压缩感知理论

压缩感知理论

一、压缩感知理论简介

压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。它在信息论、图像处理、地球科学、光学、微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。

二、压缩感知产生背景

信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist 采样定理。定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist 采样定理对采样的本质要求。但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。为了缓解对信号传输速度和存储空间的压力，当前常见的解决方案是信号压缩但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量采样数据在压缩过程中被丢弃了，它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。故而就有人研究如何很好地利用采集到的信号，压缩感知是由 E. J. Candes 、J. Romberg 、T. T ao 和D. L. Donoho 等科学家于2004 年提出，压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。

三、压缩感知理论

压缩感知理论主要涉及到三个方面，即信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法的构造。稀疏信号广义上可理解为信号中只有少数元素是非零的，或者信号在某一变换域内少数元素是非零的。那么在我们如果只保留这些非零数据，丢弃其他的系数，则可以减小储存该信号需要的空间，达到了压缩(有损压缩）的目的，同时，这些系数可以重构原始信号，不过一般而言得到的是X 的一个逼近。在实际生活中有很多数字信号都是稀疏信号或者在某一变换域内是稀疏的，这样压缩感知理论的第一个方面就可以得到满足。如果信号N x R ∈在某变换域内是稀疏的，可以用一组正交基12[,,,]N ψψψψ= 线性组合表示：1

N i i i x s s ψ===ψ∑，其中式中，是对应于正交基的投影系数。由稀疏性可知其内只含有少数不为零的数，感知信号y 可表示为：y x s s =Φ=Φψ=Θ，Φ就为测量矩阵，Ψ为稀疏表示矩阵，当测量矩阵与稀疏表示矩阵不相关时就可以从s 中不失真的恢复出原始信号x ，常用的测量矩阵有高斯随机阵等。接下来是算法的重构，由于用少数信号恢复原来的大信号，这是一个欠定问题，一般用最优化方法来求解。这就是压缩感知理论体系的基本理论。 四、对这一创新案例的分析

随着数字时代的发展，大数据是一种发展趋势，但是大数据就涉及到存储和处理的问题，而且有些信号不需要大数据也可以达到想要的处理效果，在这之前，将模拟信号进行数字化的时候都是用Nyquist采样定理，这就意味着越精细采样，为了真实的恢复原来信号，就必须增加采样率来保证其满足Nyquist采样率。这就意味着要采集非常大的数据量，对于数据的储层和处理都很费时费力。在这种情况下，压缩感知产生了。压缩感知可以在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。这就是其创新所在，打破Nyquist采样率的条件，利用矩阵论与最优化的方法可以说给信号数字处理这一领域带来了一场革命性巨变。压缩感知之所以能发展并很快得到广泛应用，离不开计算机技术、矩阵论和最优化方法的发展。其紧密结合时代特征，在数字信息时代留下浓墨重彩的一笔。

通过对这一案例的分析，可以发现创新无处不在，创新要敢于质疑权威，甚至是公理，但绝对不是盲目的质疑，要有相关的科学依据的支持，创新不是异想天开，而是立足实践，结合时代科学性、可行性科技活动。早在压缩感知产生之前，这一理论的基本思想在信号处理界以及有了雏形，只是只限于局部领域内的应用，所以，创新是要紧跟科技发展前言，了解各行业发展动态，并结合自身的研究领域。

五、参考文献

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