多项式逼近定理的含参积分证法

2298 计算

*20ln cos cos 2,()x nxdx n N π

⋅∈⎰. 解 利用分部积分得

20

ln cos cos 2I x nxdx π=⋅⎰ 220011sin 2sin ln cos sin 222cos nx x x nx dx n n x

ππ⋅=⋅+⎰ 201cos(21)cos(21)04cos n x n x dx n x

π--+=+⎰ 22001cos(21)1cos(21)4cos 4cos n x n x dx dx n x n x

ππ-+=-⎰⎰ 2122001sin(21)1sin(21)(1)(1)4sin 4sin x y n n n y n y dy dy n y n y π

ππ=---+=---⎰⎰， 由 sin(21)12cos 2...2cos 2(1)sin n y y n y y

-=+++-, sin(21)12cos 2...2cos 2sin n y y ny y

+=+++, 得 2

0s i n (21)s i n 2

n y dy y ππ-=⎰, 20sin(21)sin 2

n y dy y ππ+=⎰; 故2

0ln cos cos 2I x nxdx π=⋅⎰1(1)4n n π-=- 。

Weierstrass 逼近定理的含参变量积分证法

按照下列步骤给出Weierstrass 逼近定理的另一个证明：

（1）1

211((1))n n C x dx --=-⎰,

证明：n C <

（2）设f 是[0,1]上的连续函数，并且(0)(1)0f f ==，当[0,1]x ∉时，定义()0f x =，

记2()(1)n n n Q x C x =- .

证明：1

1()()()n n P x f x t Q t dt -=+⎰是一个多项式,

而且lim ()()n n P x f x →∞

=在[0,1]上一致地成立； （3）当(0)(1)0f f ==的条件不成立时，证明 Weierstrass 逼近定理。

提示：（1）从不等式22(1)1n x nx -≥-,即可证得n C ≤

（2）在1

1()()()n n P x f x t Q t dt -=+⎰中作变量代换x t u +=，

并注意到f 在[0,1]外等于0，即知()n P x 是x 的多项式，利用f 在[0,1]上的一致连续性和（1）,即可证得lim ()()n n P x f x →∞=.

（3）在(0)(1)0f f ==的条件不成立时，考虑函数

()()(0)((1)(0))g x f x f f f x =---，(01)x ≤≤. 证明

因为1

12210(1)2(1)n n x dx x dx --=-⎰⎰202)n x dx ≥-

2

02)nx dx ≥-=>，

所以1211(

(1))n n C x dx --=-≤⎰ 由11()()()n n P x f x t Q t dt -=+⎰11()()x

n x f u Q u x du +-+=-⎰1

1()()n f u Q u x du -=-⎰， 可知()n P x 是x 的多项式；

由于1

1()()[()()]()n n P x f x f x t f x Q t dt --=+-⎰， 设()f x M ≤，所以 ()()n P x f x -

1()()()()()()n n f x t f x Q t dt f x t f x Q t dt δ

δδ---≤+-++-⎰⎰

1()()()n f x t f x Q t dt δ++-⎰ 112()()()()2()n n n M Q t dt f x t f x Q t dt M Q t dt δδδδ

---≤++-+⎰⎰⎰ 24(1)(1)()()()n n n MC f x t f x Q t dt δ

δδδ-≤--++-⎰，

再由()f x 在[2,2]-上一致连续，对任意0ε>，在01δ<<，

当12,[2,2]x x ∈-,且12x x δ-<时，便有12()()f x f x ε-<,

从而对任意[0,1]x ∈，当t δ<时，有[2,2]x t +∈-，

()()f x t f x ε+-<, 于是()()n

P x f x -24(1)(1)n n MC δδε≤--+， 对上述0ε>及选定的δ，存在正整数N ，当n N >时，有

224(1)(1)4)n n n MC δδδε--≤-<, 故有()()2n P x f x ε-<, 即得{()}n P

x 在[0,1]上一致收敛于()f x . （3）设()[0,1]f x C ∈,

考虑函数()()(0)((1)(0))g x f x f f f x =---， 利用（2）中的结果，存在多项式序列{()}n g x ,使得{()}n g x 在[0,1]上一致收敛于()g x ; 取()()(0)((1)(0))n n P x g x f f f x =++-， 则有多项式序列{()}n P x 在[0,1]上一致收敛于()f x .