综合实验 生物种群数量问题

西北师范大学（数学与统计学院）

综

合

实

验

报

告

实验名称：生物种群数量问题

专业：数学与应用数学

班级：2010级数学与应用数学4班

学号：************

姓名：冶小娟

日期：2013年7月1日

老师：张**

综合实验 生物种群数量问题

一、 问题

种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素就是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长情况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少。而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设是只能达到某一固定的数量值记为m x ，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量x 的比记为：sx r x r -=)(，0,>s r ，其中r 相当于0=x 时的增长率，称为固有增长率。记当前（即0=t 时）种群数量为0x ，时刻t 种群数量为)(t x 。若利用统计数据可知0,,x r x m ，那么未来时间里种群数量如何呢?

二、 实验目的

1、进一步理解极限的概念，了解常微分方程理论的应用。

2、通过一个简单的差分方程的迭代结果了解混沌现象。

三、 实验内容与要求

设)(t x 为连续、可微函数，请给出未来的时间里种群的数量满足的数学模型；由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况，请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型；

设,3),()1()(,=+==r t x x r r x n n t m

n ，为整数先对上述离散模型进行变形，然后在0x 分别取0.1，0.1000001，0.10000001时利用计算机迭代60次。要求在计算机上输出结果和作图，并观察结果和得出结论。

四、 实验原理与方法

1、由于)(x r 为单位时间内种群数量的增长量与当前种群数量的比值，所以t 到t t ∆+时间内种群数量的增量为

t t x x r t x t t x ∆=-∆+)()()()( （1）

又由于sx r x r -=)(，而当m x x =时增长率应为零，即0)(=m x r ，所以

m x r

s =.则x x r r x r m

-=)(，把它代入方程（1）得 t t x x r r t x t t x m

∆-=-∆+)()()()( （2） 此方程两边同除t ∆，并令0→∆t ，加上初始条件0)0(x x =可得未来任意时刻t 种群数量所满足的数学模型为 ⎪⎩

⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m （3） 2、由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群的增长状况，则令t t ,1=∆视为正数及x x x r x r m

-=)(代入方程（1）得 )()()()1(t x x r r t x t x m -

=-+ （4） 加上初始条件0)0(x x =得任意时刻t 种群数量所满足的离散数学模型为 ⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=+0)0()()1()1(x x t x x r r t x m （5） 通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻t 种群的数量。

3、该过程没有涉及到建模的过程，只是要求对上述离散模型进行变形，在通过计算机输出离散模型中的迭代结果和画图，并通过观察结果来得出相应的结论即可。

五、 实验内容与步骤

1、利用Mathematica 求解方程（1），可得任意时刻t 种群数量为

n m m e x x x t x --+=)1(1)(0 （6） Mathematica 源程序为：Dsolve[x ’[t]-r*(1-xm t x ][)*x[t]==0,x[t],t]

2、根据方程（2），只要给出初始值0x 就可以很容易进行递推而得到任意时刻t 种群的数量。

3、由假设知)(为整数n n t =，3),()1(=+=r t x x r r x m

n 代入方程（5）得 3,2,1,0),1(41=-=+n x x x n n n （7） 当0x 分别取0.1，0.1000001，0.10000001时，通过下面Mathematica

的程序可以得出迭代结果（见下面的迭代结果）以及不同初值的各自的图形。在Mathematica 工作环境中运行下面的程序时分别是不同的颜色的图形。

程序运行如下：

运行结果如下：

以下实验的迭代次数为1到60

图1 图2 图3

运行结果如下：

图4

图5

图6

迭代次数从1到30

图7

图8 图9 图10

迭代次数从31到60

图11

上述的迭代结果如下：

n )(01x x x n =其中

1

0.1 0.1000001 0.10000001 2

0.36 0.36000032 0.360000032 3

0.9216 0.9216003584 0.9216000358 4

0.28901376 0.2890125512 0.2890136391 5

0.8219392261 0.8219371858 0.8219390221 6 0.5854205387 0.5854257937 0.5854210642

… … …

58 0.9774641196 0.9944586337 0.0003395795775 59 0.0881******* 0.022******** 0.001357857053 60 0.3213932928 0.08622704174 0.005424053108

实验结果分析：从中可以得到这个迭代方程)1(41n n n x x x -=+的迭代结果与初值0x 的选择有关。虽然刚开始由于初值相差很小，对应的迭代结果也相差很小。从以上图中可以清楚的看到起始阶段三条曲线几乎重合。但是，迭代进行到多次以后（例如20次以上），结果出现了明显的变化，从图5可以观察到三条曲线相互交叉，即对应的迭代结果相差越来越大。随着迭代次数的增加，结果出现了杂乱无章，无序的状态，从图6可以清楚的看到这一点。总之，初始值的