固体物理第二章例题

n = 5.4, µ = 1.6381, Z1 = Z2 = Z = 2, N = 2NA
NµZ e Eb = 8πε0R0
2 2
1 1 - n
23 2
2 × 6.02 ×10 ×1.6381× 2 × 1.602 ×10 = 3 -12 5.41×10-10 8 × 3.14 × 8.85 ×10 × 4 6 ol = 3.17 ×10 J m
把④代入①可得： 代入①可得：
1 d2u 1 mn β 1 mn 2U mn α 2 = K0 = - m + n = U0 = 3 2 dr 9γr0 r 9γr 2 N 9V0 0 0 0 r0 9γr 2r r 0 0
1 9V0 k= = K mnU0
r0 nβ c = exp - n+1 ρ ρ r0
②
nβ 1 β r0 ⇒n = 代入②可得： 把①代入②可得： n+1 = n ρ r0 ρ r0
7
14 试证：有两种离子组成的、间距为 的一维晶格的 试证：有两种离子组成的、间距为R的一维晶格的 马德龙常数µ＝2ln2 证明： 证明：
d 2u 1 (n + 1)mβ (m + 1)mβ 1 mnβ mβm 2 = 2 + = 2 - m + m m m d r r0 r0 r0 r =r0 2r0 2r0 r0 1 mnβ mnα mn β α = 2 - m + n = 2 - m + n 2r0 r0 r0 2r0 r0 r0 ④
3
1 2 du d2u 1 d2u 1 d2u 2 = 2 − 3 = 4 2 3R dR + 3R2 dR2 dv 3R 9R0 dR R R=R0 v0 0
∂2u 1 d 2u 1 d 2u 3 2 ⋅ R0 = 2 K0 = 2 ⋅ v0 = 4 ∂v 9R0 dR R 9R0 dR R v0 0 0 1 1 90A 2B = × 11 - 3 = 1.8×1010 N/m2 9r0 2 r0 r0
2 2ln 2e2 2ln 2e2 1 2N ln 2e 1 n-1 U = -N − × R0 × n = 1 - R0 4πε0R0 n 4πε0R0 4πε0n
11
LiF为NaCl型结构，结合能为 型结构， 为 型结构 结合能为1000KJ/mol, 例题8 例题8 R0=2.014Å, 求体弹性模量 。 求体弹性模量K。 由于LiF为NaCl型结构，所以µ＝1.747558。 型结构， 解： 由于 为 型结构 。
1 1 B A 3 U =பைடு நூலகம்Nu = N - + 9 , V0 = Nv0 = NR0 2 2 r r
∂2U ∂ ∂U K = ∂V 2 ⋅V0 = ∂V ∂V ⋅V0 V0 V0 ∂ ∂(Nu ) ∂2u 0 = ⋅ (Nv0 ) = ∂v2 ⋅ v0 ∂(Nv0 ) ∂(Nv0 ) v v0 0
3R 3R
1R 1R
2R O 2R
1 1 1 1 µ = ∑± = 21 - + - +L a1 = 1, a2 = -2, a3 = 3,L ai 2 3 4 i ≠1 x2 x3 x4 ln(1 + x) = x + +L x 如果 = 1, 则有 2 3 4 1 1 1 ln(1 + x) ln(1 + 1) ln 2 1 - + - + L ＝ ＝ ＝ 2 3 4
n = 7.4, µ = 1.747558, Z1 = Z2 = 1, R0 = 2.82 A
实验值： 实验值：Eb＝765KJ/mol。 。
偶极: 21.8KJ/m 偶四极: 0.4KJ/m 零点振动能 -7.1KJ/m 1。 ol; ol; : ol
o
设某晶体中每对原子的平均结合能为 u = - B + A 每对原子的平均结合能为 11 设某晶体中每对原子的平均结合能为: 9
1 1 1 1 µ = ∑± = 21 - + - +L 2ln2 ＝ ai 2 3 4 i ≠1
平衡时： 平衡时：
dU nB µe2 − n+1 = 0 = 0 ⇒ N− 2 R dR R0 0 0 4πε0R
2ln 2e2 n−1 µe2 n−1 B= R = R 0 0 4πε0n 4πε0n
0
nα mβ du 1 nα mβ du = n+1 - m+1 = 0 ⇒ n+1 - m+1 = 0 r r0 dr r =r dr 2 r r 0
0
nα mβ = m n r0 r0
②
d2u 1 (n + 1)nα (m + 2)mβ 2 = + n+2 m+2 dr 2 r r
4
设晶体的体积为V 原子间总的互作用能为： 设晶体的体积为 0=Nγ r03，原子间总的互作用能为：
1 α β 1 N α β u(r) = - n + m ；U0 = N u(r) = - n + m 2 r r 2 2 r r
1 d 2u 2 K0 = 9γr0 dr r ①
N αe2 β N αe2 r du U = 0，由 (r) = - 4πε r - rn 和U(r) = - 2 4πε r - c exp - ρ dr r =r0 2 0 0 分别求导可得： 分别求导可得：
5
d 2u 1 (n + 1)nα (m + 1)mβ 1 (n + 1)nα (m + 1)mβ 2 = + + = 2 ③ n+2 m+2 n m d r r0 r0 r0 r0 r =r0 2 2r0
把②代入③可得： 代入③可得：
(
-19 2
) 1

1 5.4
9
例题7 有一维离子晶体，均为一价，正负离子各有N 例题 有一维离子晶体，均为一价，正负离子各有 最近邻离子间的排斥能为b/R 证明： 个，最近邻离子间的排斥能为 n。证明：
2Ne2 ln 2 1 U(R0 ) = 1 - 4πε0R0 n
证明：设离子间的最短距离为 ，则有: 证明：设离子间的最短距离为R，则有 r1j=ajR
' ' z2e2 1 1 b N 根据： 根据：U = − ∑ ± a − Rn ∑ an 可得： 可得： 2 4πε0R j j j j ' ' e2 1 1 b 1 U = − × 2N ∑ ± a − Rn ∑ an 2 4πε0R j j j j ' ' e2µ B b 1 = -N − n ) B = ∑ n ；µ = ∑ ± (马德隆常数 a a 10 j j j 4πε0R R j
B A u(r0 ) = - + 9 = -8×10-19 × r0 r0
②
-28
A = 1.06×10
-105
(J⋅ m ), B = 2.52×10 (J⋅ m)
9
2
(2)设晶体有 个原胞组成，结构为简立方结构，平 设晶体有N个原胞组成 结构为简立方结构， 简立方结构 设晶体有 个原胞组成， 衡时间距为最短距离r 则有： 衡时间距为最短距离 0=R0，则有：
r r
平衡时r 其结合能|U|＝ × 焦耳， 平衡时 0=2.8×10-10米，其结合能 ＝8×10－19焦耳，试 × 计算A、 以及晶体的有效弹性模量 以及晶体的有效弹性模量。 计算 、B以及晶体的有效弹性模量。
平衡时结合能最小， 解: (1)平衡时结合能最小，可得： 平衡时结合能最小 可得：
du B 9A 9A = 2 - 10 ⇒B- 8 = 0 dr r r r =r0 r0 ①
1.证明：体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。 证明：体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。 证明 2.计算 晶体的结合能、体弹性模量 已知 、A12、A6、ε 、σ ) 。 计算Ar晶体的结合能 体弹性模量(已知 已知N、 计算 晶体的结合能、
r r r 3. 三个基矢 a1、 2、 3 的末端分别落在离原点距离为 1d、h2d、 a a 的末端分别落在离原点距离为h 、 、
Z1 = Z2 = Z = 1, R = 2.014A, N = 2NA，＝ α 1 0
o
µe2 K0 = (n - 1) 4 72πε0R0
Nµe2 1 U0 = 1 - 8πε0R0 n
(1) (2)
K0 = 7.1 ×1010 N/m2
(
)
12
CsCl晶体 µ＝1.7627, 结合能 b=625KJ/mol, 晶体, ＝ 结合能E 晶体 a=4.11Å, 求： (1)n; (2)K; (3)若要使 a 缩小 ％，应施加 ％，应施加 若要使 缩小1％， 的压力。 的压力。
h3d的晶面上，h1、h2、h3是整数，试证明 1h2h3)是互质的整数。 的晶面上， 是整数，试证明(h 是互质的整数。 的晶面上 是互质的整数
A B 4. 已知: u(r ) = - m + n , 证明: n > m。 r r
5.计算 计算NaCl晶体的结合能。并和实验值比较。 晶体的结合能。 计算 晶体的结合能 并和实验值比较。
1 1 1 1 µ = ∑± = 21 - + - +L 2ln2 ＝ ai 2 3 4 i ≠1
8
立方ZnS的晶格常数 的晶格常数a=5.41Å，计算其结合能Eb。 ，计算其结合能 立方 的晶格常数 15立方 解：ZnS晶体中最近邻的粒子是顶角上的 晶体中最近邻的粒子是顶角上的 1 R0 = 3a 粒子和处在空间对角线四分之一处的粒子。 粒子和处在空间对角线四分之一处的粒子。 4
6
13 已知有 个离子组成的NaCl晶体，其结合能为： 已知有N个离子组成的 晶体， 个离子组成的 晶体 其结合能为： N αe2 β 今若排斥项β/rn由cexp(-r/ρ)来代 来代 U(r) = - 4πε r - rn 替，且当晶体处于平衡时，这 2 且当晶体处于平衡时， 0 两者对互作用势能的贡献相同，试求 与 的关系。 两者对互作用势能的贡献相同，试求n与ρ 的关系。 设平衡时r=r 则有 则有： 解：设平衡时 0,则有： β = c exp - r0 ① ① n r0 ρ
12.有一晶体，在平衡时的体积为V0, 原子间总的互作 有一晶体，在平衡时的体积为 有一晶体 α β 用能量为U 用能量为 0。如果原子间互作用能由式 u(r) = - n + m
r r
所表述，试证明压缩系数可由 得出。 所表述，试证明压缩系数可由|U0|(mn/9V0)得出。 得出 和体弹性模量K的关系为 解：压缩系数k和体弹性模量 的关系为：k=1/K 压缩系数 和体弹性模量 的关系为：
du du dR 1 du = = 2 dv dR dv 3R dR
d2u du 1 du 1 du 1 du = 2 = 2 2 2 dv dv 3R dR 3R dR 3R dR 1 2 du 1 d2u = 2 − 3 3R dR + 3R2 dR2 3R