中考数学大复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练数与式的运算与求值试题
中考数学总复习第二编中档题型突破专项训篇中档题型训二解方程组、不等式组及其应用试题
中档题型训练(二) 解方程(组)、不等式(组)及其应用命题规律本专题主要考察方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，怀化中考中往往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)及不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确及否．命题预测2021年中考仍会以简单的方程(组)的应用以及不等式(组)的解法作为重点考察.方程(组)的解法【例1】解方程组：⎩⎨⎧2〔x －y 〕3－〔x ＋y 〕4＝－112，3〔x ＋y 〕－2〔2x －y 〕＝3.【解析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法．【学生解答】解：原方程组整理得：⎩⎨⎧5x －11y ＝－1，①－x ＋5y ＝3.②由②得x ＝5y －3.③将③代入①得25y －15－11y ＝－1，14y ＝14，y ＝1.将y ＝1代入③得x ＝2.∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.1．(2021贺州中考)解方程：x 6－30－x4＝5.解：x ＝30.2．(2021山西中考)解方程：2(x －3)2＝x 2－9. 解：x 1＝3，x 2＝9.3．(2021连云港中考)解方程：2x －11＋x＝0.解：x ＝－2.4．(2021金华中考)解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2.解：⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3.5．(2021黄石中考)解方程组⎩⎨⎧9x 2－4y 2＝36，x －y ＝2.解：⎩⎨⎧x 1＝2，y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝－265，y 2＝－365.解不等式(组)【例2】(2021 深圳中考)解不等式组： ⎩⎨⎧9x ＋5<8x ＋7，①43x ＋2>1－23x.②并写出其整数解．【解析】先求不等式组的解集，在解集中找整数解．【学生解答】解：解不等式①得x<2，解不等式②得x>－12.把①、②的解集表示在数轴上，故原不等式组的解集是：－12<x<2.其整数解是：0，1.6．(2021苏州中考)解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：x>1.7．(2021南京中考)解不等式组⎩⎨⎧3x ＋1≤2〔x ＋1〕，－x<5x ＋12，并写出它的整数解．解：－2<x≤1，其整数解为－1，0，1.8．(2021扬州中考)解不等式组⎩⎨⎧2－x<2〔x ＋4〕，x<x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．解：－2＜x ＜1，最大整数解为0.方程(组)、不等式(组)的应用【例3】随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速开展，该火车站从去年开场启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月；(2)假设甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1 500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)【解析】(1)利用两队单独完成此项工程所需的时间关系列出一元二次方程求解即可；(2)利用“甲队工程款＋乙队工程款≤1 500〞列出不等式求解．【学生解答】解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x 个月，那么乙队单独完成这项工程需要(x －5)个月，由题意得x(x －5)＝6(x ＋x －5)．整理得x 21＝2，x 21＝2(不合题意，舍去)，故x ＝15，x －5＝10.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月；(2)设在完成这项工程中甲队施工m 个月，那么乙队施工m2个月，根据题意列不等式，得100m ＋150·m 2≤1 500.解得m≤847.∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8.答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．9．(2021黄冈中考)在红城中学举行的“我爱祖国〞征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？解：设八年级收到的征文有x 篇，那么七年级收到的征文有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2篇，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＋x＝118，解得x ＝80.∴12x －2＝38(篇)．答：七年级收到的征文有38篇．10．(2021苏州中考)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？解：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝50，12x ＋8y ＝480，解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝30.答：中型汽车有20辆，小型汽车有30辆．11．(2021宁夏中考)某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，每行驶1 km ，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．(1)求每行驶1 km 纯用电的费用；(2)假设要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，那么至少用电行驶多少千米？解：(1)设每行驶1 km 纯用电所需要的费用为x 元，那么每行驶1 km 纯燃油所需要的费用为(x ＋0.5)元，那么76x ＋0.5＝26x，，x ＝0.26是原分式方程的根且符合题意．即每行驶1km 纯用电费用为0.26元；(2)从A 地到B 地的距离为26÷0.26＝100(km )，设用电行驶y km ，那么燃油行驶(100－y)km ，故＋(0.5＋0.26)(100－y)≤39，解得y≥74，即至少用电行驶74 km .12．(2021潍坊中考)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用．假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，那么每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，假设观光车能全部租出，那么0<x≤100，由50x －1 100>0，解得x>22.又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；(2)设每辆车的净收入为y 元，当0<x≤100时，y 1＝50x －1 100.∵k＝50>0，∴y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900(元)；当x>100时，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1005x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025，∴当x ＝175时，y 2的最大值为5 025.∵5 025>3 900，∴当每辆车日租金为175元时，每天净收入最多是5 025元．13．(2021湘西中考)某商店购进甲、乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，20个甲商品的进货总价及25个乙商品的进货总价一样．(1)求甲、乙每个商品的进货单价；(2)假设甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9 000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元，问有哪几种进货方案？(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，假设甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？解：(1)设甲商品的进货单价为x 元，乙商品的进货单价为y 元，根据题意可得：⎩⎨⎧x －y ＝20，20x ＝25y ，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝80，∴甲商品的进货单价为100元，乙商品的进货单价为80元； (2)设甲商品进货a 件，乙商品进货(100－a)件，⎩⎨⎧100a ＋80〔100－a 〕≤9 000，100a ·〔1＋10%〕＋80〔100－a 〕·〔1＋25%〕≥10 480，解得48≤x≤50.∵x 为正整数，∴x ＝48，49或50，那么有3种进货方案：第一种，甲商品进货48件，乙商品进货52件；第二种，甲商品进货49件，乙商品进货51件；第三种，甲商品进货50件，乙商品进货50件；(3)根据题意，可得销售利润W ＝100×10%a ＋80(100－a)×25%，即W ＝－10a ＋2 000，∵k ＝－10<0，∴W 随x 的增大而减小，∴当a ＝48时，W 最大＝1 520元．此时乙商品进货的件数为52件．答：当甲商品进货48件，乙商品进货52件时利润最大，最大利润是1 520元．14．(2021昆明中考)春节期间，某商场方案购进甲、乙两种商品，购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．解：(1)甲商品每件的进价是30元，乙商品每件的进价是70元；(2)设商场购进甲种商品a件，那么购乙种商品(100－a)件，设利润为w元，∴a≥4(100－a)，∴a≥80，∴w＝(40－30)a＋(90－70)(100－a)＝－10a＋2 000.∵k＝－10<0，∴w随x的增大而减小，∴当a＝80时，w最大＝－10×80＋2 000＝1 200(元)，∴100－a＝100－80＝20(件)．答：当商场购进甲商品80件，乙商品20件时获利最大，最大利润为1 200元．15．(2021重庆中考)近期猪肉价格不断走高，引起民众及政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格到达一定的单价时，政府将投入储藏猪肉以平抑猪肉价格．(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购置2.5 kg猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储藏猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的根底上下调a%出售．某超市按规定价格售出一批储藏猪肉．该超市在非储藏猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储藏猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a的值．解：(1)设今年年初的猪肉价格每千克x元，那么2.5×(1＋60%)x≥100，解得x≥25.∴今年年初猪肉的最低价格为25元/kg；(2)设5月20日该超市猪肉的销售总量为1，那么40×14×(1＋a%)＋40(1－a%)×34(1＋a%)＝40(1＋110a%)，令a%＝y，那么原方程可化为40×14(1＋y)＋40(1－y)×34(1＋y)＝40⎝⎛⎭⎪⎫1＋110y，∴y1，y2＝0(不合题意，舍去)，∴a＝20.答：a的值为20.。
【遵义专版】2019年中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇1数与式的运算与求值试题
中档题型专训(一)数与式的运算与求值本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观遵义近五年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．,中考重难点突破)实数的运算【例1】(2017乐山中考)计算：2sin 60°＋|1－3|＋2 0170－27.【解析】特殊角三角函数要牢记．【答案】解：原式＝2×32＋3－1＋1－3 3 ＝－ 3.1．(2017达州中考)计算： 2 0170－|1－2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋2cos 45°.解：原式＝1－2＋1＋3＋2×22 ＝5－2＋ 2＝5.2．(2017泸州中考)计算：(－3)2＋2 0170－18×sin 45°.解：原式＝9＋1－32×22 ＝10－3＝7.3．(2017桂林中考)计算：(－2 017)0－sin 30°＋8＋2－1.解：原式＝1－12＋22＋12＝1＋2 2.4．(2017兰州中考)计算：(2－3)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－|－2|－2cos 60°.解：原式＝1＋4－2－2×12＝2.整式的运算与求法【例2】(2017怀化中考)先化简，再求值：(2a －1)2－2(a ＋1)(a －1)－a(a －2)，其中a ＝2＋1. 【解析】先利用公式及去括号法则化简，再代入求值．【答案】解：原式＝4a 2－4a ＋1－2a 2＋2－a 2＋2a＝a 2－2a ＋3，当a ＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.5．(2017常州中考)先化简，再求值：(x ＋2)(x －2)－x(x －1)，其中x ＝－2.解：原式＝x 2－4－x 2＋x＝x －4，当x ＝－2时，原式＝－6.6．(2017长春中考)先化简，再求值：3a(a 2＋2a ＋1)－2(a ＋1)2，其中a ＝2.解：原式＝3a 3＋6a 2＋3a －2a 2－4a －2＝3a 3＋4a 2－a －2，当a ＝2时，原式＝24＋16－2－2＝36.7．(2017河南中考)先化简，再求值：(2x ＋y)2＋(x －y)(x ＋y)－5x(x －y)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2＋x 2－y 2－5x 2＋5xy＝9xy ，当x ＝2＋1，y ＝2－1时，原式＝9(2＋1)(2－1)＝9×(2－1)＝9×1＝9.8．已知(x －2＋3)2＋|y ＋2＋3|＝0，求(x ＋2y)2－(x －2y)2的值．解：∵(x－2＋3)2＋|y ＋2＋3|＝0，∴x ＝2－3，y ＝－2－3，又∵(x＋2y)2－(x －2y)2＝x 2＋4xy ＋4y 2－x 2＋4xy －4y 2＝8xy ，把x ＝2－3，y ＝－2－3代入得， 原式＝8×(2－3)×(－2－3)＝－8.分式的化简求值【例3】(2017鄂州中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1的整数解中选取． 【解析】先化简，再解不等式组．【答案】解：原式＝(x 2－1x ＋1＋3－3x x ＋1)÷x （x －1）x ＋1＝x 2－3x ＋2x ＋1·x ＋1x （x －1）＝（x －1）（x －2）x ＋1·x ＋1x （x －1） ＝x －2x ， 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1，得－1≤x＜52， ∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，∵不等式有意义时x≠±1、0，∴x ＝2，则原式＝0.9．(2017常德中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2 ＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2，当x ＝4时，原式＝4－2＝2.10．(2017东营中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1－a ＋1÷a 2－4a ＋4a ＋1＋4a －2－a ，并从－1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 解：原式＝3－（a －1）（a ＋1）a ＋1·a ＋1（a －2）2＋4a －2－a ＝－（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋4a －2－a ＝－a －2a －2＋4a －2－a ＝－（a －2）a －2－a ＝－a －1，当a ＝0时，原式＝－0－1＝－1.11．(2017聊城中考)先化简，再求值：2－3x ＋y x －2y ÷9x 2＋6xy ＋y 2x 2－4y 2，其中x ＝3，y ＝－4. 解：原式＝2－3x ＋y x －2y ·（x ＋2y ）（x －2y ）（3x ＋y ）2 ＝2－x ＋2y 3x ＋y＝2（3x ＋y ）－（x ＋2y ）3x ＋y ＝6x ＋2y －x －2y 3x ＋y ＝5x 3x ＋y ， 当x ＝3，y ＝－4时，原式＝5×33×3＋（－4）＝159－4＝155＝3. 12．(2017玉林中考)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a －22a －2，然后给a 从1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a －2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a －2＝2(a ＋2)＝2a ＋4，当a ＝3时，原式＝6＋4＝10.13．(2017盐城中考)先化简，再求值：x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－5x －2，其中x ＝3＋ 3. 解：原式＝x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －2－5x －2 ＝x ＋3x －2÷x 2－9x －2＝x ＋3x －2·x －2（x ＋3）（x －3） ＝1x －3， 当x ＝3＋3时，原式＝13＋3－3＝13＝33. 14．(2017荆州中考)先化简，再求值：x ＋1x －1－1x 2－1÷1x ＋1，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1x －1－1（x －1）（x ＋1）·(x ＋1) ＝x ＋1x －1－1x －1＝xx －1，当x ＝2时，原式＝22－1＝21＝2.。
中考数学总复习二轮复习 中档题型专训(7章)
1 数与式的运算与求值本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观遵义近五年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．中考重难点突破实数的运算【例1】(乐山中考)计算：2sin60°＋|1－3|＋2 0170－27.【解析】特殊角三角函数要牢记．【答案】解：原式＝2×32＋3－1＋1－3 3 ＝－ 3.1．(达州中考)计算：2 0170－|1－2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋2cos45°.解：原式＝1－2＋1＋3＋2×22＝5－2＋ 2＝5.2．(泸州中考)计算：(－3)2＋2 0170－18×sin 45°.解：原式＝9＋1－32×22＝10－3＝7.3．(桂林中考)计算：(－2 017)0－sin 30°＋8＋2－1.解：原式＝1－12＋22＋12＝1＋2 2.4．(兰州中考)计算：(2－3)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－|－2|－2cos 60°.解：原式＝1＋4－2－2×12 ＝2.整式的运算与求法【例2】(怀化中考)先化简，再求值：(2a －1)2－2(a ＋1)(a －1)－a(a －2)，其中a ＝2＋1.【解析】先利用公式及去括号法则化简，再代入求值．【答案】解：原式＝4a 2－4a ＋1－2a 2＋2－a 2＋2a＝a 2－2a ＋3，当a ＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.5．(常州中考)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝－2.解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4，当x＝－2时，原式＝－6.6．(长春中考)先化简，再求值：3a(a2＋2a＋1)－2(a＋1)2，其中a＝2.解：原式＝3a3＋6a2＋3a－2a2－4a－2＝3a3＋4a2－a－2，当a＝2时，原式＝24＋16－2－2＝36.7．(河南中考)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中x＝2＋1，y＝2－1.解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy，当x＝2＋1，y＝2－1时，原式＝9(2＋1)(2－1)＝9×(2－1)＝9×1＝9.8．已知(x－2＋3)2＋|y＋2＋3|＝0，求(x＋2y)2－(x－2y)2的值．解：∵(x－2＋3)2＋|y＋2＋3|＝0，∴x＝2－3，y＝－2－3，又∵(x＋2y)2－(x－2y)2＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2＝8xy，把x＝2－3，y＝－2－3代入得，原式＝8×(2－3)×(－2－3)＝－8.分式的化简求值【例3】(鄂州中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1的整数解中选取． 【解析】先化简，再解不等式组．【答案】解：原式＝(x 2－1x ＋1＋3－3x x ＋1)÷x （x －1）x ＋1＝x 2－3x ＋2x ＋1·x ＋1x （x －1）＝（x －1）（x －2）x ＋1·x ＋1x （x －1） ＝x －2x ， 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1，得－1≤x＜52， ∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，∵不等式有意义时x≠±1、0，∴x ＝2，则原式＝0.9．(常德中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2 ＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2，当x ＝4时，原式＝4－2＝2.10．(东营中考)先化简，再求值： ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1－a ＋1÷a 2－4a ＋4a ＋1＋4a －2－a ，并从－1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 解：原式＝3－（a －1）（a ＋1）a ＋1·a ＋1（a －2）2＋4a －2－a ＝－（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋4a －2－a ＝－a －2a －2＋4a －2－a ＝－（a －2）a －2－a ＝－a －1，当a ＝0时，原式＝－0－1＝－1.11．(聊城中考)先化简，再求值：2－3x ＋y x －2y ÷9x 2＋6xy ＋y 2x 2－4y 2，其中x ＝3，y ＝－4.解：原式＝2－3x ＋y x －2y ·（x ＋2y ）（x －2y ）（3x ＋y ）2 ＝2－x ＋2y 3x ＋y＝2（3x ＋y ）－（x ＋2y ）3x ＋y ＝6x ＋2y －x －2y 3x ＋y ＝5x 3x ＋y， 当x ＝3，y ＝－4时，原式＝5×33×3＋（－4）＝159－4＝155＝3. 12．(玉林中考)化简：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a －22a －2，然后给a 从1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a －2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a －2＝2(a ＋2)＝2a ＋4，当a ＝3时，原式＝6＋4＝10.13．(盐城中考)先化简，再求值： x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－5x －2，其中x ＝3＋ 3. 解：原式＝x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －2－5x －2 ＝x ＋3x －2÷x 2－9x －2＝x ＋3x －2·x －2（x ＋3）（x －3） ＝1x －3， 当x ＝3＋3时，原式＝13＋3－3＝13＝33. 14．(荆州中考)先化简，再求值：x ＋1x －1－1x 2－1÷1x ＋1，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1x －1－1（x －1）（x ＋1）·(x ＋1)＝x ＋1x －1－1x －1 ＝x x －1， 当x ＝2时，原式＝22－1＝21＝2.2 方程(组)、不等式(组)的解法及其应用本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，往往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．,中考重难点突破方程(组)的解法【例1】(广东中考模拟)已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21的解为x ＝a ，y ＝b ，求a ＋b 的值． 【解析】根据二元一次方程组的特点，灵活选择代入消元法或加减消元法即可．【答案】解：∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12， ∴a ＝1，b ＝12，∴a ＋b ＝13.1．(北京中考)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围．解：(1)∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一根小于1，∴k ＋1＜1，解得k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0.2．(陕西中考)解方程：x ＋3x －3－2x ＋3＝1. 解：去分母，得(x ＋3)2－2(x －3)＝(x －3)(x ＋3)， 去括号，得x 2＋6x ＋9－2x ＋6＝x 2－9，移项，系数化为1，得x ＝－6，经检验，x ＝－6是原方程的解. 解不等式(组)【例2】(黔东南中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≥4，①2x －15＜x ＋12，②并把解集在数轴上表示出来．【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．【答案】解：由①得：－2x≥－2，即x≤1，由②得：4x－2＜5x＋5，即x＞－7，所以－7＜x≤1.在数轴上表示为：3．(枣庄中考)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？ 解：根据题意解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1），①12x ≤2－32x ，② 解不等式①，得x ＞－52，解不等式②，得x≤1， ∴－52＜x≤1，故满足条件的整数有－2，－1，0，1. 方程(组)、不等式(组)的应用【例3】(常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少；(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？【解析】(1)一般用增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)，2016年收到微信红包金额400(1＋x)元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400(1＋x)(1＋x)，由此可列出方程400(1＋x)2＝484，求解即可；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为(2y＋34)元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．【答案】解：(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得：400(1＋x)2＝484，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元．依题意得：2y＋34＋y＝484，解得y＝150，所以484－150＝334(元)．答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．4．(重庆中考)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克；(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．解：(1)设该果农今年收获樱桃x kg，根据题意得：400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg；(2)由题意可得：100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，令m%＝y，原方程可化为：3 000(1－y)＋4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000，整理可得：8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125，∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.5．(桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意得5 000(1＋x)2＝7 200，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；(2)2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)，设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m)台，根据题意得：3 500m ＋2 000(1 500－m)≤86 400 000×5%，解得m≤880.答：2018年最多可购买电脑880台.6．(安顺中考)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，求商场共有几种进货方案？解：(1)设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为(40－x)元/件，根据题意得：90x ＝15040－x，解得x ＝15， 经检验，x ＝15是原方程的解．∴40－x ＝25.∴甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48－y)件，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＜48－y ，15y ＋25（48－y ）≤1 000，解得20≤y＜24. ∵y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y 取20，21，22，23，共有4种方案.7.(广州中考)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天． (1)求乙队筑路的总公里数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里．解：(1)60×43＝80(公里)． 答：乙队筑路的总公里数为80公里；(2)设乙队平均每天筑路8x 公里，则甲队平均每天筑路5x 公里．根据题意得：605x －808x＝20，解得x ＝0.1， 经检验，x ＝0.1是原方程的解，∴8x ＝0.8.答：乙队平均每天筑路0.8公里.8．(益阳中考)我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐(餐饮＋住宿)，一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元；(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？解：(1)设去年餐饮利润x 万元，住宿利润y 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20×80%，x ＝2y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝5， 答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；(2)设今年土特产利润m 万元，依题意，得16＋16×(1＋10%)＋m －20－11≥10，解得m≥7.4.答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润.9．(邵阳中考)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x 个，大客车的乘客座位数是y 个，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝17，6y ＋5x ＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝35.答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；(2)设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a ＋35(11－a)≥300＋30，解得a≤3417，符合条件的a 最大整数为3， 答：租用小客车数量的最大值为3.10．(山西中考)“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2 000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160 kg ，国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg ，请解答下列问题：(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩；(2)2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg 不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？解：(1)设我省2016年谷子的种植面积是x 万亩，其他地区谷子的种植面积是y 万亩，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2 000，1601 000x ＋1601 000y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝1 700， 答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩；(2)设我省应种植z 万亩的谷子，依题意有1601 000z ≥52，解得z≥325，325－300＝25(万亩)． 答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子3 一次函数和反比例函数结合一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．中考重难点突破利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】(泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝12，OB ＝25，反比例函数y ＝k x的图象经过点B.(1)求反比例函数的解析式；(2)若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx ＋n 的图象过点M ，A ，求一次函数的解析式．【解析】(1)过点B 作BD⊥OA 于点D ，设BD ＝a ，通过解Rt △OBD 得到OD ＝2BD.然后利用勾股定理列出关于a 的方程并解答即可；(2)欲求直线AM 的解析式，只需推知点A ，M 的坐标即可．通过解Rt △AOB 求得OA ＝5，则A(5，0)．根据对称的性质得到：OM ＝2OB ，结合B(4，2)求得M(8，4)．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．【答案】解：(1)过点B 作BD⊥OA 于点D ，设BD ＝a ，∵tan ∠AOB ＝BD OD ＝12， ∴OD ＝2BD.∵∠ODB ＝90°，OB ＝25，∴a 2＋(2a)2＝(25)2，解得a ＝±2(－2舍去)，∴a ＝2.∴OD＝4，∴B(4，2)，∴k ＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y ＝8x； (2)∵tan ∠AOB ＝12，OB ＝25， ∴AB ＝12OB ＝5， ∴OA ＝OB 2＋AB 2＝（25）2＋（5）2＝5， ∴A(5，0)．又∵△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，B(4，2)， ∴OM ＝2OB ，∴M(8，4)．把点M ，A 的坐标分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧5m ＋n ＝0，8m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－203，∴一次函数解析式为：y ＝43x －203.1．(绵阳中考)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx(k ＞0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；(2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式．解：(1)由题意A(1，2)，把A(1，2)代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23；(2)把M(－2，0)代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ， ∴y ＝kx ＋2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x ，y ＝kx ＋2k 消去y 得到x 2＋2x －3＝0， 解得x ＝－3或1，∴B(－3，－k)，A(1，3k)， ∵△ABO 的面积为163，∴12·2·3k ＋12·2·k ＝163， 解得k ＝43，∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.与面积有关的问题【例2】(遵义十一中二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值； (2)求直线AC 的解析式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可；(2)将A ，C 坐标代入即可．【答案】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵S △AOC ＝12·|y A |·OC ＝1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx ，得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.2．(恩施中考)如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝－2x(x＜0)的图象过点A(－1，a)，反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)的图象过点B，且AB∥x轴．(1)求a和k的值；(2)过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝kx于另一点，求△OBC的面积．解：(1)∵反比例函数y＝－2x(x＜0)的图象过点A(－1，a)，∴a＝－2－1＝2，∴A(－1，2)，过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝2，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝2，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO＋∠AOE＝∠AOE＋∠BOF＝90°，∴∠EAO ＝∠BOF，∴△AEO ∽△OFB ， ∴AE OF ＝OEBF，∴OF ＝4， ∴B(4，2)，∴k ＝4×2＝8； (2)∵直线OA 过A(－1，2)， ∴直线AO 的解析式为y ＝－2x ， ∵MN ∥OA ，∴设直线MN 的解析式为y ＝－2x ＋b ， ∴2＝－2×4＋b ，∴b ＝10， ∴直线MN 的解析式为y ＝－2x ＋10， ∵直线MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ， ∴M(5，0)，N(0，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10，y ＝8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C(1，8)，∴S △OBC ＝S △OMN －S △OCN －S △OBM ＝12×5×10－12×10×1－12×5×2 ＝15.与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(1)根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；(2)根据反比例函数的性质，xy ＝k 直接求出面积即可；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【答案】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5， ∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)， 连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求． 设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，y ＝－35x ＋175，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫0，175.3．(株洲中考)如图所示，Rt △PAB 的直角顶点P(3，4)在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，顶点A ，B 在函数y ＝tx (x ＞0，0＜t ＜k)的图象上，PA ∥y 轴，连接OP ，OA ，记△OPA 的面积为S △OPA ，△PAB 的面积为S △PAB ，设w ＝S △OPA －S △PA B .(1)求k 的值以及w 关于t 的解析式；(2)若用w max 和w min 分别表示函数w 的最大值和最小值，令T ＝w max ＋a 2－a ，其中a 为实数，求T min . 解：(1)∵点P(3，4)，∴在y ＝t x 中，当x ＝3时，y ＝t 3，即点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，t 3， 当y ＝4时，x ＝t 4，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4，4，则S △PAB ＝12·PA ·PB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 4，延长PA 交x 轴于点C ，则PC⊥x 轴， 又S △OPA ＝S △OPC －S △OAC ＝12×3×4－12t ＝6－12t ，∴w ＝6－12t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 4＝－124t 2＋12t ；(2)∵w＝－124t 2＋12t＝－124(t －6)2＋32，∴w max ＝32，则T ＝w max ＋a 2－a ＝a 2－a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋54，∴当a ＝12时，T min ＝54.与平移有关的问题【例4】(遵义二中三模)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4. 【答案】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的解析式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ， 设A ⎝⎛⎭⎪⎫3x ，32x ， ∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴△BCF ∽△AOD ，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4， ∵点A ，B 在双曲线y ＝kx(x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)， ∴k ＝3×1×32×1＝92.4．(贵阳中考)如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点A(1，m)，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n(0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM.(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？ 解：(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A(1，m)， ∴m ＝2×1＋6＝8，∴A(1，8)， ∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝k 1，∴k ＝8，∴反比例函数的解析式为y ＝8x；(2)由题意，设点M ，N 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8n ，n ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －62，n ，∵0＜n ＜6，∴n －62＜0， ∴S △BMN ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫|n －62|＋|8n |×n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －62＋8n ×n ＝－114(n －3)2＋254，∴n ＝3时，△BMN 的面积最大.4 三角形、四边形中的相关证明及计算三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．中考重难点突破三角形的有关计算及证明【例1】(荆门中考)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠C ＝90°，OB ＝25，OC ＝20，若点M 是边OC 上的一个动点(与点O ，C 不重合)，过点M 作MN∥OB 交BC 于点N.(1)求点C 的坐标；(2)当△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等时，求CM 的长；(3)在OB 上是否存在点Q ，使得△MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)如图①，过C 作CH⊥OB 于H ，根据勾股定理得到BC ＝OB 2－OC 2＝252－202＝15，根据三角形的面积公式得到CH ＝OC·BC OB ＝20×1525＝12，由勾股定理得到OH ＝OC 2－CH 2＝16，于是得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到CM CN ＝OC BC ＝2015＝43，设CM ＝x ，则CN ＝34x ，根据已知条件列方程即可得到结论；(3)如图②，由(2)知，当CM ＝x ，则C N ＝34x ，MN ＝54x ，①当∠NMQ 1＝90°，MN ＝MQ 1时，②当∠MNQ 2＝90°，MN ＝NQ 2时；③当∠MQN＝90°，MQ ＝NQ 时，根据相似三角形的性质即可得到结论．【答案】解：(1)如图，过C 作CH⊥OB 于H ，∵∠C ＝90°，OB ＝25，OC ＝20，∴BC ＝OB 2－OC 2＝252－202＝15.∵S △OBC ＝12OB ·CH ＝12OC ·BC，∴CH ＝OC ·BC OB ＝20×1525＝12，∴OH ＝OC 2－CH 2＝16，∴C(16，－12)；(2)∵MN∥OB，∴△CNM ∽△CBO ，∴CMCN ＝OCBC ＝2015＝43，∴设CM ＝x ，则CN ＝34x.∵△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等，∴CM ＋CN ＋MN ＝OM ＋MN ＋BN ＋OB ，即x ＋34x ＋MN ＝20－x ＋MN ＋15－34x ＋25，解得x ＝1207，∴CM ＝1207；(3)由(2)知，当CM ＝x ，则CN ＝34x ，MN ＝54x ，①当∠NMQ 1＝90°，MN ＝MQ 1时，如图①，∵△OMQ 1∽△OBC ，∴MQ 1BC ＝OMOB .又∵MN＝MQ 1，∴54x 15＝20－x25，∴x ＝24037，∴MN ＝54x ＝54×24037＝30037；,图①) ,图②) ②当∠MNQ 2＝90°，MN ＝NQ 2时，如图①，此时，四边形MNQ 2Q 1是正方形，∴NQ 2＝MQ 1＝MN ，∴MN ＝30037；③当∠MQN＝90°，MQ ＝NQ 时，如图②，过M 作MG⊥OB 于G ，∵MN ＝2MQ ，MQ ＝2MG ，∴MN ＝2MG ，∴MG ＝58x.又∵△OMG∽△OBC，∴MG BC ＝OM OB ，∴58x 15＝20－x 25，∴x ＝48049，∴MN ＝54x ＝60049. ∴综上所述，符合条件的MN 的长为3007或60049.1．(北辰校级模拟)已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC.(1)如图①，已知∠AOB ＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC. ①∠DAO 的度数是______；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；(2)设∠AOB＝α，∠BOC ＝β.①当α，β满足什么关系时，OA ＋OB ＋OC 有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA ＋OB ＋OC 的最小值．解：(1)①90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2＋OB2＝OC2.如图①，连接OD.∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°.∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB.∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°.∴∠DAO＝90°.在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2＋AD2＝OD2.∴OA2＋OB2＝OC2.,图①),图②) (2)①当α＝β＝120°时，OA＋OB＋OC有最小值．作图如图②，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′.∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60°.∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝AC，∠A′O′C＝∠AOC.∴△OC O′是等边三角形．∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60°.∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°，∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°，∴B，O，O′，A′四点共线，∴OA＋OB＋OC＝O′A′＋OB＋OO′＝BA′时值最小；②当等边△ABC的边长为1时，OA＋OB＋OC的最小值A′B＝ 3.四边形的有关计算及证明【例2】(广东中考模拟)如图，等边△ABO放置在平面直角坐标系中，OA＝4，动点P，Q同时从O，B 两点出发，分别沿OA，BO方向匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为x(s)(0＜x＜4)，解答下列问题：(1)求点Q的坐标；(用含x的代数式表示)(2)设△OPQ的面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)是否存在某个时刻x，使△OPQ的面积为334个平方单位？若存在，求出相应的x值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)过点Q作QD⊥OA于点D，解直角三角形QOD，分别求出OD，QD和x的关系式，即可得到点Q的坐标；(2)由三角形面积公式可得s与x之间的二次函数关系式，然后利用配方法求得其最大值即可；(3)存在某个时刻x 的值，使△OPQ 的面积为334个平方单位，由(2)可知把y ＝334代入求出对应的x 值即可．【答案】解：(1)过点Q 作QD⊥OA 于点D ，∵△ABO 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵动点Q 从B 点出发，速度为每秒1个单位长度，∴BQ ＝x ，∴OQ ＝4－x ，在Rt △QOD 中，OD ＝OQ·cos 60°＝(4－x)×12＝2－12x ， QD ＝OQ·sin 60°＝(4－x)×32＝23－32x ， ∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12x ，23－32x ； (2)∵动点P 从O 点出发，速度为每秒1个单位长度，∴OP ＝x ，∴S ＝12OP ·QD ＝12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－32x ＝－34x 2＋3x ＝－34(x －2)2＋3(0＜x ＜4)， ∵a ＝－34＜0， ∴当x ＝2时，S 有最大值，最大值为3；(3)存在某个时刻x 的值，使△OPQ 的面积为334个平方单位，理由如下： 假设存在某个时刻，使△OPQ 的面积为334个平方单位， 由(2)可知－34x 2＋3x ＝334， 解得x ＝1或x ＝3，∵0＜x ＜4，∴x ＝1或x ＝3都合题意，即当x ＝1 s 或3 s 时，能使△OPQ 的面积为334个平方单位．2．(常州中考)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，__矩形__一定是等角线四边形；(填写图形名称)②若M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足__AC⊥BD__时，四边形MNPQ是正方形；(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是________；②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．解：(1)①矩形；②AC⊥BD；(2)①3＋221；图③②如图③中，设AE 与BD 相交于点Q ，连接CE ，作DH⊥AE 于H ，BG ⊥AE 于G.则DH≤DQ，BG ≤BQ ，∵四边形ABED 是等角线四边形，∴AE ＝BD ，∵S 四边形ABED ＝S △ABE ＋S △ADE ＝12·AE ·DH ＋12·AE ·BG ＝12·AE ·(GB ＋DH)≤12·AE ·(B Q ＋QD)， 即S 四边形ABED ≤12AE ·BD ， ∴当G ，H 重合时，即BD⊥AE 时，等号成立，∵AE ＝BD ，∴S 四边形ABED ≤12AE 2， 即线段AE 最大时，四边形ABED 的面积最大，∵AE≤AC＋CE ，∴AE ≤5＋1，∴AE ≤6，∴AE 的最大值为6，∴当A ，C ，E 共线时，取等号，∴四边形ABED 的面积的最大值为12×62＝18. 3．(海南中考)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)当DE ＝12时，求CG 的长； (3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE 的长；若不能，说明理由．解：(1)在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF ＝180°－∠ABC＝90°，∠DCE ＋∠ECB＝∠DCB＝90°，∵CF ⊥CE ，∴∠ECF ＝90°，∴∠ECB ＋∠BCF＝∠ECF＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF，在△CDE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CBF，DC ＝BC ，∠DCE ＝∠BCF，∴△CDE ≌△CBF ；(2)在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴BG AE ＝BF AF， 由(1)知，△CDE≌△CBF，∴BF ＝DE ＝12，∵正方形的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝32，AE ＝AD －DE ＝12，∴BG12＝1232，∴BG＝16，∴CG＝BC－BG＝56；(3)不能．理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝CG，∴AD－AE＝BC－CG，∴DE＝BG，由(1)知，△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，CE＝CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠G FB＝45°，∠CFE＝45°，∴∠CFA＝∠GFB＋∠CFE＝90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．5 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．与圆的有关性质【例1】如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.求证：AD＝BC.【解析】首先证明OC ＝OD ，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD ＝BC.【答案】证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO.∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD ，在△ODA 和△OCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠O ＝∠O，OD ＝OC ，∴△ODA ≌△OCB(SAS )，∴AD ＝BC.1．(玉林一模)如图，AB 是半圆O 上的直径，E 是BC ︵的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，已知BC ＝8，DE ＝2.(1)求⊙O 的半径；(2)求CF 的长．解：(1)设⊙O 的半径为x ，∵E 点是BC ︵的中点，O 点是圆心，∴OD ⊥BC ，DC ＝12BC ＝4，在Rt △ODC 中，OD ＝x －2，∴OD 2＋DC 2＝OC 2，∴(x －2)2＋42＝x 2，∴x ＝5，即⊙O 的半径为5；(2)∵FC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CF.又∵E 是BC ︵的中点．∴OD ⊥BC ，∴OC 2＝OD·OF，即52＝3·OF，∴OF ＝253.在Rt △OCF 中，OC 2＋CF 2＝OF 2，∴CF ＝203.圆的切线的性质与判定【例2】(遵义二中一模)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD 的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．【答案】解：(1)连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，即OD ⊥CD.∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；(2)在Rt △OBF 中，∵∠ABD ＝30°，OF ＝1，∴∠BOF ＝60°，OB ＝2，BF ＝ 3.∵OF ⊥BD ，∴BD ＝2BF ＝23，∠BOD ＝2∠BOF＝120°.∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD＝120π×22360－12×23×1＝43π－ 3.2．(南宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵上一点E 作EG∥AC 交CD的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE.(1)求证：△ECF∽△GCE；(2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值． 解：(1)∵AC∥EG，∴∠G ＝∠ACG.∵AB ⊥CD ，∴AD ︵＝AC ︵，∴∠CEF ＝∠ACD，∴∠G ＝∠CEF.∵∠ECF ＝∠ECG，∴△ECF ∽△GCE ；(2)连接OE.∵GF ＝GE ，∴∠GFE ＝∠GEF＝∠AFH.∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA.∵∠AFH ＋∠FAH＝90°，∴∠GEF ＋∠AEO＝90°，∴∠GEO ＝90°，∴GE ⊥OE.又∵OE 为⊙O 半径，∴EG 是⊙O 的切线，(3)连接OC.设⊙O 的半径为r.在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝tan G ＝AH HC ＝34，∵AH ＝33，∴HC ＝43，在Rt △HOC 中，∵OC ＝r ，OH ＝r －33，HC ＝43， ∴(r －33)2＋(43)2＝r 2，∴r ＝2536.∵GM ∥AC ，∴∠CAH ＝∠M.∵∠OEM ＝∠AHC，∴△AHC ∽△MEO ，∴AHEM ＝HCOE ， ∴33EM ＝432536，∴EM ＝2538.。
中考中档题型专题训练篇(一)
（x2－1）－（x2－2x） （x＋1）2
解：原式＝
·
x（x＋1）
x（2x－1）
2x－1
（x＋1）2
＝
·
x（x＋1） x（2x－1）
x＋1
＝ 2 .
x
∵x 2－x－1＝0，∴x 2＝x＋1
x＋1
∴原式＝
＝1.
x＋1
x2－1
x＋1
3
解：原式＝(
－
)·
x＋1 x＋1 （x＋2）2
（a ＋2）2
＝
·
a＋2
（a＋2）（a－2）
＝a－2.
当 a＝2＋ 3时，原式＝2＋ 3－2＝ 3.
x2－4
x2－x
x－4
解：原式＝[
－
]÷
x（x－2） x（x－2） （x－2）2
x－4
（x－2）2
＝
·
x（x－2）
x－4
x－2
＝
.
x
解不等式 3x＋7＞1， 得 x＞－2，
∵x 为负整数， ∴x ＝－ 1.
2、计算：|﹣2 |+（4﹣π）0﹣ +（ − ）− ．
3、计算：|﹣2 |﹣ ﹣2﹣1+（
参考
答案
﹣2）
1、原式= ； 2、原式=2 ；
3、原式=
x2－4
x2＋4
3. 先化简，再求值：(
－4)÷ 2
，其中 x＝－1.
x
x ＋2x
（x－2）
x2＋4－4x （x＋2）
解：原式＝
÷
x
x（x＋2）
x（x＋ 2）
（x－2）2
中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练(六)直角三角形的应用试题
中档题型训练(六) 直角三角形的应用命题规律解直角三角形的应用是怀化市中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．命题预测预计2017年怀化中考，仍会考此知识点，以选择题、填空题的形式出现的可能性较大，也可能出现解答题.仰角、俯角问题【例1】(2016广州中考)如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D.从A 处看目标B ，D 的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A ′处．(1)求A ，B 之间的距离；(2)求从A ′处看目标D 的俯角的正切值．＝ACcos ∠BAC＝AB 有，中ABC △Rt 在∴，m 60 ＝AC ，°60＝°30－°90＝(1)∵∠BAC 【学生解答】解：，A ′Ｄ连接，E 的延长线于点A ′Ａ交，DE ⊥A ′Ａ作D 过点(2)；m 120 之间的距离为B ，A ．故)m 120(＝60cos60°320＝°30tan 60×＝DAC ∠tan AC ×＝CD 有，中ADC △Rt 在∴，m 60 ＝AC ，°30＝°60－°90＝DAC ∵∠ED′A △Rt 在∴，m 320＝CD ＝EA ，m 60 ＝AC ＝∵ED 是矩形．ACDE 四边形∴，°90＝∠Ｃ＝∠EAC ＝∵∠AED ．)m (.235的俯角的正切值为D 处看目标A ′即从.235＝60203＋303＝ED EA ＋AA ′＝ED EA ′＝D ′EA ∠tan 有，中在同一水平面C 与楼底D 点D(的点m 360处C 从距离楼底，的高度AC 为了测量出楼房)泸州中考2016(．1AC求楼房°，53的仰角为A 处测得楼顶B 在点，B 到达点m 30 前进DB 的斜坡31∶＝i 沿斜面坡度为，出发)上)不取近似值，计算结果用根号表示，43°≈53tan ，0.6°≈53cos ，0.8°≈53sin 参考数据：(的高度．.m 15) ＋3(60＝AC 解：2．(2015达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB ，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C 处安置测倾器，测得此时山顶A 的仰角∠AFH ＝30°；(2)在测点C 与山脚B 之间的D 处安置测倾器(C ，D 与B 在同一直线上，且C ，D 之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E 的仰角∠EGH ＝45°；(3)测得测倾器的高度CF ＝DG ＝1.5 m ，并测得CD 之间的距离为288 m ；已知红军亭高度EA 为12 m ，请根据)结果保留整数，1.732取3AB.(测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度解：设AH ＝x m ，在Rt △EHG 中，∵∠EGH ＝45°，∴GH ＝EH ＝AE ＋AH ＝x ＋12，∵GF ＝CD ＝288 m ，∴HF ＝GH 解，33300)·＋(x ＝x 即，AFH ∠tan HF ·＝AH ∴，°30＝AFH ∵∠，中AHF △Rt 在，300＋x ＝288＋12＋x ＝GF ＋．)m 1.5≈411(＋BH ≈409.8＋AH ＝∴AB ．1)＋3150(＝x 得答：凤凰山与中心广场的相对高度AB 大约是411 m .方位角问题【例2】一艘观光游船从港口A 处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B 处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/h 的速度前往救援，求海警船到达事故船C 处所需的大约时间．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6)【学生解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点 D.由题意得∠CAD ＝30°，∠CBD ＝53°，AC ＝80海．)h 1.25(＝5040．行驶时间为)海里50(＝400.8≈CD sin53°＝CB ，CD CB ＝°53sin ，中CBD △Rt 海里．在40＝CD ∴，里答：海警船到达C 处大约需 1.25 h .3．(2016宿迁中考)如图，大海中某灯塔P 周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A 处观察灯塔P 在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B 处，这时观察灯塔P 恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续)1.73≈3参考数据：(由．会有触礁的危险吗？试说明理，向正东方向航行解：过点P 作PC ⊥AB 交AB 的延长线于点 C.由题意知∠PAC ＝30°，∠PBC ＝45°.设PC ＝x ，在Rt △PBC 中，不会触礁．∴，PC>10∵10.92.≈x ，x 3＝x ＋8，x 3＝AC ，中PCA △Rt 在，x ＝BC 坡度、坡比问题【例3】(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶三点E ，C ，B 且，)31∶＝AB ∶BC 即(31∶的坡度为AC 台阶，m 3 为AB 点的高度A 已知.°60的仰角为D 端在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE 的高度(测倾器的高度忽略不计)．＝PAC ∠，°60＝BAC ∴∠，°30＝ACB ∴∠，33＝13＝AB BC ＝ACB∠tan ，中ABC △Rt 【学生解答】解：在30°，∠ACD ＝180°－∠ACB －∠DCE ＝90°，∴∠DAC ＝60°.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，∴AC ＝2AB ＝6.在．)m 9(＝°60sin ×36＝DCE ∠sin DC ·＝DE ，中CDE △Rt 在.36°＝60tan 6×＝DAC ∠tan AC ·＝DC ，中ACD △Rt 答：树DE 的高为9 m .4．(2016黄石中考)如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB ＝800 m ，BC ＝200 m ，坡角∠BAF ＝30°，∠CBE ＝45°.(1)求AB 段山坡的高度EF ；)结果精确到米，1.414≈2CF.(求山峰的高度(2)解：(1)EF ＝AB sin 30°＝400.答：AB 段山坡高度为400 m ；．)m EF ≈541(＋CE ＝CF ∴，141≈2100＝°45sin BC ·＝(2)CE 答：山峰CF 的高度约为541 m .生活中的解直角三角形问题【例4】(2015绍兴中考)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，结点D 与点M 重合，且点A 、E 、D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：cm )如下：伞架DE DF AE AF AB AC 长度363636368686(1)求AM 的长；(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长．(精确到 1 cm )(备用数据：sin 52°≈0.788，cos 52°≈0.615 7，tan 52°≈1.279 9)【学生解答】解：(1)由题意，得AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )．故AM 的长为72 cm ；(2)∵AP 平分∠BAC ，△AEG在2AG.＝AD ，DG ＝AG ∴，36＝DE ＝AE ∵，G 于G ⊥AD E 作E 过点.°52＝BAC ∠12＝EAD ∴∠，°104＝BAC ∠中，∵∠AGE ＝90°，∴AG ＝AE ·cos ∠EAG ＝36·cos 52°＝36×0.6157＝22.165 2.∴AD ＝2AG ＝2×22.1652≈44(cm )．答：AD 的长约为44 cm .5．(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD ，其中AB ∥CD ，大坝顶上有一瞭望台PC ，PC 正前方有两艘渔船M ，N.观察员在瞭望台顶端P 处观测到渔船M 的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°.已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，且PE 长为30 m .(1)求两渔船M ，N 之间的距离；(结果精确到 1 m )(2)已知坝高24 m ，坝长100 m ，背水坡AD 的坡度i ＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA 加宽后变为BH ，加固后背水坡DH 的坡度i ＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)．)m 20(＝EN －EM ＝MN 则，)m 50(＝PEtan31°＝ME ，m 30 ＝PE ＝EN ，中PEN △Rt 在(1)解：答：两渔船M ，N 之间的距离是20 m ；244＝DN ′tan ∠DAB ＝′AN ，中′DAN △Rt 在.47＝H ∠tan ，4＝DAB ∠tan 由题意得：N ′．于点DN ′⊥AH 作D 过点(2)＝′DN ·AH 12＝ADH △S ．)m (36＝6－42＝AN ′－HN ′＝AH ．故)m 42(＝2447＝DN ′tan ∠Ｈ＝′HN ，中′DHN △Rt 在，)m 6(＝则，3m x ．设原计划平均每天填筑土石方)3m 43 200(＝432×100＝001·ADH △S ＝V ．故需要填筑的土石方是)2m 432(2x ·43 200x－10－20＋10x ，得：题意根据.3m 2x 现在平均每天填筑，则增加机械设备后，天完成43 200x原计划＝43 200，解得x ＝864.经检验，x ＝864是原方程的解．.3m 864 答：施工队原计划平均每天填筑土石方相似三角形与圆【例5】(2015六盘水中考)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD.(1)求证：△ADO ∽△ACB ；(2)若⊙Ｏ的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC.【学生解答】证明：(1)∵AB是⊙Ｏ的切线，∴OD ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ，∴△ADO ∽△AD ·BC.＝AC ∴，1＝OD ∵，OD ·AC ＝BC ·AD ∴，ODBC＝AD AC ∴，△ADO ∽△ACB 知：(1)由(2)；ACB6．(2015遂宁中考)如图，AB 为⊙Ｏ的直径，直线CD 切⊙Ｏ于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；；AM ·AB ＝2AD 求证：2)(的长．BN 求线段，35＝ABD ∠sin ，185＝AM 若(3)解：(1)连接OD ，∵直线CD 切⊙Ｏ于点D ，∴∠CDO ＝90°，∵AB 为⊙Ｏ的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDA ＋∠ADO ＝∠ADO ＋∠BDO ＝90°，∠CDA ＝∠BDO ，∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠ABD ，∴∠ADC ＝∠ABD ；；AB ·AM ＝2AD ∴，AD AB ＝AM AD ∴，ABD ∽△ADM ∴△，∠ABD ＝ADC ∵∠，°90＝∠ADB ＝AMD ∴∠，(2)∵AM ⊥CD ∴，D C ⊥BN ∵，8＝AB2－AD2＝BD ∴，10＝AB ∴，6＝AD ∴，185＝AM ∵，35＝ADM ∠sin ∴，35＝ABD ∠sin (3)∵＝BN ∴，245＝DN ∴，35＝NBD ∠sin ∴，∠ADM ＝DBN ∴∠，°90＝∠BDN ＋∠ADM ＝∠BDN ＋DBN ∴∠，°90＝BND ∠.325＝BD2－DN2。
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第二编中档题型突破专项训练篇
中档题型训练(一) 数与式的运算与求值
命题规律
整式与分式的化简与求值，纵观怀化7年中考往往以计算题、化简求
值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并
注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公
式及运算律；在分式的化简时要灵活运用分解因式知识，分式的化
简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．
命题预测
2017年中考此考点仍为必考内容且至少有一大题，也可以既有大题
又有小题.
实数的运算
【例1】(2015巴中中考)计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－(－
1
3
)－1－12＋(π－3)0.
【解析】先理清和熟悉每项小单元的运算方法，把握运算的符号技巧．
【学生解答】解：原式＝3＋2×
2
2
＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5.
1．(2016黄石中考)计算：(－1)2 016＋2sin60°－|－3|＋π0.
解：原式＝1＋2×
3
2
－3＋1＝2.
2．(2016孝感中考)计算：9＋|－4|＋2sin30°－32.
解：原式＝3＋4＋2×
1
2
－9＝7＋1－9＝－1.
3．(2016金华中考)计算：27－(－1)2 016－3tan60°＋(－2 016)0.
解：原式＝33－1－3×3＋1＝0.
4．(2016白银中考)计算：
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
－2
－|－1＋3|＋2sin60°＋(－1－3)0.
解：原式＝4－3＋1＋3＋1＝6.
整式的运算与求值
【例2】(2015娄底中考)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝
3
3
. 【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值．
【学生解答】解：原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2
，当x ＝－1，y ＝3
3
时，原式＝－1＋1＝0.
5．(2016重庆中考A 卷)计算：(a ＋b)2
－b(2a ＋b)．
解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2－2ab －b 2＝a 2
.
6．(2016邵阳中考)先化简，再求值：(m －n)2
－m(m －2n)，其中m ＝3，n ＝ 2.
解：原式＝m 2－2mn ＋n 2－m 2＋2mn ＝n 2
.当n ＝2时，原式＝2.
7．(2015广州中考)已知多项式A ＝(x ＋2)2
＋(1－x)(2＋x)－3. (1)化简多项式A ；
(2)若(x ＋1)2
＝6，求A 的值．
解：(1)A ＝x 2＋4x ＋4＋2－2x ＋x －x 2－3＝3x ＋3；(2)∵(x＋1)2
＝6，则x ＋1＝±6，∴A ＝3x ＋3＝3(x ＋1)＝±3 6.
分式的化简求值
【例3】(2015菏泽中考)已知x 2
－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x
的值．
【解析】先化简所求式子，再看其结果与已知条件之间的联系，能否整体代入．
【学生解答】解：原式＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2
－4x ＋24x 2－4x
，∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2
－4x ＝－1.原
式＝－1＋24－1＝－23.
8．(2016雅安中考)先化简，再求值：(x 2
－1x 2－2x ＋1－x －1)÷x ＋1
x －1
，其中x ＝－2.
解：原式＝2－x.当x ＝－2时，原式＝4.
9．(2016广安中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x －3－1x －3÷
x 2
－1x 2－6x ＋9
，其中x 满足2x ＋4＝0. 解：原式＝x －3
x ＋1
.∵2x ＋4＝0，∴x ＝－2，∴原式＝5.
10．(2016哈尔滨中考)先化简，再求代数式(
2a ＋1－2a －3a 2－1)÷1a ＋1
的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°. 解：原式＝1a －1.∵a ＝3＋1，∴原式＝3
3
.
11．(2015六盘水中考)先化简代数式(3a a －2－a a ＋2)÷a
a 2－4
，再从0，1，2三个数中选择适当的数作为a 的值
代入求值．
解：原式＝2a ＋8.当a ＝1时，原式＝10.
12．(2016烟台中考)先化简，再求值：(x 2－y x －x －1)÷x 2－y
2x 2－2xy ＋y
2，其中x ＝
2，y ＝ 6. 解：原式＝－x ＋y
x
.当x ＝2，y ＝6时，原式＝－1＋ 3.
13．(2016毕节中考)已知A ＝(x －3)÷（x ＋2）（x 2
－6x ＋9）
x 2
－4
－1. (1)化简A ；
(2)若x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －1<x ，
1－x 3<4
3
且x 为整数时，求A 的值．
解：(1)原式＝1
x －3
；
(2)解不等式组得－1<x<1，而x 为整数，∴x ＝0，∴A ＝1x －3＝－1
3
.。