线性规划的对偶问题
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
第一节 线性规划的对偶问题
2.非对称形式的对偶规划 2.非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为非 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 (1)将模型统一为 max， 将模型统一为“ min， (1)将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的 形式，对于其中的等式约束按下面（ ）、（3 形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3） 中的方法处理； 中的方法处理； (2)若原规划的某个约束条件为等式约束 若原规划的某个约束条件为等式约束， (2)若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对 偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负 限制； 限制； (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 制，则 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。
12
影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 这样可以用较少的局部努力， 这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效 益。 需要指出，影子价格不是固定不变的， 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条 产品利润等发生变化时， 件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格 发生变化。 发生变化。 影子价格的经济含义是指资源在一定范围内增加 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“ 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“一定 的范围” 的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价 格给出的数值线性地增加。 格给出的数值线性地增加。
线性规划的对偶问题
(二)非对称型对偶问题
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12 x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
min w b1y1 b2 y2 b3 y3 s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2
a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y1 0，y2无约束，y3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
目标函数的系数
3个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
23个
约
≥
束
≤
条 件
=
第13页
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数 max
目标函数的系数
约束条件右端常数
约 m个
束≤
条 件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
无符号限制
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
运筹学04-线性规划的对偶问题
生产计划问题
总结词
生产计划问题是线性规划对偶问题的另一个重要应用，主要研究如何安排生产 计划，以满足市场需求并实现利润最大化。
详细描述
在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最小化生产成本并最大化利润。 通过线性规划对偶问题，可以确定最优的生产计划，使得生产过程中的资源得 到充分利用，同时满足市场需求。
对偶理论的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
混合整数对偶
随着混合整数规划问题的日益增多，对偶理论在 处理这类问题中的研究将更加深入。
大数据优化
随着大数据技术的不断发展，如何利用对偶理论 进行大规模优化问题的求解将成为一个重要研究 方向。
人工智能与优化
人工智能和机器学习方法为优化问题提供了新的 思路，与对偶理论的结合将有助于开发更高效的 算法。
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线性规划问题的数学模型
目标函数
通常是一个线性函数，表示要优化的目标。
约束条件
通常是一组线性等式或不等式，表示决策变 量所受到的限制。
可行解集合
满足所有约束条件的解的集合，称为可行解 集合。
02
对偶问题概念
对偶问题的定义
线性规划的对偶问题是通过将原问题 的约束条件和目标函数进行转换，形 成与原问题等价的新问题。
对偶理论与实际问题的结合
01
02
03
供应链管理
在供应链优化问题中，对 偶理论可以用于协调供应 商和零售商之间的利益， 实现整体最优。
金融风险管理
在金融领域，对偶理论可 以用于评估和管理投资组 合的风险，提高投资效益。
交通调度
在交通调度问题中，对偶 理论可以用于优化车辆路 径和调度计划，提高运输 效率。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题是线性规划中的一个分支，它的求解历程和一般的线性规
划想法不同，而且根据不同的约束条件最终能够求出最优解，使得问题获得最小的成本或最大的利润。
线性规划的对偶问题是从原问题的另一个角度去理解原来的模型，它将原有问
题转化为无穷多个单纯形模型，检验原问题各部分的存在可行性。
线性规划的对偶问题以可行性条件检验为主要特色，它可以检验原问题在具体变量形式下各限制条件之间的约束关系，这特别有利于解决在实际问题中模型中非可行情况的求解问题。
求解线性规划的对偶问题的核心思想就是将原问题的约束转换成一系列的子问题，通过求解子问题，再根据子问题的结果得到原问题的求解解，先求解子问题的时间复杂度会比求解原问题的复杂度小很多。
线性规划的对偶问题即其可行性检验的能力，由于其能有效处理问题中约束条
件之间存在的相互作用，具有优越的求解能力，因而在很多复杂的线性规划问题中都被广泛应用。
线性规划的对偶问题不仅能使求解结果更加准确，而且可以大大减少求解的时间，使程序性能更加突出。
线性规划问题的对偶性
线性规划问题的对偶性线性规划（Linear Programming）是数学规划的一个重要分支，用于解决一类特定的优化问题。
在线性规划问题中，我们需要在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
对于一般的线性规划问题，我们往往可以通过对偶性理论来找到一个等价的对偶问题，从而更好地求解原始问题。
1. 对偶问题的引入在线性规划问题中，我们通常会面临一个最大化或最小化一个线性目标函数的任务，同时需要满足一系列线性约束条件。
假设我们的线性规划问题为：最大化（或最小化）：cx约束条件：Ax ≤ b其中，c是一个长度为n的向量，x是变量向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个长度为m的向量。
对于这个线性规划问题，我们可以引入一个新的向量y作为拉格朗日乘子，引入一个新的变量w作为对偶变量。
这样，我们可以构建原始问题的拉格朗日函数：L(x, y, w) = cx + yT(Ax - b) - wT(Ax - b)其中，y和w分别是拉格朗日乘子和对偶变量。
2. 对偶问题的建立在引入拉格朗日函数之后，我们可以分别对拉格朗日乘子y和对偶变量w进行极小化和极大化，建立相应的对偶问题。
对于拉格朗日乘子y，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, y) = (c + ATy)x - yTb注意到，c + ATy为常数向量，可以表示为q。
因此，我们可以得到对偶问题：最小化：qTx约束条件：ATy ≥ 0同样地，对于对偶变量w，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, w) = (c - ATw)x + wTb同样，我们可以得到对偶问题：最大化：wTb约束条件：ATw ≤ c3. 对偶问题的性质通过对拉格朗日函数的极小化和极大化，我们建立了与原始问题等价的对偶问题。
对偶问题不仅仅是一个等价的数学表达形式，而且具有许多重要的性质。
首先，根据对偶问题的建立，我们可以得知对偶问题的目标函数是原始问题的一个下界。
也就是说，对于任意可行解x和对偶变量w和y，有如下不等式成立：cx ≥ qTx ≥ wTb其次，若原始问题的最优解存在且有限，那么对偶问题的最优解也存在且有限，并且两者的目标函数值相等。
第2章 线性规划(对偶问题)
对偶问题（或原问题）
目标函数为 Min W
n个
约束条件
＝
m个
变量
0 0 无约束
约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题：
• 1.
max Z 2x1 x2 3x3 x4
x1 x2 x3 x4 5
s.t.
2x1 x2 3x3
原问题（对偶问题）
目标函数 限定向量 价值向量 技术系数 约束条件 变量数目 约束条件个数 变量正负
对偶问题（原问题）
目标函数 价值向量 限定向量 技术系数 对偶变量 约束条件个数 对偶变量数目 约束条件
非对称形式的对偶问题
• 在原线性规划问题为Max型，且变量非负 的前提下：
1. 原问题约束条件是“”型
x1
x3
x4
1
4
x1, x3 0, x2 , x4无约束
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
min W 5 y1 4 y2 y3
y1 2 y2 y3 2
s.t.
y1 y1
y2 1 3y2 y3
3
y1
y3
1
y1 0, yLeabharlann 0, y2无约束例：y1
0,
y3
0,
y2无约束
对偶的基本性质
• 原问题： Max Z=CTX
• 对偶问题： Min W=bTY
s.t. AXb X0
s.t. ATY C Y0
• ①对称性：对偶问题的对偶是原问题； • ②弱对偶性：若X是原问题的可行解，Y是
对偶问题的可行解，则CTX bTY
• 弱对偶性的证明： AX’ b X’TAT bT X’TATY’ bTY’
线性规划的对偶问题_5256
s.t.
…………………………
a 1 n y 1 a 2 n y 2 a m y m n c n
y1,y2, ,ym0
3
二、对称形式下对偶问题的一般形式
LP1：s.t.
n
MaxZ cj xj
n
j1
aijxj bi
i1,2, ,m
j1
xj 0
j1,2, ,n
16
一、单纯形算法的矩阵描述
LP2的初始单纯形表及经过若干步迭代后某一步的
单纯形表如下：
x1 x2 x3 4
st
.
3
2 x2
x1
x2 x3
9
x3
x4
1
x1~ 3 0
13
-3 0 1 0 0 0 0
C B
基
b
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x5 4 1 1 1 0 1 0 0
0 x6 1 -2 1 -1 -1 0 1 0
n
MaxZ cj xj
n
j1
aijxj bi
i1,2, ,m
j1
xj 0
j1,2, ,n
LP2：s.t.
m
MinW bi yi i1
m
aij yi cj
i1
j1,2, ,n
yi 0
i1,2, ,m
12
对称形式的线性规划问题：
max z 3 x1 x3
s.t. ………………………… a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m x n n b m x1,x2, ,xn0
注：对称形式的LP问 题,对b没有非负要求。
第四章线性规划对偶
n
m
CXYb,即cjxj yibi
j1
i1
__ __
推论__ ⑴.若 X 和Y 分别是问题（P）和（D）的可__ 行解，
则C X 是（D）的目标函数最小值的一个下界； Y b 是
（P）的目标函数最大值的一个上界。
第四章线性规划对偶
11
推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
矩 阵 形 式 ：P max Z CX
AX b
(2)
X
0
D minW Yb YA C Y 无符号限制（无约束）
第四章线性规划对偶
10
（二）、对偶问题的性质
1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
__ __
2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 X和Y 分别是问题
（P）和（D）的可行解，则必有
__ __
相当于：在换基迭代过程中逐渐使得对应的对 偶消问 失题 ，（ 直D到）中yT，CyBTTB1CBT是B对1 偶的问不题可的行可性行逐解渐 时，就是原问题的最优解。
第四章线性规划对偶
17
回顾（单纯形法）：
m ax zcx (1)
(LP)
Ax b
(2)
s.t.
x
0
(3)
(b0)
r(Amn)m，A P 1 P m P m 1 P n B N
对偶问题（D Dual Problem）
m in 100y1 150y2
2 y1 y2 4
s .t .
1.5 y1 3 y1
2
2 y2 y2
7
5
y 1 , y 2 0
第十四章线性规划的对偶问题
第⼗四章线性规划的对偶问题第⼗四章线性规划的对偶问题14.1 对称的对偶规划在线性规划早期发展中,对问题是⼀项重要的发现.早在1928著名数学家John.Von.Neumann 在研究对策理论时就已经有原始和对偶的思想.对偶理论有着重要的应⽤.⾸先是在原始,对偶两个线性规划中求解任⼀规划时,含⾃动地给出另⼀个规划的最优解.当对偶问题⽐原问题有较少分量时,求解对偶问题⽐求解原始问题⽅便的多.对偶理论另⼀个应⽤是Lemke,1954提出的对偶域形法。
另外,对偶理论还应⽤于通⽤的运转问题模型上，对偶理论对影⼦价值的分析在经济理论上有着重要作⽤.14.1.1对偶问题的提出:例14.1.1:某⼚⽣产A.B.C 三种畅销产品,每台产品需四种资源,具体数据表问怎样安排⽣产,效益最⼤! 设决策变量123,,x x x 得出模型:123123123123123max 20004000300034260022400..33300242000.1,2,3i z x x x x x x x x x s t x x x x x x x i =++++≤??++≤??++≤??++≤??>=? 现在⼯⼚考虑不进⾏⽣产⽽把全部可利⽤的资源都让给其它企业单位,但⼜希望给这些资源订⼀个合理价格,既使别的单位愿意买,⼜使⼯⼚能得到⽣产这些产品时可以得到的最⼤效益.这就需建⽴另⼀个线性规划模型,设1234,,y y y y 代表销售这四种资源总售价尽可能低,即 1234min 600400300200w y y y y=+++原来⽣产产品A 每台需⽤的资源按现在的单价计算,每台收益为: 123432y y y y +++为了使⼯⼚效益不减少,就要求订1234,,,y y y y 时,使这个效益额不低于原来⽣产⼀台产品A 可以得到的效益,因此满⾜约束:1234322000y y y y +++≥对B,C 产品可列出类似约束. 12341234432400022343000y y y y y y y y +++≥+++≥因此得到的线性规划问题模型如下: 1234123412343220004324000..223430000(1~4)i y y y y y y y y s t y y y y y i +++≥??+++≥??+++≥??≥=? 易见,后⼀个问题的数据完全由另⼀问题数据确定.对每⼀个线性规划问题都伴随有另⼀个线性规划问题,⼀般地。
第一节 线性规划的对偶问题
x1 , x2 0
max S 3x1 2x2 x3
x1 x2 x3 12
x1 x2 x3 12 x1 x2 x3 10
2 x1 x2 x3 14
x1 , x2 , x4 , x5 0
x3 x4 x5
解 先化为对称形式
max S 3x1 2x2 x3
x1 x2 x4 x5 12
x1 x2 x4 x5 12 x1 x2 x4 x5 10
2x1
x2
x4
x5
14
x1 , x2 , x4 , x5 0
写出其对偶问题, 设对偶问题的变量为 y1、y2、y3、y4
max S 3x1 2x2 x4 x5
x1 x2 x4 x5 12
线性规划问题和它的对偶问题之间的关系： （1）目标函数，原始问题是求最大值，对偶问题
是求最小值； （2）原始问题约束不等式的个数等于对偶问题变量
的个数； （3）原始问题的收益系数，成为对偶问题中约束不
等式右端的常数项； （4）两个约束方程组的系数矩阵互为转置矩阵． （5）约束不等式，一个全是“≤”，另一个全是“≥” ； （6）原始问题和对偶问题是相对的，可以互相转化；
产品(公斤/件)
ABCD
资 甲 1 10 2 3 源 乙3 2 5 4
单位利润(元) 8 20 12 15
现有资源(吨)
18 13
产品(公斤/件)
ABCD
资 甲 1 10 2 3 源 乙3 2 5 4
单位利润(元) 8 20 12 15
现有资源(吨)
18 13
解 设甲、乙两种资源的价格为 y1, y2.
根据对偶理论，最小值问题的任一可行解都 是其对偶问题最优值的一个上界，
第2章线性规划(对偶问题)
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
m in W 5 y 1 4 y 2 y 3 y1 y1 s .t . y 1 y 1 y1 2 y2 y3 2 y2 1 3 y2 y3 3 y3 1 0 , y3 0 , y 2无 约 束
• 令y4=y2-y3 ，得：
• Min W=y1+2y4 S.t. y1+2y4 1 2y1-3y4 2 5y1-4y4 -3 y1 0, y4无符号约束
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（或对偶问题） 目标函数为 Max Z 变量 n个 0 0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数为 Min W n个 ＝ 约束条件
– 设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行
解，当CTX*=bTY*时，X*，Y*是最优解。
– 证明：由弱对偶性，可知原问题的所有可行解
X’均满足 CT X’ bTY*
又因为CTX* = bTY* ，所以CT X’ CTX* ，即： X*是使目标函数取值最大的可行解。因而是最 优解。 同理可证Y*也是最优解。
m个 ＝ 价值系数cj 约束条件右端项bi 约束条件的系数矩阵A 约束 条件
m个 变量 0 0 无约束 约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题： • 1.
m a x Z 2 x1 x 2 3 x 3 x 4 x1 x 2 x 3 x 4 5 2 x x 3x 4 1 2 3 s .t . x1 x 3 x 4 1 x1 , x 3 0 , x 2 , x 4 无 约 束
线性规划的对偶问题
第二章线性规划的对偶问题习题2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
线性规划问题的对偶问题
该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 1
3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S = 2x1 + 3x2 - 5x3
s.t. x1+ x2 - x3 5
2x1
+ x3 = 4
x1 x 2
0
y1
min 12
16
15
y
2
y3
2 2
4 0
0 5
y1 y2 y3
2 3
y1
y
2
0
y3
线性规划的对偶关系：
（I） Max z = C x
s.t. Ax b
s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1 4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0
解：该问题的对偶问题：
min g = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
假设 y1, y2 分别表示每个木工 和油漆工工时的租金，则所付租金 最小的目标函数可表示为：
min s = 120 y1 + 50 y2
目标函数中的系数 120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
该企业家所付的租金不能太低， 否则家具厂的管理者觉得无利可图 而不肯出租给他。因此他付的租金 应不低于家具厂利用这些资源所能 得到的利益：
2、线性规划问题的对偶问题
3 y1 + y2 30
y 1, y 2 0
得到另外一个数学模型：
min s = 120 y1 + 50 y2
s.t. 4 y1 + 2y2 50 3 y1+ y2 30 (2.2)
y 1, y 2 0
模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又有 联系。联系在于它们都是关于家具 厂的模型并且使用相同的数据，区 别在于模型反映的实质内容是不同 的。模型(2.1)是站在家具厂经营者 立场追求销售收入最大，模型(2.2) 是则站在家具厂对手的立场追求所 付的租金最少。
max Z=2x1+3x2 s.t. 2x1+2x2 12 4x1 16 5x2 15 x1,x2 0
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 ① 2X+2y<=12 X=3 X=4
点（3，3）是最优解， z*=15 当A的资源变为13小 时，z*=16,说明A的边 际价格是1，即影子 价格是1。
约束条件右端项 目标函数变量的系数
目标函数变量的系数 约束条件右端项
• 例2-7：写出下列线性规划的对偶问题
min z=7x1+4x2-3x3 s.t. -4x1+2x2-6x3≤24 -3x1-6x2-4x3≥15 5x2+3x3=30 x1≤0,x2取值无约束,x3≥0
Max w=24y1+15y2+30y3
引入变量 y1 , y2’，y2” 写出对偶问题
max g = 5 y1+ 4y2’- 4y2” s.t. y1 +2y2’- 2y2” 2 y1 3 -y1 + y2’- y2” -5 y1， y2’，y2” 0
线性规划对偶问题
MaxZ 2 x1 3 x 2 3 x3 x1 x 2 x3 3 s.t. x1 4 x 2 7 x3 9 x , x , x 0 1 2 3
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料 的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：
5
11
2、非对称形式的对偶关系： （1） 原问题
max Z c j x j
j 1 n
对偶问题
min W bi xi
i 1 m
aij x j bi i 1,2, , m s.t. j 1 x 0 j 1,2, , n j
n
m aij yi c j j 1, 2, , n s.t. i 1 y 符号不限， i 1, 2, , m i
17
(4) 对于极小化问题的具有非负限制的变量(极大化问题的具 有非正限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为“≤” 型不等式；对于极小化问题的具有非正限制的变量(极大化问 题的具有非负限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为 “≥”型不等式；对于原问题中无正负限制的变量，在其对偶 问题中，相应的约束为等式。
“上、下”交换，“左、右”换位， 不等式变号，“极大”变“极小”
(4) 对称性: 对偶问题的对偶是原问题.
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例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 2 s.t. a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 x1 0, x2 0, x3无约束
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第二节
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第二章 线性规划的对偶问题
习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
⑴ max z = 10x i + X 2 + 2x 3
st.
x i + X 2 + 2 X 3W 10 4x i + X 2 + X 3 W 20
X > 0
(j = 1,2,3)
(3) min z = 3x i + 2 X 2 — 3x 3 + 4x 4 st.
x i －2x 2+ 3x 3+ 4x 4W 3
X 2 + 3X 3 + 4X 4》一5
2x i — 3x 2 — 7x 3 — 4x 4= 2 =
x i >0, X 4W 0, X 2，, X 3 无约束
(2) max z = 2x i + x 2+ 3x 3+ x 4
st. x i + x 2+ x 3 + x 4 W 5
2x i
－ x
2+
3x 3
=－ 4 X i
— X 3 + X 4> i
X i , X 3 > 0, X 2, X 4 无约束 (4) min z =— 5 x i — 6x 2— 7x 3 st.
— X i + 5X 2— 3X 3 > i5 — 5X
i — 6X
2+ i0X
3 W 20
X i — X 2 — X 3=— 5
X i W 0, X 2>0 , X 3 无约束
2.2已知线性规划问题 max z = CX , AX=b , X >0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的 变化： (1 )问题的第k 个约束条件乘上常数 入(炉0);
(2)
将第k 个约束条件乘上常数 入(苗0)后加到第r 个约束条件上；
(3) 目标函数改变为 max z = 2CX (入工0)； 4)模型中全部 X i 用 3 X'i 代换。
2.3 已知线性规划问题 min z = 8X i + 6X 2+ 3X 3+ 6X 4
st. x i + 2X 2
+ X 4》3
3x i + X 2 + X 3+ X 4 A 6 X 3 + X 4= 2
X i
+ X 3 A 2 X j A 0(j =i,2,3,4)
(1) 写出其对偶问题；
(2) 已知原问题最优解为 X*=(i ，i ，2，0) ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题 min z = 2X i + X 2+ 5X 3+ 6X 4
对偶变量
st. 2X i
+ X 3+ X 4W 8
y i
2X i + 2X 2+ X 3+ 2X 4W i2
y 2
X j A 0(j =i,2,3,4)
其对偶问题的最优解 y i *=4； y 2*=i ，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题 maX z = 2X i + 4X 2+
3X 3
st. 3X i +4 X 2+ 2X 3W 60
2X i + X 2+ 2X 3W 40
X i + 3X 2+ 2X 3W 80 X j A 0
(j = i,2,3)
( i )写出其对偶问题
( 2)用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
( 3)用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶 问题的解； ( 4)比较( 2)和( 3)计算结果。
2.6已知线性规划问题
max z = 10x i + 5x 2
st. 3x i+4x2< 9
5x i + 2x2 W 8
X > 0(j = 1,2)
试用灵敏度分析的方法分别判断：
(1)目标函数系数C i或C2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；
(2)约束条件右端项b i，b2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；
(3)问题的目标函数变为max z = 12x i+4x2时上述最优解的变化；
(4)约束条件右端项由8)变为'ii时上述最优解的变化。
I8丿加
2.7线性规划问题如下：max z = —5x i + 5x2 + i3x3
st. —x i + x2 + 3x3^ 20①
i2x i+ 4X2+ i0x3W 90 ②
X j > 0 (j = i,2,3 )
先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化？
(1)约束条件①的右端常数由20变为30;
(2)约束条件②的右端常数由90变为70;
(3)目标函数中X3的系数由i3变为8;
(4)x i的系数列向量由(一i，i2) T变为(0, 5) T;
(5)增加一个约束条件③：2x i + 3x2 + 5X3 < 50;
(6)将原约束条件②改变为：i0x i + 5X2+ 10X3W i00。
2.8用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下:
(1)给岀a，b，c，d，e，f，g的值或表达式；
(2)指岀原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
(3)用a+ a，b+ b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求：a，:b满足的范围。
2.9某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。
已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本
10 40
30打，或练习本30箱。
已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸千克，每打日记本用白坯纸千
3 3
80
克，每箱练习本用白坯纸千克。
又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生
3
产一箱练习本获利1元。
试确定：
(1)现有生产条件下获利最大的方案；
(2)如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支岀为每人每月40 元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？
2.10某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表(表中的消耗系数
为千克/件)。
(1)请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。
(2)原料A、B的影子价格各为多少。
(3)现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。
(4)工厂可在市场上买到原料A。
工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？
2.11某厂生产A、B两种产品需要同种原料，所需原料、工时和利润等参数如下表：
(1)请构造一数学模型使该厂总利润最大，并求解。
(2)如果原料和工时的限制分别为300公斤和900小时，又如何安排生产？
(3)如果生产中除原料和工时外，尚考虑水的用量，设两A，B产品的单位产品分别需要水4吨和
2吨，水的总用量限制在400吨以内，又应如何安排生产？
复习思考题
2.12试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
2.13根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以及检
验数之间的对应关系。
2.14什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。
2.15试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。
2.16将a j，b，c的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题的
解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。
2.17判断下列说法是否正确
(a) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；
(b) 对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶
问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d) 若某种资源的影子价格等于k，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k;
(e) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量X i<0,又X i所在行的元素全部大于
或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；
(f) 若线性规划问题中的bi，c,值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；
(g) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数C j或在各约束中的相应系数a ij,反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。