２.试证2cotarctanπ=+xarcx)(+∞<<-∞x．证明构造函数xarcxxf cotarctan)(+=，因为函数)(xf在),(+∞-∞上可导,且1111)(22=+-+='xxxf(２）在开区间),(ba内可导，且0)(≠'xF,),(bax∈则在区间),(ba内至少有一点ξ，使等式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--成立．说明(１）公式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--中的ξ是同一值,即(ξξξ=''=''xxFxfFf))()(()()(）; (2）当xxF=)(时,1)(,)()(='-=-xFabaFbF,正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理−−−−←−−→−=特例推广)()(bfaf拉氏定理−−−−←−−→−=特例（推广xXF)柯西定理. 作业129P习题4.1)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,（２)令0)(='x f ，得3,1=-=x x ,（3)列表如下x)1,(--∞1- )3,1(-3),3(+∞ )(x f '符号+ 0— 0+)(x f↗极大值 10↘极小值 22-↗应用定理2判别极值的步骤如下， (1)求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；（２)求出函数)(x f 的全部驻点(即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根)；（3)用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间,考查在各点两侧导数的符号,根据定理２判别该点是否有极值点,是极大值点还是极小值点; （4)求出各极值点的函数值,就得)(x f 的全部极值. 例2．求函数32)1(x x y -=的极值.解 （1)函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为31325xx y -=',(2)令0='y ,得52=x ， (3）列表如下x（0,∞-）0 (52,0) 52 ),52(+∞ y '+不存在 — 0 +已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3,为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问Ｄ点应选在何处?解 1)建立模型总费用与D 的选择有关,设x AD =,总费用y 与x 有关,因为 2220,100x CD x BD +=-=，由于铁路运费与公路运费之比为53,因此不妨设铁路运费为k 3，公路运费为k 5（k 为某整数）,则从点B 到点C 需总运费DB k CD k y ⋅+⋅=35＝)100(340052x k x k -++(1000≤≤x )， 2)现在问题归结为x 在闭区间]100,0[上取何值时目标函数y 的值最小，因为)34005(2-+='xx k y ,令0='y ，解方程得)(15km x =.又由于k y x 400|0==，k y x 380|15==，2100511500|+==k y x ． 经过比较可得，k y x 380|15==为最小值，因此当)(15km x AD ==时，总费用最省.说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数)(x f 确有最值,而且一定在区间内部取得,若0)(='x f 只有一个根,那么不必讨论)(0x f 是否为极值，就可判定)(0x f 为最值. 作业 129P 习题４.4第五节 曲线的凹凸性与拐点(1课时）要求:会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。
第四章 微分中值定理和导数的应用
f ( x ) A ( A 为有限数，也可为 或 )，则 g ( x )
x x0
lim
f ( x) f ( x ) lim A . x x 0 g ( x) g ( x)
x3 3x 2 例 1 求 lim 3 ． x 1 x x 2 x 1
4.2.1 基本不定式
定理2 (洛必达法则)若
(1) lim f ( x ) 0 ， lim g ( x ) 0 ；
x x0 x x0
(2) f ( x ) 与 g ( x ) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外）可导， 且 g ' ( x) 0 ；
(3) lim
x x0
解
x 3 3x 2 lim 3 = x 1 x x 2 x 1 3x 2 3 lim x 1 3 x 2 2 x 1 6x 6 3 = lim = = ． x 1 6 x 2 4 2
例 2
求 lim
1 cos x ． x π tan x
解
lim
1 cos x sin x = lim = 0． xπ x π 1 tan x cos 2 x
的
极限，因此通常可用对数求导法或利用复合函数观点
u ( x)
v( x)
e
ln u ( x )v ( x )
e
v ( x ) ln u ( x )
ln 0 0 ln 0 0 ln 0 0 ln 0 0 ln1 ln 0 0
1、微分中值定理及几何意义； 2、会用洛必达法则求极限； 3、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的 拐点；
4、求闭区间上连续函数的最值；
赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
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第四章．中值定理与导数的应用
要求掌握的内容：
1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理
2、会用洛必达法则求函数极限
3、掌握函数单调性的判别方法
4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用
5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。
6、会描绘简单函数的图形
一、罗尔定理
如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]
上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内
(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；
f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定
理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使
f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而
切线平行于割线AB，也就平行于x轴.
二、拉格郎日中值定理
定义：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'
(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，上式给出了自变量取得的
有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因
此本定理也叫有限增量定理
几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))
两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲
线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在
P点的切线与割线AB平行.
三、罗比达法则
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于无穷；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1、在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用。
2、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
四、函数单调性的判断
1、定义法
2、一阶倒数的符号
（1）若在（a，b）内f'(x)>0，则f(x)在[a，b]上单调上升；
（2）若在（a，b）内 f'(x)<0，则 f(x) 在[a，b]上单调下降。
五、倒数求极值的一般步骤：
1、求一阶倒数
2、另一阶倒数等于0，求出极值点
3、判断极值点两端的符号
4、求极值点。
六、二阶导数与函数凹凸性的关系。
函数在区间的二阶导数大于0，在该区间是凹函数，小于0是凸函数
重点提示：拉格朗日中值定理，用倒数判定单调性，函数的图像，极值的方法。