第四章.中值定理与导数的应用

第四章．中值定理与导数的应用

要求掌握的内容：

1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理

2、会用洛必达法则求函数极限

3、掌握函数单调性的判别方法

4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用

5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。

6、会描绘简单函数的图形

一、罗尔定理

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]

上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内

(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；

f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定

理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使

f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而

切线平行于割线AB，也就平行于x轴.

二、拉格郎日中值定理

定义：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'

(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，上式给出了自变量取得的

有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因

此本定理也叫有限增量定理

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))

两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲

线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在

P点的切线与割线AB平行.

三、罗比达法则

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。设

(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；

(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；

(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设

(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于无穷；

(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；

(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1、在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用。

2、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

四、函数单调性的判断

1、定义法

2、一阶倒数的符号

（1）若在（a，b）内f'(x)>0，则f(x)在[a，b]上单调上升；

（2）若在（a，b）内 f'(x)<0，则 f(x) 在[a，b]上单调下降。

五、倒数求极值的一般步骤：

1、求一阶倒数

2、另一阶倒数等于0，求出极值点

3、判断极值点两端的符号

4、求极值点。

六、二阶导数与函数凹凸性的关系。

函数在区间的二阶导数大于0，在该区间是凹函数，小于0是凸函数

重点提示：拉格朗日中值定理，用倒数判定单调性，函数的图像，极值的方法。